MODULE : NIET-SYMMETRISCHE EN INHOMOGENE DOORSNEDEN

Transcriptie

1 CONSRUCICHNIC CB0 ODUL : NI-SYRISCH N INHOOGN DOORSNDN CON HRSUIJKR HNS WLLN Civiele echniek U-Delft Oktober 07

2 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden INHOUDSOPGV. NI-SYRISCH N INHOOGN DOORSNDN.... SCHS VN H PROBL N NNN.... HOOGN DOORSNDN..... Kinematische betrekkingen Kromming Neutrale lijn Constitutieve relaties voor homogene niet-smmetrische doorsneden omenten igenschappen van de constitutieve relatie voor buiging..... Statische betrekkingen..... Differentiaalvergelijkingen Voorbeeld : Homogene niet-smmetrische doorsneden Normaalspanningen in de doorsnede in het --assenstelsel Normaalspanningen in de doorsneden in de hoofdrichtingen Voorbeeld : Spanningen in een niet-smmetrische doorsnede Samenvattende conclusies UIBRDING VN D HORI VOOR INHOOGN DOORSNDN Ligging van het NC voor inhomogene doorsneden..... Voorbeeld : Normaalkrachtencentrum versus waartepunt..... Voorbeeld : Spanningen in een inhomogene doorsnede.... KRCHPUN IN D DOORSND KRN VN D DOORSND Voorbeeld 5 : Kern van een niet-smmetrische doorsnede....6 PRUURINVLODN* Voorbeeld 6 : Statisch bepaalde constructie onder temperatuurbelasting Voorbeeld 7 : Statisch onbepaalde constructie onder temperatuurbelasting SCHUIFSPNNINGN IN NI-SYRISCH N OF INHOOGN DOORSNDN Schuifspanningsformules als - en hoofdrichtingen ijn Voorbeeld 8 : Schuifspanning in een samengestelde doorsnede lgemeen geldende schuifspanningsformules Voorbeeld 9 : Schuifspanning in niet-smmetrische doorsnede Voorbeeld 0 : Schuifkracht in een inhomogene doorsnede Dwarskrachtencentrum voor niet-smmetrische dunwandige doorsneden Voorbeeld : Dwarskrachtencentrum in een niet-smmetrische dunwandige doorsnede BIJLG PPNDIX B OPGVN DOORSND GROOHDN NORLSPNNINGN BIJ BUIGING NORLSPNNINGN BIJ BUIGING NORLKRCH INHOOGN DOORSNDN BLS OP NORLKRCH INHOOGN DOORSNDN BLS OP BUIGING KRN SCHUIFSPNNINGN BIJ BUIGING Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 ii

3 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden SUDINWIJZINGN Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van Constructieechanica C. De theorie en voorbeelden in dit dictaat ijn o uitgewerkt dat in elfstudie dit onderdeel bestudeerd kan worden. Naast dit dictaat met de theorie en voorbeelden is er etra oefenmateriaal beschikbaar via het internet. Daarnaast ijn de sheets die op het college worden gebruikt te downloaden via BlackBoard of via het internet. Dee site is te vinden op: In dit dictaat wordt verween naar de leermiddelen van C en C: o oegepaste echanica deel : venwicht C. Hartsuijker o oegepaste echanica deel : Spanningen vervormingen verplaatsingen C. Hartsuijker o oegepaste echanica deel : Statisch onbepaalde constructies en bewijkanalse C. Hartsuijker en J.W. Welleman. Dee leermiddelen ullen worden aangeduid met CH- CH- en CH-. De antwoorden van de in dit dictaat opgenomen vragen ijn via internet te vinden. ventuele uitleg over de opgaven kan worden verkregen bij de Student-ssistenten van Constructieechanica. Ondanks alle inspanningen is het niet uitgesloten dat er onvolkomenheden in het dictaat voorkomen. Ik stel het eer op prijs dat indien er fouten of onduidelijkheden worden geconstateerd dee worden gemeld. Op internet wordt een wijigingsblad bijgehouden waarin fouten worden verameld. De docent Hans Welleman pdf-versie - Oktober 07 j.w.welleman@tudelft.nl Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 iii

4 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. NI-SYRISCH N INHOOGN DOORSNDN In dee module wordt het eerder in -CH- geïntroduceerde veelmodel voor staven toegepast op niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. et de hier gepresenteerde aanpak is het mogelijk om spanningen en vervormingen te bepalen voor staven waarvan de doorsnede uit verschillende materialen bestaat inhomogeen en/of waarvan de geometrie geen smmetrie-as heeft niet-smmetrisch.. Schets van het probleem en aannamen De staven die tot nu toe ijn behandeld hadden tenminste één smmetrie-as en de doorsnede bestond uit één materiaal homogene doorsnede. et behulp van het veelmodel wordt de doorsnede opgebouwd gedacht uit tegen elkaar liggende veels evenwijdig aan de staafas die op hun plaats worden gehouden door een oneindig aantal starre vlakken doorsneden die loodrecht op dee veels staan. In figuur wordt dit model getoond met het aan te houden assenstelsel en de ligging van het Normaalkrachten Centrum NC. Voor een uitgebreide beschrijving van dit model wordt verween naar hoofdstuk van CH-. Figuur : Veelmodel en een doorsnede met één smmetrie-as. ls de doorsnede wordt belast op één buigend moment en een normaalkracht ullen de veels aan de trekijde verlengen en aan de drukijde verkorten. Vanwege het feit dat de doorsnede star is ullen de doorsneden vlak blijven. Dee aanname staat bekend als de hpothese van Bernoulli. In figuur a ijn de snedekrachten weergegeven en in figuur b de daardoor ontstane rekken in de veels. et de aanname dat de spanningen lineair afhankelijk ijn van de rek wet van Hooke kan met de rekverdeling de normaalspanningsverdeling in de doorsnede worden gevonden ie figuur c. N b c Figuur : Buiging en etensie in een homogene doorsnede met één smmetrie-as. C. Hartsuijker oegepaste echanica Deel Spanningen vervormingen verplaatsingen ISBN Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

5 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Op basis van dit model ijn in CH- de spanningsformules voor buiging en etensie afgeleid. ls de doorsnede echter niet-smmetrisch is en/of dee uit verschillende materialen bestaat ijn de gevonden spanningsformules niet geldig. Voorbeeld van dergelijke situaties ijn hieronder in figuur weergegeven. staal beton b c Figuur : Voorbeelden van niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden. In is sprake van een homogene niet-smmetrische doorsnede in b is sprake van een inhomogene doorsnede met één smmetrie-as en in c is sprake van een niet-smmetrische en inhomogene doorsnede. Naast het feit dat dee doorsneden niet-smmetrisch en/of inhomogeen ijn hebben we ook in het algemeen te maken met twee buigende momenten en een normaalkracht die in de doorsnede kunnen werken en leiden tot verlengingen en verkortingen van de veels in het veelmodel. De gebruikelijke definities voor de normaalkracht de buigende momenten en de verplaatsingen die kunnen ontstaan ijn in figuur weergegeven ie hiervoor ook paragraaf.. uit CH-. F ϕ ϕ F ϕ F F u u u Figuur : Snedekrachten en verplaatsingen. Ook kunnen er in twee richtingen natuurlijk dwarskrachten op de doorsnede werken maar die leiden in dit model niet tot rekken in de veels en ullen daarom aan het einde van dee module apart worden behandeld waarbij het schuifspanningsverloop in de doorsnede en het dwarskrachtencentrum van de doorsnede aan de orde komen. De centrale vraag in dit geheel is : Welke spanningen en rekken ontstaan t.g.v. etensie en buiging in een niet-smmetrische en/of inhomogene doorsnede? Om op dee vraag te kunnen beantwoorden kan de vraag worden opgedeeld in een aantal deelvragen waarmee stapsgewijs de puel kan worden ontrafeld. Dee deelvragen ijn : Hoe kunnen de rekken van de veels worden bepaald op basis van de verplaatsingen van de doorsnede? Hoe kunnen uit dee rekken de normaalspanningen in de veels worden bepaald? Welke snedekrachten horen bij de gevonden normaalspanningen? Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

6 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden In dee deelvragen wordt de standaard aanpak van de oegepaste echanica herkend: Belasting Spanningen Vervormingen Verplaatsingen F q N V ε u ϕ evenwichts- constitutieve kinematische relaties relaties relaties Figuur 5 : Relaties in de oegepaste echanica. Dee aanpak sluit naadloos aan op de eerder gevolgde aanpak van CH-. De daar genoemde aannamen gelden ook hier :. Vlakke doorsneden blijven vlak en staan owel voor als na vervorming van de staaf loodrecht op de veelrichting hpothese van Bernoulli. De doorsneden ijn dus oneindig stijf en daarom wordt in dit verband gesproken van de starre doorsnede.. De doorsneden ondergaan kleine rotaties ϕ <<. In de staaf heerst een lijnspanningstoestand volgt direct uit het gekoen veelmodel. De veels gedragen ich lineair elastisch : σ ε wet van Hooke In de hiervoor weergegeven afbeeldingen is gebruik gemaakt van een -- assenstelsel. De - as loopt daarbij altijd evenwijdig aan de staafas. De ligging van de doorsnede ligt vast met de -coördinaat. In de doorsnede ligt de plaats van een veel vast met de - en -coördinaat. De -as wordt altijd evenwijdig aan de veelrichting gekoen. Zoals weergegeven in figuur gaat de -as door het Normaalkrachten Centrum NC van de doorsnede. Dit is een speciale keue waarvan we in de afleiding niet a priori vanuit ullen gaan. lle grootheden die binnen de doorsnede niet constant ijn worden als functies van en gepresenteerd. Het gaat dan bijvoorbeeld om de spanningen en rekken : ε σ In de afleiding die volgt al onderscheid gemaakt worden tussen homogene en inhomogene doorsneden waardoor de theorie stapsgewijs al worden opgebouwd. In een homogene doorsnede hebben alle veels deelfde elasticiteitsmodulus. In een inhomogene doorsnede kan de elasticiteitsmodulus afhankelijk van de plaats in de doorsnede variëren. Hiervoor geldt dan: Dat dee grootheden ook functies van kunnen ijn wordt in de schrijfwije in het algemeen niet meegenomen. In de volgende paragrafen al dee aanpak voor etensie en buiging eerst voor nietsmmetrische en vervolgens voor inhomogene doorsneden worden uitgewerkt. Daarna al een algemene methode worden beschreven voor het bepalen van de kern van de doorsnede. De module wordt afgesloten met een methode voor de bepaling van de schuifspanningen t.g.v. buiging in niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

7 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. Homogene doorsneden De in figuur 5 geschetste relaties ullen eerst worden uitgewerkt voor een homogene doorsnede die niet-smmetrisch mag ijn... Kinematische betrekkingen De kinematische relaties leggen een verband tussen verplaatsingen en vervormingen. In een op buiging en etensie belaste staaf kan de doorsnede drie translaties en drie rotaties ondergaan : u u u en ϕ ϕ ϕ We maken daarbij gebruik van de eerder gemaakte afspraken ie figuur. ls de verplaatsing van de doorsnede beschreven kan worden met dee es vrijheidsgraden dan kan ook de verplaatsing u in de richting van de veel -as in ieder willekeurig punt worden beschreven. Stel dat er een punt P ligt in een doorsnede op afstand van de oorsprong ie figuur 6. Figuur 6 : Punt P in de doorsnede ls de doorsnede waarin P ligt in de -richting u verplaatst ϕ roteert om de -as en ϕ roteert om de -as dan kan de verplaatsing u in de richting van de veel in P worden beschreven met onder de aanname dat rotaties klein ijn ie paragraaf 5.. uit CH-l: u u ϕ ϕ In figuur 7 is dit verduidelijkt aan de hand van de verplaatste doorsnede gestippeld die vervolgens ook geroteerd is om de - en -as. De invloed daarvan op de verplaatsing u is in het ij- en bovenaanicht weergegeven. P ϕ ϕ u bovenaanicht ijaanicht Figuur 7 : Verplaatsingen in de veelrichting t.g.v. rotaties ϕ en ϕ. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

8 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Vanwege de aanname dat de rotaties klein ijn mogen hun invloeden worden gesuperponeerd. De verplaatsingsgrootheden u ϕ en ϕ behoren bij de doorsnede waarin punt P ligt en ijn dus doorsnede gerelateerd en odoende alleen functies van. nders geegd : De verplaatsing van een willekeurige veel in een doorsnede op coördinaat wordt beschreven met dee drie verplaatsingsgrootheden. Nu de verplaatsing in de veelrichting is bepaald kan ook de rek in dee veel worden gevonden. r geldt immers: u u du dϕ dϕ ε lim 0 d d d ε u ϕ ϕ De rotaties ϕ en ϕ kunnen worden uitgedrukt in de verplaatsingsgrootheden u en u. Zie hiervoor figuur 7. du ϕ u d du ϕ u d Het tekenverschil is een direct gevolg van de definities van de rotaties ga dat elf na! De rek volgens in de veel door P kan nu worden geschreven als: ε u u u b De rek in een veel is dus gelijk aan de rek in de veel die samenvalt met de -as plus de rek ten gevolge van de buiging kromming om de - en -as van de veel langs de -as. Uitdrukking b kan herschreven worden door de volgende vervormingsgrootheden van de doorsnede in te voeren: ε u u ϕ u ϕ c Dee relaties worden de kinematische betrekkingen genoemd en leggen voor de doorsnede het verband tussen de vervormingsgrootheden en de verplaatsingsgrootheden. et de kinematische betrekkingen c kan de rek in een veel volgens b worden geschreven als: ε ε In figuur 8 is het rekverloop over de doorsnede weergegeven. Uit de aanname dat vlakke doorsneden vlak blijven volgt dat het rekverloop een vlak is waarvan de hellingen in in - en -richting respectievelijk en ijn. Hieruit volgt ook dat en constant moeten ijn over de gehele doorsnede. Figuur 8 : Rekverloop over de doorsnede. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

9 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Uit figuur 8 is tevens op te maken dat de positieve krommingen voor positieve waarden van en positieve rekken verooraken. Dit is geheel in overeenstemming met de definitie voor een positieve kromming oals dee eerder in CH- is ingevoerd.... Kromming De kromming van de staaf kan opgebouwd gedacht worden uit een kromming in het --vlak en een kromming in het --vlak. Dee krommingen worden aangeduid met respectievelijk en. Dit ijn de componenten van de vector. In figuur 9 is dit weergegeven. Het bewijs dat de kromming ich gedraagt als een tensor van de e orde wordt in bijlage gegeven. Figuur 9 : Kromming als vector. Dat de kromming een vector is houdt in dat dee een grootte en een richting heeft. ls tekenafspraak wordt aangehouden dat de pijl van de vector van de holle naar de bolle kant van de staaf wijst. ls de kromming in de doorsnede wordt weergegeven ontstaat figuur 0. Het vlak van de kromming wordt aangeduid met de letter k. k k Figuur 0 : angeven van de kromming in de doorsnede De grootte van de totale kromming is : De hoek die de kromming maakt met de -as wordt gedefinieerd als : tanα k Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

10 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden... Neutrale lijn et de uitdrukking voor het rekverloop over de doorsnede kan ook een uitdrukking gevonden worden voor de neutrale lijn. Immers per definitie geldt dat de rek nul is t.p.v. de neutrale lijn: ε ε 0 Om de neutrale lijn te kunnen tekenen is het handig om de snijpunten van de neutrale lijn met de coördinaat-assen te bepalen. De neutrale lijn snijdt de assen in de volgende punten. Snijpunt met de -as 0 : Snijpunt met de -as 0: ε ε In figuur is de neutrale lijn in het assenstelsel van een doorsnede getekend. k Figuur : Ligging van de neutrale lijn in de doorsnede Uit dee figuur blijkt dat het vlak k waarin de ligger kromt loodrecht staat op de neutrale lijn. De pijl voor de kromming wijst van de holle ijde kleinste rek naar de bolle ijde grootste rek in dit geval dus van de drukone naar de trekone. Opdracht : Geef het bewijs dat het vlak waarin de ligger kromt loodrecht staat op de neutrale lijn. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

11 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Constitutieve relaties voor homogene niet-smmetrische doorsneden In het gehanteerde veelmodel wordt uitgegaan van een lineair elastisch materiaalgedrag. De constitutieve relatie het verband tussen de spanning en de vervorming wordt in dit geval voorgesteld door de wet van Hooke : σ ε In een doorsnede wordt de rek en de spanning in een punt aangeduid met behulp van het gekoen assenstelsel: σ σ ; ε ε ls we ons hier beperken tot homogene doorsneden dan hebben alle veels in de doorsnede deelfde elasticiteitsmodulus en geldt : σ ε In de op etensie en buiging belaste doorsnede ullen de veels verlengen of verkorten. Het gedrag van de doorsnede wordt beschreven met de drie hiervoor ingevoerde vervormingsgrootheden die constant ijn voor de gegeven doorsnede: ε en Voor iedere veel in de doorsnede ligt hiermee de rek vast: ε ε Gebruik makend van het lineaire materiaalgedrag is hiermee ook de spanning in iedere veel van de doorsnede te bepalen: ε σ De relaties tussen de spanning in de veels in een doorsnede en de snedekrachten die op de doorsnede werken is op identieke wije te vinden als in.. van CH-. In figuur is dit nog eens weergegeven. Figuur : quivalente snedekrachten behorende bij normaalspanningen werkend op een kleine oppervlakte van de doorsnede Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 8

12 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Voor de normaalkracht N wordt gevonden: N σ d ε d d d ε d Voor de buigende momenten en levert dit: σ d σ d ε d ε d ε d ε d d d d In CH- werden de volgende doorsnedegrootheden gedefiniëerd waarmee de bovenstaande uitdrukkingen eenvoudiger kunnen worden weergegeven: d d S d S d I d I d I Hierin is de oppervlakte van de doorsnede S een oppervlaktemoment van de e orde statisch moment en I een oppervlaktemoment van de e orde traagheidsmoment. Voorbeelden t.a.v. dee grootheden ijn te vinden in hoofdstuk van CH-. I d De gevonden relaties tussen de snedekrachten N en werkend op de doorsnede en de vervormingen ε en behorende bij de doorsnede worden hiermee: N ε S ε S ε S S In matrivorm kan dit worden genoteerd als: N S S S S ε erk op dat dee matri smmetrisch is en dat de termen op de hoofddiagonaal positief ijn. ls van de veel samenvallend met de -as de rek en de beide krommingen bekend ijn dan kunnen met behulp van de hierboven weergegeven relaties de snedekrachten worden bepaald. De bovenstaande matri is een stijfheidsmatri die het verband legt tussen gegeneraliseerde spanningen snedekrachten N en en gegeneraliseerde vervormingen ε en en is dus een constitutieve relatie die geldt voor een doorsnede. De afleiding hiervan is gebaseerd op de constitutieve relatie van de enkele veel. Uit het bovenstaande blijkt dat alle doorsnede-eigenschappen van de staaf kunnen worden toegedacht aan de ene veel langs de -as. Dit bevestigt de opvatting dat een staaf kan worden geschematiseerd tot een lijnelement. ot nu toe werd er gewerkt in een volkomen willekeurig gekoen --assenstelsel. Door een bijondere keue van de ligging van dit assenstelsel kunnen de constitutieve vergelijkingen sterk worden vereenvoudigd. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 9

13 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Het is gebruikelijk om de oorsprong van het assenstelsel odanig te kieen dat de statische momenten S en S nul ijn. De oorsprong van het --assenstelsel wordt dan gekoen in het normaalkrachtencentrum van de doorsnede. Voor een homogene doorsnede valt het normaalkrachtencentrum samen met het waartepunt maar voor inhomogene doorsneden geldt dit niet. Dit al verderop in een voorbeeld worden toegelicht. ls de oorsprong van het --assenstelsel in het normaalkrachtencentrum NC wordt aangenomen ijn de statische momenten S nul en vereenvoudigen de constitutieve relaties: N ε etensie buiging Hieruit is op te maken dat een normaalkracht N aangrijpend in het normaalkrachtencentrum alleen leidt tot een rek en dat hierdoor geen krommingen ontstaan. Zie hiervoor ook paragraaf. uit -CH-. Uit de bovenstaande matri blijkt dat er geen koppeling is tussen etensie en buiging. We kunnen het bovenstaande stelsel dus ook als volgt weergeven: N ε Nieuw element in dee gevonden relaties is de koppeling tussen buiging om de - en -as. Vergelijk maar eens de gevonden relaties uit paragraaf.. op bl 7 van CH-. De koppeling wordt verooraakt door het niet-smmetrisch hoeven ijn van de doorsnede.... omenten In figuur is een doorsnede met de snedekrachten voor buiging en etensie weergegeven. De momenten en die in dee doorsnede werken kunnen worden vervangen door een resulterend moment. Zo ontstaat de situatie van figuur b. Het resulterend moment werkt in een vlak dat wordt opgespannen door de werklijn m en de staafas. Figuur : Snedekrachten. Uit het bovenstaande blijkt dat en componenten ijn van een vector. Het bewijs dat het moment ich gedraagt als een tensor van de e orde is in bijlage gegeven. De componenten van kunnen ook met rechte pijlen worden aangegeven in het --vlak oals in figuur is weergegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 0

14 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De tekenafspraak die hier wordt aangehouden is dat de pijl van de momentresultante wijst van de drukone naar de trekone. drukone De grootte van het resulterende moment is : De hoek die het moment maakt met de -as wordt gedefinieerd als : tanα m trekone Figuur : Buigend moment als vector in het --vlak. Het is belangrijk te realiseren dat de rechte momentpijl werkt als de gebogen pijl oals in figuur 5 nog eens is aangegeven. drukone trekone Figuur 5 : wee mogelijke presentaties voor een buigend moment op een doorsnede.... igenschappen van de constitutieve relatie voor buiging Indien alleen wordt gekeken naar de onderstaande relatie voor buiging dan ijn er een aantal opmerkingen te maken. Zowel het moment als de kromming ijn tensoren van de e orde. Dit houdt in dat de stijfheidsmatri die een relatie legt tussen de beide tensoren een tensor van de e orde is. Dee e orde tensor wordt de buigstijfheidstensor genoemd: De buigstijfheidstensor is een smmetrische matri. r geldt namelijk: lle bekende transformaties die gelden voor e orde tensoren ijn dus van toepassing op de buigstijfheidstensor. Dit betreft bijvoorbeeld de transformatieformules bij een rotatie van het assenstelsel en het gebruik van de cirkel van ohr om op een grafische wije de hoofdrichtingen en hoofdwaarden te bepalen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

15 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De algemene relatie tussen het moment en de kromming is in figuur 5 geschetst. In dee figuur is ook de neutrale lijn weergegeven die oals eerder al is aangetoond loodrecht op de werklijn k van de kromming staat. De staaf kromt dus in het vlak dat wordt opgespannen door k en de staafas. Het buigend moment werkt met de normaalkracht in het vlak dat wordt opgespannen door m en de staafas. Dit betekent dat de op de doorsnede werkende belasting in dit vlak werkt. Daarom wordt in dit verband ook wel van het belastingsvlak gesproken. In het algemeen ullen en niet deelfde werklijn hebben. Dat betekent dat de staaf in een ander vlak kromt dan waarin de belasting werkt. oment en kromming kunnen alleen in hetelfde vlak werken als geldt: λ Dit resultaat levert met de constitutieve relatie: Figuur 6 : Presentatie van kromming en moment in het --vlak. λ λ 0 λ Hierin wordt het eigenwaarde probleem herkend oals dat al eerder werd beschreven bij het onderdeel hoofdwaarden en hoofdrichtingen van tensoren van de e orde. Uitwerken is hier dus niet meer nodig kromming en moment werken alleen in hetelfde vlak als dit vlak samenvalt met één van de beide hoofdrichtingen. Stel dat we het --assenstelsel roteren naar het hoofdassenstelsel van de doorsnede oals in figuur 7 is weergegeven. De constitutieve relatie in dit nieuwe assenstelsel is: 0 0 Figuur 7 : Hoofdrichtingen voor de buigstijfheid. erk op dat de niet-diagonaaltermen nul ijn we werken immers in de hoofdrichtingen. Hieruit volgt dat in de hoofdrichtingen de buigingcomponenten om de -en -as ontkoppeld ijn! er controle kan nog in het hoofdassenstel worden gekeken naar de relatie tussen het belastingsvlak en het krommingsvlak. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

16 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Dee kan worden geschreven als: tan α m tan α k Dee richtingen ijn inderdaad alleen gelijk als geldt: a α α 0; en vallen langs de -as een hoofdas m k b α m α k π ; en vallen langs de -as de andere hoofdas c ; α m α k In dit laatste geval ijn alle richtingen tevens hoofdwaarden want in de cirkel van ohr wordt dee situatie voorgesteld door één enkel punt ga dat elf na! V.. Statische betrekkingen Na de kinematische en constitutieve relaties resteren nog de evenwichtsrelaties. Dee statische betrekkingen ijn eerder in. van deel en.. van CH- aan de orde gekomen. en uitgebreide verhandeling kan daarom achterwege blijven. Van belang is dat een staafdeel niet alleen in het --vlak maar ook in het -vlak kan worden belast en dat de momenten en dwarskrachten componenten in owel de - als -richting hebben ie figuur 8. N q V q d d V d V NdN V d V d Figuur 8 : venwicht van een staafelementje. Op identieke wije als in de eerder genoemde paragrafen geldt: dn d dv d dv d q q q en en d d d d V V 0 0 d d d d q q Voor etensie en buiging vinden we op dee wije drie evenwichtsrelaties die het verband leggen tussen de uitwendige belasting en de snedekrachten die behoren bij etensie en buiging. dn q 0; d d q ; d d d q etensie buiging Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

17 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Differentiaalvergelijkingen et de gevonden kinematische- constitutieve- en evenwichtsbetrekkingen is het gedrag van een prismatisch lijnvormig element met een niet/smmetrische en-of inhomogene doorsnede te beschrijven in de verplaatsingen u u en u van de staafas. Kinematische relaties: du d u d u ε u ' ; u " ; u " d d d Constitutieve vergelijkingen: N 0 0 venwichtsrelaties: dn q d d q d d q d 0 0 ε Substitutie van dee uitdrukkingen levert drie differentiaalbetrekkingen op uitgedrukt in de verplaatsingen u u en u in respectievelijk de richting van de - - en -as.: u " q etensie u u q '''' '''' u u q '''' '''' dubbele buiging tensie is ontkoppeld van de beide gekoppelde differentiaalbetrekkingen voor buiging. Dee laatste betrekkingen kunnen echter nog worden ontkoppeld en herschreven worden tot: u " q q q q q u "'' u "'' q ; q * * q q q q u "'' u "'' q ; q * * Op de gebruikelijke wije kan hiermee met bekende randvoorwaarden het verplaatsingsveld in - - en -richting van de staafas worden bepaald. angeien alleen het rechterlid voor de buigingsonderdelen verandert kunnen vergeet-mij-nietjes met aangepaste belastingdefinities worden gebruikt indien ook de randvoorwaarden ijn ontkoppeld. Dit is aangegeven met een * het gebruik hiervan al verderop aan de hand van een voorbeeld worden toegelicht. Ga elf na dat indien het assenstelsel samenvalt met de hoofdassen de gebruikelijke differentiaalvergelijkingen voor de hoofdrichtingen ontstaan. Let er wel op dat in de randvoorwaarden wel een koppeling kan voorkomen tussen u en u ie PPNDIX B. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

18 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..5 Voorbeeld : Homogene niet-smmetrische doorsneden an de hand van een voorbeeld al de hiervoor gepresenteerde theorie worden toegelicht. In figuur 9 ijn twee doorsneden getekend waarvan de ligging van de neutrale lijn nl gegeven is. De ligging van dee neutrale lijn volgt uit de wije waarop de doorsnede wordt belast. Gevraagd wordt om voor de beide doorsneden de ligging van het belastings-vlak m te bepalen. a a nl nl 0 o a nl nl a Figuur 9 : Doorsnede met een gegeven ligging van de neutrale lijn. b Doorsnede van figuur 9a: De relatie tussen de neutrale lijn het krommingsvlak is vastgelegd met:. Neutrale lijn : ε ε 0. Krommingsvlak staat loodrecht op de neutrale lijn nl. De gegeven neutrale lijn gaat door het NC de rek in de veel langs de -as is daarmee dus gelijk aan nul en er werkt dus ook geen normaalkracht op de doorsnede. r geldt in dit geval: 0 De helling van de neutrale lijn is gegeven en is 0 graden. Hieruit volgt: o α k 0 k tanα k Hierin is de werkelijke kromming oals aangegeven in figuur 0. De componenten van het buigend moment kunnen worden bepaald met: nl α k a nl 0 o a k Voor dee vierkante doorsnede geldt: I I a a ; I 0 Figuur 0 : Kromming en neutrale lijn. Invullen levert: a 0 0 Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

19 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De ligging van het belastingsvlak wordt vastgelegd met : a tanα m a Hieruit volgt dat het belastingsvlak m samenvalt met het vlak k waarin de ligger kromt. Dit komt overeen met de eerder gemaakt opmerking in paragraaf.. waarin is afgeleid dat m en k samen vallen indien het assenstelsel samenvalt met de hoofdassen of indien de doorsnede gelijke hoofdwaarden heeft. Dee doorsnede voldoet aan de laatste eis en daarmee ook aan de eerst genoemde eis. Doorsnede van figuur 9b: Ook van dee doorsnede is de ligging van de neutrale lijn gegeven. De aanpak is identiek aan het vorige voorbeeld. Voor het krommingsvlak geldt: α 90 k o tanαk ± 0 nl a α k k nl a Hierin is de werkelijke kromming oals aangegeven in figuur. De componenten van het buigend moment kunnen worden bepaald met: k Figuur : Kromming en neutrale lijn. Voor dee doorsnede geldt voor de traagheidsgrootheden ie CH- bl 0: I I I Invullen levert: 6 bh bh 6 tanα 9 a a a 0 9 a Voor het vlak m waarin de belasting werkt geldt: 9 a tanα a m 9 Figuur : Kromming en belasting. In figuur is te ien dat in dit geval het belastingsvlak m niet samen valt met het vlak k waarin de liggeras kromt. erk tevens op dat het verschil in hoek tussen de m-as en de k-as niet komt door torsie maar door dubbele buiging bij een niet-smmetrische doorsnede. nl α m m a α k k k m nl a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

20 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De doorsnede b uit het voorgaande voorbeeld met elasticiteitsmodulus is toegepast in een statisch onbepaalde ligger oals hieronder is weergegeven. De invloed van de normaalkrachtvervorming mag buiten beschouwing worden gelaten. q 8 kn/m a a 00 GPa 0 m a 0 m Figuur 9- : Liggerconstructie met doorsnede b doorsnede Gevraagd wordt om de akkingslijn van dee constructie te bepalen onder alleen een gelijkmatig verdeelde last q. De buigstijfheidstensor van dee aan één ijde ingeklemde ligger is: i j 9 a Bij afweigheid van een normaalkracht en louter en alleen een verdeelde belasting in - richting resteren de volgende differentiaalbetrekkingen ie ook bl : q q q * q u "'' q of u "'' a q q q * q u "'' q of u "'' a De algemene oplossing voor het verplaatsingveld in - en -richting wordt hiermee: q u C C C C 6a q u D D D D 8a De acht randvoorwaarden voor dit probleem ijn eenvoudig te definiëren: 0 : u 0; u 0; ϕ 0; ϕ 0 l : u 0; u 0; 0; 0 Hieruit volgt voor de integratieconstanten ie PL invoer op volgende pagina: ql 5ql 0 0 C C C C a a q l q l D D D D 6a 6a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

21 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De PL invoer is hieronder weergegeven. > restart; > :/9**a^; :/*; :; > u:cc*c*^c*^-q*^/6**a^; > u:dd*d*^d*^q*^/8**a^; > phi:-diffu: phi:diffu: kappa:diff-phi: kappa:diffphi: > :*kappa*kappa: :*kappa*kappa: > :0; eq:u0; eq:u0; eq:phi0; eq:phi0; > :L; eq5:u0; eq6:u0; eq7:0; eq8:0; > sol:solve{eqeqeqeqeq5eq6eq7eq8}{ccccdddd}; assignsol; > :'': q:8;l:0; :00e6; a:0.; > plot[--]0..ltitle"oment and "legend[""""]; > plot[uu]0..ltitle"displacements u and u"legend["u""u"]; De momentenlijnen en de akkingslijnen ijn hieronder weergegeven. Vanwege de belasting in -richting en de gehanteerde randvoorwaarden ontstaat er alleen een momentenverdeling in het --vlak. Het maimum inklemmingsmoment is 05 q l 00 knm. Vanwege de niet-smmetrische doorsnede ontstaan er uitbuigingen in owel het --vlak als het -vlak. omenten en [knm] Zakking u and u u [m] Figuur 9- : Resultaten voor en u voor doorsnede b Opmerking: Op het eerste geicht lijken de gevonden differentiaalvergelijkingen volledig ontkoppeld. chter met name eventuele dnamische randvoorwaarden laten een koppeling ien: u '' u ''; V ' u '' u ''; V ' Bij het specificeren van de randvoorwaarden dient met hier orgvuldig mee om te gaan ie ook PPNDIX B. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 8

22 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..6 Normaalspanningen in de doorsnede in het --assenstelsel ls voor een doorsnede de snedekrachten N en bekend ijn kunnen met behulp van de constitutieve betrekkingen de vervormingen worden bepaald: N ε N ε De spanning in een veel kan worden bepaald met de eerder afgeleide betrekking: ε σ ε In het algemeen is het niet invol om de relatie verder uit te schrijven tot een betrekking tussen spanning en snedekrachten. r ijn echter twee gevallen waarvoor het wel illustratief is om de relatie verder uit te werken. Situatie : De - en -as vallen samen met de hoofdrichtingen van de doorsnede ls het --assenstelsel samenvalt met de hoofdassen van de doorsnede ijn de drie snedekrachten volledig ontkoppeld. De vervormingsgrootheden kunnen dan worden bepaald met: N N ε ε De spanningsverdeling wordt hiermee: σ σ ε N I I ε Situatie : Het - en -assenstelsel is o geöriënteerd dat één van de krommingen nul is In het geval dat bijvoorbeeld de component in de -richting van de kromming nul is ontstaat de volgende situatie: N ε met : 0 en Voor het spanningsverloop wordt nu gevonden: N σ ε ε 0 I erk op dat de component niet voorkomt in de formule voor het bepalen van de spanning en dat hoewel de kromming wel nul is het moment dat niet is! Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 9

23 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..7 Normaalspanningen in de doorsneden in de hoofdrichtingen In de vorige paragraaf is een methode weergegeven waarmee direct in het gekoen -assenstelsel de normaalspanningen in de doorsnede kunnen worden bepaald. Hoewel dee aanpak de voorkeur geniet wordt in de praktijk dee methode weinig gebruikt. In veel gevallen wordt dan gekoen om de spanningen te bepalen in de hoofdrichtingen van de doorsnede. Het --assenstelsel wordt dan geroteerd naar het -assenstelsel dat samenvalt met de hoofdrichtingen van de doorsnede. In paragraaf... is aangetoond dat in dit assenstelsel de constitutieve betrekkingen voor buiging ontkoppeld ijn in verband met het nul ijn van de definitie van een hoofdrichting. 0 0 In feite ontstaat door rotatie van het assenstelsel situatie oals is beschreven op de voorgaande bladijde. De spanningsformules in het hoofdassenstelsel worden nu: N σ I I Het voordeel van dee eenvoudige formule wordt te niet gedaan door etra werk dat verricht moet worden: a In de eerste plaats ullen van de doorsnede de hoofdrichtingen en hoofdwaarden moeten worden bepaald. Dit kan op basis van de transformatieformules of met behulp van een cirkel van ohr. b Vervolgens moet de belasting het moment worden ontbonden in de gevonden hoofdrichtingen. c Voor het bepalen van de spanningen in bijvoorbeeld de uiterste veels ullen de afstanden tot dee veels moeten worden bepaald in het geroteerde assenstelsel. d ls ook de vervormingen dienen te worden bepaald dan moet gerealiseerd worden dat de gevonden krommingen krommingen ijn in het geroteerde assenstelsel. De grootte van de kromming is uiteraard een invariant maar voor het vinden van de krommingen in het oorspronkelijke --assenstelsel al de gevonden kromming geroteerd moeten worden van het -assenstelsel naar het oorspronkelijke --assenstelsel. Het verschil in aanpak al in een voorbeeld worden toegelicht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 0

24 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden..8 Voorbeeld : Spanningen in een niet-smmetrische doorsnede De in figuur a weergegeven vrij opgelegde stalen ligger wordt belast met de aangegeven puntlasten. r al geen normaalkracht ontstaan in de doorsnede. angenomen wordt dat de puntlasten aangrijpen in het dwarskrachtencentrum van de doorsnede. Hierdoor ontstaat geen wringing in de doorsnede ie hiervoor paragraaf 5.5 van CH-. De puntlasten verooraken wel een buigend moment in de ligger. We gaan ervan uit dat het gegeven hoekstaal in combinatie met de belasting geen aanleiding geeft tot instabiliteitsverschijnselen oals kip en plooi. 7 kn F 7 kn 750 mm 750 mm 9 kn 0000 N/mm -as -as 567 mm F 9 kn NC 58 mm -as t 0 mm 50 mm Constructie met belasting 75 mm Figuur : Op buiging belaste doorsnede. b Doorsnede Gevraagd wordt de spanningen en de vervormingen in de middendoorsnede te bepalen voor de gegeven belasting. Ook wordt gevraagd om voor de gegeven belasting de verplaatsing van de staafas halverwege de overspanning te bepalen. ethode : Berekening in het --assenstelsel De belasting verooraakt in de middendoorsnede een buigend moment met componenten: F l F l Nmm Nmm Dee componenten grijpen aan in het NC van de doorsnede. De ligging van het NC en de traagheidsgrootheden kunnen bepaald worden oals beschreven in hoofdstuk van CH-: NC NC bovenrand rechterrand mm mm Dee afstanden ijn in figuur b aangegeven. De traagheidsgrootheden t.o.v. het --assenstelsel door het NC worden hiermee : I I I Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

25 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Hieruit volgt: I I 89 0 mm ; I 75 0 mm ; mm De kromming kan met behulp van de constitutieve betrekking worden bepaald. De componenten van de kromming in het --assenstelsel volgen uit: Invullen van de bekende gegevens levert: Uitwerken levert voor de componenten van de kromming: /mm /mm De spanning in ieder willekeurig punt van de doorsnede kan nu bepaald worden met: ε σ ε In de doorsnede werkt geen normaalkracht hierdoor ontstaat er ook geen rek ε in de veel die samenvalt met de staafas NC. De vergelijking voor de spanning wordt hiermee: σ Uit dee vergelijking volgt direct de ligging van de neutrale lijn: nl B Het normaalspanningsverloop over de doorsnede kan nu worden bepaald door voor een aantal punten de normaalspanning te bepalen ie figuur. C NC 567 In de onderstaande tabel ijn de uitkomsten verameld. punt mm mm σ N/mm B C D Ook de ligging van de neutrale lijn is in figuur weergegeven. Hieruit blijkt dat de punten C en B de uiterste punten tot de neutrale lijn ijn en daarmee ook de punten met grootste trek en drukspanningen in de doorsnede. et dee informatie is snel een spanningsverdeling over de doorsnede te tekenen. maten in mm t 0 D nl 5 N/mm Figuur : Karakteristieke punten. - N/mm 50 Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

26 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden et de bekende krachtsverdeling is het mogelijk de vervormingen van de constructie te bepalen. ot nu toe ijn we gewend om met behulp van de vergeet-mij-nietjes dee berekening op een praktische manier uit te voeren. Bij niet-smmetrische doorsneden kan met aangepaste vergeet-mij-nietjes worden gewerkt indien de randvoorwaarden ook ontkoppeld ijn. Daarnaast kan de verplaatsing ook altijd worden gevonden op basis van het krommingsveld. Beide routes worden hier gepresenteerd. Verplaatsingen in het oorspronkelijke assenstelsel met behulp van aangepaste vergeet-mijnietjes: De randvoorwaarden ijn ontkoppeld en daarom kan gebruik worden gemaakt van aangepaste vergeet-mij-nietjes. De belasting in - en -richting wordt hiertoe herschreven tot: F F * * F F N F F N De verplaatsing halverwege de overspanning volgt nu uit de gebruikelijke vergeet-mij-nietjes: u u * F l 768 mm 8 * F l 7 mm 8 Verplaatsingen in het oorspronkelijke assenstelsel op basis van het gevonden krommingsveld: De verdeling van dee krommingen langs de staafas is bekend. et behulp van de stellingen van het krommingsvlak kunnen de verplaatsingen worden bepaald. Dee kennis wordt hieronder nog even opgefrist. In figuur 5 worden de stellingen van het "krommingsvlak" opgefrist oals eerder toegelicht bij C. Fl Figuur 5 : Grondslag voor de vergeet-mij-nietjes. In feite werd er steeds van uitgegaan dat het gereduceerde momentenvlak / gelijk is aan de kromming oals in figuur is toegepast. Voor niet-smmetrische doorsneden waar het assenstelsel niet samenvalt met de hoofdrichtingen geldt echter voor de beide krommingen: θ l l Hieruit volgt dat we geen gebruik kunnen maken van de vergeet-mij-nietjes maar dat direct gebruik moet worden gemaakt van de krommingen in - en -richting. F -as l θ w θ w Fl Fl l Fl l θ In figuur 6 ijn de krommingsverdelingen voor het -- en --vlak weergegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

27 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden et de stellingen van het krommingsvlak kunnen nu de verplaatsingen in - en -richting worden bepaald op de methode oals is beschreven in paragraaf 8. van CH-. ϕ l θ B /mm ϕ l θ B /mm ϕ 6 l 6 l θ B ϕ θ B l /mm l /mm Figuur 6 : Kromming en verplaatsing in --assenstelsel. et de eis dat de verplaatsingen u en u in B nul moeten ijn ijn de hoekverdraaiingen ϕ en ϕ in te bepalen. Vervolgens kunnen daarmee de verplaatsingen in C worden bepaald: ϕ ϕ l θ l θ l 0 l 0 ϕ ϕ u u C C ϕ ϕ l θ l θ 6 l 768 mm 6 l 7 mm ethode : Berekening in het hoofdassenstelsel van de doorsnede De spanningen in de punten t/m kunnen ook worden bepaald in het hoofdassenstelsel. Hieronder al dee berekening worden weergegeven. Voor dee berekening is het noodakelijk eerst de hoofdtraagheidsmomenten en de hoofdrichtingen te bepalen. Hiervoor kan gebruik gemaakt worden van b.v. de transformatieformules of de cirkel van ohr. Beiden ullen hieronder worden gedemonstreerd. Voor de traagheidsmomenten in het --assenstelsel is eerder gevonden: I I 89 0 mm ; I 75 0 mm ; mm et behulp van de transformatieformules kunnen de hoofdtraagheidsmomenten worden bepaald: I I I I ± I I mm ; I I 6 0 mm De hoofdrichtingen wordt bepaald met : I tan α α 7 ; 87 I I o o Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

28 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Hetelfde resultaat kan ook worden gevonden met behulp van de cirkel van ohr. Hieronder is de cirkel van ohr voor de traagheidsgrootheden getekend. I 5 0 mm I ; I o 8 7 R.C. 5 0 mm r o I I m 7 I I I ; I I Figuur 7 : Cirkel van ohr voor de traagheidsgrootheden. De gevonden richtingen kunnen nu worden overgeet naar de doorsnede. In figuur 8 is dit weergegeven. 5 B C 6 maten in mm NC t 0 D e e e e cos7 sin7 5 6 sin7 597 cos Figuur 8 : Hoofdrichtingen van de doorsnede. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

29 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De spanningen in de aangegeven punten kunnen nu worden bepaald met behulp van de eerder gevonden uitdrukking die geldig is in het assenstelsel dat samenvalt met de hoofdrichtingen en : e e σ I I Uit dee vergelijking is op te maken dat de ligging van het punt wordt aangegeven in het -- assenstelsel met de ecentriciteiten e en e. Dee moeten dus voor alle punten worden bepaald m.b.v. de gebruikelijke formules voor assentransformaties. Voor punt is dat in figuur 7 aangegeven. Ook de belasting momenten moeten worden ontbonden in de -- richting. aak elf een schets en ga na dat moet gelden: sin7 cos7 cos sin Nmm Nmm In de onderstaande tabel ijn de ecentriciteiten voor de punten weergegeven waarmee de spanningen in ieder punt kunnen worden bepaald. Ga dee berekening elf na en let goed op de tekens van de ecentriciteiten. punt mm mm e mm e mm σ N/mm B C D De gevonden waarden komen overeen met de eerder gevonden spanningen. In de hoofdrichtingen ijn buiging om de - en -as ontkoppeld en kunnen de verplaatsingen in de --richtingen nu wel met behulp van de vergeet-mij-nietjes worden bepaald. Vervolgens moeten de gevonden verplaatsingen terug worden getransformeerd naar het oorspronkelijke --assenstelsel. Om de verplaatsingen te kunnen bepalen moet de belasting getransformeerd worden naar de hoofdrichtingen: F F F F sin7 F cos7 F cos N sin7 556 N De verplaatsing u en u in de hoofdrichtingen ijn op basis van het vergeet-mij-nietje : u u Fl 8 Fl mm 860 mm ransformatie naar het --assenstelsel levert opnieuw de inmiddels bekende uitkomst: u u C C u u sin 7 u cos 7 u cos mm sin 7 7 mm Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

30 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De totale verplaatsing van punt C wordt hiermee: u C mm In figuur 9 is de vervormde constructie geschetst. 750 mm -as 7 kn 768 mm 7 mm 750 mm 9 kn 0000 N/mm Opdracht: Geef in een schets van de doorsnede de ligging aan van : het krommingsvlak het belastingsvlak de neutrale lijn de hoofdrichtingen Leg in een korte omschrijving uit wat dee begrippen betekenen. Figuur 9 : Vervormde constructie...9 Samenvattende conclusies Bij het toepassen van een niet-smmetrische doorsnede al in het algemeen de ligger krommen in een ander vlak dan waarin dee wordt belast. r ijn slechts drie uitonderingen mogelijk waarbij krommingsvlak en belastingsvlak samenvallen: a α α 0; en vallen langs de -as een hoofdas m k b α m α k π ; en vallen langs de -as de andere hoofdas c ; α m α k Door dit effect is het in het algemeen niet mogelijk de verplaatsingen te bepalen met de standaard vergeet-mij-nietjes. In dit hoofdstuk ijn verschillende methoden gedemonstreerd om de verplaatsingen te bepalen op basis van:. de differentiaalvergelijking complete verplaatsingsveld direct in het oorspronkelijke --assenstelsel van de doorsnede. de aangepaste vergeet-mij-nietjes voor discrete verplaatsing midden van de overspanning in het oorspronkelijke --assenstelsel van de doorsnede. de stellingen voor het krommingsvlak voor discrete verplaatsingen direct in het oorspronkelijke --assenstelsel van de doorsnede. de ontkoppelde vervorming in de hoofdrichtingen discrete verplaatsingen midden van de overspanning op basis van de vergeet-mij-nietjes in de hoofrichtingen. erk op dat er bij dee laatste aanpak meer transformaties nodig ijn. erst moeten de hoofdrichtingen worden bepaald vervolgens moet de belasting getransformeerd worden naar de hoofdrichting om ten slotte met eenvoudige vergeet-mij-nietjes de verplaatsingen in de hoofdrichtingen te vinden. Dee verplaatsingen moeten ten slotte terug worden getransformeerd naar het assenstelsel van de doorsnede. Ook de ligging van de neutrale lijn is niet eenvoudig met dee methode op basis van hoofdrichtingen te bepalen. In de ingenieurspraktijk worden dee doorsnede berekeningen allemaal uitgevoerd door computerprogramma s of spreadsheets waardoor kennis van en het onderscheid tussen dee verschillende methoden op de achtergrond is komen te staan. Voor een goed begrip van de waargenomen fenomenen is echter dee kennis nog steeds onontbeerlijk. anpak verdient de voorkeur in geval van handberekeningen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

31 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober Uitbreiding van de theorie voor inhomogene doorsneden ls de veels in de doorsnede niet allemaal van hetelfde materiaal ijn en daardoor verschillende elasticiteitsmoduli hebben spreken we van een inhomogene doorsnede. In een inhomogene doorsnede is de elasticiteitsmodulus afhankelijk van de plaats in de doorsnede: en opichte van de afgeleide theorie voor homogene doorsneden is dit de enige verandering. Het inhomogeen ijn van de doorsnede komt dus niet tot uiting in de kinematische vergelijkingen en ook niet in de evenwichtsbetrekkingen maar uitsluitend in de constitutieve betrekkingen en de daarmee samenhangende spanningsformules. De constitutieve relatie het verband tussen de spanning en de vervorming wordt in dit geval voorgesteld door de wet van Hooke : ε σ In de op etensie en buiging belaste doorsnede ullen de veels verlengen of verkorten. De kinematische betrekkingen veranderen niet waardoor het rekverloop over de doorsnede nog steeds kan worden beschreven met de drie vervormingsgrootheden die constant ijn voor de gegeven doorsnede : ε Voor iedere veel in de doorsnede ligt hiermee de rek vast: ε ε De spanning in de veel wordt nu beschreven met: ε σ De spanningsverdeling over de doorsnede is nu niet meer lineair. Hiermee moet rekening worden gehouden bij het uitwerken van de snedekrachten. Voor de normaalkracht N wordt gevonden: d d d d d N ε ε σ Voor de buigende momenten en levert dit: d d d d d d d d d d ε ε σ ε ε σ

32 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Het verschil met de eerdere uitwerking in paragraaf. is dat de elasticiteitsmodulus een functie van en is die onder het integraalteken moet blijven. Om tot handelbare betrekkingen te komen worden de volgende doorsnedegrootheden gedefiniëerd: d d S d S d d d De op de vorige bladijde gevonden relaties tussen de snedekrachten N en werkend op de doorsnede en de vervormingen ε en behorende bij de doorsnede worden hiermee: N ε S ε S ε S S In matrivorm kan dit worden genoteerd als: N S S S S ε Op het eerste geicht lijkt dee relatie sprekend op die voor homogene doorsneden. r is echter een groot verschil. De componenten van de hierboven weergegeven matri moeten als twee-letter-smbolen worden geleen. De term bijvoorbeeld is dus niet het resultaat van de vermenigvuldiging van met maar de aanduiding voor: d De overeenkomst met de afleiding voor de homogene doorsnede is echter overduidelijk. ls het assenstelsel in het normaalkrachtencentrum NC van de doorsnede wordt gekoen dan geldt definitie van het NC: S S d 0 d 0 De gevonden constitutieve relaties worden hiermee vereenvoudigd tot: N ε basisformule Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 9

33 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Door dee gelukkige keue van het assenstelsel worden de gevallen van buiging en etensie ontkoppeld. Voor het bepalen van de spanningen in de doorsnede ten gevolge van bekende snedekrachten worden met het bovenstaande stelsel eerst de drie vervormingsgrootheden bepaald. Vervolgens kan op iedere plaats in de doorsnede de rek worden bepaald met: ε ε basisformule Voor de bepaling van de spanningen in de doorsnede moet terug worden gegrepen op de basisvergelijking: σ ε basisformule Dee werkwije is in het onderstaande schema nog eens weergegeven. - bepaal NC - bepaal - bepaal voor de doorsnede de snedekrachten N en - bepaal voor de doorsnede de vervormingsparameters ε basisformule - bepaal het rekverloop - bepaal het spanningsverloop basisformule basisformule Figuur 0 : Berekeningsschema. Omdat de elasticiteitsmodulus over de doorsnede kan variëren is het spanningsverloop nu niet gelijkvorming aan het rekverloop oals wel het geval is bij homogene doorsneden. Het is nu dus niet mogelijk om één algemeen geldende spanningsformule af te leiden oals wel het geval was voor de homogene doorsnede. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 0

34 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Ligging van het NC voor inhomogene doorsneden et de ligging van het NC wordt tevens een verschil met de homogene doorsnede aangeroerd. Voor de ligging van het NC voor de inhomogene doorsnede geldt dat de S en de S t.o.v. het NC nul moeten ijn. Op een analoge manier als voor homogene doorsneden kan met behulp van de verschuivingsregel de ligging van het NC worden bepaald. et behulp van figuur wordt dit hieronder toegelicht. NC NC NC d Figuur : Gewogen statisch moment van de doorsnede. -assenstelsel waarin NC In het verschoven normaalkrachtencentrum NC ijn geldt: NC NC Voor het gewogen statisch moment geldt: en NC de coördinaten van het S S d d d d NC NC d S d S NC NC angeien het --assenstelsel door het normaalkrachtencentrum gaat geldt per definitie: S 0; S 0 De ligging van het normaalkrachtencentrum volgt hiermee uit: NC NC S S an de hand van een voorbeeld al dit worden toegelicht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

35 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Voorbeeld : Normaalkrachtencentrum versus waartepunt en rechthoekige doorsnede bestaat uit twee materialen en. Beide materialen hebben deelfde massadichtheid maar hebben verschillende elasticiteitsmoduli. NC ateriaal : a NC NC a ateriaal : a Figuur : Rechthoekige inhomogene doorsnede. De ligging van het normaalkrachtencentrum NC t.o.v. het -assenstelsel wordt bepaald op deelfde wije als voorheen bij homogene doorsneden maar nu onder gebruikmaking van de dubbel-letter-smbolen. Verticaal: S a a a a a a a a a a a a a 6a 5 NC 6 9a a Horiontaal: NC S a a a a a a a a a a a a a a 9a a angeien beide materialen deelfde massadichtheid hebben al het waartepunt van de doorsnede t.o.v. het -assenstelsel liggen op: ZW ZW a a 6 NC Bij inhomogene doorsneden vallen dus het waartepunt en het normaalkrachtencentrum niet samen en het is dus van belang goed onderscheid te maken tussen dee beide begrippen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

36 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.. Voorbeeld : Spanningen in een inhomogene doorsnede en eenijdig ingeklemde balk heeft een inhomogene en niet-smmetrische doorsnede die is opgebouwd uit drie met elkaar verlijmde delen. De ligger wordt in C belast met een puntlast van 50 N. De doorsnede bestaat uit twee verschillende materialen oals in de onderstaande schets is weergegeven. O 50 mm P C 50 N 055 m 055 m B Q R S 0 mm 0 mm U V : Belaste constructie b : Dwarsdoorsnede W 0 mm 50 mm X 0 mm Gegevens : 6000 N/mm 000 N/mm Figuur : Inhomogene en niet-smmetrische doorsnede. Van dee constructie wordt gevraagd de normaalspanningsverdeling te berekenen in de doorsnede bij de inklemming. Daarvoor ijn een aantal karakteristieke punten in de doorsnede aangegeven waar de spanning kan worden bepaald. De oplossingsstrategie is weergegeven in het schema van figuur 0. Voor het uitwerken van dee vergelijkingen is het noodakelijk de dubbel-letter-smbolen uit te werken voor de doorsnede. Daarvoor is het nodig eerst de ligging van het normaalkrachtencentrum NC te bepalen. 50 N De doorsnede is rotatie-smmetrisch t.o.v. het waartepunt van materiaal. Het NC ligt daarom in dit rotatiecentrum. 055 m C 055 m B In figuur is de krachtsverdeling in de constructie weergegeven. In dit geval hebben we alleen te maken met een moment en een dwarskracht in de constructie. er plaatse van de inklemming ijn dee: V 50 N 7500 Nmm 50 N V-lijn 7500 Nmm -lijn Figuur : Krachtsverdeling in de ligger B. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

37 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Voor het bepalen van de dubbel-letter-smbolen wordt per materiaaldeel de bijdrage bepaald. Hiervoor ijn voor ieder deel de verschuivingen van het eigen NC t.o.v. de ligging van het NC van de totale doorsnede in - en -richting nodig. In figuur 5 is dit weergegeven. eigen NC van de bovenflens 50 mm 5 mm 0 mm 0 mm 0 mm NC eigen NC van het lijf valt samen met het NC van de doorsnede 0 mm 0 mm 0 mm 50 mm eigen NC van de onderflens Figuur 5 : Verschuivingen van eigen NC s t.o.v. het NC van de doorsnede. Voor de drie rechthoeken uit de figuur geldt voor dee verschuivingen: onderdeel Bovenflens 5 mm -0 mm Lijf 0 mm 0 mm Onderflens -5 mm 0 mm Uitwerken van de dubbel-letter-smbolen levert: lijf boven en onderflens Nmm bovenflens onderflens 9 Nmm Nmm lijf De krommingen ijn te bepalen met basisformule : boven en onderflens mm mm - - De rekverdeling over de doorsnede ligt hiermee vast. et behulp van basisformule is in ieder punt de rek te bepalen: ε ε basisformule Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

38 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De spanning in een punt kan worden gevonden door de elasticiteitsmodulus van de veel door het punt te vermenigvuldigen met de gevonden rek in dat punt: σ ε basisformule De berekening voor dee doorsnede kan eenvoudig met een spreadsheet in XCL worden uitgevoerd. Het resultaat hiervan is voor de gevraagde punten in de onderstaande tabel weergegeven. enheden N mm Punt [mm] [mm] -modulus [N/mm ] Rek [*0 - ] Spanning [N/mm ] ateriaal ateriaal ateriaal O P Q S R S U V W X Voor de vier punten RS en U ijn twee waarden voor de spanningen mogelijk. fhankelijk of gekeken wordt naar de spanning in materiaal of in materiaal wordt de rek in dee punten vermenigvuldigd met de elasticiteitsmodulus van materiaal of die van materiaal. Dit leidt tot een sprong in het spanningsverloop. Voor punt S is dit met vet in de tabel aangegeven. Grafisch kunnen de resultaten ook worden weergegeven. Hiervoor is het van belang om eerst de ligging van de neutrale lijn te bepalen. De vergelijking hiervan is : ε angeien er geen normaalrek aanweig is gaat de neutrale lijn door het NC van de doorsnede. In de figuur op de volgende bladijde is dee neutrale lijn getekend. Loodrecht op dee neurale lijn staat het vlak k waarin de ligger kromt. Net als bij het voorbeeld van de homogene doorsnede wordt het spanningsdiagram loodrecht op de neutrale lijn uitgeet. Om de spanningen op een heldere manier gepresenteerd te krijgen wordt het aangeraden om per materiaal de spanningsverdeling over de doorsnede in een aparte figuur aan te geven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

39 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden In de onderstaande figuur ijn de spanningen in materiaal en grafisch weergegeven. k 0 mm n.l NC 0 mm 97 N/mm 0 mm 0 mm 50 mm n.l k ateriaal 657 N/mm - 97 N/mm - ateriaal Figuur 6 : Neutrale lijn kromming en spanningen in materiaal en. Ook voor dee constructie kunnen de verplaatsingen in - en -richting worden bepaald met behulp van de aangepaste vergeet-mij-nietjes. Dit wordt aan de leer overgelaten.. Krachtpunt in de doorsnede De vergelijking van de rek oals die tot nu toe is gehanteerd luidt: ε ε Uiteraard is dee vergelijking afhankelijk van de belasting. ls de normaalkracht N in de doorsnede nul is dan is de normaalrek ε nul en gaat de neutrale lijn door het NC oals ook in het vorige voorbeeld het geval was. ls de normaalkracht N ongelijk is aan nul al de neutrale lijn niet door het NC van de doorsnede gaan! De vergelijking van de rek kan met behulp van de constitutieve vergelijking ook direct worden uitgedrukt in de snedekrachten N en. Hiervoor worden de uitdrukkingen van paragraaf..5 gebruikt: ε N χ χ χ χ Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

40 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De vergelijking voor de rek wordt hiermee: χ χ χ N ε χ ls de normaalkracht N ongelijk is aan nul kunnen de momenten ook worden uitgedrukt in een ecentrisch aangrijpende normaalkracht N: N e N e De normaalkracht wordt dus verschoven gedacht t.o.v. het normaalkrachtencentrum en grijpt aan in e e. r werkt dus nu alleen een ecentrische normaalkracht op de doorsnede en dee grijpt aan in het krachtpunt. Door de momenten uit te drukken in de normaalkracht kan de gevonden relatie voor de rek geschreven worden als: ε ε N N χ N e χ N e χ N e χ N e [ χ e χ e χ e χ e ] Dee laatste vergelijking geeft de rek ε in voor een normaalkracht N in e e. ls in gedachten de kracht N in wordt geplaatst en de rek ε wordt bepaald in e e blijkt dee deelfde waarde op te leveren. In de onderstaande figuur is dit gedachteneperiment weergegeven. P ε P Q N Q ε N Figuur 7 : Wederkerigheid van awell. In woorden houdt dit in : De rek in P t.g.v. een kracht N in Q is gelijk aan de rek in Q t.g.v. een kracht N in P. Dit principe staat bekend als de wederkerigheidsstelling van awell. Dit principe geldt algemeen voor lineair elastische sstemen waar het beginsel van superpositie op mag worden toegepast. Van dit principe al nog vaker gebruik worden gemaakt. Bijonder geval: ls de - en -as samenvallen met de hoofdrichtingen kan de gevonden uitdrukking voor de rek sterk worden vereenvoudigd. r geldt dan immers : χ 0; χ ; χ Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

41 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De rek wordt nu beschreven met: N e e ε smmetrisch profiel Door gebruik te maken van het begrip traagheidsstraal of oppervlaktemomentarm i kan dee vergelijking nog verder vereenvoudigd worden: i ; i smmetrisch profiel De rek wordt hiermee: N e e ε smmetrisch profiel i i Van dee beschrijving van de rek al in de volgende paragraaf over de kern gebruik worden gemaakt..5 Kern van de doorsnede ls de neutrale lijn in de doorsnede ligt deelt dee de doorsnede in een deel dat onder trek staat en in een deel dat onder druk staat. Sommige materialen kunnen niet of nauwelijks trekspanningen opnemen. Voor dee materialen is het belangrijk de doorsnede odanig te belasten dat er uitsluitend drukspanningen optreden. De neutrale lijn moet dan buiten de doorsnede liggen of juist raken aan de doorsnede. et dee eis is een gebied te bepalen in de doorsnede waar het krachtpunt ich mag bevinden opdat nergens in de doorsnede de rek en daarmee de spanning van teken wisselt. Dit gebied wordt de kern van de doorsnede genoemd. In paragraaf.9 van CH- is het begrip kern geïntroduceerd en is dee voor een rechthoekige doorsnede bepaald. Voor de rechthoekige doorsnede met afmetingen b h bleek de kern een ruit te ijn met hoekpunten die een afstand tot het NC hebben in - en -richting van respectievelijk 6 b en 6 h. In figuur 8 is dit weergegeven. h/ h In dee paragraaf al een algemene methode worden beschreven waarmee ook voor niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden de kern kan worden bepaald. We maken daarbij gebruik van twee belangrijke uitgangspunten : Figuur 8 : b b/ Kern van een rechthoekige doorsnede. o De neutrale lijn mag nergens binnen de doorsnede liggen. o Doorsneden met rechte randen hebben een kern die bestaat uit een polgoon. De eerste eis volgt direct uit de definitie van de neutrale lijn dat nergens in de doorsnede de rek en daarmee de spanning van teken mag wisselen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 8

42 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Voor de doorsnede in figuur 9 betekent dit dat de neutrale lijn altijd buiten de buitenomtrek BDFH moet liggen. H B C G F D Figuur 9 : Ligging van de neutrale lijn buiten de buitenomtrek van de doorsnede. Op basis van dit uitgangspunt is iedere buitenrand van de doorsnede een uiterste ligging voor de neutrale lijn opdat nergens in de doorsnede een tekenwisseling van de rek optreedt. Dit betekent dat bijvoorbeeld voor de hierboven afgebeelde doorsnede dat er es randen ijn die onderocht moeten worden. Iedere rand en daarmee de uiterste ligging voor de neutrale lijn levert een krachtpunt op. Dit krachtpunt is een punt dat op de rand van de kern van de doorsnede ligt. Voor de tweede eis onderoeken we de rand van de kern van een doorsnede die bestaat uit rechte randen waarvan twee kernpunten bekend ijn. De rand van de kern is de verameling van krachtpunten die hoort bij alle mogelijke neutrale lijnen die gaan door het hoekpunt dat het snijpunt vormt van de twee beschouwde randen en dat een punt van de doorsnede is. In figuur 0 is dit weergegeven. Rand - levert kernpunt op. Rand - levert kernpunt op. lle mogelijke neutrale lijnen door het hoekpunt B leveren krachtpunten op de verbindingslijn tussen kernpunt en. Dat dee verbindingslijn een rechte is kan verklaard worden met behulp van het eerder afgeleide wederkerigheidsprincipe van awell. B b Figuur 0 : Neutrale lijn door hoekpunt. h ls het krachtpunt samenvalt met hoekpunt B van de in figuur 0 weergegeven rechthoekige doorsnede dan kan de ligging van de neutrale lijn worden bepaald met de eerder op bl 8 weergegeven formule voor de rek. Voor de traagheidsstralen van de doorsnede geldt : b h bh i b ; i h ls B het krachtpunt is geldt: e b; e h Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 9

43 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De neutrale lijn die hoort bij dit krachtpunt is: N e e ε 0 i i b h 0 b h neutrale lijn b h Voor 0 gaat dee lijn door kernpunt voor 0 gaat dee lijn door kernpunt. ls het krachtpunt in B ligt is voor alle punten van de neutrale lijn de spanning nul. Volgens awell moet dan ook gelden dat de normaalspanning in B nul moet ijn voor alle krachtpunten ergens op de hierboven bepaalde lijn door de kernpunten en. Hiermee is beween dat de rand van de kern een rechte lijn is. Uiteraard moet dit bewijs ook geldig ijn voor niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden aangeien de neutrale lijn altijd een rechte lijn is. De kinematische betrekkingen veranderen immers niet door het nietsmmetrisch en/of inhomogeen ijn van de doorsnede. ls de doorsnede niet uitsluitend bestaat uit rechte randen wordt het bepalen van de kern een stuk bewerkelijker. In de onderstaande figuur wordt dit verduidelijkt. B Figuur : Willekeurige vormen voor de doorsnede. b De kern van de doorsnede uit figuur al bestaan uit rechte lijnen. Immers de lijnen van de buitenranden snijden elkaar in een punt dat tevens een punt van de doorsnede is. De buitenranden van figuur b leveren niet uitsluitend snijpunten op die ook in de doorsnede liggen. Rand - en - snijden elkaar in een punt buiten de doorsnede. Voor het bepalen van de rand van de kern tussen kernpunt en al voor ieder punt op rand -B een raaklijn moeten worden bepaald die als neutrale lijn een krachtpunt oplevert dat op de rand ligt van de kern tussen kernpunt en. Dit deel van de rand van de kern al geen rechte lijn ijn! Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 0

44 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Voor het bepalen van de kern van een willekeurige doorsnede echter kan geen gebruik worden gemaakt van de formules op bl 8. Hiervoor moet worden teruggegrepen op de algemene beschrijving van de neutrale lijn van figuur hier overgenomen als figuur b: ε ε 0 0 ε ε met : ε 0 n.l. Om de kernpunten te vinden wordt een ligging van de neutrale lijn langs de rand van de doorsnede aangenomen. Stel dee neutrale lijn gaat door de punten 0 en 0. Voor dee ligging van de neutrale lijn geldt dan ie figuur c: ε ε Om de plaats van het krachtpunt te vinden dat bij dee ligging van de neutrale lijn behoort passen we opnieuw de constitutieve relaties toe waarbij we de momenten in de doorsnede uitdrukken in de in het krachtpunt aangrijpende ecentrische normaalkracht : Figuur b : Ligging van de neutrale lijn in de doorsnede n.l. N 0 0 en : 0 0 ε e e N e krachtpunt e Combineren van dee uitdrukkingen leidt tot: e e ε et de aangenomen ligging van de neutrale lijn volgt hiermee voor de ligging van het daarbij behorende krachtpunt punt van de kern : ε ε Figuur c : Ligging van het krachtpunt behorende bij een neutrale lijn die raakt aan de doorsnede e e basisformule an de hand van een voorbeeld al dee methode gedemonstreerd worden. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

45 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.5. Voorbeeld 5 : Kern van een niet-smmetrische doorsnede Van de in figuur weergegeven homogene doorsnede wordt gevraagd de kern te bepalen. anpak : ls de neutrale lijn samenvalt met een buitenrand van de doorsnede dan is het daarbij behorende krachtpunt in de doorsnede een punt van de kern. De buitenrand van de gegeven doorsnede bestaat uit 5 lijnen waarmee 5 hoekkernpunten kunnen worden bepaald. Berekening : Voor het bepalen van de hoekpunten van de kern ijn de volgende gegevens van de doorsnede nodig: o ligging van het NC --assenstelsel o ; ; ; mm 80 mm 0 mm 00 mm NC 08 mm 0 mm 80 mm 00 mm Het NC wordt bepaald met de eerder beschreven methode. Hieruit volgt voor de ligging van het NC t.o.v. de bovenrand : 0 60 NC mm Voor de ligging van het NC t.o.v. de rechterrand geldt: 0 60 NC mm In figuur is de ligging van het NC weergegeven. en opichte van dit assenstelsel kunnen de overige doorsnede gegevens worden bepaald: I I I Figuur : Homogene doorsnede mm Voor het bepalen van de vijf kernpunten wordt de rand-nummering volgens figuur aangehouden. De berekening kan geheel met behulp van een spreadsheet in XCL worden gemaakt. Per buitenrand ijn de snijpunten 0 en 0 met de assen bepaald. Vervolgens wordt de hierbij behorende ligging van het kernpunt bepaald met basisformule : mm 6 mm e e en overicht van dee berekening is in de onderstaande tabel weergegeven de kern van de doorsnede is in figuur aangegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

46 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden 5 mm 80 mm 0 mm abel : Berekeningsresultaat lijn kernpunt e e mm NC 5 80 mm 0 mm 5 08 mm Figuur : Buitenrand en kern. ls de normaalkracht in de doorsnede aangrijpt in het door de 5 kernpunten omsloten kern al nergens in de doorsnede een tekenwisseling optreden in de rek en daarmee de spanning. Belangrijk daarbij is dat het niet uitmaakt hoe groot dee normaalkracht is! Dit kan belangrijk ijn voor bijvoorbeeld voorgespannen betonnen liggers. Indien de voorspanning aangrijpt binnen de gevonden kern van de doorsnede ullen nergens in de doorsnede trekspanningen optreden. Ook hier is belangrijk op te merken dat dat onafhankelijk is van de grootte van de voorspanning! et name voor prefab-liggers die voorgespannen worden is het belangrijk dat er ten gevolge van de permanente en rustende belasting geen scheurvorming aan de bovenijde van de ligger optreedt. en conservatieve veilige ligging van de voorspanning is in dat geval het onderste kernpunt. Op dee manier is bij het ontwerp snel de ligging van de voorspanning in de doorsnede te bepalen. Bij de colleges voorgespannen beton al verder ingegaan worden op dee materie. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

47 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.6 emperatuurinvloeden* Verhinderde uitetting ten gevolge van temperatuurinvloeden kan leiden tot aanienlijke spanningen in constructies. Dee spanningen kunnen elfs vaak maatgevend ijn voor de dimensionering van doorsneden. In CH- is in paragraaf. de invloed van een lineair over de doorsnede verlopende temperatuurverandering onderocht op een homogene en smmetrische doorsnede. In dit deel al dee aanpak worden uitgebreid tot een algemeen geldende methode die toepasbaar is op niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden en waarbij het temperatuurverloop over de doorsnede een willekeurig functie van en mag ijn. et behulp van de eerder geïntroduceerde constitutieve betrekkingen die voor nietsmmetrische inhomogene doorsneden gebaseerd is op de twee-letter smboliek al de methode uit CH- worden gegeneraliseerd. Uitgangspunt is dat owel de elasticiteitsmodulus als de lineaire uitettingscoëfficiënt α en de temperatuurverhoging over de doorsnede functies van en ijn. α α In de presentatie van de formules al in verband met de overichtelijkheid dee afhankelijkheid van en niet altijd worden aangegeven. Bij de afleiding wordt uitgegaan van de eerder in paragraaf. gestelde aannamen. In het veelmodel wordt de rek in een veel opgebouwd gedacht uit een aandeel ten gevolge van spanningen en een aandeel ten gevolge van temperatuurinvloeden. Het is van belang dee aandelen duidelijk aan te geven. et een boveninde wordt dit onderscheid aangegeven: ε σ ε : rek ten gevolge van een temperatuurinvloed : rek ten gevolge van een spanning De rek in een veel ten gevolge van een temperatuurverhoging wordt bepaald met : ε α De rek ten gevolge van de spanning in de veel volgt uit de constitutieve betrekking voor de bewuste veel. Voor een lineair elastisch materiaal is dat de wet van Hooke: σ ε σ De totale rek in een veel ten gevolge van de temperatuurinvloed en de spanning is: σ σ ε ε ε α et eerder afgeleide kinematische betrekking kan het rekverloop over de doorsnede worden bepaald : ε ε Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07

48 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5 Combineren van dee laatste twee formules levert: { } α ε σ Op basis van dee uitdrukking kunnen de snedekrachten N en op de in paragraaf. beschreven wije worden bepaald. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de bekende twee-letter-smbolen : Normaalkracht: { } d S S d d N α ε α ε σ Buigend moment: d S d d S d α ε σ α ε σ Door een speciale keue van het assenstelsel namelijk door het normaalkrachtencentrum NC kunnen de gevonden uitdrukkingen voor de snedekrachten worden vereenvoudigd tot: N d d d α α α ε basisformule 5 Hieruit blijkt dat de invloed van de temperatuur tot uitdrukking komt in de bovenstaande constitutieve vergelijking. ls de staaf onbelast is en volkomen vrij kan vervormen dan ijn de snedekrachten nul. De optredende rek en krommingen ijn in dat geval uitsluitend het gevolg van de temperatuurverandering in de doorsnede. Dee vervormingsgrootheden kunnen uit de bovenstaande basisformule 5 worden bepaald. d d d α α α ε

49 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Oplossen van dit stelsel kan met behulp van de eerder gebruikte inverse van de stijfheidstensor met: det det det 0 det det De vervormingen t.g.v. de temperatuurinvloed ijn nu te bepalen: ε det det α d α d α d α d α d basisformule 6 et dee uitdrukkingen is basisformule 5 eenvoudiger te schrijven: N ε ε De hier afgeleide formules worden sterk vereenvoudigd als gewerkt wordt in een assenstelsel dat samenvalt met de hoofdrichtingen van de doorsnede. In dat geval treedt er een ontkoppeling op tussen buiging om de - en -as. De constitutieve relaties worden dan: N ε ε ε α d/ α d / α d/ in hoofdrichtingen Op dee wije is ten gevolge van de temperatuurbelasting alleen de constitutieve betrekking gewijigd. r ontstaan echter op constructie-niveau ook nog de nodige problemen bij het bepalen van de effecten van de temperatuurinvloeden op de krachtsverdeling en de vervorming van een constructie. Daarvoor is het noodakelijk onderscheid te maken tussen statisch bepaalde en statisch onbepaalde constructies. Statisch bepaalde constructies: ls de staaf vrij kan vervormen statisch bepaalde constructies kunnen de verplaatsingen en rotaties ten gevolge van de temperatuurverandering rechtstreeks worden berekend uit het verloop van ε en. De temperatuurinvloed heeft dus geen invloed op de krachtsverdeling maar leidt slechts tot een etra vervorming. De staafkrachten N en ijn alleen afhankelijk van de belasting en kunnen direct op basis van het evenwicht worden bepaald. an de hand van een voorbeeld al dit verderop worden toegelicht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

50 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Statisch onbepaalde constructies: ls de staaf niet vrij kan vervormen statisch onbepaalde constructies is de situatie gecompliceerder. De krachtsverdeling is dan niet uitsluitend op basis van het evenwicht te bepalen. De verhinderde vervorming ten gevolge van de temperatuurinvloed heeft invloed op de krachtsverdeling. et behulp van vormveranderingsvoorwaarden waarin de verhinderde vervorming ten gevolge van de temperatuurinvloed is verwerkt kan de krachtsverdeling worden bepaald. et dee krachtsverdeling N en kunnen vervolgens de totale vervorminggrootheden ε en van de doorsnede worden bepaald: N ε ε De spanningsverdeling in de doorsnede wordt tenslotte bepaald met: σ σ ε { ε ε } { ε α } et behulp van twee voorbeelden al de spanningsverdeling in een doorsnede worden toegelicht. Het eerste voorbeeld betreft een statisch bepaalde constructie het tweede voorbeeld betreft een statisch onbepaalde constructie..6. Voorbeeld 6 : Statisch bepaalde constructie onder temperatuurbelasting en inhomogene prismatische uitkragende -ligger wordt alleen belast door temperatuurinvloed. De constructie en de doorsnede van de ligger ijn in de onderstaande figuur gegeven. l Figuur : Uitkragende ligger belast door een temperatuurinvloed. De beide materialen waaruit de doorsnede is opgebouwd gedragen ich lineair elastisch het lijf heeft een elasticiteitsmodulus en de flens een elasticiteitsmodulus 075. De lineaire uitettingscoëfficiënt van de bovenflens is α. De temperatuurinvloed bestaat uit een lineair over de hoogte van de flens verlopende temperatuurverhoging. Dee temperatuurgradiënt is in de figuur aangegeven in de breedte van de flens is de temperatuur constant. Het lijf ondervindt geen temperatuursverhoging. Gevraagd: a Bepaal de krachtsverdeling in de constructie b bepaal het spanningsverloop in doorsnede c maak een schets van de balk in de verbogen stand d bepaal de grootste verticale verplaatsing van de ligger. B 6a a 6a a 6a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

51 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Uitwerking: De constructie is statisch bepaald en kan daardoor vrij vervormen. De krachtsverdeling in de ligger wordt uitsluitend bepaald door de belasting en niet door de temperatuurinvloed. a In dit geval is er geen belasting aanweig en ijn alle snedekrachten gelijk aan nul. b Om het spanningsverloop te kunnen bepalen moet eerst de vervorming ten gevolge van de temperatuurinvloed worden bepaald. Hiervoor ijn de nodige doorsnede gegevens nodig oals de ligging van het NC de rekstijfheid en de buigstijfheid. emperatuurverloop: Het temperatuursverloop in de flens van de doorsnede is te beschrijven met: met : a a a Normaalkrachtencentrum: Het normaalkrachtencentrum al op de as van smmetrie moeten liggen. lleen de verticale positie van het NC hoeft te worden bepaald. en opichte van de bovenkant het het profiel is de ligging van het NC te bepalen met: NC a flens 5a lijf a a 6a 5a 6a a a 6a 6a a a Figuur 5 : NC in de doorsnede. Vanwege de smmetrie ullen de hoofdrichtingen van dit profiel samenvallen met het -assenstelsel door het gevonden NC. In figuur 5 is dit weergegeven. Rekstijfheid: De rekstijfheid van de doorsnede is te bepalen met: a flens lijf a a a a Buigstijfheid: De veels op afstand van het NC ullen in de breedte van de ligger allen deelfde verlenging ondergaan. Vanwege de smmetrie al de ligger niet in de -richting krommen 0. Over de hoogte van de ligger ondergaan de veels wel verschillende verlengingen er treedt daardoor in de -richting wel een kromming op. Voor het verdere verloop van de berekening is het daarom alleen nodig om de te bepalen. { } 6a 6a a { a 6a a 6a } 7a De vervormingen ten gevolge van de temperatuurinvloed ijn nu te bepalen met basisformule 6: Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 8

52 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 9 a ad a ad a a a a a α α α α ε 68 7 / 6 0 / 6 Het rekverloop in de doorsnede is bij vrije vervorming: ε ε Voor de spanningsverdeling in de doorsnede geldt : { } { } { } σ α ε α ε ε ε ε σ Uitwerken levert voor de flens van de doorsnede: a a a α α α α σ In het lijf van de doorsnede geldt voor de spanningsverdeling: a a α α α σ Het rekverloop en de spanningsverdeling over de hoogte van de ligger is in figuur 6 weergegeven. Figuur 6 : Rekverdeling en spanningsverdeling over de hoogte van de doorsnede. α σ flens -a -90/7 flens -a 7/7 lijf -a 96/7 lijf 5a -7/7

53 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Opvallend aan dee figuur is dat de spanningsverdeling over de hoogte niet congruent is aan de rekverdeling over de hoogte. Nog opvallender is dat de spanningsverdeling tweemaal van teken wisselt en dat terwijl de rekverdeling slechts eenmaal van teken wisselt. De ooraak ligt in het feit dat slechts een deel van de veels in de ligger verlengen door een temperatuurverhoging. De overige veels ondergaan een rek omdat de doorsnede vlak moet blijven aanname. Dee verlenging of verkorting moet odanig ijn dat de daarbij optredende spanningen een evenwichtssteem ΣN0; Σ0vormen. De ligger kan immers vrij vervormen waardoor er geen snedekrachten kunnen optreden maar blijkbaar wel normaalspanningen! Uit dit voorbeeld blijkt dat de neutrale lijn niet eenduidig kan worden gedefinieerd als de lijn waarin de spanningen nul ijn. De neutrale lijn deelt de doorsnede slechts in een deel dat wordt gerekt en een deel dat wordt gestuikt. Het begrip neutrale lijn kan bij een temperatuurinvloed dus alleen gehanteerd worden bij de rekverdeling. c en gevolge van de temperatuurinvloed en het vrij kunnen vervormen van de ligger al de rekverdeling in alle doorsneden hetelfde ijn. In figuur 7 ijn de rek en kromming uitgeet langs de ligger-as. Figuur 7 : Rek en kromming langs de ligger-as en de vervorming van de ligger. De verlenging van de ligger is te bepalen uit de rek: u ε l αl et behulp van het krommingsvlak is de verticale verplaatsing van de ligger in B te bepalen: θ l u θ 7 68 l α 7 6 l a l α a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 50

54 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.6. Voorbeeld 7 : Statisch onbepaalde constructie onder temperatuurbelasting Deelfde doorsnede als in het vorige voorbeeld wordt nu toegepast in een statisch onbepaalde constructie. Ook nu wordt de inhomogene prismatische uitkragende -ligger alleen belast door deelfde temperatuurinvloed als in het vorige voorbeeld. De constructie en de doorsnede van de ligger ijn in de onderstaande figuur gegeven. l Figuur 8 : Ingeklemde ligger belast door een temperatuurinvloed. De constructie is in ingeklemd en in B opgelegd door middel van een roloplegging. Gevraagd: a Bepaal de krachtsverdeling in de constructie b bepaal het spanningsverloop in doorsnede c maak een schets van de balk in de verbogen stand d bepaal de grootste verticale verplaatsing van de ligger. B Uitwerking: De constructie is nu statisch onbepaald en de verplaatsing ten gevolge van de temperatuurinvloed kan niet vrij optreden. De krachtsverdeling in de constructie is hierdoor afhankelijk van het vervormingsgedrag. Door een statisch bepaald hoofdssteem te kieen met de daarbij behorende statisch onbepaalde en een nader te formuleren vervormingseis kan de krachtsverdeling worden bepaald ie hiervoor CH-. Nieuw element in dee aanpak is dat in de vervormingseis de vrije vervorming t.g.v. de temperatuurinvloed al moeten worden meegenomen. 6a a 6a a 6a a ls statisch bepaald hoofdssteem wordt gekoen voor de ingeklemde ligger van figuur 9 waarbij de verticale oplegreactie in B de statisch onbepaalde is. De hierbij behorende vormveranderingseis v.v.v. is: u B 0 l B B V Figuur 9 : Statisch bepaald hoofdssteem. Voor het uitwerken van dee v.v.v. kan handig gebruik gemaakt worden van de resultaten uit het vorige voorbeeld. Daar is immers de vrije vervorming t.g.v. de temperatuurinvloed bepaald. Dit levert voor de oplegreactie in B: B l 7 l V u B 6 α 0 BV α a a l De krachtsverdeling in de ligger volgt nu verder uit het evenwicht. In figuur 50 is dee weergegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

55 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Figuur 50 : Krachtsverdeling. b In de doorsnede t.p.v. is het buigend moment: αa Het --assenstelsel valt samen met de hoofdrichtingen van de doorsnede in dat geval kan de kromming in de -richting direct uit dit moment worden bepaald: αa 7a α 7a De spanningsverdeling die hierbij hoort is: α σ ε 7a Voor een aantal plaatsen in de doorsnede kunnen de spanningen hiermee worden bepaald. De rekverdeling en de spanningsverdeling in doorsnede ijn hieronder weergegeven. σ α flens -a -95/7 flens -a -5/7 lijf -a -/7 lijf 5a 0/7 Figuur 5: Rek- en spanningsverloop ten gevolge van de statisch onbepaalde B V. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

56 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De uiteindelijke rek- en spanningstoestand wordt gevonden door die ten gevolge van het buigend moment te superponeren op die ten gevolge van de temperatuurverandering bij vrije vervorming. Het resultaat is in figuur 5 weergegeven in een rek- en spanningsdiagram. Figuur 5 : otale rek- en spanningsverdeling voor doorsnede. c Het uiteindelijke krommingsverloop is ook de superpositie van het krommingsverloop ten gevolge van het buigend moment en dat tengevolge van de temperatuurverandering bij vrije vervorming. Figuur 5 : otale kromming. Op deelfde wije als bij het vorige voorbeeld kan uit het krommingsverloop de verticale verplaatsing worden bepaald. De maimale verticale verplaatsign treedt op waar de hoekverdraaing gelijk is aan nul. Uit het krommingsdiagram van figuur 5 kunnen we ien dat de hoekverdraaiing in C gelijk al ijn aan nul. Dit kan ook worden ingeien als Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

57 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden we gebruik maken van de eacte bepaling van de hoekverdraaiing door integratie van de kromming: C ϕ ϕ d C angeien in de hoekverdraaiing al nul is en het totale oppervlak van het krommingsvlak over het deel C nul is is de hoekverdraaiing in C nul. Dit levert voor de plaats waar de grootste verticale verplaatsing optreedt: C l De verticale verplaatsing in C is vervolgens te bepalen met de in figuur 5 tussen haakjes aangegeven verandering van de hoekverdraaiing θ : θ u C l k 5 9 lθ 6 9 kl lθ 5 kl 5 7 αl a αl 7a Opmerking: In beide uitgewerkte voorbeelden geldt in het staafeinde B dat de snedekrachten N en nul ijn. De berekende spanningsverdeling in doorsnede B is gelijk aan die bij de vrije vervorming van voorbeeld 6. De spanningsverdeling in B is echter niet realistisch. Op het kopse vlak van de staaf in B werkt geen uitwendige belasting de spanningen in het materiaal ullen daar dan ook nul moeten ijn. De hier geschetste aanpak geeft op dit punt dus een onjuist antwoord. De uitkomsten ijn echter eer behoorlijk tot op een afstand van ongeveer maal de hoogte van de ligger vanaf de rand B. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 5

58 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7 Schuifspanningen in niet-smmetrische en of inhomogene doorsneden Naast normaalspanningen ontstaan in een doorsnede ook schuifspanningen. In CH- ijn in hoofdstuk 5 de basisbegrippen en de berekeningsmethoden geïntroduceerd. Daarbij is steeds uitgegaan van homogene en smmetrische doorsneden. In dee paragraaf al de aanpak worden gegeneraliseerd naar niet-smmetrische en of inhomogene doorsneden en al ook gekeken worden naar de ligging van het dwarskrachtencentrum DC. ls het buigend moment in een ligger niet constant is moet de ligger ook dwarskrachten overbrengen. Dit leidt tot schuifspanningen in de doorsnede. et een evenwichtsbeschouwing is echter ook aan te tonen dat hierdoor schuifstromen en daarmee schuifspanningen in de lengterichting ontstaan. In figuur 5 is een stukje van een ligger weergegeven. In de beide sneden van dit liggerdeel ijn de positief werkende snedekrachten aangegeven. De normaalkracht in de ligger wordt constant verondersteld. Door de belasting q en q niet aangegeven op het liggermootje ijn de snedekrachten V en in de positieve snede een klein beetje aangegroeid ten opichte van dee snedekrachten in de negatieve snede. q NC doorsnede R N σ σ spanningsverdeling op de linkerijde V s V V N R R spanningsverdeling op de rechterijde a a Figuur 5 : Schuifkrachten in de doorsnede en in de lengterichting. Om de schuifkracht in langsrichting en daarmee de schuifspanning in langsrichting te kunnen bepalen is in de doorsnede een afschuivend deel met oppervlak aangegeven. ls het afschuivende deel van het liggermootje wordt vrijgemaakt en alle op de doorsnede werkende horiontale krachten worden aangegeven ontstaat figuur 55. Hierbij ijn op beide verticale snedevlakken de resultante van de normaalkracht R en R R op het afschuivende deel aangegeven. NC R s Figuur 55 : Vrijgemaakt afschuivende deel. R R a a Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 55

59 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Uit het horiontale evenwicht van dit afgeschoven deel kan de nog onbekende schuifstroom s in de horiontale doorsnede met lengte worden bepaald. Het evenwicht in de -richting van het afschuivende mootje levert: R s s R R R 0 In de limiet overgang 0 wordt de schuifkracht per eenheid van lengte bepaald door: s d R d De resultante normaalkracht op het afgeschoven deel is te bepalen met behulp van de verdeling van de normaalspanningen op dit afgeschoven deel: R σ d a De spanningsverdeling op het afschuivende deel kan worden bepaald met de eerder ingevoerde relatie: { ε } σ Waarbij ε en de vervormingsgrootheden van de doorsnede ijn. De stap om van de schuifkracht te komen tot schuifspanningen wordt eerst uitgewerkt voor het geval dat het -assenstelsel samenvalt met het hoofdassenstelsel van de doorsneden vervolgens wordt de methode afgeleid voor het algemene geval..7. Schuifspanningsformules als - en hoofdrichtingen ijn ls het --assenstelsel samenvalt met de hoofdrichtingen gelden de volgende betrekkingen: N ε Door vergelijking met te combineren ontstaat: N σ 5 Door dit resultaat te substitueren in vergelijking en vervolgens toe te passen op ontstaat: d dr dσ dn d s d d a d a d d d d Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 56

60 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Dee uitdrukking kan vereenvoudigd worden met behulp van de bekende betrekkingen: V V d d d d Indien oals aangenomen de normaalkracht N constant is dan geldt: dn d 0 ls de balk prismatisch is dan ijn de stijfheidstermen en constant over de lengte van de balk. Dee kunnen dan buiten het integraalteken worden gehaald en voor de schuifkracht per eenheid van lengte kan o worden gevonden: s V V d d a a et behulp van de twee-letter-smbolen kan dit geschreven worden als: s V V S basisformule 7 S Dee uitdrukking is nagenoeg identiek aan de in CH- gevonden uitdrukking. Nieuw element hier is de uitbreiding t.g.v. de belasting in -richting. De schuifspanningen kunnen bepaald worden door de gevonden schuifkracht per eenheid van lengte te delen door de breedte van het oppervlak van vlak waarin dee werkt. In figuur 56 is dit weergegeven waarbij oals gebruikelijk een m-as is aangegeven voor de benoeming van de schuifspanning. NC Figuur 56 : Schuifspanningen in de ligger op afstand vanaf het NC. De gevraagde schuifspanningen in de doorsnede moeten gelijk ijn aan de gevonden schuifspanning in lengterichting. Het bewijs hiervoor is in paragraaf 5.. van CH- gegeven: σ m σ m σ m s σ m m-as b σ m s b Opmerking: Hier wordt aangenomen dat de schuifspanning constant is over de breedte. In werkelijkheid hoeft dit niet het geval te ijn echter voor beperkte breedten is dee aanname realistisch. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 57

61 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7.. Voorbeeld 8 : Schuifspanning in een samengestelde doorsnede Van een staal-betonligger oals in figuur 57 is weergegeven vallen de hoofdassen samen met het --assenstelsel door het NC. V 0 kn 00 mm 800 mm NC - 50 mm 50 mm Figuur 57 : Staal-betonligger. 000 mm De doorsnede wordt belast door een dwarskracht V van 0 kn. Van het staalprofiel ijn de doorsnede gegevens t.o.v. het eigen NC bekend. De betonnen flens is volledig stijf bevestigd aan het stalen profiel odat er sprake is van een volledige samenwerking tussen de beide delen. De overige gegevens ijn hieronder weergegeven: Oppervlakte staalprofiel igentraagheidsmoment staalprofiel lasticiteitsmodulus staal lasticiteitsmodulus beton Dwarskracht staal I staal staal 000 mm 0 6 mm 0 5 N/mm beton 000 N/mm V 0 kn Gevraagd wordt om de schuifkracht in de verbinding tussen beton en staal te berekenen. Uitwerking: De schuifkracht kan met basisformule 7 worden bepaald. Hiervoor is het noodakelijk om eerste de twee-letter-smbolen voor de doorsnede uit te werken. Daarvoor is het nodig om eerst de ligging van het NC van de samengestelde doorsnede te bepalen. De horiontale ligging is bekend vanwege de smmetrie al het NC op de verticale as van smmetrie moeten liggen. en opichte van het -assenstelsel ligt het NC van de samengestelde doorsnede op: beton staal NC 00 mm beton angeien de dwarskracht alleen in de -richting werkt hoeft de -term niet te worden uitgewerkt. lleen de buigstijfheid hoeft te worden bepaald: beton staal 6 [ ] [ ] 0 0 Nmm ls afschuivend deel wordt de betonflens gekoen. De schuifkracht volgens basisformule 7 wordt hiermee: s V S 0 0 staal [ ] beton N/mm Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 58

62 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7. lgemeen geldende schuifspanningsformules ls de hoofdassen van de doorsnede niet samenvallen met het --assenstelsel kan geen gebruik gemaakt worden van basisformule 7. Dee formule is immers gebaseerd op de ontkoppeling van buiging om de - en -as. Voor willekeurige doorsneden moet daarom teruggegrepen worden naar het uitgangspunt voor het bepalen van de schuifkracht per eenheid van lengte: s d R d De normaalspanningen op het afschuivende deel verlopen lineair en worden voor een deel verooraakt door de normaalkracht N en voor een deel door het resulterend moment in de doorsnede. De grootte van de resultante R kan gesplitst worden in een aandeel R t.g.v. N en een aandeel R t.g.v.. Vanwege het lineair verloop van de spanningen ijn dee aandelen daarbij lineair afhankelijk van de grootte van de normaalkracht N en het resulterend moment in de doorsnede. N R N R R c N c met: Ga elf na dat de coëfficiënten c en c eenvoudig te bepalen ijn met: R N R a a N ; c c Door de kettingregel toe te passen op vergelijking ontstaat: s a a a dr d dr V met: d d d V V V Hierin is V de resulterende dwarskracht in het vlak van de doorsnede. Vanwege de lineaire relatie tussen R en N is dee vergelijking te herschrijven tot: d cn c R s V V cv basisformule 8 d Hier staat in woorden dat de schuifkracht per eenheid van lengte gelijk is aan een schalingsfactor maal de resultante dwarskracht in de doorsnede. De schalingsfactor is gelijk aan de resultante normaalkracht op het afschuivende deel t.g.v. alleen het moment gedeeld door de grootte van dit moment. erk op dat de schalingsfactor onafhankelijk is van de grootte van. Belangrijk is wel dat het resulterend moment en de resulterende dwarskracht V in hetelfde belastings-vlak moeten werken aangeien gebruik is gemaakt van de relatie: d V d Indien er op de doorsnede alleen een dwarskracht werkt kan een willekeurig dumm moment worden aangenomen om de schalingsfactor c te bepalen. et een voorbeeld al dit worden verduidelijkt. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 59

63 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7.. Voorbeeld 9 : Schuifspanning in niet-smmetrische doorsnede en uitkragende ligger wordt op het uiteinde belast door een horiontale kracht F oals in figuur 58 is weergegeven. Het stalen profiel bestaat uit een dunwandige doorsnede waarvan de gegevens in figuur 58b ijn gegeven. Het profiel heeft over de gehele doorsnede een dikte t die klein is ten opichte van de afmeting a. F a NC t F l constructie Figuur 58 : Uitkragende ligger. B a a a b doorsnede De overige gegevens ijn: lengte l 000 mm profiel a 50 mm t mm lasticiteitsmodulus staal staal 0 5 N/mm Belasting F 9 85 kn Gevraagd wordt om het schuifspanningsverloop over de doorsnede t.p.v. te bepalen. Uitwerking: Het gegeven --assenstelsel door het NC valt niet samen met de hoofdassen van dit profiel. De schuifkracht en daarmee de schuifspanning kunnen daarom niet worden bepaald met basisformule 7. Het schuifspanningsverloop al daarom met de algemeen geldende formules uit de vorige paragraaf worden bepaald. Dee algemene methode is gebaseerd op het verloop van de normaalspanning in de doorsnede. Daarom al eerst de normaalspanningsverdeling moeten worden bepaald. a Normaalspanningsverdeling De ligging van het NC kan op basis van puntsmmetrie worden bepaald en is aangegeven in figuur 58 b. De overige doorsnede gegevens ten opichte van het NC ijn: 8 a t 68 0 a t a 0 0 Nmm Nmm t Nmm In de doorsnede ter plaatse van ijn de snedekrachten op basis van het evenwicht te bepalen: N 0 F l Nmm Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 60

64 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden et behulp van de bekende constitutieve relatie ijn de vervormingsgrootheden van de doorsnede te bepalen waarmee vervolgens de rek- en de normaalspanningsverdeling in de doorsnede kunnen worden bepaald: Uitwerken levert voor de componenten van de kromming: 0 0 /mm /mm De spanning in ieder willekeurig punt van de doorsnede kan nu bepaald worden met: ε σ ε In de doorsnede werkt geen normaalkracht hierdoor ontstaat er ook geen rek ε in de veel die samenvalt met de staafas NC. De vergelijking voor de spanning wordt hiermee: σ N/mm met en in mm n.l. Uit dee vergelijking volgt direct de ligging van de neutrale lijn: 6 0 In figuur 59 is de spanningsverdeling op twee manieren weergegeven. De eerste manier is de gebruikelijke loodrecht op de neutrale lijn. De tweede manier is om de spanningen loodrecht op de doorsnede van het profiel uit te etten. Dit is alleen mogelijk voor dunwandige profielen dikte t << a waarvoor de spanning over de dikte als constant mag worden beschouwd. P Q NC k R 6 6 punt σ N/mm P Q R S S n.l Figuur 59 : Normaalspanningsverdeling in doorsnede. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

65 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden b Schuifspanningsverdeling Op basis van dee normaalspanningen kan het verloop van de schuifspanning met behulp van basisformule 8 worden bepaald : s R V hierin ijn V en de totale op de doorsnede werkende dwarskracht en buigend moment: V V V V 9850 N Nmm Invullen in de bovenstaande basisformule levert: R 9850 R s N/mm met R in N Om het schuifspanningsverloop in de doorsnede te kunnen tekenen moet op een aantal karakteristieke plaatsen de schuifspanning worden bepaald. Daarbij kan gebruik worden gemaakt van de in CH- gegeven eigenschappen paragraaf 5.. bl 0 : ls de normaalspanning constant is verloopt de schuifspanning lineair ls de normaalspanning lineair is verloopt de schuifspanning parabolisch De schuifspanning is etreem in die punten waar de n.l. t.g.v. alleen de doorsnede snijdt De richting van de schuifspanning is vaak eenvoudig af te leiden uit de richting van de dwarskracht. 5 De schuifspanningen ijn nul aan de randen van de flenen 6 In een knooppunt van flens en lijf moet de som van alle schuifkrachten nul ijn dit houdt in dit geval in dat de totale instroom gelijk is aan de totale uitstroom in een knooppunt Vanwege de smmetrie en rekening houdend met de hierboven gegeven eigenschappen kan worden volstaan met het bepalen van de schuifspanningen in het deel SR-NC van het profiel. De punten waar de schuifspanning moet worden bepaald ijn NCR C en S waarbij C een etra punt is t.p.v. het snijpunt van de neutrale lijn met SR ie figuur Punt S: Dit is een buitenrand s NC normaalspanningen in N/mm 50 n.l. 6 Figuur 60 : Resultante normaalspanning van SC. - R S C 6 m n.l. - 6 S C Punt C: fgeschoven deel is CS de resultante normaalspanning t.g.v. alleen het moment is : R N De schuifkracht per eenheid van lengte en de daarbij behorende schuifspanning in C wordt: s σ m R 95 N/mm 000 s 079 N/mm t Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

66 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden m R 6 Punt R Het afschuivende deel is nu SCR. De resultante normaalspanning over dit afschuivende deel t.g.v. alleen het moment is: R N 6 n.l. - S C Figuur 6 : Resultante normaalspanningen over deel SR. De schuifkracht per eenheid van lengte en de daarbij behorende schuifspanning in R wordt: R s 85 N/mm 000 s σ m 6 N/mm t m NC n.l. R 6 6 Punt NC Het afschuivende deel is nu SR-NC. De resultante normaalspanning over dit afschuivende deel t.g.v. alleen het moment is: R N normaalspanningen in N/mm - 6 Figuur 6 : Resultante normaalspanningen over deel SR-NC. S C De schuifkracht per eenheid van lengte en de daarbij behorende schuifspanning in R wordt: R s 8505 N/mm 000 s σ m 709 N/mm t Bij de bovenstaande berekening is steeds de m-as aangegeven. Dit is tevens de richting waarin een positieve schuifspanning al werken. De gevonden richting van de schuifspanning in het NC voldoet wat dat betreft ook aan de verwachtingen de horiontale dwarskracht werkt immers in deelfde richting als de gevonden richting van de schuifspanning. Rekening houdend met de eigenschappen van de schuifspanningsverdeling kan nu voor de doorsnede het schuifspanningsdiagram worden getekend. In figuur 6 is dit weergegeven. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

67 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden 50 n.l. P as 50 R V 9850 N 6 6 Q NC 50 D Schuifspanningsverdeling in N/mm Figuur 6 : Schuifspanningsverdeling. -as angeien de normaalspanningen over ieder deel van de doorsnede lineair verlopen is de schuifspanningsverdeling overal parabolisch. Voor het deel SR kan gebruik worden gemaakt van het feit dat de schuifspanning in S nul in C een etreem heeft en parabolisch verloopt. In D al de schuifspanning dus ook nul moeten ijn! c act schuifspanningsverloop ls voor een deel van de doorsnede het eacte verloop van de schuifspanning gevonden moet worden kan ook op een analtische wije met behulp van basisformule 8 het verloop worden bepaald. Voor het gedeelte SR al dit worden uitgewerkt. Voor de schuifspanning op deel SR wordt een afschuivend deel SW aangenomen oals afgebeeld in figuur S C n.l Het lineaire verloop van de normaalspanning als functie van m is met een lineaire interpolatie te bepalen: 89 σ m 6 m 50 Dee normaalspanning wordt verooraakt door alleen het moment in de doorsnede de normaalkracht N is immers nul. m-as n.l. C σm W - m 6 S σ Figuur 6 : Resultante normaalspanning. De resultante van de normaalspanning op het deel SW is: R t σ m tdm 0 6 σ m m Combineren van dee beide uitdrukkingen leidt tot: R 6 6 m m 756m m 50 5 Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 6

68 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De schuifkracht als functie van m over het deel SR kan nu met basisformule 8 worden bepaald: s σ m m m R a 756m m s m 5 t 000 Dee uitkomst geeft de parabolische oplossing weer oals die in figuur 6 is weergegeven. De schuifspanning is etreem daar waar de afgeleide naar m nul is. Dit levert: σ m d m 0 dm m m 50 mm Ook dee uitkomst klopt met het eerder gevonden verloop van de schuifspanning. De waarden voor de schuifspanning ijn in de onderstaande tabel voor het deel SR verameld. m σ m mm N/mm Het al duidelijk ijn dat het bepalen van de schuifspanningen op dee manier eer bewerkelijk wordt. De hiervoor gehanteerde methode op basis van de eigenschappen van het schuifspanningsverloop verdient indien mogelijk de voorkeur. Opmerking In dit voorbeeld werd gevraagd de schuifspanningsverdeling nabij de inklemming te bepalen. angeien de dwarskracht over de gehele ligger constant is al de gevonden schuifspanningsverdeling in iedere doorsnede van de ligger hetelfde ijn. ls echter in eerste instantie gevraagd was om de schuifspanningsverdeling links van B te bepalen dan doet ich een nieuwe situatie voor. De algemene methode vereist een buigend moment in de doorsnede waardoor een resultante normaalkracht ten gevolge van dit buigend moment kan worden bepaald op het afschuivende deel van de doorsnede. Nabij punt B is het buigend moment echter nul! angeien de schuifspanningen ontstaan door de aanweigheid van een dwarskracht en het moment alleen een schalingsfactor oplevert voor de verdeling van de schuifspanningen over de doorsnede kan voor het bepalen van de schalingsfactor een willekeurig moment worden aangenomen. De schalingsfactor : c R al hetelfde opleveren als die t.p.v. de inklemming. Ga dit elf maar eens na! Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 65

69 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7.. Voorbeeld 0 : Schuifkracht in een inhomogene doorsnede Van de eerder berekende constructie van voorbeeld wordt gevraagd de schuifkracht in de lijmverbinding RS te bepalen over het liggerdeel C. De gegevens van dit voorbeeld ijn in figuur 65 nog eens weergegeven. O 50 mm P C 50 N 055 m 055 m B Q R S 0 mm 0 mm U V W 0 mm 50 mm X 0 mm : Belaste constructie b : Dwarsdoorsnede Figuur 65 : Voorbeeld 0 gegevens van voorbeeld. Gegevens : 6000 N/mm 000 N/mm De - en -as van de doorsnede vallen niet samen met de hoofdassen van de doorsnede. Daarom al de schuifkracht per eenheid van lengte met de algemene methode moeten worden bepaald. Hiervoor is de normaalspanningsverdeling in de doorsnede nodig. Dee is in voorbeeld bepaald. Dee normaalspanningen ijn spanningen tengevolge van alleen een buigend moment de normaalkracht N in de ligger is immers nul. Voor de bepaling van de schuifkracht in de lijmverbinding wordt het deel OPQS als afschuivend deel beschouwd. De normaalspanningen in de vier hoekpunten ijn in voorbeeld al bepaald en ijn in figuur 66 nog eens weergegeven. : Punt Spanning [N/mm ] O -5 P 97 Q -78 S O Q m 50 mm R 0 mm P S 0 mm Figuur 66 : fschuivend deel OPQS. angeien de spanningsverdeling over OPQS lineair is is de resultante normaalkracht op het afschuivende deel te bepalen door de gemiddelde spanning te vermenigvuldigen met het oppervlak van het afschuivende deel: R N Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 66

70 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De uitwendige normaal van het horiontale schuifvlak RS is in figuur 66 aangegeven met m. De schuifkracht in dit vlak kan worden bepaald met basisformule 8: s R V De dwarskracht V en het moment in de doorsnede ijn in voorbeeld bepaald : V 50 N 7500 N De schuifkracht per eenheid van lengte in de richting van de staafas in het afschuifvlak RS wordt hiermee: 975 s N/mm ls we aannemen dat dee schuifkracht gelijkmatig over het afschuifvlak verdeeld is levert dit een schuifspanning in de lijmverbinding op van: σ m b s N/mm De lijmverbinding al in staat moeten ijn om dee spanningen over te kunnen dragen onder dat er slip ontstaat in de verbinding. r is immers uitgegaan van een volledige samenwerking tussen de beide materiaaldelen. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 67

71 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7. Dwarskrachtencentrum voor niet-smmetrische dunwandige doorsneden Voor dunwandige profielen waarbij aangenomen wordt dat de schuifspanningsverdeling over de breedte van een dunwandige snede constant is kan de resultante kracht in een doorsnede worden bepaald. Dee al uiteraard evengroot moeten ijn als de aanweige dwarskracht. De werklijn van dee resultante al in het algemeen niet door het normaalkrachtencentrum NC gaan maar door het dwarskrachtencentrum DC. In CH- paragraaf 5.5 is dee problematiek geïntroduceerd waarbij het dwarskrachtencentrum is gedfinieërd als : Het dwarskrachtencentrum DC is dat punt in de doorsnede waar de werklijn van de dwarskracht door moet gaan opdat er geen wrining optreedt. Bij rotatiesmmetrische doorsneden valt het dwarskrachtencentrum DC samen met het normaalkrachtencentrum NC. In het algemene geval al dat niet o ijn. Is er een smmetrieas dan ligt hierop altijd het dwarskrachtencentrum. In CH- bl is voor die gevallen aangegeven hoe de plaats van het dwarskrachtencentrum kan worden bepaald. In dee paragraaf wordt onderocht hoe het dwarskrachtencentrum kan worden bepaald voor een niet-smmetrisch dunwandig profiel. De daarbij te volgen procedure is in feite een logisch vervolg op hetgeen in de vorige paragraaf is besproken en laat ich eenvoudig samenvatten tot de volgende stappen: Stap : Bepaal voor een wilekeurige dwarskracht het schuifspanningsverloop in de doorsnede en bepaal de ligging van de werklijn van de resultante dwarskracht R op basis van het gevonden schuifspanningsverloop Stap : Bepaal voor een tweede willekeurige dwarskracht die niet evenwijdig gekoen is aan de eerste dwarskracht het schuifspanningsverloop in de doorsnede en bepaal de ligging van de werklijn van de resultante dwarskracht R op basis van het gevonden schuifspanningsverloop Stap : Het dwarskrachtencentrum ligt op het snijpunt van de beide werklijnen R en R Het al duidelijk ijn dat er alleen een snijpunt wordt gevonden indien de werklijnen van de beide dwarskrachten niet evenwijdig aan elkaar ijn en daaruit volgt de eis dat de willekeurig gekoen dwarskrachten niet evenwijdig aan elkaar gekoen kunnen worden. Uiteraard is het niet nodig om willekeurig gekoen dwarskrachten voor de berekening te gebruiken. en handige keue kan ijn om de dwarskracht in de - en -richtingen te kieen aangeien alle doorsnede gegevens in dit assenstelsel ijn opgesteld. De grootte van de dwarskracht is verder niet van belang mits ongelijk aan nul een eenheidskracht voldoet. In een voorbeeld al de werkwije worden toegelicht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 68

72 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden.7.. Voorbeeld : Dwarskrachtencentrum in een niet-smmetrische dunwandige doorsnede Van de onderstaande dunwandige doorsnede PQRS wordt gevraagd de ligging van het dwarskrachtencentrum DC te bepalen. P a Q t R V DC V 8a NC 6a S Gegevens : a 0 mm; t 6 mm; N/mm Figuur 67 : Gegevens van voorbeeld. Het schuifspanningsverloop behorende bij een dwarskracht wordt bepaald op basis van het normaalspanningsverloop t.g.v. een aangenomen moment. Dit normaalspanningsverloop is afhankelijk van de doorsnede grootheden ten opicht van het NC. De berekening wordt daarom gestart met het bepalen van het NC en de doorsnedegrootheden. Doorsnedegegevens en opichte van het in figuur 67 aangegeven de gebruikelijke manier worden bepaald: -assenstelsel kan de ligging van het NC op NC NC at 6a 6at a 8at 0 7a mm at 6at 8at at a 6at a 8at 8a 6a 5 mm at 6at 8at Vervolgens worden de doorsnedegegevens berekend in een --assenstelsel met de oorsprong in het normaalkrachtencentrum NC. 8a t Nmm 60a t Nmm 0a t 6000 Nmm Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 69

73 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden angeien het profiel niet smmetrisch is al voor het vinden van de schuifspanningsverdeling gebruik moeten worden gemaakt van de algemene methode uit paragraaf.7.. In dee methode wordt gebruik gemaakt van de normaalspanningsverdeling ten gevolge van een moment dat in hetelfde vlak werkt als de dwarskracht. angeien dit moment als een soort schalingsfactor werkt kan de grootte vrij gekoen worden hier wordt gekoen voor een eenheidsmoment. r worden twee belastingsgevallen beschouwd als eerste die voor een dwarskracht V met bijbehorend moment en als tweede die voor een dwarskracht V met bijbehorend moment. Voor de grootte van owel de dwarskrachten als de momenten wordt hier gekoen voor eenheidswaarden. De berekeningen ijn uitgevoerd met PL. Belastingsgeval : V 0 N 00 V ; 0 Nmm 00 Belastingsgeval : V 00 N 0 V ; 00 Nmm 0 Door dee handige keue kan voor dee berekening basisformule 8 vereenvoudigd worden tot : R s V R aangepaste formule 8 s R σ m b b Hiermee is eenvoudig de schuifstroom en daarmee de schuifspanning t.g.v. de eenheiddwarskracht te bepalen. Normaalspanningsverdeling belastingsgeval Op deelfde manier als uiteengeet in voorbeeld 9 ijn de normaalspanningen t.g.v. de gekoen belasting te bepalen Uitwerken levert voor de componenten van de kromming: /mm /mm De spanning in ieder willekeurig punt van de doorsnede kan nu bepaald worden met: ε σ ε De rek ε is de rek in de veel die samenvalt met de staafas door het NC. In de doorsnede werkt echter geen normaalkracht waardoor dee rek nul is. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 70

74 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De spanning in een willekeurige veel wordt daarmee : σ N/mm met en in mm De spanningen in de punten P QR en S ijn hiermee te bepalen. punt σ N/mm P e - Q e - R e - S e - De normaalspanningsverdeling over de doorsnede is in figuur 68 schematisch weergegeven mm mm mm 066 B nl 9 mm normaalspanningen 0 - N/mm 60 mm Figuur 68 : Normaalspanningen in N/mm behorende bij belastingsgeval. Voor het bepalen van het schuifspanningsverloop ijn een paar karakteristieke punten voldoende : - de schuifspanning is nul in de punten P en S - de schuifspanning is maimaal waar de normaalspanning nul is in en B - de schuifspanningsverdeling is parabolisch daar waar de normaalspanning een lineair verloop heeft. Om het schuifspanningsverloop te kunnen tekenen ijn odoende vier punten van belang; B Q en R. et basisformule 8 kunnen de volgende schuifstromen worden bepaald: s s s s Q R B s s R s Q R V R N/mm N/mm N/mm N/mm Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

75 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De gevonden schuifstromen ijn in figuur 69 in de doorsnede aangegeven waarbij met pijlen de richting oals dee werkt is aangegeven. 0 mm 966 P 80 mm 9 Q 9 8 mm R B S 95 nl 9 mm Schuifstromen 0 - N/mm 60 mm Figuur 69 : Schuifstromen behorende bij belastingsgeval. Door voor ieder continu deel van de schuifstroomverdeling het functievoorschrift te bepalen kan vervolgens door integratie per deel de schuifkracht worden bepaald. erk op dat voor het bepalen van dee functies alleen de schuifstromen in Q en R bekend moeten ijn. Voor het deel PQ geldt voor de resultante schuifkracht indien de plaatsvariabele wordt gekoen van P naar Q : R PQ a 0 t σ P σ Q σ P 069 N d a Voor het deel QR geldt voor de resultante schuifkracht indien de plaatsvariabele wordt gekoen van Q naar R : R QR 6a 0 s -Q t σ Q σ R σ Q 0 N 6 d a Voor het deel RS geldt voor de resultante schuifkracht indien de plaatsvariabele wordt gekoen van R naar S : R RS 8a 0 s -R t σ R σ S σ R d 069 N 8 a De grootte van de horiontale en verticale resultanten komen overeen met de op de doorsnede werkende dwarskrachten V 0 en V 00. Ook het teken van de bepaalde schuifkracht over het deel QR is juist immers dee schuifkracht is bepaald met de lokale m-as van Q naar R. maak elf een schets hiervan! Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

76 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden et de bepaalde resultante schuifkrachten over de delen PQ QR en RS kan de werklijn van de dwarskracht in de doorsnede worden bepaald. In figuur 70 is dit weergegeven. P 0 mm e06 mm 069 N Q 0 N R werklijn van de resultante van alle schuifspanningen in de doorsnede 0 N 80 mm 069 N 60 mm S Figuur 70 : Werklijn van de resultante schuifkracht voor belastinggeval. Het dwarskrachtencentrum DC al ergens op dee werklijn moeten liggen. Om het DC te vinden is een tweede berekening nodig. De gehele procedure moet dus worden herhaald voor belastinggeval. en samenvatting van de rekenresultaten wordt hieronder weergegeven. Normaalspanningsverdeling belastingsgeval et behulp van de momentbelasting van belastinggeval kan de normaalspanning in de doorsnede worden gevonden : 0 0 Uitwerken levert voor de componenten van de kromming: /mm /mm De normaalspanningsverdeling over de doorsnede kan vervolgens worden bepaald met : σ N/mm met en in mm De spanningen in de punten P QR en S ijn hiermee te bepalen. punt σ N/mm P e - Q e - R e - S e - Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

77 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Voor het verloop van de schuifstroom over de delen PQ QR en RS ijn de schuifstromen in Q en R noodakelijk. s s Q R R s Q V R N/mm N/mm De resultanten schuifkrachten op de delen PQ QR en RS ijn door integratie van het verloop van de schuifstroom eenvoudig te verkrijgen : R R R PQ QR RS a 0 6a 0 8a 0 σ Q σ P t σ P 0090 N d a σ R σ Q s -Q t σ Q 0 N 6 d a σ S σ R s -R t σ R d 090 N 8 a De grootte van de horiontale en verticale resultanten komen overeen met de op de doorsnede werkende dwarskracht V 0. De gevonden resultanten ijn in figuur 7 weergegeven. 0 mm 80 mm 009 N Q P 0 N 0 N e560 mm werklijn van de resultante van alle schuifspanningen in de doorsnede R 09 N 06 mm -as NC DC -as 60 mm S 560 mm : Werklijn t.g.v. belastingsgeval Figuur 7 : Werklijn van de resultante schuifkracht voor belastinggeval. b : Normaalkrachtencentrum NC en dwarskrachtencentrum DC In figuur 7 b is het snijpunt van de gevonden werklijnen weergegeven. Dit snijpunt is het geochte dwarskrachtencentrum DC. In de figuur is ook het eerder bepaalde normaalkrachtencentrum NC weergegeven. ls in de doorsnede alleen een normaalkracht werkt en dee aangrijpt in het NC ontstaan geen krommingen en daarmee ook geen spanningen t.g.v. buigende momenten. ls in de doorsnede alleen een dwarkracht werkt en dee aangrijpt in het DC dan wordt de doorsnede niet op wringing belast en ijn de gevonden schuifkrachten alleen het resultaat van de dwarskracht. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 7

78 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden BIJLG Het bewijs dat de krommingsvector kan worden beschouwd als een e orde tensor kan op de volgende wije worden geleverd. Hiervoor dient onderocht te worden wat het effect is van een assentransformatie rotatie op de rek als functie van de plaats in het --assenstelsel. ε ε Voor een gegeven punt P ie de onderstaande figuur in de doorsnede is de relatie tussen de coördinaten in het oorspronkelijke --assenstelsel en het geroteerde -assenstelsel gegeven door: Figuur 7 : Coördinaattransformatie in de doorsnede bij een rotatie van het assenstelsel. cosα sinα sinα cosα en de inverse : cosα sinα sinα cosα Dee relatie is de transformatieregel voor een e orde tensor. De rek in het --assenstelsel kan met de inverse uitdrukking worden geschreven in termen van het geroteerde assenstelsel met behulp van: ε ε cos sin sin cos ε α α α α cos sin sin cos ε α α α α ε Uit dee laatste uitdrukking blijkt dat de componenten van de kromming in - en -richting de transformatieregel volgt van een e orde tensor. en dergelijk bewijs kan ook voor het moment worden geleverd. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 75

79 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Hiervoor onderoeken we het effect van een rotatie van het assenstelsel op de uitdrukkingen voor de snedekrachten N en. De eerder gevonden uitdrukking in het --assenstelsel gelden ook voor het geroteerde assenstelsel: N σ d σ d σ d Voor het oorspronkelijke assenstelsel geldt: N σ d σ d σ d Door gebruik te maken van de inverse transformatieregel van de vorige pagina: ontstaat: cosα sinα sinα cosα N σ d cosα sin α σ d σ d cos α σ d sinα cosα sinα sinα cos α σ d σ d sin α σ d cosα sinα cosα De componenten van het moment ien er uiteindelijk uit als: cosα sinα sinα cosα Hieruit volgt dat ook de componenten van het moment in de doorsnede transformeren als een e orde tensor. Zowel de kromming als het moment ijn daarom e orde tensoren. Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 76

80 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden PPNDIX B De momentenlijnen in het - en -vlak van een statisch onbepaalde ligger vertonen een opmerkelijke koppeling als de randvoorwaarden in de beide vlakken niet hetelfde ijn. We kijken hiervoor even specifiek naar het voorbeeld uit figuur 9- en ullen op basis van dee figuur de randvoorwaarden wijigen. De ligger is met een gelijkmatig verdeelde belasting q en q belast. De op te lossen differentiaalvergelijkingen luiden: q q u "'' q q u "'' De algemene oplossingen van dee differentiaalvergelijkingen ijn: q q C C u C C 6 6 q q D D u D D Situatie : De balk is volledig ingeklemd op 0 en opgelegd op l. De acht randvoorwaarden die noodakelijk ijn kunnen worden beschreven met: 0 : u 0; u 0; ϕ 0; ϕ 0 l : u 0; u 0; 0; 0 Na oplossen worden de volgende momentenverdelingen gevonden: q l l 5 8 q l l 5 8 Dit is de gebruikelijke verdeling die we ook hadden gevonden op basis van eenvoudige analse in één vlak. Het moment bij de inklemming is hiermee: q l 0 q l Situatie : De balk is alleen volledig ingeklemd in het -vlak op 0. In het -vlak is de balk op dee plaats scharnierend ondersteund. an de rechterijde op l is nog steeds de ligger enkelvoudig ondersteund in owel het - als het -vlak. De acht randvoorwaarden ijn nu: 0 : u 0; u 0; 0; ϕ 0 l : u 0; u 0; 0; 0 Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 77

81 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden De oplossing levert de volgende momentenverdelingen: q l q q l q l q l q l 5 8 Uit dit resultaat laat een koppeling ien tussen het - en het -vlak. Het moment in het vlak bij de inklemming wordt gereduceerd vanwege de koppeling in de constitutieve relatie: q q l q l q l 0 0; koppeling et de hieronder weergegeven PL code kunnen dee resultaten worden gereproduceerd. De regels met de randvoorwaarden kunnen voor situatie en eenvoudig worden gewisseld door het toevoegen van een commentaar-teken # aan het begin van de regel. lle tekst na het # karakter wordt geien als commentaar. > restart; Double bending for unsmmetrical and or inhomogeneous cross sections one side clamped beam and simpl supported at the other end loaded with a constant distributed load q and g : > DV:diffu$*q-*q/*-^; > DV:diffu$*q-*q/*-^; General solution of the two differential equations: > sol:dsolve{dvdv}{uu}; assignsol; > u:u; u:u; related quantaties: > phi:diffu: kappa:diff-phi: > phi:-diffu: kappa:diffphi: > :*kappa*kappa: V:diff: > :*kappa*kappa: V:diff: 8 boundar conditions clamped end at 0 and a simpl supported end at L: > #:0: eq:u0: eq:phi0: eq:u0: eq:phi0: # situation > :0: eq:u0: eq:0: eq:u0: eq:phi0: # situation > :L: eq5:u0: eq6:0: eq7:u0: eq8:0: > :'': solve the integration conastants: > sol:solve{eqeqeqeqeq5eq6eq7eq8} {_C_C_C_C_C5_C6_C7_C8}: assignsol: oment and Shear distribution in the beam: > simplif; simplifv: > simplif; simplifv: > :0: simplif; simplif; ample from lecture notes: > :'': L:0; q:0; q:8; > mod:00e6: a:0.: > :/9*mod*a^; :/*; :; joke: ver unsuspected behaviour remove the # to pla with this!! > #:0000; :0000; :000; plot: I plot graphs with a minus to obtain visuall positive downwards graphs > plot[-u-u]0..ltitle"displacements u and u"legend["u""u"]; plot: I plot graphs with minus to obtain visuall positive moments downwards > plot[--]0..ltitle"moments and "legend[""""]; > :0: evalf; evalfv; evalf; evalfv; > :L/: evalfu; evalfu; evalf; evalf; Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 78

82 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. OPGVN. Doorsnede grootheden De hieronder weergegeven vraagstukken hebben allen betrekking op het bepalen van de doorsnede grootheden van niet-smmetrische profielen. Vraagstuk Gevraagd: a Bepaal de ligging van het waartepunt. b Bepaal de traagheidsmomenten ten opichte van het gekoen assenstelsel. c Bepaal de traagheidsmomenten ten opichte van een assenstelsel dat 5 o is gedraaid. d Bepaal de traagheidsmomenten van dee doorsnede ten opichte van een assenstelsel evenwijdig aan het gegeven assenstelsel door hoekpunt C. Vraagstuk Gevraagd: a Zwaartepunt b I I I c Hoofdrichtingen d Hoofdtraagheidsmomenten Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 79

83 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Vraagstuk Gegeven is dat I ' ' / bh Gevraagd: a Dit met de regel van Steiner te controleren. b Bereken met deelfde verschuivingsstelling de grootte van I '' '' Vraagstuk Gevraagd: a Zwaartepunt I I I b c De hoofdtraagheidsassen d De hoofdtraagheidsmomenten Vraagstuk 5 Gevraagd: a Zwaartepunt b I I I c De hoofdrichtingen d De hoofdtraagheidsmomenten e Voor welke asrichting is de waarde van I o groot mogelijk? ' ' Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 80

84 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden Vraagstuk 6 Gevraagd: a Bepaal de ligging van het waartepunt. b Bepaal de grootheden I I I. c eken de cirkel van ohr en bepaal de hoofdrichtingen alsmede de grootte van I en I Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 8

85 CONSRUCICHNIC Niet-smmetrische en inhomogene doorsneden. Normaalspanningen bij buiging De hieronder weergegeven opgaven hebben betrekking op niet-smmetrische doorsneden die uitsluitend op buiging worden belast. Vraagstuk Gevraagd: Bepaal de verdeling van de normaalspanningen over de doorsnede ter plaatse van de inklemming. Vraagstuk en doorsnede moet een resulterend buigend moment ter grootte van 00 Nm overbrengen. De krachtlijn is in de doorsnede weergegeven. De belasting op de constructie is in de linker figuur aangegeven F en l ijn onbekend. Gevraagd: a De normaalspanningsverdeling te berekenen en in een diagram buiten de doorsnede weer te geven. b De neutrale lijn c De doorbuigingsrichting aan te geven Ir C. Hartsuijker & Ir J.W. Welleman Oktober 07 8