Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)"

Theodoor de Ruiter
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 6 maart 00 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Matrixgebouw, zaal 1.60 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven.

1 Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 6 maart 00 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Matrixgebouw, zaal 1.60 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook is verboden. Wel toegestaan zijn het aangehechte formuleblad en een eenvoudige rekenmachine. Succes! Opgave 1 Spuitgieten is een veelgebruikte methode voor de vervaardiging van kunststof producten (zie figuur 1). Figuur 1: Spuitgieten van een kunststof product. Tijdens het spuitgieten van een polymeersmelt zijn in een bepaald punt in de smelt de componenten van de infinitesimale rektensor ten opzichte van een cylindrische basis { e r, e θ, e z } gegeven door de volgende matrix: = ε De grootste hoofdrek (principal strain) behorende bij deze rektoestand is ɛ 1 = 6 Verder zijn bekend de hoofdrekrichtingen (principal strain directions) N 1 = 1 6 ( e r + e θ + e z ) N = 1 ( e r e θ e z ) a. Is de infinitesimale rektensor een zinvolle maat voor de hier beschouwde rektoestand? Verklaar. b. Bepaal de ontbrekende hoofdrekken ɛ, ɛ en de hoofdrekrichting N. c. Bereken de normaalrek (normal strain) in de richting n = 1 ( e r e z ). d. Bepaal de maximale normaalrek. e. Bepaal de maximale afschuiving (shear). 1

2 Opgave Mechanische onderdelen die aan grote oppervlaktebelastingen blootstaan worden veelal voorzien van een beschermende, harde coating. Het aanbrengen van deze coatings geschiedt in het algemeen onder hoge temperaturen. Verschillen in uitzettingscoëfficiënt tussen de coating en het onderliggende materiaal veroorzaken dan bij het afkoelen residuele spanningen in het materiaal. Door middel van materiaalkeuze en temperatuursinstellingen kan de grootte en het teken (trek of druk) van deze residuele spanning zodanig gemanipuleerd worden dat een optimale vervormingsweerstand verkregen wordt. e z p P e y e x staal coating Figuur : Beschermende coating op stalen onderdeel. Figuur toont een schematische weergave van een coating aangebracht op een vlak oppervlak van een stalen machinecomponent. In het punt P aan het oppervlak van de coating heerst een residuele spanning σ r in het vlak van de coating; σ r kan zowel positief als negatief zijn. Wanneer de machine in bedrijf is zal verder op het oppervlak een drukspanning ter grootte p 0 werken. In termen van de in de figuur aangegeven basis is de spanningstensor (stress tensor) in P in dat geval gegeven door σ = σ r ( ex e x + e y e y ) p ez e z Doel van de coating is de toelaatbare belasting p te verhogen ten opzichte van het ongecoate staal. a. Bepaal de invarianten J 1, J en J van de hierboven gegeven spanningstensor. b. Bepaal de deviatorische spanningstensor σ d. c. Bepaal de Von Mises vergelijkspanning (equivalent stress) σ vm als functie van σ r en p, waarbij σ vm gedefinieerd is als σ vm = σ d : σ d d. Als verondersteld wordt dat elasticiteitsgrens van het coatingmateriaal gegeven wordt door het Von Mises criterium met een vloeispanning (yield stress) σ y, wat voor residuele spanningen zijn dan te prefereren: trek of druk? Binnen welke grenzen voor σ r is het zinvol deze te manipuleren? e. Verandert deze conclusie als in plaats van Von Mises het Rankine criterium wordt gebruikt? Opgave Instabiele sneeuwlagen op berghellingen kunnen aanleiding geven tot lawines. Om persoonlijke ongelukken te voorkomen is het van groot belang het risico op dergelijke sneeuwlawines in te schatten en eventuele gevaarlijke situaties weg te nemen door middel van explosies. In het bijzonder de combinatie van een laag versgevallen sneeuw op een oudere, inmiddels hard geworden sneeuwlaag blijkt gevaarlijk. Een dergelijke situatie is geschetst in figuur. De nieuwe sneeuwlaag met een uniforme dikte h heeft zich gehecht op een onderlaag die star verondersteld kan worden. Het geheel

3 α h e e 1 e Figuur : Lawine-gevaarlijke sneeuwlaag. staat onder een hoek α. Enkel de belasting door het eigengewicht van de sneeuw wordt in beschouwing genomen; deze geeft aanleiding tot een verdeelde belasting (body force) ρ q gelijk aan ρ q = ρg (sin α e 1 + cos α e ) waarbij ρ de dichtheid van de sneeuw voorstelt en g de gravitatieversnelling. Het verplaatsingsveld in de sneeuwlaag wordt geschreven als u = U 1 (x ) e 1 + U (x ) e met U 1 (x ) en U 1 (x ) vooralsnog onbekende functies van de coordinaat x in e -richting. a. Bepaal de infinitesimale rektensor ε behorende bij dit verplaatsingsveld in termen van de afgeleiden U 1 = du 1/dx en U = du /dx. b. Bepaal de spanningstensor σ, onder de veronderstelling van isotroop, lineair elastisch materiaalgedrag met Lamé constanten λ en µ. c. Laat zien dat evenwicht (equilibrium) in de sneeuwlaag beschreven wordt door de differentiaalvergelijkingen µ d U 1 dx ρg sin α = 0 (λ + µ) d U dx ρg cos α = 0 In het volgende beschouwen we enkel de verplaatsing U 1 parallel aan de helling. De algemene oplossing voor U 1 luidt U 1 (x ) = A 1 + B 1 x + ρg sin α µ x met A 1 en B 1 integratieconstanten. d. Aan welke randvoorwaarden (boundary conditions) dientu 1 (of afgeleiden daarvan) te voldoen zolang de sneeuwlaag stabiel is? Verklaar. e. Bepaal de integratieconstanten A 1 en B 1 als functie van ρ, g, h en α. f. De verse sneeuwlaag kan gaan schuiven wanneer de schuifspanning (shear stress) σ ns tussen deze laag en de harde onderlaag (dus op x = 0) groter wordt dan τ c = 1.4 kpa. Bereken voor een helling van α = 0 bij welke hoogte verse sneeuw h de situatie kritiek wordt. Voor ρ en g kan genomen worden ρ = 170 kg/m en g = 9.81 m/s.

4 4

5 Uitwerkingen Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 6 maart 00 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Matrixgebouw, zaal 1.60 Opgave 1 a. Nee, daarvoor zijn de rekken veel te groot. b. De hoofdrekrichtingen zijn onderling loodrecht. De ontbrekende hoofdrekrichting N kan dus bepaald worden als N = N 1 N = 1 ( e θ e z ) Nu de drie hoofdrichtingen bekend zijn kunnen de ontbrekende hoofdrekken eenvoudig bepaald worden als de normaalrekken in de hoofdrekrichtingen N i : ɛ i = N i ε N i Uitwerken voor i = eni = levert respectievelijk: ɛ = ɛ = 4 c. De gevraagde normaalrek ε nn volgt uit ε nn = n ε n = d. De maximale normaalrek is gelijk aan de grootste hoofdrek: ɛ nn,max = ɛ 1 = 6 e. De maximale afschuiving γ max is gegeven door γ max = ɛ 1 ɛ = 10 Opgave a. De invarianten van σ zijn gegeven door J 1 = tr(σ ) = σ r p ( J = 1 tr (σ ) tr(σ σ ) ) = σ r (σ r p) J = det(σ ) = σr p b. Met bovenberekend spoor van σ volgt voor de deviatorische spanningstensor σ d = σ 1 tr(σ )I = 1 (σ r + p) ( e x e x + e y e y e z e z ) 1

6 c. De Von Mises spanning is gelijk aan σ vm = σ d : σ d = σ r + p d. De vloeigrens zal pas voor hogere drukken p bereikt worden als σ r negatief is, dus residuele drukspanningen zijn te prefereren. Echter, wanneer deze te hoog worden treedt al in de onbelaste toestand vloei op. Zinvolle waarden voor σ r voldoen dus aan σ y <σ r < 0. e. Ja, volgens het Rankine criterium wordt de elasticiteitsgrens bepaald door de in absolute zin grootste hoofdspanning. In zinvolle situaties zal deze altijd gelijk zijn aan de de druk p. Vloei zal dus optreden voor p = σ y, onafhankelijk van de residuele spanning σ r. Het teken en de grootte van σ r doen er dus niet toe, zolang σ y <σ r <σ y. Opgave a. De rektensor ε is gelijk aan ε = 1 ( u + ( u) T ) = 1 U 1 ( e 1 e + e e 1 ) + U e e b. Substitutie van bovenstaande rektensor in de wet van Hooke levert voor de spanningstensor σ = λtr(ε)i + µε = λu e 1 e 1 + µu 1 ( e 1 e + e e 1 ) + (λ + µ)u e e + λu e e c. Invullen van de hierboven verkregen uitdrukking voor de spanningen en de gegeven verdeelde belasting in de algemene evenwichtsvergelijking σ + ρ q = 0 leidt tot µu 1 e 1 + (λ + µ)u e ρg (sin α e 1 + cos α e ) = 0 Aan de e -component van deze vergelijking is automatisch voldaan; de andere twee componenten leveren de twee gevraagde vergelijkingen. d. Op x = 0 is de sneeuwlaag gehecht op de starre onderlaag; hier moet dus gelden U 1 (0) = 0 Het vrije oppervlak (x = h) is spanningsloos. Hier moet dus onder andere gelden dat σ 1 = µu 1 = 0 ofwel du 1 dx = 0 x =h e. Na substitutie van de gegeven algemene oplossing kunnen de integratieconstanten A 1 en B 1 eenvoudig opgelost worden uit bovenstaande randvoorwaarden: A 1 = 0 ρgh sin α B 1 = µ f. De schuifspanning σ ns tussen de twee sneeuwlagen is gelijk aan σ ns = σ 1 =µ U 1 (0) =ρgh sin α Gelijkstellen aan de kritieke waarde τ c levert voor h de maximale waarde τ c h = ρg sin α = 1.7m

Vergelijkbare documenten

Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)

Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 22 november 2001 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Auditorium, zaal 9, 10, 15 en 16 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik