CTB3330 : ConstructieMechanica 4

Transcriptie

1 CTB3330 COLLEGE 13 CTB3330 : Constructieechanica Niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden Inleiding lgemene theorie voor etensie en buiging Niet-smmetrische doorsneden Voorbeelden kromming en belasting Voorbeelden normaalspanningen Vervorming 15 Inhomogene doorsneden Verfijning van de algemene theorie Voorbeelden t.a.v. het normaalspanningsverloop Kern en Schuifspanningen Kern van een doorsnede Schuifspanning in een niet-smmetrische doorsnede Dwarskrachtencentrum in een dunwandige niet-smmetrische doorsnede Ir J.W. Welleman bladnr 1

2 SENVTTING VN FORULES N.L. DRUK DRUK OENT -as TREK N.C. α k N.L. -as -as TREK α m N.C. -as KROING k ε, σ, ε E, ε, OENT m -as N E ε -as Ir J.W. Welleman bladnr

3 BEREKNGSSCHE - bepaal NC - bepaal E,,, - bepaal voor de doorsnede de snedekrachten N, en - bepaal voor de doorsnede de vervormingsparameters ε,, BSISFORULE 1 N E ε ε, ε σ, E, ε, bepaal het rekverloop - bepaal het spanningsverloop basisformule basisformule 3 Ir J.W. Welleman bladnr 3

4 VOORBEELD 3 : Niet smmetrische doorsnede Gegeven: 7,17 kn 7,17 kn B 160 mm t15 mm -as -as,0 m -as -as Gevraagd : 160 mm 160 mm E, N/mm a De verdeling van de normaalspanningen in de doorsnede bij. b De verplaatsing van punt B Ir J.W. Welleman bladnr 4

5 Ir J.W. Welleman bladnr 5 LTERNTIEF IN HOOFDRICHTINGEN E N E N ε ε DUS SNEDE-KRCHTEN VOOR EXTENSIE EN BUIGING ZIJN LLEN ONTKOPPELD!

6 Ir J.W. Welleman bladnr 6 WT BETEKENT DIT VOOR DE REKKEN EN DE SPNNINGEN IN DE DOORSNEDE? E ε ε ε σ,,,, DUS.. I I N, σ

7 NPK IN HOOFDRICHTINGEN bepaal de hoofdrichtingen van de doorsnede Cirkel van ohr of transformatieformules e orde tensor ontbind de snedekrachten en in de hoofdrichtingen 1 e orde tensor Bepaal de veelafstanden in het hoofdassenstelsel gebruik coordinaat-transformatieformules 1 e orde tensor Bepaal de spanningen in de veels met de spanningsformule voor de hoofdrichtingen Ir J.W. Welleman bladnr 7

8 hulpgereedschap voor coordinaattransformaties t.g.v. een rotatie 1e ORDE TRNSFORTIES ie CTB10 Ir J.W. Welleman bladnr 8

9 hulpgereedschap voor bepalen van hoofdbuigstijfheden GENWRDEN HOOFDWRDEN λ λ. 0 lleen een oplossing 0 indien Determinant van de matri nul is: λ λ λ , ± eigenwaarden λ 1, hoofdwaarden 1, grafisch equivalent m.b.v. de CIRKEL VN OHR Ir J.W. Welleman bladnr 9

10 Zie aantekeningen CTB10 : Inleiding elasticiteitsleer, onderdeel tensoren IN DE HOOFDRICHTINGEN GELDT VOOR DE CONSTITUTIEVE RELTIE BUIGSTIJFHDSTENSOR ontkoppeld stelsel - ma buigstijfheid 1 in richting 1 - min buigstijfheid in richting tan α 1 hoofdrichtingen staan loodrecht op elkaar Ir J.W. Welleman bladnr 10

11 VOORBEELD 4 : Inhomogene doorsnede Gegeven: B -as 90 kn -as 00 mm mm 100 mm 00 mm -as Gevraagd:,0 m -as E11, N/m E 6, N/m a De verdeling van de normaalspanningen in de doorsnede bij. b De verplaatsing van punt B Ir J.W. Welleman bladnr 11

12 Ir J.W. Welleman bladnr 1

13 Ir J.W. Welleman bladnr 13 NORLKRCHTENCENTRU NC NC NC NC NC NC,,,,,, E ES d E d E d E ES E ES d E d E d E ES DUS : NC NC NC d E, E ES E ES NC NC

14 VOORBEELD 5 : Inhomogene doorsnede Gegeven: Gegevens van het beton : E N/mm Gegevens van het staalprofiel : 3000 mm 00 mm -as V 40 kn I E mm N/mm mm 1500 knm Gevraagd : -as 000 mm NC-staal a De verdeling van de normaalspanning over de hoogte van de doorsnede -as -as 450 mm 350 mm Ir J.W. Welleman bladnr 14

15 KERN VN DE DOORSNEDE Gebied waarbinnen het krachtpunt moet liggen opdat nergens in de doorsnede de spanning van teken wisselt, d.w.. dat de neutrale lijn juist buiten de doorsnede moet liggen. n.l. k krachtpunt? rek n.l. k Ir J.W. Welleman bladnr 15

16 LGEENE NPK Rek : Neutrale lijn : ε, ε 0 ε 1 ε ε Door 1,, 0 en 0, 1 : ε 1 ; 1 0 ε n.l. 1 1 Ir J.W. Welleman bladnr 16

17 Ir J.W. Welleman bladnr 17 UITWERKEN : ε ε ε ε / / 1 en : E e e e e E e e N N E N DUS : 1 1 1/ 1/ 1 E e e krachtpunt n.l. e e

18 VOORBEELD 6 : Kern Bijvoorbeeld lijn 1-1 n.l. gaat door de punten : b/;-h/ en -b/; -h/ h b e h/6 1 3 Hieruit volgt: 1 1-h/ uitwerken levert: e e e 0; 1 bh 1 1 e hb 0 3 h bh 3 0 h Bepaal per rand de ligging van het krachtpunt, dit is een hoekpunt van de kern van de doorsnede. Ir J.W. Welleman bladnr 18

19 VOORBEELD 7 : Kern van een niet-smmetrische 00 mm doorsnede 80 mm 10 mm STP 1 : LIGGING VN HET NC: NC t.o.v. de bovenrand : 31 mm 10 mm NC mm Voor de ligging van het NC t.o.v. de rechterrand geldt: NC 80 mm 400 mm NC STP : TWEE-LETTER-SYBOLEN I I 1, , mm mm mm 108 mm I 705, 10 6 mm 4 Ir J.W. Welleman bladnr 19

20 RESULTT mm STP 3 : Per rand oplossen: e e 1 E mm 80 mm 10 mm mm lijn 1 1 kernpunt e e ,5 46, ,9-63, ,6 16, , -13, ,6 4, 4 5 NC mm mm 3 4 ZIE OOK VOORBEELDEN OP INTERNET Ir J.W. Welleman bladnr 0

21 OPDRCHT : KERN H B R D C G R F E Ir J.W. Welleman bladnr 1

22 SCHUIFSPNNINGEN IN EEN DOORSNEDE q -as NC -as -as R N V s V V N -as R R a a doorsnede σ, spanningsverdeling op de linkerijde σ, spanningsverdeling op de rechterijde Ir J.W. Welleman bladnr

23 EVENWICHT R -as s NC -as -as R R a a Horiontaal evenwicht: s R s R R R in de limietovergang levert dit: s met : R en: a d R d σ, d 0 { ε } σ, E, Ir J.W. Welleman bladnr 3

24 Ir J.W. Welleman bladnr 4 OPLOSSING VOOR HOOFDRICHTINGEN E N ε,, E N E σ d d d d d d d 1, d d, d d d a a N E E s R s σ V V N d d ; d d 0; d d ES V ES V s

25 LGEENE OPLOSSING s d R d Resultante wordt verooraakt door etensie en buiging: R RN R c1n c RN c1 en: N c R onafhankelijk van! s a dr d a d d dr d a V V V V s d c 1 N d c V R V Ir J.W. Welleman bladnr 5

26 SENVTTING SCHUIFKRCHT / SCHUIFSPNNINGEN NC ls - en -richtingen HOOFDRICHTINGEN ijn : -as σ m s m-as -as s a VES a V ES a σ m -as b ls - en -richtingen GEEN HOOFDRICHTINGEN ijn : s a R a V met : V V V Opmerking: Hier wordt aangenomen dat de schuifspanning constant is over de breedte. In werkelijkheid hoeft dit niet het geval te ijn, echter voor beperkte breedten is dee aanname realistisch. Schuifspanning: σ m s b a a Ir J.W. Welleman bladnr 6

27 LGEENE REGELS VOOR SCHUIFSPNNINGSVERLOOP ie ook Hartsuijker deel, CTB ls de normaalspanning constant is, verloopt de schuifspanning lineair. ls de normaalspanning lineair is, verloopt de schuifspanning parabolisch 3. De schuifspanning is etreem in die punten, waar de neutrale lijn t.g.v. alleen het buigend moment de doorsnede snijdt 4. Richting volgt ook vaak uit de richting van de dwarskracht Ir J.W. Welleman bladnr 7

28 VOORBEELD 3 uitgewerkt op het COLLEGE Gegeven: 7,17 kn 7,17 kn B 160 mm t15 mm -as -as Q,0 m -as P -as Gevraagd : 160 mm 160 mm E, N/mm a Eact schuifspanningsverloop t.p.v. over deel PQ b Verloop over de gehele doorsnede schets c Controle, opppervlak schuifspanning dwarskracht? Ir J.W. Welleman bladnr 8

29 VOORBEELD 5 uitgewerkt op het COLLEGE Gegevens van het beton : E N/mm Gegevens van het staalprofiel : 3000 mm 00 mm -as V 40 kn I E mm N/mm mm 1500 knm 450 mm -as 000 mm -as NC-staal 350 mm Gevraagd : De langskracht in het verbindingsvlak tussen staal en beton - oplossingsroute voor hoofdrichtingen - generieke route -as Ir J.W. Welleman bladnr 9

30 DWRSKRCHTENCENTRU DC SHERFORCE CENTRE SC Definitie : Een kracht die aangrijpt in het dwarskrachtencentrum verooraakt geen wringing en leidt odoende alleen tot schuifspanningen t.g.v. dwarskracht. De doorsnede belast in het DC al dan ook niet roteren in het --vlak t.g.v. wringing. De ecentriciteit tussen het aangrijpingspunt van de dwarskracht en het DC leidt tot wringing en schuifspanningen t.g.v. wringing. Dee moeten worden gesuperponeerd op de schuifspanningen t.g.v. de dwarskracht. Ir J.W. Welleman bladnr 30

31 VOORBEELD uitwerking ie dictaat -as 4a -as V V -as NC t DC?? Dumm belasting 8a -as Belastingsgeval 1 V V 1,0 0,0 N ; 1,0 0,0 Nmm 6a Belastingsgeval V 0,0 N 1,0 V ; 0,0 1,0 Nmm Ir J.W. Welleman bladnr 31

32 STPPENPLN 1. BEPL NC en DOORSNEDEGROOTHEDEN E, ij etc. BEPL normaalspanning t.g.v. belasting in - vlak 3. BEPL schuifspanningsverdeling t.g.v. 4. BEPL werklijn van V 5. BEPL normaalspanning t.g.v. belasting in - vlak 6. BEPL schuifspanningsverdeling t.g.v. 7. BEPL werklijn van V 8. SNIJPUNT VN 4 en 7 is DC Ir J.W. Welleman bladnr 3

33 BELSTINGSGEVL 1 40 mm 80 mm 11,966 0,96 0,066 1, ,96 8,0 mm B 0,66 60 mm nl 1,05 49,3 mm normaalspanningen 10-4 N/mm 40 mm 80 mm 11,966 11,9 Q 11,9 P 8 mm R 9,5 9,5 19,7 6,1 B S 60 mm nl 49,3 mm Schuifstromen 10-3 N/mm P 40 mm e10,16 mm 0,1693 N Q 1,0 N R werklijn van de resultante van alle schuifspanningen in de doorsnede 1,0 N 80 mm 0,1693 N 60 mm S Ir J.W. Welleman bladnr 33

34 BELSTINGVEVL idem normaalspanning t.g.v. belasting in - vlak idem schuifspanning t.g.v. belasting in - vlak 40 mm 0,09 N Q P 0 N werklijn van de resultante van alle schuifspanningen in de doorsnede R 80 mm 1,0 N 0,91 N e54,60 mm 60 mm S Ir J.W. Welleman bladnr 34

35 LIGGING DWRSKRCHTENCENTRU 40 mm P 0,1693 N Q e10,16 mm 1,0 N R werklijn van de resultante van alle schuifspanningen in de doorsnede 40 mm 0,09 N Q P 0 N werklijn van de resultante van alle schuifspanningen in de doorsnede R 1,0 N 80 mm 0,1693 N 80 mm 1,0 N 0,91 N e54,60 mm 60 mm S 60 mm S - vlak - vlak 10,16 mm DC -as NC -as 54,60 mm erk op: NC en DC en het waartepunt ijn in het algemeen drie bijondere punten die niet samenvallen. Ir J.W. Welleman bladnr 35