M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1

Transcriptie

1 M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking Hans Welleman 1

2 Uitwendige krachten 50 kn 120 kn 98,49 kn 40 kn 40 kn 30 kn 90 kn 4,0 m 2,0 m 2,0 m werklijnen van de reactiekrachten Hans Welleman 2

3 Inwendige krachten?? 50 kn 120 kn 98,49 kn Kracht kan niet via de werklijn want daar zit soms lucht.. Hans Welleman 3

4 Ligger (beschouwd als star) 50 kn? 120 kn 98,49 kn Kracht kan niet via de werklijn maar moet via de ligger 4,0 m 2,0 m 2,0 m Hans Welleman 4

5 Snedekrachten 120 knm staafas 30 kn 40 kn dwarskracht Conclusie: krachtpunt Kracht in het krachtpunt van de doorsnede kan worden vervangen door drie snedekrachten (M, V en N ) t.p.v. de liggeras (NC). normaalkracht (buigend) moment Hans Welleman 5

6 Totale snede (links en rechts) staafas staafas Actie en reactie dus snedekrachten komen paarsgewijs voor Normaalkracht N Dwarskracht V Buigend moment M Hans Welleman 6

7 Verschil met de pendelstaaf? N pendelstaaf N N M V algemene staaf of ligger V M N Zeer belangrijk, worden teveel fouten mee gemaakt! Hans Welleman 7

8 Definities en afspraken Snedekracht is een soort verbindingskracht Normaalsnede loodrecht op de staafas Normaalkracht loodrecht op de snede Dwarskracht loodrecht op de staafas staafas Volgens Newton: Actie = reactie Snedekrachten komen paarsgewijs voor M N V normaalsnede Hans Welleman 8

9 FORMELE RICHTINGEN Assenstelsel Snede-definitie Afspraken voor N, V en M n n x V M N negatieve snede positieve snede M V z N Hans Welleman 9

10 POSITIEVE RICHTINGEN Een positieve dwarskracht op een positieve snede wijst in de richting van de positieve z-as Een positieve normaalkracht werkt in de richting van de normaal van de snede (trek = positief) Een positief (buigend) moment op een positieve snede werkt zodanig dat vezels aan de positieve z-zijde verlengen N M V x M N M V M N z positieve z-zijde Hans Welleman 10

11 POSITIEVE RICHTINGEN Een positieve dwarskracht op een negatieve snede wijst in de richting van de negatieve z-as Een positieve normaalkracht werkt in de richting van de normaal van de snede (trek = positief) Een positief (buigend) moment op een negatieve snede werkt zodanig dat vezels aan de positieve z-zijde verlengen N M V x M N M V M N z positieve z-zijde Hans Welleman 11

12 DIAGRAMMEN VOOR N, V en M N(x) V(x) M(x) x-as normaalkrachtenlijn : N-lijn x-as dwarskrachtenlijn : V-lijn x-as momentenlijn : M-lijn Hans Welleman Zet de grafieken uit met de positieve waarden onder de as. 12

13 BEPALING DIAGRAMMEN brute kracht methode m.b.v. veel sneden. hoofdstuk 10 wiskundige aanpak door gebruik te maken van differentiaalbetrekkingen hoofdstuk 11 Ingenieursmethode door handige combinatie van de eerste twee methoden hoofdstuk 12 Voorbeelden in hoofdstuk 13 Hans Welleman 13

14 Introductie N-, V- en M-lijn Puntlasten 60 kn x Koppels.. z 8,0 m 2,0 x 80 knm z 4,0 Hans Welleman 14

15 Conclusies PUNTLAST Constante V-lijn voor delen zonder belasting en een lineaire M-lijn T.p.v. de puntlast F een sprong F in de V-lijn en een knik in de M-lijn Ook een sprong in de V-lijn bij de opleggingen (logisch.?) Hans Welleman 15

16 Conclusies KOPPEL Constante V-lijn en de plaats van het koppel vind je niet terug in de V-lijn Lineaire M-lijn met een sprong T t.p.v. het koppel T Helling van de M-lijn is constant Hans Welleman 16

17 Brute kracht voorbeeld 1 10 kn/m x M-lijn? V-lijn? z M(1,0) V(1,0) negatieve snede 5,0 m 10 kn/m Krachtenevenwicht Aanpak: V(1,0) Maak = om 40 de knmeter Momentenevenwicht een snede bepaal daar V en M. Neem M(1,0) positieve = -80 richtingen knm aan voor V en M. 1,0 m 4,0 m Voorbeeld : snede op 1,0 m Hans Welleman 17 x let op: positieve snedekrachten op een negatieve snede!

18 RESULTAAT 50 V-lijn [kn] x V [kn] M [knm] M-lijn [knm] Hans Welleman 18

19 Brute kracht voorbeeld 2 25 z M(1,0) V(1,0) 1,0 m negatieve snede 10 kn/m 5,0 m 10 kn/m 4,0 m 25 kn 25 kn x M-lijn? V-lijn? Krachtenevenwicht V(1,0) = 15 kn Voorbeeld : snede op 1,0 m Momentenevenwicht let op: positieve snedekrachten op een negatieve snede! M(1,0) = 20 knm Hans Welleman 19

20 RESULTAAT V-lijn [kn] x V [kn] M [knm] M-lijn [knm]? Hans Welleman 20

21 Exacte verloop bepalen Voorbeeld 1 ff doen! Voorbeeld 2 z 10 kn/m 5,0 m 10 kn/m 5,0 m z Hans Welleman 21

22 Voorlopige ontdekking. De V-lijn is mogelijk de afgeleide van het moment? Anders gezegd : De helling van de M-lijn is gelijk aan de V- lijn. De helling van de V-lijn is op het teken na gelijk aan de q-last? TU-Delft : Dit moeten we bewijzen! Hans Welleman 22

23 Differentiaalvergelijkingen Hans Welleman 23

24 EXTENSIE : Evenwicht N n q x n N+ N x x Horizontaal evenwicht: N Nq d N x N N lim x 0 N x dn dx x x dx q q x x 0 differentiaalvergelijking De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk aan de verdeelde belasting Hans Welleman 24

25 6,25 VOORBEELD vaste rand qx 5,0 m dn 10 2x dx (één keer integreren) 10 2x 2 N( x) 10x x C vrije rand randvoorwaarde: x invullen: ,0 25,0 C C 5,0 N , ,0 N x x x 2 ( ) N [kn] Hans Welleman 25

26 Differentiaalvergelijk voor buiging: Momentevenwicht en verticaal krachtenevenwicht voor een stukje ligger met lengte Δx M V lim x 0 lim x 0 V x M x q z z x x dv dx dm dx M + M V+ V Verticaal evenwicht: V q x V V 0 Hans Welleman 26 z V qz x Momentenevenwicht om rechtersnede: M V x ( q x) x M M 0 z M x q x V z x 0

27 Differentiaalvergelijk voor buiging: Momentevenwicht en verticaal krachtenevenwicht voor een stukje ligger met lengte Δx M V dv dx dm dx q z z x x q V z M + M V+ V Verticaal evenwicht: V q x V V 0 Hans Welleman 27 z V qz x Momentenevenwicht om rechtersnede: M V x ( q x) x M M 0 z M x q x V z x 0

28 VOORBEELD z 10 kn/m 5,0 m V( x) 10x 50 M x x x 2 ( ) Voor grafieken zie vorige les. x dm dv V x 50 dx (één keer integreren) V ( x) 10x C 2 M ( x) 5x 501 x C2 randvoorwaarde: x 5,0 MV 0 invullen C 5 C 50 C Hans Welleman 28

29 RESULTAAT extensie buiging dn qx dx dv q dx dm V dx z 1 differentiaalvergelijking voor extensie 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging en dwarskracht Hans Welleman 29

30 Conclusies Helling van de N-lijn (dn/dx) is gelijk aan min de verdeelde belasting in x-richting Helling van de V-lijn (dv/dx) is gelijk aan min de verdeelde belasting in z-richting Helling van de M-lijn (dm/dx) is gelijk aan de dwarskracht (V) Hans Welleman 30

31 Gevolg : buiging Geen q-last in z-richting constante V-lijn lineair verlopende M-lijn q-last constant in z-richting lineair verlopende V-lijn parabolisch verlopende M-lijn Hans Welleman 31

32 Nadeel wiskundige aanpak D.V. geldt alleen voor velden waar niets verandert (continue beschrijving) Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint een nieuw veld Grof geschut in verhouding tot de complexiteit van de problemen T q F q 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen??? Hans Welleman 32

33 Ingenieurs aanpak (volgende les) Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige verbanden) Construeer de M-lijn door voor een aantal karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen Verzin iets op het probleem met het assenstelsel.. Hans Welleman 33

34 Tekenproblemen voor V- en M 45 kn x N-, V- en M-lijn? 60 kn GOED FOUT Hans Welleman 34

35 Oplossing voor buiging verbuigingsteken Hans Welleman 35

36 Dwarskracht ook wel fietstrappers genoemd Hans Welleman 36

37 VERVORMINGSTEKENS Normaalkracht : trek (+) en druk (-) Dwarskracht : fietstrappers Moment : verbuigingsteken VISUELE AANPAK Hans Welleman 37

38 M-lijn en verbuigingsteken open zijde naar de ligger-as gericht Hans Welleman 38

39 V- en M? helling 0 helling 0 helling 0 helling 0 Hans Welleman 39

40 V- en M? helling 0 helling 0 helling 0 helling 0 Hans Welleman 40

41 Eenvoudig voorbeeld M-lijn en V-lijn Hans Welleman 41

42 5,0 kn/m 10 kn A l = 8,0 m B 4,0 m C Hans Welleman 42

43 M B V B-rechts 10 kn 5,0 kn/m 10 kn A l = 8,0 m B 4,0 m C 20 knm 40 knm helling = 10 M-lijn 0,125 ql 2 = 40 knm V-lijn helling = 15 3,0 m 40 knm helling = kn M max = 22,5 knm 10 kn Hans Welleman kn M maximaal waar V=0!

44 5,0 kn/m 10 kn A l = 8,0 m B 4,0 m C 15 kn CONTROLEER 35 kn Knikken in M-lijn? 3,0 m 4,0 m 40 knm Sprongen in V-lijn? Lineair en parabolisch? 22,5 knm 20 knm 25 kn 35 kn 15 kn 10 kn Hans Welleman 44

45 Literatuur Toegepaste Mechanica Deel 1 (Evenwicht) Hoofdstuk 11 Wiskunde beschrijving van het verband tussen snedekrachten en en belasting Ondersteunend materiaal: Hoofdstuk 10 Snedekrachten Hoofdstuk 12 M-V-N-lijnen

46 En nu oefenen Coz blok 5 M & V-lijnen