ANTWOORDEN CONSTRUCTIEMECHANICA 4. Doorsnedegrootheden

Transcriptie

1 NTWOORDEN Doorsnedegrootheden.1.1 a) met de oorsprong van het assenstelsel in punt : Z (00; 6,5) mm b) I zz 9,1 x 10 8 mm 4 I 5, x 10 8 mm 4 I z I z 0 c) met behulp van de irkel van Mohr: I zz I, x 10 8 mm 4 I z I z -6,9 x 10 8 mm 4 d) I z z 149,4 x 10 8 mm 4 I 89, x 10 8 mm 4 I z I z 84 x 10 8 mm 4.1. ) (linker doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksonder: Z (-0; -0) mm b) met behulp van de irkel van Mohr I zz 54 x 10 4 mm 4 I 7 x 10 4 mm 4 I z I z 7 x 10 4 mm 4 c) α 1-1,7 α 8, d) I 1 70,7 x 10 4 mm 4 I 10, x 10 4 mm 4 ) (middelste doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksonder Z (-0; -0) mm b) met behulp van de irkel van Mohr I zz 54,0 x 10 4 mm 4 I 11,5 x 10 4 mm 4 I z I z -40,5 x 10 4 mm 4 c) α 1-5,1 α 44,9 d) I 1 140,5 x 10 4 mm 4 I 5,0 x 10 4 mm 4 Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 1

2 ) (rechter doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksonder Z (-40; -0) mm b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz 54 x 10 4 mm 4 I 94,4 x 10 4 mm 4 I z I z -1,5 x 10 4 mm 4 c) α 1-16,9 α 5,1 d) I 1 98,5 x 10 4 mm 4 I 49,9 x 10 4 mm 4.1. b) I z z 1/4 bh.1.4 ) (linker doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksboven Z (-5; 11,667) mm b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz 10,75 x 10 4 mm 4 I,75 x 10 4 mm 4 I z I z 6 x 10 4 mm 4 c) α 1,5 α 9,5 d) I 1 5, x 10 4 mm 4 I 8, x 10 4 mm 4 ) (rechter doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksboven Z (-50; 40) mm b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz 6, x 10 4 mm 4 I 141,7 x 10 4 mm 4 I z I z -11,6 x 10 4 mm 4 c) α 1,6 α 0,6 d) I 1 47,5 x 10 4 mm 4 I 57,5 x 10 4 mm ) (linker doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksboven Z (-/a; a) b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz 4,667 I,667 I z I z 0 c) α 1 0 Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016

3 α 70 d) I 1 4,667 I,667 e) voor α -45, I z I z voor α 5, I z I z - ) (rechter doorsnede) a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt linksboven Z (-a; a) b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz 4,667 I 1, I z I z - c) α 1 5,1 α 95,1 d) I 1 5,6 I 0,4 e) voor α 45, I z I z -,6 voor α 15, I z I z,6.1.6 a) met de oorsprong van het assenstelsel in het hoekpunt rechtsonder Z (100; -150) mm b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz 10 x 10 6 mm 4 I 10 x 10 6 mm 4 I z I z 80 x 10 6 mm 4 c) α 1-0, α 9,7 I 1 57 x 10 6 mm 4 I 7, x 10 6 mm 4 Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016

4 Normaalspanningen bij buiging..1 Fl 6 Fl + z 7 twee willekeurige punten: z -0,5a 0,758 Fl Fl z 0,5a +0,758.. a) eenheden N, mm :,0677 0,66560z b) n.l., 0, z -,9956, α -7,1 c) α k 16,9.. ) (linker doorsnede) a) n(α m ) 4/, α m 5 (uitwerking beschikbaar bij Studentssistenten) b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz,41 x 10 6 mm 4 I 5,97 x 10 6 mm 4 I z I z,56 x 10 6 mm 4 α 1 1,7 α 01,7 c) n(α m ) 4/, α m 5 ) (rechter doorsnede) a) n(α m ) -16/9, α m -60,6 b) met behulp van de irkel van Mohr: I zz,41 x 10 6 mm 4 I 5, x 10 6 mm 4 I z I z -1,9 x 10 6 mm 4 α 1-1,7 α 8, c) n(α m ) -16/9, α m -60,6..4 n(α m ) -h/b (Dit is de andere diagonaal!!!) > resrt; > M:(1/)*F*L; > Mz:-(1/)*sqrt()*F*L; > I:*(1/1)*t*a^; > Izz:(1/1)*t*a^+*t*a*((1/)*a)^; > kappa:m/(e*i); > kappaz:mz/(e*izz); > sigma:e*(kappa*+kappaz*z); > :-(1/)*a; z:; evalf(sigma); > :(1/)*a; z:; evalf(sigma); > resrt; units N, mm: > zn:(40*4*+56*4*(4+8))/(40*4+56*4); > I:(1/1)*4*40^+(1/1)*56*4^; > Izz:(1/1)*40*4^+(40*4*(zN- )^)+(1/1)*4*56^+4*56*(8+4-zN)^; > M:100e: M:-(1/5)*sqrt(5)*M: Mz:- (/5)*sqrt(5)*M; Note : Sign is lost but load situation is given, so M and Mz are both negative! > kappa:m/(e*i); kappaz:mz/(e*izz); > evalf(kappa/kappaz); > alphak:evalf( (180/Pi)*arcn(kappaz/kappa) ); > alphan:alphak-90; > sigma:simplif(evalf(e*(kappa*+kappaz*z))); > :0: z:'z': plot(sigma,z-zn..(60-zn)); > z:0: :'': plot(sigma,-0..0);..5 Deze opgave is het makkelijkste wanneer eerst b) uitgerekend wordt! b) 0,5, punt : -0 Mpa a) M 509 Nm, α m -45 (krachtlijn door zwaartepunt en punt!) Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 4

5 ..6 F z 14,6 x 10-5,7F (N) F z,max,17 kn F,max,17 kn..7 I zz 4,9 x 10 9 mm 4 I 1,7 x 10 9 mm 4 I z I z 1, x 10 9 mm 4 Verschillende mogelijkheden: MPa F 50 MPa M 40 KNm M z 987 KNm - 50 MPa E + 70 MPa zelf doen - D + 70 MPa F 50 MPa zelf doen..8 a) b) n.l. + z 0 c) I loodrecht op nl 7..9 a) + 15 MPa 8, MPa P Q b) Dwarskrachtencentrum D valt samen met Q en wringend moment is: M Nmm (rechtsom) c) gebruik pseudo-load: t F * * Fz N; N; results in * * Fz l z EIzz F l u.47 mm; u mm; u 6.75 mm EI d) neutrale lijn: + 5z 0, in snijpunt met verticaal deel QP: R ( a) 1 M ( a) RM ( ) N 500 τ.5 N/mm Merk op: gebruik aanduiding τ als geen tekeninformatie wordt gevraagd...10 N + 59 N + 79 MPa maximum τ 1.4 MPa (dunwandig) M t 46,16 Nm (rechtsom) 1000 De complete MPLE-invoer voor dit probleem is op de volgende bladzijde gegeven. Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 5

6 > resrt; > L:000; a:100; t:10; Fz:1000; > Es:.1e5; with respect to corner point in cross section, NOT thin walled: > :a*t+(a-t)*t; E:Es*; > zn:((a*t*a/)+(a-t)*t*(t/))/; zn:evalf(round(%)); > N:(a*t*a/+(a-t)*t*t/)/; N:evalf(round(%)); > Izz:(1/1)*t*a^+a*t*((a/)-zN)^+(1/1)*(a-t)*t^+(at)*t*(N-t/)^; > I:Izz; evalf(%); > Iz:a*t*(N-t/)*(zN-(a/))+(a-t)*t*(-t-(a-t)/+N)*(zNt/); evalf(%); > EI:Es*I: EIz:Es*Iz: EIzz:Es*Izz: > F_pseudo:(EIzz*EI*F-EIz*EI*Fz)/(EI*EIzz-EIz^); > Fz_pseudo:(-EIz*EIzz*F+EI*EIzz*Fz)/(EI*EIzz-EIz^); no displacement in -direction, so F-pseudo MUST be zero!! -> solve actual F > eq:f_pseudo0; F:solve(eq,F); > V:sqrt(F^+Fz^); > M:-F*L; Mz:-Fz*L; M:sqrt(M^+Mz^); > eps:0; > kappa:(1/(ei*eizz-eiz^))*(eizz*m-eiz*mz); > kappaz:(1/(ei*eizz-eiz^))*(-eiz*m+ei*mz); > strain:eps+kappa*+kappaz*z: stresses in outer fibres (top and bottom since n.a. runs horizonl through N): > :N; z:-a+zn; SigmaTop:Es*strain; > :N; z:+zn; SigmaotEs*strain; displacements of Z: > u:f_pseudo*l^/(*ei); > uz:fz_pseudo*l^/(*eizz); > u:sqrt(u^+uz^); shear stress (thin walled): (where neutral axis intersects with vertical part of the cross section) > RM:(1/)*(a-zN)*t*SigmaTop; > u:rm*v/(t*m); > Mt:Fz*N-F*9; Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 6

7 Normaalspanning bij buiging met normaalkracht..1 a) In D xx +1 MPa In xx - MPa (nl 0) b) In D xx +.5 MPa In xx -.5 MPa (nl + 6z ).. a) In xx MPa nl: 55 b) In xx MPa nl: 4 + z ) (linker doorsnede) a) N 1/4 hb b) k 0 z k -1/ h ) (rechter doorsnede) a) N a b) k 1/4a z k -1/a Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 7

8 Inhomogene doorsneden belast op buiging.4.1 a) s MPa b MPa b) L 0.17 mm c) N max 660 kn (beton maatgevend).4. a) N 188 kn (beton maatgevend) b) N verticaal in het midden horizonal op 6.5 mm van de linker zijde.4. a) Met assenstelsel oorsprong rechts boven in de hoek. -as naar links en z-as naar beneden: zwaartepunt 6.41 mm z mm b) F 1 kn, materiaal 4 is maatgevend Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 8

9 Inhomogene doorsneden belast op buiging.5.1 a) F 67 N b) F 808 N c) F 1 N d) F 60 N.5. Van boven naar beneden In 1 van 60 naar 4 (rechte lijn) In van naar -16 In van 0 naar 80 lles in N/mm N.. bij de overgangen tussen materialen dus sprongen in het spanningsdiagram.5. κ z 0.1 m -1 ε T,55 x 10 - Spanningsverdeling van boven naar beneden: In 1 van +,6 tot 51, In van +,05 tot 5,6 lles in N/mm N.. bij de overgangen tussen materialen dus sprongen in het spanningsdiagram.5.4 a) e z 0 mm (geen buiging in z richting) e - 17 mm b) F -66 kn.5.5 Spanning hangt af van de rekken. We nemen de rek bovenin ε 1 als referentie. Spanning boven in is ε onderin is ε in wapeningssal is ε alles in N/mm.5.6 Lengte van drukzone 58 mm Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 9

10 Kern.6.1 a) + b) De kern besat uit een driehoek waarvan de drie hoekpunten t.o.v. van het zwaartepunt zijn 1) e -1/1 a e z 1/1 a ) e - 1/1 a e z - 1/6 a ) e + 1/6 a e z + 1/1*a c) /8 M/a -/8 M/a 0 (op neutrale lijn) d) krachtlijn maakt hoek van +7 graden met de -as en gaat door punt.6. a) kern besat uit een vierhoek met de hoekpunten t.o.v. N 1) e 0 e z + 1/15 a ) e 0 e z - 1/15 a ) e + 1/0 a e z 0 4) e - 1/0 a e z 0 b) kern besat uit een vierhoek met de hoekpunten t.o.v. N 1) e 0 e z + 4/7 a ) e 0 e z - 4/7 a ) e + 1/4 a e z 0 4) e - 1/54 a e z 0 c) kern besat uit een vierhoek met de hoekpunten t.o.v. N 1) e - 147/550 a e z - 7/510 a ) e - 1/4 a e z + 7/16 a ) e + 91/50 a e z - /5 a 4) e + 1/6 a e z -7/4 a.6. ) (linker doorsnede) a) I 48 en I 85 zz Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb

11 kern besat uit een driehoek met de hoekpunten t.o.v. N 1) e 0 e z + 1/5 a ) e + 85/198 a e z - /11 a ) e - 85/198 a e z -1/11 a b) spanning in de hoekpunten: 8 7 N 17 N 1 17 N ) (rechter doorsnede) a) I 1 en I 19 / zz kern besat uit een driehoek met de hoekpunten t.o.v. N 1) e - 1/4 a e z - 19/4 a ) e + 7/6 a e z + 1/6 a ) e - a e z + 1/1 a b) zelf doen.6.4 a) n.l.: z + 50 (in mm) e + 1,4 mm e z - 8 mm b) spanning in de hoekpunten: MPa MPa MPa D.6.5 kern besat uit een zeshoek met de hoekpunten t.o.v. N 1) e -, mm e z 0 ) e - 94,1 mm e z - 0,4 mm ) e 0 e z + 64,5 mm 4) e +, mm e z 0 5) e + 94,1 mm e z - 0,4 mm Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb

12 6) e 0 e z - 49, mm Het buigend moment zorgt voor trek aan de onderzijde. Het krachtpunt van de voorspanning moet dus zeker onder kernpunt 6 aangrijpen. ls de voorspanning (zonder moment) aangrijpt in kernpunt, dan ligt de neutrale lijn in de bovenste vezel. Met moment moet de voorspanning dus onder kernpunt aangrijpen om een zo groot mogelijk moment op te kunnen nemen..6.6 a) ligging van N ten opzichte van punt D: N 50 mm z N 6,76 mm traagheidsmomenten: I zz mm 4, I mm 4, I z mm 4 kern besat uit een vierhoek met de hoekpunten t.o.v. N: 1) e + 6,5 mm e z - 8,67 mm ) e + 10,6 mm e z -,10 mm ) e -8,1 mm e z + 10,8 mm 4) e - 5,71 mm e z -,10 mm b) (,z ) +, + 59z, in N/mm spanningen in de hoekpunten: + 9,75 x 10 N/mm +,08 x 10 N/mm - 11,80 x 10 N/mm + 1,54 x 10 N/mm D c) κ 0, M M z 1, 077 hoek met de horizonal: 4 (rechtsom).6.7 ) (rechter doorsnede) a) ligging van N ten opzichte van punt : N -5 mm z N + 11,67 mm traagheidsmomenten: I zz mm 4, I mm 4, I z mm 4 spanningsformule: (,z ), , 9080z, in N/mm spanningen in de hoekpunten: N/mm - 7 N/mm + 8 N/mm Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 1

13 D - N/mm + 95 N/mm E + 66 N/mm F - 61 N/mm G - 90 N/mm H b) voorwaarde: E, waardoor geldt: κ 5 9 κ hoek met de horizonal: 48 (rechtsom) c) κ 0 profiel draaien naar de hoofdrichting: hoek met de horizonal: 9 (linksom) ) (linker doorsnede) a) ligging van N ten opzichte van punt : N - 6,67 mm z N + 1, mm traagheidsmomenten: I zz mm 4, I 8.89 mm 4, I z 8.89 mm 4 spanningsformule: (,z ) 6, , 809z, in N/mm spanningen in de hoekpunten: - 76 N/mm 0 N/mm + 76 N/mm b) voorwaarde:, waardoor geldt: κ 4 κ hoek met de horizonal: 90 (rechtsom) c) κ 0 profiel draaien naar de hoofdrichting: hoek met de horizonal: 14 (linksom).6.8 a) ligging van N ten opzichte van punt D: N mm z N + 50 mm traagheidsmomenten: I zz 585 x 10 6 mm 4, I 70 x 10 6 mm 4, I z x 10 6 mm 4 b) kern besat uit een vierhoek met de hoekpunten t.o.v. N: 1) e mm e z mm ) e + 0 mm e z + 90 mm ) e + 75 mm e z - 50 mm 4) e + 40 mm e z - 10 mm z z Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb 016 1

14 c) spanningsformule: (,z ) 0, 11 0, 0011, in N/mm 0 + 0, N/mm + 0, N/mm 0 D 0 E Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb

15 Schuifspanningen bij buiging I t a zz τ 0 τ Q 4at τ 0 de plaats van de werklijn: 0.5 a links van het N ( a ) I zz 5 4, I 5 4, I z neutrale lijn: + 5z 0 normaalspanningen in de hoekpunten: 9M M M schuifspanningen in de hoekpunten: τ τ Q τ 4at Q de maximale schuifspanning in deel : τ, max 1, 5 at Q de maximale schuifspanning in deel : τ, max 4at de plaats van de werklijn: 0.5 a rechts van het N ( 0. 5 a ).7. schuifspanningen in de aangegeven punten: Q τ τ D 4th 11Q τ τ 1th τ 0 E 7Q τ H 6th 7 de plaats van de werklijn: h.7.4 traagheidsmomenten ten opzichte van N: 7 I zz 48 9 Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb

16 I I z neutrale lijn: z 0 normaalspanningen in de hoekpunten: 1 M 6 7 M 1 1 M 5 M D 6 schuifspanningen in de hoekpunten: τ τ 0 D M τ 0, l M τ 0, 764 l M de maximale schuifspanning in deel : τ, max 1, 67 l M de maximale schuifspanning in deel : τ, max 1, 78 l M de maximale schuifspanning in deel D: τ D, max 0, 16 l Ir. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Feb