MODULE : NIET-SYMMETRISCHE EN INHOMOGENE DOORSNEDEN

Transcriptie

1 CONSRUCICHNIC C09 ODUL : NI-SYRISCH N INHOOGN DOORSNDN CON HRSUIJKR HNS WLLN Civiele echniek U-Delft aart 0

2 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden INHOUDSOPGV. NI-SYRISCH N INHOOGN DOORSNDN.... SCHS VN H PROBL N NNN.... HOOGN DOORSNDN..... Kinematische betrekkingen Kromming Neutrale lijn Constitutieve relaties voor homogene niet-smmetrische doorsneden omenten igenschappen van de constitutieve relatie voor buiging..... Statische betrekkingen..... Differentiaalvergelijkingen Voorbeeld : Homogene niet-smmetrische doorsneden Normaalspanningen in de doorsnede in het --assenstelsel Normaalspanningen in de doorsneden in de hoofdrichtingen Voorbeeld : Spanningen in een niet-smmetrische doorsnede.... UIBRDING VN D HORI VOOR INHOOGN DOORSNDN Ligging van het NC voor inhomogene doorsneden Voorbeeld : Normaalkrachtencentrum versus waartepunt..... Voorbeeld : Spanningen in een inhomogene doorsnede.... KRCHPUN IN D DOORSND KRN VN D DOORSND Voorbeeld 5 : Kern van een niet-smmetrische doorsnede....6 PRUURINVLODN* Voorbeeld 6 : Statisch bepaalde constructie onder temperatuurbelasting Voorbeeld 7 : Statisch onbepaalde constructie onder temperatuurbelasting SCHUIFSPNNINGN IN NI-SYRISCH N OF INHOOGN DOORSNDN Schuifspanningsformules als - en hoofdrichtingen ijn Voorbeeld 8 : Schuifspanning in een samengestelde doorsnede lgemeen geldende schuifspanningsformules Voorbeeld 9 : Schuifspanning in niet-smmetrische doorsnede Voorbeeld 0 : Schuifkracht in een inhomogene doorsnede Dwarskrachtencentrum voor niet-smmetrische dunwandige doorsneden Voorbeeld : Dwarskrachtencentrum in een niet-smmetrische dunwandige doorsnede BIJLG... 7 PPNDIX B OPGVN DOORSND GROOHDN NORLSPNNINGN BIJ BUIGING NORLSPNNINGN BIJ BUIGING NORLKRCH INHOOGN DOORSNDN BLS OP NORLKRCH INHOOGN DOORSNDN BLS OP BUIGING KRN SCHUIFSPNNINGN BIJ BUIGING Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 ii

3 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden SUDINWIJZINGN Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van C09 Constructieechanica. De theorie en voorbeelden in dit dictaat ijn o uitgewerkt dat in elfstudie dit onderdeel bestudeerd kan worden. Naast dit dictaat met de theorie en voorbeelden is er extra oefenmateriaal beschikbaar via het internet. Daarnaast ijn de sheets die op het college worden gebruikt te downloaden via BlackBoard of via het internet. Dee site is te vinden op: In dit dictaat wordt verween naar de leermiddelen van C0 en C0: o oegepaste echanica deel : venwicht C. Hartsuijker o oegepaste echanica deel : Spanningen vervormingen verplaatsingen C. Hartsuijker o oegepaste echanica deel : Statisch onbepaalde constructies en bewijkanalse C. Hartsuijker en J.W. Welleman. Dee leermiddelen ullen worden aangeduid met CH- CH- en CH-. en opichte van de vorige versie van dit dictaat ijn er geen grote wijigingen. Bij het onderdeel over de kern ijn twee figuren toegevoegd fig b en fig c. De antwoorden van de in dit dictaat opgenomen vragen ijn op BlackBoard of via internet te vinden. ventuele uitleg over de opgaven kan worden verkregen bij de Student-ssistenten van Constructieechanica. Ondanks alle inspanningen is het niet uitgesloten dat er onvolkomenheden in het dictaat voorkomen. Ik stel het eer op prijs dat indien er fouten of onduidelijkheden worden geconstateerd dee worden gemeld. Op internet wordt een wijigingsblad bijgehouden waarin fouten worden verameld. De docent Hans Welleman pdf-versie aart 0 j.w.welleman@tudelft.nl Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 iii

4 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. NI-SYRISCH N INHOOGN DOORSNDN In dee module wordt het eerder in -CH- geïntroduceerde veelmodel voor staven toegepast op niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. et de hier gepresenteerde aanpak is het mogelijk om spanningen en vervormingen te bepalen voor staven waarvan de doorsnede uit verschillende materialen bestaat inhomogeen en/of waarvan de geometrie geen smmetrie-as heeft niet-smmetrisch.. Schets van het probleem en aannamen De staven die tot nu toe ijn behandeld hadden tenminste één smmetrie-as en de doorsnede bestond uit één materiaal homogene doorsnede. et behulp van het veelmodel wordt de doorsnede opgebouwd gedacht uit tegen elkaar liggende veels evenwijdig aan de staafas die op hun plaats worden gehouden door een oneindig aantal starre vlakken doorsneden die loodrecht op dee veels staan. In figuur wordt dit model getoond met het aan te houden assenstelsel en de ligging van het Normaalkrachten Centrum NC. Voor een uitgebreide beschrijving van dit model wordt verween naar hoofdstuk van CH-. Figuur : Veelmodel en een doorsnede met één smmetrie-as. ls de doorsnede wordt belast op één buigend moment en een normaalkracht ullen de veels aan de trekijde verlengen en aan de drukijde verkorten. Vanwege het feit dat de doorsnede star is ullen de doorsneden vlak blijven. Dee aanname staat bekend als de hpothese van Bernouilli. In figuur a ijn de snedekrachten weergegeven en in figuur b de daardoor ontstane rekken in de veels. et de aanname dat de spanningen lineair afhankelijk ijn van de rek wet van Hooke kan met de rekverdeling de normaalspanningsverdeling in de doorsnede worden gevonden ie figuur c. N b c Figuur : Buiging en extensie in een homogene doorsnede met één smmetrie-as. C. Hartsuijker oegepaste echanica Deel Spanningen vervormingen verplaatsingen ISBN Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

5 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Op basis van dit model ijn in CH- de spanningsformules voor buiging en extensie afgeleid. ls de doorsnede echter niet-smmetrisch is en/of dee uit verschillende materialen bestaat ijn de gevonden spanningsformules niet geldig. Voorbeeld van dergelijke situaties ijn hieronder in figuur weergegeven. staal beton b c Figuur : Voorbeelden van niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden. In is sprake van een homogene niet-smmetrische doorsnede in b is sprake van een inhomogene doorsnede met één smmetrie-as en in c is sprake van een niet-smmetrische en inhomogene doorsnede. Naast het feit dat dee doorsneden niet-smmetrisch en/of inhomogeen ijn hebben we ook in het algemeen te maken met twee buigende momenten en een normaalkracht die in de doorsnede kunnen werken en leiden tot verlengingen en verkortingen van de veels in het veelmodel. De gebruikelijke definities voor de normaalkracht de buigende momenten en de verplaatsingen die kunnen ontstaan ijn in figuur weergegeven ie hiervoor ook paragraaf.. uit CH-. F ϕ ϕ x F ϕ F x F u x u u Figuur : Snedekrachten en verplaatsingen. x Ook kunnen er in twee richtingen natuurlijk dwarskrachten op de doorsnede werken maar die leiden in dit model niet tot rekken in de veels en ullen daarom aan het einde van dee module apart worden behandeld waarbij het schuifspanningsverloop in de doorsnede en het dwarskrachtencentrum van de doorsnede aan de orde komen. De centrale vraag in dit geheel is : Welke spanningen en rekken ontstaan t.g.v. extensie en buiging in een niet-smmetrische en/of inhomogene doorsnede? Om op dee vraag te kunnen beantwoorden kan de vraag worden opgedeeld in een aantal deelvragen waarmee stapsgewijs de puel kan worden ontrafeld. Dee deelvragen ijn : Hoe kunnen de rekken van de veels worden bepaald op basis van de verplaatsingen van de doorsnede? Hoe kunnen uit dee rekken de normaalspanningen in de veels worden bepaald? Welke snedekrachten horen bij de gevonden normaalspanningen? Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

6 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden In dee deelvragen wordt de standaard aanpak van de oegepaste echanica herkend: Belasting Spanningen Vervormingen Verplaatsingen F q N V ε u ϕ evenwichts- constitutieve kinematische relaties relaties relaties Figuur 5 : Relaties in de oegepaste echanica. Dee aanpak sluit naadloos aan op de eerder gevolgde aanpak van CH-. De daar genoemde aannamen gelden ook hier :. Vlakke doorsneden blijven vlak en staan owel voor als na vervorming van de staaf loodrecht op de veelrichting hpothese van Bernoulli. De doorsneden ijn dus oneindig stijf en daarom wordt in dit verband gesproken van de starre doorsnede.. De doorsneden ondergaan kleine rotaties ϕ <<. In de staaf heerst een lijnspanningstoestand volgt direct uit het gekoen veelmodel. De veels gedragen ich lineair elastisch : σ ε wet van Hooke In de hiervoor weergegeven afbeeldingen is gebruik gemaakt van een x-- assenstelsel. De x- as loopt daarbij altijd evenwijdig aan de staafas. De ligging van de doorsnede ligt vast met de x-coördinaat. In de doorsnede ligt de plaats van een veel vast met de - en -coördinaat. De x-as wordt altijd evenwijdig aan de veelrichting gekoen. Zoals weergegeven in figuur gaat de x-as door het Normaalkrachten Centrum NC van de doorsnede. Dit is een speciale keue waarvan we in de afleiding niet a priori vanuit ullen gaan. lle grootheden die binnen de doorsnede niet constant ijn worden als functies van en gepresenteerd. Het gaat dan bijvoorbeeld om de spanningen en rekken : ε σ In de afleiding die volgt al onderscheid gemaakt worden tussen homogene en inhomogene doorsneden waardoor de theorie stapsgewijs al worden opgebouwd. In een homogene doorsnede hebben alle veels deelfde elasticiteitsmodulus. In een inhomogene doorsnede kan de elasticiteitsmodulus afhankelijk van de plaats in de doorsnede variëren. Hiervoor geldt dan: Dat dee grootheden ook functies van x kunnen ijn wordt in de schrijfwije in het algemeen niet meegenomen. In de volgende paragrafen al dee aanpak voor extensie en buiging eerst voor nietsmmetrische en vervolgens voor inhomogene doorsneden worden uitgewerkt. Daarna al een algemene methode worden beschreven voor het bepalen van de kern van de doorsnede. De module wordt afgesloten met een methode voor de bepaling van de schuifspanningen t.g.v. buiging in niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

7 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. Homogene doorsneden De in figuur 5 geschetste relaties ullen eerst worden uitgewerkt voor een homogene doorsnede die niet-smmetrisch mag ijn... Kinematische betrekkingen De kinematische relaties leggen een verband tussen verplaatsingen en vervormingen. In een op buiging en extensie belaste staaf kan de doorsnede drie translaties en drie rotaties ondergaan : u x u u en ϕ x ϕ ϕ We maken daarbij gebruik van de eerder gemaakte afspraken ie figuur. ls de verplaatsing van de doorsnede beschreven kan worden met dee es vrijheidsgraden dan kan ook de verplaatsing u in de richting van de veel x-as in ieder willekeurig punt worden beschreven. Stel dat er een punt Px ligt in een doorsnede op afstand x van de oorsprong ie figuur 6. Figuur 6 : Punt Px in de doorsnede ls de doorsnede waarin P ligt in de x-richting u x verplaatst ϕ roteert om de -as en ϕ roteert om de -as dan kan de verplaatsing u in de richting van de veel in P worden beschreven met onder de aanname dat rotaties klein ijn ie paragraaf 5.. uit CH-l: u x u ϕ ϕ x In figuur 7 is dit verduidelijkt aan de hand van de verplaatste doorsnede gestippeld die vervolgens ook geroteerd is om de - en -as. De invloed daarvan op de verplaatsing u is in het ij- en bovenaanicht weergegeven. x x P x ϕ ϕ u x bovenaanicht ijaanicht Figuur 7 : Verplaatsingen in de veelrichting t.g.v. rotaties ϕ en ϕ. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

8 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Vanwege de aanname dat de rotaties klein ijn mogen hun invloeden worden gesuperponeerd. De verplaatsingsgrootheden u x ϕ en ϕ behoren bij de doorsnede waarin punt P ligt en ijn dus doorsnede gerelateerd en odoende alleen functies van x. nders geegd : De verplaatsing van een willekeurige veel in een doorsnede op coördinaat x wordt beschreven met dee drie verplaatsingsgrootheden. Nu de verplaatsing in de veelrichting is bepaald kan ook de rek in dee veel worden gevonden. r geldt immers: u x u x dux dϕ dϕ ε lim x 0 x x dx dx dx ε u ϕ ϕ x De rotaties ϕ en ϕ kunnen worden uitgedrukt in de verplaatsingsgrootheden u en u. Zie hiervoor figuur 7. du ϕ u dx du ϕ u dx Het tekenverschil is een direct gevolg van de definities van de rotaties ga dat elf na! De rek volgens in de veel door P kan nu worden geschreven als: ε u u u b x De rek in een veel is dus gelijk aan de rek in de veel die samenvalt met de x-as plus de rek ten gevolge van de buiging kromming om de - en -as van de veel langs de x-as. Uitdrukking b kan herschreven worden door de volgende vervormingsgrootheden van de doorsnede in te voeren: ε u x u ϕ u ϕ c Dee relaties worden de kinematische betrekkingen genoemd en leggen voor de doorsnede het verband tussen de vervormingsgrootheden en de verplaatsingsgrootheden. et de kinematische betrekkingen c kan de rek in een veel volgens b worden geschreven als: ε ε In figuur 8 is het rekverloop over de doorsnede weergegeven. Uit de aanname dat vlakke doorsneden vlak blijven volgt dat het rekverloop een vlak is waarvan de hellingen in in - en -richting respectievelijk en ijn. Hieruit volgt ook dat en constant moeten ijn over de gehele doorsnede. Figuur 8 : Rekverloop over de doorsnede. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 5

9 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Uit figuur 8 is tevens op te maken dat de positieve krommingen voor positieve waarden van en positieve rekken verooraken. Dit is geheel in overeenstemming met de definitie voor een positieve kromming oals dee eerder in CH- is ingevoerd.... Kromming De kromming van de staaf kan opgebouwd gedacht worden uit een kromming in het x--vlak en een kromming in het x--vlak. Dee krommingen worden aangeduid met respectievelijk en. Dit ijn de componenten van de vector. In figuur 9 is dit weergegeven. Het bewijs dat de kromming ich gedraagt als een tensor van de e orde wordt in bijlage gegeven. Figuur 9 : Kromming als vector. Dat de kromming een vector is houdt in dat dee een grootte en een richting heeft. ls tekenafspraak wordt aangehouden dat de pijl van de vector van de holle naar de bolle kant van de staaf wijst. ls de kromming in de doorsnede wordt weergegeven ontstaat figuur 0. Het vlak van de kromming wordt aangeduid met de letter k. k k Figuur 0 : angeven van de kromming in de doorsnede De grootte van de totale kromming is : De hoek die de kromming maakt met de -as wordt gedefinieerd als : tanα k Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 6

10 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden... Neutrale lijn et de uitdrukking voor het rekverloop over de doorsnede kan ook een uitdrukking gevonden worden voor de neutrale lijn. Immers per definitie geldt dat de rek nul is t.p.v. de neutrale lijn: ε ε 0 Om de neutrale lijn te kunnen tekenen is het handig om de snijpunten van de neutrale lijn met de coördinaat-assen te bepalen. De neutrale lijn snijdt de assen in de volgende punten. Snijpunt met de -as 0 : Snijpunt met de -as 0: ε ε In figuur is de neutrale lijn in het assenstelsel van een doorsnede getekend. k Figuur : Ligging van de neutrale lijn in de doorsnede Uit dee figuur blijkt dat het vlak k waarin de ligger kromt loodrecht staat op de neutrale lijn. De pijl voor de kromming wijst van de holle ijde kleinste rek naar de bolle ijde grootste rek in dit geval dus van de drukone naar de trekone. Opdracht : Geef het bewijs dat het vlak waarin de ligger kromt loodrecht staat op de neutrale lijn. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 7

11 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Constitutieve relaties voor homogene niet-smmetrische doorsneden In het gehanteerde veelmodel wordt uitgegaan van een lineair elastisch materiaalgedrag. De constitutieve relatie het verband tussen de spanning en de vervorming wordt in dit geval voorgesteld door de wet van Hooke : σ ε In een doorsnede wordt de rek en de spanning in een punt aangeduid met behulp van het gekoen assenstelsel: σ σ ; ε ε ls we ons hier beperken tot homogene doorsneden dan hebben alle veels in de doorsnede deelfde elasticiteitsmodulus en geldt : σ ε In de op extensie en buiging belaste doorsnede ullen de veels verlengen of verkorten. Het gedrag van de doorsnede wordt beschreven met de drie hiervoor ingevoerde vervormingsgrootheden die constant ijn voor de gegeven doorsnede: ε en Voor iedere veel in de doorsnede ligt hiermee de rek vast: ε ε Gebruik makend van het lineaire materiaalgedrag is hiermee ook de spanning in iedere veel van de doorsnede te bepalen: ε σ De relaties tussen de spanning in de veels in een doorsnede en de snedekrachten die op de doorsnede werken is op identieke wije te vinden als in.. van CH-. In figuur is dit nog eens weergegeven. Figuur : quivalente snedekrachten behorende bij normaalspanningen werkend op een kleine oppervlakte van de doorsnede Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 8

12 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Voor de normaalkracht N wordt gevonden: N σ d ε d d d ε d Voor de buigende momenten en levert dit: σ d σ d ε d ε d ε d ε d d d d In CH- werden de volgende doorsnedegrootheden gedefiniëerd waarmee de bovenstaande uitdrukkingen eenvoudiger kunnen worden weergegeven: d d S d S d I d I d I Hierin is de oppervlakte van de doorsnede S een oppervlaktemoment van de e orde statisch moment en I een oppervlaktemoment van de e orde traagheidsmoment. Voorbeelden t.a.v. dee grootheden ijn te vinden in hoofdstuk van CH-. I d De gevonden relaties tussen de snedekrachten N en werkend op de doorsnede en de vervormingen ε en behorende bij de doorsnede worden hiermee: N ε S ε S ε S S In matrixvorm kan dit worden genoteerd als: N S S S S ε erk op dat dee matrix smmetrisch is en dat de termen op de hoofddiagonaal positief ijn. ls van de veel samenvallend met de x-as de rek en de beide krommingen bekend ijn dan kunnen met behulp van de hierboven weergegeven relaties de snedekrachten worden bepaald. De bovenstaande matrix is een stijfheidsmatrix die het verband legt tussen gegeneraliseerde spanningen snedekrachten N en en gegeneraliseerde vervormingen ε en en is dus een constitutieve relatie die geldt voor een doorsnede. De afleiding hiervan is gebaseerd op de constitutieve relatie van de enkele veel. Uit het bovenstaande blijkt dat alle doorsnede-eigenschappen van de staaf kunnen worden toegedacht aan de ene veel langs de x-as. Dit bevestigt de opvatting dat een staaf kan worden geschematiseerd tot een lijnelement. ot nu toe werd er gewerkt in een volkomen willekeurig gekoen --assenstelsel. Door een bijondere keue van de ligging van dit assenstelsel kunnen de constitutieve vergelijkingen sterk worden vereenvoudigd. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 9

13 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Het is gebruikelijk om de oorsprong van het assenstelsel odanig te kieen dat de statische momenten S en S nul ijn. De oorsprong van het --assenstelsel wordt dan gekoen in het normaalkrachtencentrum van de doorsnede. Voor een homogene doorsnede valt het normaalkrachtencentrum samen met het waartepunt maar voor inhomogene doorsneden geldt dit niet. Dit al verderop in een voorbeeld worden toegelicht. ls de oorsprong van het --assenstelsel in het normaalkrachtencentrum NC wordt aangenomen ijn de statische momenten S nul en vereenvoudigen de constitutieve relaties: N ε extensie buiging Hieruit is op te maken dat een normaalkracht N aangrijpend in het normaalkrachtencentrum alleen leidt tot een rek en dat hierdoor geen krommingen ontstaan. Zie hiervoor ook paragraaf. uit -CH-. Uit de bovenstaande matrix blijkt dat er geen koppeling is tussen extensie en buiging. We kunnen het bovenstaande stelsel dus ook als volgt weergeven: N ε Nieuw element in dee gevonden relaties is de koppeling tussen buiging om de - en -as. Vergelijk maar eens de gevonden relaties uit paragraaf.. op bl 7 van CH-. De koppeling wordt verooraakt door het niet-smmetrisch hoeven ijn van de doorsnede.... omenten In figuur is een doorsnede met de snedekrachten voor buiging en extensie weergegeven. De momenten en die in dee doorsnede werken kunnen worden vervangen door een resulterend moment. Zo ontstaat de situatie van figuur b. Het resulterend moment werkt in een vlak dat wordt opgespannen door de werklijn m en de staafas. Figuur : Snedekrachten. Uit het bovenstaande blijkt dat en componenten ijn van een vector. Het bewijs dat het moment ich gedraagt als een tensor van de e orde is in bijlage gegeven. De componenten van kunnen ook met rechte pijlen worden aangegeven in het --vlak oals in figuur is weergegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 0

14 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De tekenafspraak die hier wordt aangehouden is dat de pijl van de momentresultante wijst van de drukone naar de trekone. drukone De grootte van het resulterende moment is : De hoek die het moment maakt met de -as wordt gedefinieerd als : tanα m trekone Figuur : Buigend moment als vector in het --vlak. Het is belangrijk te realiseren dat de rechte momentpijl werkt als de gebogen pijl oals in figuur 5 nog eens is aangegeven. drukone trekone Figuur 5 : wee mogelijke presentaties voor een buigend moment op een doorsnede.... igenschappen van de constitutieve relatie voor buiging Indien alleen wordt gekeken naar de onderstaande relatie voor buiging dan ijn er een aantal opmerkingen te maken. Zowel het moment als de kromming ijn tensoren van de e orde. Dit houdt in dat de stijfheidsmatrix die een relatie legt tussen de beide tensoren een tensor van de e orde is. Dee e orde tensor wordt de buigstijfheidstensor genoemd: De buigstijfheidstensor is een smmetrische matrix. r geldt namelijk: lle bekende transformaties die gelden voor e orde tensoren ijn dus van toepassing op de buigstijfheidstensor. Dit betreft bijvoorbeeld de transformatieformules bij een rotatie van het assenstelsel en het gebruik van de cirkel van ohr om op een grafische wije de hoofdrichtingen en hoofdwaarden te bepalen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

15 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De algemene relatie tussen het moment en de kromming is in figuur 5 geschetst. In dee figuur is ook de neutrale lijn weergegeven die oals eerder al is aangetoond loodrecht op de werklijn k van de kromming staat. De staaf kromt dus in het vlak dat wordt opgespannen door k en de staafas. Het buigend moment werkt met de normaalkracht in het vlak dat wordt opgespannen door m en de staafas. Dit betekent dat de op de doorsnede werkende belasting in dit vlak werkt. Daarom wordt in dit verband ook wel van het belastingsvlak gesproken. In het algemeen ullen en niet deelfde werklijn hebben. Dat betekent dat de staaf in een ander vlak kromt dan waarin de belasting werkt. oment en kromming kunnen alleen in hetelfde vlak werken als geldt: λ Dit resultaat levert met de constitutieve relatie: Figuur 6 : Presentatie van kromming en moment in het --vlak. λ λ 0 λ Hierin wordt het eigenwaarde probleem herkend oals dat al eerder werd beschreven bij het onderdeel hoofdwaarden en hoofdrichtingen van tensoren van de e orde. Uitwerken is hier dus niet meer nodig kromming en moment werken alleen in hetelfde vlak als dit vlak samenvalt met één van de beide hoofdrichtingen. Stel dat we het --assenstelsel roteren naar het hoofdassenstelsel van de doorsnede oals in figuur 7 is weergegeven. De constitutieve relatie in dit nieuwe assenstelsel is: 0 0 Figuur 7 : Hoofdrichtingen voor de buigstijfheid. erk op dat de niet-diagonaaltermen nul ijn we werken immers in de hoofdrichtingen. Hieruit volgt dat in de hoofdrichtingen de buigingcomponenten om de -en -as ontkoppeld ijn! er controle kan nog in het hoofdassenstel worden gekeken naar de relatie tussen het belastingsvlak en het krommingsvlak. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

16 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Dee kan worden geschreven als: tan α m tan α k Dee richtingen ijn inderdaad alleen gelijk als geldt: a α α 0; en vallen langs de -as een hoofdas m k b α m α k π ; en vallen langs de -as de andere hoofdas c ; α m α k In dit laatste geval ijn alle richtingen tevens hoofdwaarden want in de cirkel van ohr wordt dee situatie voorgesteld door één enkel punt ga dat elf na! V.. Statische betrekkingen Na de kinematische en constitutieve relaties resteren nog de evenwichtsrelaties. Dee statische betrekkingen ijn eerder in. van deel en.. van CH- aan de orde gekomen. en uitgebreide verhandeling kan daarom achterwege blijven. Van belang is dat een staafdeel niet alleen in het x--vlak maar ook in het x-vlak kan worden belast en dat de momenten en dwarskrachten componenten in owel de - als -richting hebben ie figuur 8. N q V q d d V d V NdN x V d V dx Figuur 8 : venwicht van een staafelementje. Op identieke wije als in de eerder genoemde paragrafen geldt: dn dx dv dx dv dx q x q q en en d dx d dx V V 0 0 d dx d dx q q Voor extensie en buiging vinden we op dee wije drie evenwichtsrelaties die het verband leggen tussen de uitwendige belasting en de snedekrachten die behoren bij extensie en buiging. dn qx 0; dx d q ; dx d dx q extensie buiging Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

17 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Differentiaalvergelijkingen et de gevonden kinematische- constitutieve- en evenwichtsbetrekkingen is het gedrag van een prismatisch lijnvormig element met een niet/smmetrische en-of inhomogene doorsnede te beschrijven in de verplaatsingen ux u en u van de staafas. Kinematica: dux ε ux ' ; dx Constitutieve vergelijking: d u u " ; dx d u u " dx N 0 0 venwichtsrelaties: 0 0 ε dn qx dx d q dx d q dx Substitutie van dee uitdrukkingen levert drie differentiaalbetrekkingen op uitgedrukt in de verplaatsingen in de richting van de x- - en -as.: u " q extensie x u u q '''' '''' u u q '''' '''' x dubbele buiging xtensie is ontkoppeld van de beide gekoppelde differentiaalbetrekkingen voor buiging. Dee laatste betrekkingen kunnen echter nog worden herschreven waardoor de onderstaande drie ontkoppelde differentiaalvergelijkingen ontstaan: qx ux " q q u "'' q q u "'' Op de gebruikelijke wije kan hiermee met bekende randvoorwaarden het verplaatsingsveld in x- - en -richting van de staafas worden bepaald. Let er wel op dat in de randvoorwaarden wel een koppeling kan voorkomen tussen u en u. Ga elf na dat indien het assenstelsel samenvalt met de hoofdassen de gebruikelijke differentiaalvergelijkingen voor de hoofdrichtingen ontstaan. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

18 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..5 Voorbeeld : Homogene niet-smmetrische doorsneden an de hand van een voorbeeld al de hiervoor gepresenteerde theorie worden toegelicht. In figuur 9 ijn twee doorsneden getekend waarvan de ligging van de neutrale lijn nl gegeven is. De ligging van dee neutrale lijn volgt uit de wije waarop de doorsnede wordt belast. Gevraagd wordt om voor de beide doorsneden de ligging van het belastings-vlak m te bepalen. a a -as nl nl 0 o a -as nl nl a -as -as Figuur 9 : Doorsnede met een gegeven ligging van de neutrale lijn. b Doorsnede van figuur 9a: De relatie tussen de neutrale lijn het krommingsvlak is vastgelegd met:. Neutrale lijn : ε ε 0. Krommingsvlak staat loodrecht op de neutrale lijn nl. De gegeven neutrale lijn gaat door het NC de rek in de veel langs de x-as is daarmee dus gelijk aan nul en er werkt dus ook geen normaalkracht op de doorsnede. r geldt in dit geval: 0 De helling van de neutrale lijn is gegeven en is 0 graden. Hieruit volgt: o α k 0 k tanα k Hierin is de werkelijke kromming oals aangegeven in figuur 0. De componenten van het buigend moment kunnen worden bepaald met: -as nl α k a nl 0 o a -as k Voor dee vierkante doorsnede geldt: I I a a ; I 0 Figuur 0 : Kromming en neutrale lijn. Invullen levert: a 0 0 Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 5

19 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De ligging van het belastingsvlak wordt vastgelegd met : a tanα m a Hieruit volgt dat het belastingsvlak m samenvalt met het vlak k waarin de ligger kromt. Dit komt overeen met de eerder gemaakt opmerking in paragraaf.. waarin is afgeleid dat m en k samen vallen indien het assenstelsel samenvalt met de hoofdassen of indien de doorsnede gelijke hoofdwaarden heeft. Dee doorsnede voldoet aan de laatste eis en daarmee ook aan de eerst genoemde eis. Doorsnede van figuur 9b: Ook van dee doorsnede is de ligging van de neutrale lijn gegeven. De aanpak is identiek aan het vorige voorbeeld. Voor het krommingsvlak geldt: α 90 k o tanαk ± 0 -as nl a α k k nl a Hierin is de werkelijke kromming oals aangegeven in figuur. De componenten van het buigend moment kunnen worden bepaald met: -as k Figuur : Kromming en neutrale lijn. Voor dee doorsnede geldt voor de traagheidsgrootheden ie CH- bl 0: I I I Invullen levert: 6 bh bh 6 tanα 9 a a a 0 9 a Voor het vlak m waarin de belasting werkt geldt: 9 a tanα a m 9 Figuur : Kromming en belasting. In figuur is te ien dat in dit geval het belastingsvlak m niet samen valt met het vlak k waarin de liggeras kromt. erk tevens op dat het verschil in hoek tussen de m-as en de k-as niet komt door torsie maar door dubbele buiging bij een niet-smmetrische doorsnede. -as nl α m m a α k k k -as m nl a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 6

20 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De doorsnede b uit het voorgaande voorbeeld met elasticiteitsmodulus is toegepast in een statisch onbepaalde ligger oals hieronder is weergegeven. De invloed van de normaalkrachtvervorming mag buiten beschouwing worden gelaten. q 8 kn/m -as a a 00 GPa 0 m x-as Figuur 9- : Liggerconstructie met doorsnede b -as doorsnede a 0 m Gevraagd wordt om de akkingslijn van dee constructie te bepalen onder alleen een gelijkmatig verdeelde last q. De buigstijfheidstensor van dee aan één ijde ingeklemde ligger is: i j 9 a Bij afweigheid van een normaalkracht en louter en alleen een verdeelde belasting in - richting resteren de volgende differentiaalbetrekkingen: q q q q u "'' a q q q q u "'' a De algemene oplossing voor het verplaatsingveld in - en -richting wordt hiermee: q x u C C x C x C x 6a q x u D D x D x D x 8a De acht randvoorwaarden voor dit probleem ijn eenvoudig te definiëren: x 0 : u 0; u 0; ϕ 0; ϕ 0 x l : u 0; u 0; 0; 0 Hieruit volgt voor de integratieconstanten ie PL invoer op volgende pagina: ql 5ql 0 0 C C C C a a ql 5ql 0 0 D D D D 6a 6a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 7

21 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De PL invoer is hieronder weergegeven. > restart; > :/9**a^; :/*; :; > u:cc*xc*x^c*x^-q*x^/6**a^; > u:dd*xd*x^d*x^q*x^/8**a^; kappa > phi:-diffux: phi:diffux: kappa:diff-phix: kappa:diffphix: > :*kappa*kappa: :*kappa*kappa: > x:0; eq:u0; eq:u0; eq:phi0; eq:phi0; > x:l; eq5:u0; eq6:u0; eq7:0; eq8:0; > sol:solve{eqeqeqeqeq5eq6eq7eq8}{ccccdddd}; assignsol; > x:'x': q:8;l:0; :00e6; a:0.; > plot[--]x0..ltitle"omenten en "legend[""""]; > plot[uu]x0..ltitle"verplaatsing u en u"legend["u""u"]; De momentenlijnen en de akkingslijnen ijn hieronder weergegeven. Vanwege de belasting in -richting en de gehanteerde randvoorwaarden ontstaat er alleen een momentenverdeling in het x--vlak. Het maximum inklemmingsmoment is 05 q l 00 knm. Vanwege de niet-smmetrische doorsnede ontstaan er uitbuigingen in owel het x--vlak als het x-vlak. omenten en [knm] Zakking u and u u [m] Figuur 9- : Resultaten voor en u voor doorsnede b Opmerking: Op het eerste geicht lijken de gevonden differentiaalvergelijkingen volledig ontkoppeld. chter met name eventuele dnamische randvoorwaarden laten een koppeling ien: u '' u ''; V ' u '' u ''; V ' Bij het specificeren van de randvoorwaarden dient met hier orgvuldig mee om te gaan ie ook PPNDIX B. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 8

22 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..6 Normaalspanningen in de doorsnede in het --assenstelsel ls voor een doorsnede de snedekrachten N en bekend ijn kunnen met behulp van de constitutieve betrekkingen de vervormingen worden bepaald: N ε N ε De spanning in een veel kan worden bepaald met de eerder afgeleide betrekking: ε σ ε In het algemeen is het niet invol om de relatie verder uit te schrijven tot een betrekking tussen spanning en snedekrachten. r ijn echter twee gevallen waarvoor het wel illustratief is om de relatie verder uit te werken. Situatie : De - en -as vallen samen met de hoofdrichtingen van de doorsnede ls het --assenstelsel samenvalt met de hoofdassen van de doorsnede ijn de drie snedekrachten volledig ontkoppeld. De vervormingsgrootheden kunnen dan worden bepaald met: N N ε ε De spanningsverdeling wordt hiermee: σ σ ε N I I ε Situatie : Het - en -assenstelsel is o geöriënteerd dat één van de krommingen nul is In het geval dat bijvoorbeeld de component in de -richting van de kromming nul is ontstaat de volgende situatie: N ε met : 0 en Voor het spanningsverloop wordt nu gevonden: N σ ε ε 0 I erk op dat de component niet voorkomt in de formule voor het bepalen van de spanning en dat hoewel de kromming wel nul is het moment dat niet is! Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 9

23 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..7 Normaalspanningen in de doorsneden in de hoofdrichtingen In de vorige paragraaf is een methode weergegeven waarmee direct in het gekoen -assenstelsel de normaalspanningen in de doorsnede kunnen worden bepaald. Hoewel dee aanpak de voorkeur geniet wordt in de praktijk dee methode weinig gebruikt. In veel gevallen wordt dan gekoen om de spanningen te bepalen in de hoofdrichtingen van de doorsnede. Het --assenstelsel wordt dan geroteerd naar het -assenstelsel dat samenvalt met de hoofdrichtingen van de doorsnede. In paragraaf... is aangetoond dat in dit assenstelsel de constitutieve betrekkingen voor buiging ontkoppeld ijn in verband met het nul ijn van de definitie van een hoofdrichting. 0 0 In feite ontstaat door rotatie van het assenstelsel situatie oals is beschreven op de voorgaande bladijde. De spanningsformules in het hoofdassenstelsel worden nu: N σ I I Het voordeel van dee eenvoudige formule wordt te niet gedaan door extra werk dat verricht moet worden: a In de eerste plaats ullen van de doorsnede de hoofdrichtingen en hoofdwaarden moeten worden bepaald. Dit kan op basis van de transformatieformules of met behulp van een cirkel van ohr. b Vervolgens moet de belasting het moment worden ontbonden in de gevonden hoofdrichtingen. c Voor het bepalen van de spanningen in bijvoorbeeld de uiterste veels ullen de afstanden tot dee veels moeten worden bepaald in het geroteerde assenstelsel. d ls ook de vervormingen dienen te worden bepaald dan moet gerealiseerd worden dat de gevonden krommingen krommingen ijn in het geroteerde assenstelsel. De grootte van de kromming is uiteraard een invariant maar voor het vinden van de krommingen in het oorspronkelijke --assenstelsel al de gevonden kromming geroteerd moeten worden van het -assenstelsel naar het oorspronkelijke --assenstelsel. Het verschil in aanpak al in een voorbeeld worden toegelicht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 0

24 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..8 Voorbeeld : Spanningen in een niet-smmetrische doorsnede De in figuur a weergegeven vrij opgelegde stalen ligger wordt belast met de aangegeven puntlasten. r al geen normaalkracht ontstaan in de doorsnede. angenomen wordt dat de puntlasten aangrijpen in het dwarskrachtencentrum van de doorsnede. Hierdoor ontstaat geen wringing in de doorsnede ie hiervoor paragraaf 5.5 van CH-. De puntlasten verooraken wel een buigend moment in de ligger. We gaan ervan uit dat het gegeven hoekstaal in combinatie met de belasting geen aanleiding geeft tot instabiliteitsverschijnselen oals kip en plooi. 7 kn F 7 kn 750 mm 750 mm 9 kn 0000 N/mm x-as -as 567 mm F 9 kn NC 58 mm -as t 0 mm 50 mm Constructie met belasting 75 mm Figuur : Op buiging belaste doorsnede. b Doorsnede Gevraagd wordt de spanningen en de vervormingen in de middendoorsnede te bepalen voor de gegeven belasting. Ook wordt gevraagd om voor de gegeven belasting de verplaatsing van de staafas halverwege de overspanning te bepalen. ethode : Berekening in het --assenstelsel De belasting verooraakt in de middendoorsnede een buigend moment met componenten: F l F l Nmm Nmm Dee componenten grijpen aan in het NC van de doorsnede. De ligging van het NC en de traagheidsgrootheden kunnen bepaald worden oals beschreven in hoofdstuk van CH-: NC NC bovenrand rechterrand mm mm Dee afstanden ijn in figuur b aangegeven. De traagheidsgrootheden t.o.v. het --assenstelsel door het NC worden hiermee : I I I Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

25 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Hieruit volgt: I I 89 0 mm ; I 75 0 mm ; mm De kromming kan met behulp van de constitutieve betrekking worden bepaald. De componenten van de kromming in het --assenstelsel volgen uit: Invullen van de bekende gegevens levert: Uitwerken levert voor de componenten van de kromming: /mm /mm De spanning in ieder willekeurig punt van de doorsnede kan nu bepaald worden met: ε σ ε In de doorsnede werkt geen normaalkracht hierdoor ontstaat er ook geen rek ε in de veel die samenvalt met de staafas NC. De vergelijking voor de spanning wordt hiermee: σ Uit dee vergelijking volgt direct de ligging van de neutrale lijn: nl B Het normaalspanningsverloop over de doorsnede kan nu worden bepaald door voor een aantal punten de normaalspanning te bepalen ie figuur. -as C NC 567 In de onderstaande tabel ijn de uitkomsten verameld. punt mm mm σ N/mm B C D Ook de ligging van de neutrale lijn is in figuur weergegeven. Hieruit blijkt dat de punten C en B de uiterste punten tot de neutrale lijn ijn en daarmee ook de punten met grootste trek en drukspanningen in de doorsnede. et dee informatie is snel een spanningsverdeling over de doorsnede te tekenen. maten in mm -as t 0 D nl 5 N/mm Figuur : Karakteristieke punten. - N/mm 50 Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

26 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden et de bekende krachtsverdeling is het mogelijk de vervormingen van de constructie te bepalen. ot nu toe ijn we gewend om met behulp van de vergeet-mij-nietjes dee berekening op een praktische methode uit te voeren. Bij niet-smmetrische doorsneden ontstaat hier echter een probleem. Indien het gekoen assenstelsel niet samenvalt met de hoofdrichtingen van het profiel dan kan buiging om de -as en buiging om de -as niet worden ontkoppeld oals eerder is aangetoond. De praktische methode op basis van vergeet-mij-nietjes is echter gebaseerd op een ontkoppeling: In figuur 5 wordt dit nog even opgefrist. F Fl Figuur 5 : Grondslag voor de vergeet-mij-nietjes. θ l l x-as l θ w θ w Fl Fl l Fl l θ In feite werd er steeds van uitgegaan dat het gereduceerde momentenvlak / gelijk is aan de kromming oals in figuur is toegepast. Voor niet-smmetrische doorsneden waar het assenstelsel niet samenvalt met de hoofdrichtingen geldt echter voor de beide krommingen: Hieruit volgt dat we geen gebruik kunnen maken van de vergeet-mij-nietjes maar dat direct gebruik moet worden gemaakt van de krommingen in - en -richting. De verdeling van dee krommingen langs de staafas is bekend. In figuur 6 is dit weergegeven. et de stellingen van het krommingsvlak kunnen nu de verplaatsingen in - en -richting worden bepaald op de methode oals is beschreven in paragraaf 8. van CH-. -as -as ϕ ϕ l l θ θ B B x-as x-as /mm /mm -as -as ϕ ϕ 6 l 6 l l l θ θ B B x-as /mm x-as /mm Figuur 6 : Kromming en verplaatsing in --assenstelsel. et de eis dat de verplaatsingen u en u in B nul moeten ijn ijn de hoekverdraaiingen ϕ en ϕ in te bepalen. Vervolgens kunnen daarmee de verplaatsingen in C worden bepaald: ϕ ϕ l θ l θ l 0 l 0 ϕ ϕ u u C C ϕ ϕ l θ l θ 6 l 768 mm 6 l 7 mm Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

27 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden ethode : Berekening in het hoofdassenstelsel van de doorsnede De spanningen in de punten t/m kunnen ook worden bepaald in het hoofdassenstelsel. Hieronder al dee berekening worden weergegeven. Voor dee berekening is het noodakelijk eerst de hoofdtraagheidsmomenten en de hoofdrichtingen te bepalen. Hiervoor kan gebruik gemaakt worden van b.v. de transformatieformules of de cirkel van ohr. Beiden ullen hieronder worden gedemonstreerd. Voor de traagheidsmomenten in het --assenstelsel is eerder gevonden: I I 89 0 mm ; I 75 0 mm ; mm et behulp van de transformatieformules kunnen de hoofdtraagheidsmomenten worden bepaald: I I I I ± I I mm ; I I 6 0 mm De hoofdrichtingen wordt bepaald met : I tan α α 7 ; 87 I I o o Hetelfde resultaat kan ook worden gevonden met behulp van de cirkel van ohr. Hieronder is de cirkel van ohr voor de traagheidsgrootheden getekend. I 5 0 mm I ; I o 8 7 R.C. 5 0 mm r o I I m 7 I I I ; I I Figuur 7 : Cirkel van ohr voor de traagheidsgrootheden. De gevonden richtingen kunnen nu worden overgeet naar de doorsnede. In figuur 8 is dit weergegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0

28 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden 5 B C 6 -as maten in mm NC -as t 0 D e e e e cos7 sin7 5 6 sin7 597 cos Figuur 8 : Hoofdrichtingen van de doorsnede. De spanningen in de aangegeven punten kunnen nu worden bepaald met behulp van de eerder gevonden uitdrukking die geldig is in het assenstelsel dat samenvalt met de hoofdrichtingen en : e e σ I I Uit dee vergelijking is op te maken dat de ligging van het punt wordt aangegeven in het -- assenstelsel met de excentriciteiten e en e. Dee moeten dus voor alle punten worden bepaald m.b.v. de gebruikelijke formules voor assentransformaties. Voor punt is dat in figuur 7 aangegeven. Ook de belasting momenten moeten worden ontbonden in de -- richting. aak elf een schets en ga na dat moet gelden: sin7 cos7 cos sin Nmm Nmm In de onderstaande tabel ijn de excentriciteiten voor de punten weergegeven waarmee de spanningen in ieder punt kunnen worden bepaald. Ga dee berekening elf na en let goed op de tekens van de excentriciteiten. punt mm mm e mm e mm σ N/mm B C D De gevonden waarden komen overeen met de eerder gevonden spanningen. In de hoofdrichtingen ijn buiging om de - en -as ontkoppeld en kunnen de verplaatsingen in de --richtingen nu wel met behulp van de vergeet-mij-nietjes worden bepaald. Vervolgens moeten de gevonden verplaatsingen terug worden getransformeerd naar het oorspronkelijke --assenstelsel. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 5

29 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Om de verplaatsingen te kunnen bepalen moet de belasting getransformeerd worden naar de hoofdrichtingen: F F F F sin7 F cos7 F cos N sin7 556 N De verplaatsing u en u in de hoofdrichtingen ijn op basis van het vergeet-mij-nietje : u u Fl 8 Fl ransformatie naar het --assenstelsel levert: 5 mm 860 mm u u C C u u sin 7 u cos 7 u cos mm sin 7 7 mm De totale verplaatsing van punt C wordt hiermee: u C mm Dee antwoorden komen overeen met de eerder gevonden verplaatsingen. In figuur 9 is de vervormde constructie geschetst. -as 750 mm -as 7 kn 768 mm 750 mm 7 mm 9 kn 0000 N/mm x-as Opdracht: Geef in een schets van de doorsnede de ligging aan van : het krommingsvlak het belastingsvlak de neutrale lijn de hoofdrichtingen Leg in een korte omschrijving uit wat dee begrippen betekenen. Figuur 9 : Vervormde constructie. Conclusie erk op dat er meer transformaties nodig ijn om de spanningen te bepalen ook de ligging van de neutrale lijn is niet eenvoudig met dee methode te bepalen. Wel kunnen op een snelle manier met behulp van de vergeet-mij-nietjes de verplaatsingen in de hoofdrichtingen worden bepaald. Dee verplaatsingen moeten echter ook weer getransformeerd worden naar het oorspronkelijke assenstelsel. In de ingenieurspraktijk worden dee doorsnede berekeningen allemaal uitgevoerd door computerprogramma s of spreadsheets waardoor het bewaar van het aantal transformaties komt te vervallen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 6

30 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 7. Uitbreiding van de theorie voor inhomogene doorsneden ls de veels in de doorsnede niet allemaal van hetelfde materiaal ijn en daardoor verschillende elasticiteitsmoduli hebben spreken we van een inhomogene doorsnede. In een inhomogene doorsnede is de elasticiteitsmodulus afhankelijk van de plaats in de doorsnede: en opichte van de afgeleide theorie voor homogene doorsneden is dit de enige verandering. Het inhomogeen ijn van de doorsnede komt dus niet tot uiting in de kinematische vergelijkingen en ook niet in de evenwichtsbetrekkingen maar uitsluitend in de constitutieve betrekkingen en de daarmee samenhangende spanningsformules. De constitutieve relatie het verband tussen de spanning en de vervorming wordt in dit geval voorgesteld door de wet van Hooke : ε σ In de op extensie en buiging belaste doorsnede ullen de veels verlengen of verkorten. De kinematische betrekkingen veranderen niet waardoor het rekverloop over de doorsnede nog steeds kan worden beschreven met de drie vervormingsgrootheden die constant ijn voor de gegeven doorsnede : ε Voor iedere veel in de doorsnede ligt hiermee de rek vast: ε ε De spanning in de veel wordt nu beschreven met: ε σ De spanningsverdeling over de doorsnede is nu niet meer lineair. Hiermee moet rekening worden gehouden bij het uitwerken van de snedekrachten. Voor de normaalkracht N wordt gevonden: d d d d d N ε ε σ Voor de buigende momenten en levert dit: d d d d d d d d d d ε ε σ ε ε σ

31 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Het verschil met de eerdere uitwerking in paragraaf. is dat de elasticiteitsmodulus een functie van en is die onder het integraalteken moet blijven. Om tot handelbare betrekkingen te komen worden de volgende doorsnedegrootheden gedefiniëerd: d d S d S d d d De op de vorige bladijde gevonden relaties tussen de snedekrachten N en werkend op de doorsnede en de vervormingen ε en behorende bij de doorsnede worden hiermee: N ε S ε S ε S S In matrixvorm kan dit worden genoteerd als: N S S S S ε Op het eerste geicht lijkt dee relatie sprekend op die voor homogene doorsneden. r is echter een groot verschil. De componenten van de hierboven weergegeven matrix moeten als twee-letter-smbolen worden geleen. De term bijvoorbeeld is dus niet het resultaat van de vermenigvuldiging van met maar de aanduiding voor: d De overeenkomst met de afleiding voor de homogene doorsnede is echter overduidelijk. ls het assenstelsel in het normaalkrachtencentrum NC van de doorsnede wordt gekoen dan geldt definitie van het NC: S S d 0 d 0 De gevonden constitutieve relaties worden hiermee vereenvoudigd tot: N ε basisformule Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 8

32 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Door dee gelukkige keue van het assenstelsel worden de gevallen van buiging en extensie ontkoppeld. Voor het bepalen van de spanningen in de doorsnede ten gevolge van bekende snedekrachten worden met het bovenstaande stelsel eerst de drie vervormingsgrootheden bepaald. Vervolgens kan op iedere plaats in de doorsnede de rek worden bepaald met: ε ε basisformule Voor de bepaling van de spanningen in de doorsnede moet terug worden gegrepen op de basisvergelijking: σ ε basisformule Dee werkwije is in het onderstaande schema nog eens weergegeven. - bepaal NC - bepaal - bepaal voor de doorsnede de snedekrachten N en - bepaal voor de doorsnede de vervormingsparameters ε basisformule - bepaal het rekverloop - bepaal het spanningsverloop basisformule basisformule Figuur 0 : Berekeningsschema. Omdat de elasticiteitsmodulus over de doorsnede kan variëren is het spanningsverloop nu niet gelijkvorming aan het rekverloop oals wel het geval is bij homogene doorsneden. Het is nu dus niet mogelijk om één algemeen geldende spanningsformule af te leiden oals wel het geval was voor de homogene doorsnede. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 9

33 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Ligging van het NC voor inhomogene doorsneden et de ligging van het NC wordt tevens een verschil met de homogene doorsnede aangeroerd. Voor de ligging van het NC voor de inhomogene doorsnede geldt dat de S en de S t.o.v. het NC nul moeten ijn. Op een analoge manier als voor homogene doorsneden kan met behulp van de verschuivingsregel de ligging van het NC worden bepaald. et behulp van figuur wordt dit hieronder toegelicht. NC NC NC d Figuur : Gewogen statisch moment van de doorsnede. -assenstelsel waarin NC In het verschoven normaalkrachtencentrum NC ijn geldt: NC NC Voor het gewogen statisch moment geldt: en NC de coördinaten van het S S d d d d NC NC d S d S NC NC angeien het --assenstelsel door het normaalkrachtencentrum gaat geldt per definitie: S 0; S 0 De ligging van het normaalkrachtencentrum volgt hiermee uit: NC NC S S an de hand van een voorbeeld al dit worden toegelicht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0 0

34 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Voorbeeld : Normaalkrachtencentrum versus waartepunt en rechthoekige doorsnede bestaat uit twee materialen en. Beide materialen hebben deelfde massadichtheid maar hebben verschillende elasticiteitsmoduli. NC ateriaal : a NC NC a ateriaal : a Figuur : Rechthoekige inhomogene doorsnede. De ligging van het normaalkrachtencentrum NC t.o.v. het -assenstelsel wordt bepaald op deelfde wije als voorheen bij homogene doorsneden maar nu onder gebruikmaking van de dubbel-letter-smbolen. Verticaal: S a a a a a a a a a a a a a 6a 5 NC 6 9a a Horiontaal: NC S a a a a a a a a a a a a a a 9a a angeien beide materialen deelfde massadichtheid hebben al het waartepunt van de doorsnede t.o.v. het -assenstelsel liggen op: ZW ZW a a 6 NC Bij inhomogene doorsneden vallen dus het waartepunt en het normaalkrachtencentrum niet samen en het is dus van belang goed onderscheid te maken tussen dee beide begrippen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman aart 0