POST STUDIEWIJZER. POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS. Professional master of structural engineering

Transcriptie

1 POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS Professional master of structural engineering Toegepaste mechanica 6 Mechanica van gebouw- en constructiesystemen ir J.W. Welleman STUDIEWIJZER POST Eerste jaars cursus Beton-Staalconstructeur BV/BmS nov 2007

2 I N H O U D S O P G A V E 1 INLEIDING Onderwerp van deze cursus Leerdoelen Opzet van deze studiewijzer Leermiddelen Docent Inhoud van de cursus UNIT 1: BASIS DRAAGSYSTEMEN Introductie Toelichting op het mechanica-basisgereedschap Toelichting op het wiskundige basisgereedschap Activiteiten UNIT 2: BUIGING EN INTRODUCTIE DRAAGSYSTEMEN Introductie Activiteiten UNIT 3: DRAAGSYSTEMEN Introductie Activiteiten UNIT 4: ELASTISCH ONDERSTEUNDE BUIGLIGGER Introductie Activiteiten... 8 BIJLAGE : TENTAMEN JUNI 1999 ir J.W. Welleman nov 2007 ii

3 1 INLEIDING 1.1 Onderwerp van deze cursus In dit gedeelte van de cursus zal de mechanica van gebouw- en constructiesystemen worden behandeld in formele zin. Dat wil zeggen dat de theorie achter het draagsysteem nader zal worden uitgediept. Het onderwerp van dit college kan beschouwd worden als een onderdeel van de klassieke mechanica. Uiteraard worden tegenwoordig de te behandelen problemen met rekenprogramma s opgelost. Om echter inzicht te verkrijgen in de kwalitatieve eigenschappen van draagsystemen is kennis van de klassieke oplostechnieken noodzakelijk. Om de mechanica van draagsystemen te doorgronden is het nodig om het probleem wiskundig goed te formuleren. In dit onderdeel van de cursus wordt dan ook gebruik gemaakt van hogere wiskunde om de geformuleerde problemen op te kunnen lossen. Het formuleren van het mechanica probleem zal volgens een bepaald recept verlopen. Dit recept zal als een rode draad door de cursus lopen. Het oplossen en uitwerken van het probleem zal dan ook systematisch aangepakt worden waardoor het overzicht en inzicht vergroot wordt. Dit onderdeel van de cursus heeft een zeker abstractieniveau waar in het begin wel even aan moet worden gewend. 1.2 Leerdoelen Het doel van dit onderdeel is om aan het eind van de lessen in staat te zijn de karakteristieke en kwalitatieve eigenschappen van de verschillende draagsystemen te (her)kennen. Aan het einde van dit onderdeel is de cursist in staat om met behulp van de klassieke mechanica, systematische oplossingen te formuleren waarmee de krachtsverdeling en vervorming in een gecombineerd draagsysteem, bestaande uit slanke elastische structuren, kunnen worden bepaald. 1.3 Opzet van deze studiewijzer In deze studiewijzer wordt aangegeven hoe de stof in combinatie met de sheets moet worden verwerkt. De stof is daartoe opgedeeld in drie units die overeenkomen met de drie cursusbijeenkomsten. Op deze manier kan de cursist als het ware gelijk optrekken met de docent en om feedback vragen tijdens de bijeenkomsten waardoor het leereffect wordt vergroot. De nominale studielast voor dit onderdeel is vastgesteld op 36 studiebelastingsuren. 1.4 Leermiddelen De benodigde leermiddelen voor dit onderdeel zijn : J.W. Welleman, Mechanica van gebouw- en constructiesystemen, college aantekeningen, J.W. Welleman, Studiewijzer Mechanica van gebouw- en constructiesystemen, 2007 A.L. Bouma Mechanica van Constructies, Elasto-statica van slanke structuren ISBN , DUM, 1 e of 2 e druk. 1.5 Docent De docent voor dit onderdeel is Ir J.W. (Hans) Welleman, werkzaam als universitair docent Toegepaste Mechanica bij de Technische Universiteit Delft, subfaculteit der Civiele Techniek. J.W.Welleman@HetNet.nl URL : ( klik links in het menu op PMSE ) ir J.W. Welleman nov

4 1.6 Inhoud van de cursus Er zijn zes bijeenkomsten waarin de hoofdlijn wordt verteld en er kan worden geoefend met MAPLE. In het onderstaande schema is aangegeven wanneer de diverse onderwerpen aan de orde komen. In de laatste bijeenkomst wordt de totale stof nog eens geoefend aan de hand van tentamenopgaven. Bijeenkomst 1 Bijeenkomst 2 Bijeenkomst 3 en 4 Bijeenkomst 5 en 6 inleiding op rek belaste staaf algemeen recept voor afleiding van de D.V. voorbeeld van een trekstaaf ( formule-vorm ) voorbeeld van een heipaal ( getallen-voorbeeld) op afschuiving belaste staaf stijfheidsfactor voor liggers afschuifstijfheid van raamwerken met starre regels afschuifstijfheid van raamwerken met buigstijve regels uitkragende afschuifligger op wringing belaste staaf kabels voorbeeld van een gelijkmatige belasting op een kabel voorbeeld van een puntlast op een kabel op buiging belaste staaf kinematische randvoorwaarden dynamische randvoorwaarden voorbeelden van randvoorwaarden ( veren ) voorbeeld van rotatieveer voorbeeld van een buigligger met een sinus belasting intermezzo over particuliere oplossingen bijzondere eigenschap van de sinus-belasting afschuifligger met een sinus belasting systemen van draagwerking seriesystemen parallelsystemen voorbeeld aan de hand van discrete veermodellen inleiding, korte herhaling van het voorgaande Opdrachten met MAPLE intermezzo over homogene oplossingen seriesysteem (buiging+afschuiving) parallelsysteem (afschuiving+buiging, kabel+buiging) buigliggers met grote trekkracht Elastisch verend ondersteunde buigligger Voorbeelden en opdrachten met MAPLE Voorbeelden a.h.v. oude tentamens Feedback op vragen ir J.W. Welleman nov

5 2 UNIT 1: BASIS DRAAGSYSTEMEN 2.1 Introductie Voordat er gewerkt kan worden met combinaties van draagsystemen zullen eerst de basisdraagsystemen worden behandeld. In de eerste unit komen aan de orde : Basisgereedschap wiskunde en mechanica Basisdraagsysteem extensie Basisdraagsysteem afschuiving Basisdraagsysteem wringing Basisdraagsysteem kabel De theorie uit het boek wordt met behulp van sheets en voorbeelden op het bord toegelicht. 2.2 Toelichting op het mechanica-basisgereedschap In deze cursus zullen enkele algemene begrippen gebruikt worden die bekend worden verondersteld maar die hieronder nog even opgefrist zullen worden. Kinematische relaties, Constitutieve relaties, Evenwichtsrelaties, geeft het verband tussen rekken en verplaatsingen. geeft het verband weer tussen rekken en spanningen. geeft het verband weer tussen spanningen en belastingen. Deze drie begrippen komen veelvuldig voor in deze cursus. In de volgende figuur is schematisch weergegeven hoe de drie betrekkingen met elkaar samenhangen. uitwendige arbeid inwendige arbeid Verplaatsingen Rekken Spanningen Belastingen kinematische constitutieve evenwichts relaties relaties relaties Figuur 1 : Mechanica relaties Randvoorwaarden Overgangsvoorwaarden Compatibiliteitsvoorwaarden Een geheel van voorwaarden waaraan de oplossing op de rand moet voldoen. Een geheel aan voorwaarden (bijvoorbeeld krachten of verplaatsingen) waaraan de oplossing moet voldoen op een inwendige overgang van de constructie. Een overgangsvoorwaarde gebaseerd op continuïteit van materie. ir J.W. Welleman nov

6 2.3 Toelichting op het wiskundige basisgereedschap In deze cursus zal veelvuldig het begrip differentiaalvergelijking (afgekort D.V.) worden gebruikt. Een voorbeeld is hieronder weergegeven : y - xy = 0 ( D.V. van Airy, homogene lineaire gewone D.V. ) Vele processen in de natuur en techniek kunnen wiskundig worden beschreven met behulp van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen kunnen op verschillende manieren worden geclassificeerd : gewone- en partiële differentiaalvergelijking (een veranderlijke of meerdere ) homogene- en inhomogene differentiaalvergelijking (rechterlid=0 of is een functie ) orde van de differentiaal vergelijking (graad van de hoogste afgeleide) lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen (lineair=geen machten of producten van y, y, y etc. in de relatie) In deze cursus zullen we alleen te maken krijgen met gewone lineaire D.V. s. De algemene oplossing van dergelijke differentiaalvergelijkingen kan gewoonlijk geschreven worden als de som van twee oplossingen, alle oplossingen van de homogene vergelijking en één oplossing van de inhomogene vergelijking. We spreken ook wel van de som van de homogene oplossing en de particuliere oplossing. Voorbeeld 1 : Algemene oplossing van een differentiaalvergelijking Gegeven de volgende D.V. : y" 5y' + 6y = 2 e x De homogene oplossing is de oplossing van de vergelijking : y" 5y' + 6y = 0 Deze oplossing is als een e-macht te schrijven en te vinden door te substitueren : yh = e λx 2 λx ( λ 5λ + 6) e = 0 λ = 2 en λ = 3 2 homogene oplossing : y C e x 3x = + C e 1 De particuliere oplossing kan gevonden worden door ook een e-macht te substitueren van de vorm : x yp = ae invullen levert a = 1 particuliere oplossing : y = e x De algemene oplossing voor dit probleem wordt aldus : 2 x 3x x y = Ce + C e + e 1 2 De orde van de differentiaalvergelijking hangt af van het beschouwde probleem. De basisdraagsystemen die in deze cursus worden behandeld kunnen allen beschreven worden met een D.V. Hieronder is weergegeven wat dat voor de verschillende draagsystemen betekent. 2 Op rek belaste staaf (extensie) Op afschuiving belaste ligger 2 e orde D.V. 2 e orde D.V. ir J.W. Welleman nov

7 Op wringing belaste staaf Op buiging belaste ligger Kabels 2 e orde D.V. 4 e orde D.V. 2 e orde D.V. Uit het bovenstaande overzicht blijkt dat er grote overeenkomst zal bestaan tussen de oplossingen van de draagsystemen. Hierdoor kan de hoeveelheid wiskunde beperkt blijven. 2.4 Activiteiten De basisdraagsystemen staan beschreven in deel 1 van het boek. Van de in het boek aangehouden volgorde wordt afgeweken. Eerst worden de 1 e orde systemen behandeld : Hfst 1 : Extensie Hfst 2 : Afschuiving Hfst 3 : Wringing Hfst 5 : Kabel De modelvorming in het boek wordt nauw gevolgd. Bij de uitwerking en toepassingen worden i.v.m. de omvang keuzen gemaakt. BOEK Extensie : geen temperatuursinvloeden Afschuiving : t/m figuur In de les uitgebreid ingegaan op de afschuifstijfheid van massieve doorsneden. In het boek staat hier heel summier iets over in hfst 4 op pagina 79. Wringing : alleen de modelvorming, Wringing komt in het 2 e cursusjaar nog uitgebreid aan bod. Kabel : helemaal. Opmerkingen: Par 1.4 : valt buiten de stof Par 3.2 : valt buiten de stof Par 4.4 : valt buiten de stof Par 5.3 : valt buiten de stof Hfst 6 : Schema wordt bij het tentamen geleverd, afleiding wel kennen! ir J.W. Welleman nov

8 3 UNIT 2: BUIGING EN INTRODUCTIE DRAAGSYSTEMEN 3.1 Introductie Na de vier eerste orde draagsystemen wordt in dit deel het 4 e orde draagsysteem buiging behandeld. Nadat alle vijf basissystemen aan de orde gekomen zijn kan er begonnen worden met gecombineerde draagwerking. Hiervoor wordt eerst een korte introductie gegeven over enkele veelgebruikte basis veermodellen waarna combinaties van basissystemen worden toegepast. 3.2 Activiteiten Het vijfde basisdraagsystemen buiging staat beschreven in hfst 4 van deel 1 van het boek. In de lessen wordt afgeweken van de aanpak die in het boek wordt gevolgd. In hoofdstuk 4 wordt namelijk direct een combinatie van buiging en afschuiving behandeld. In de lessen en sheets wordt echter alleen ingegaan op het basissysteem buiging. Later volgt de combinatie van buiging en afschuiving. SHEETS en BOEK Bestudeer de sheets over de afleiding van de D.V. voor buiging. Loop het voorbeeld met een verende ondersteuning na. Bestudeer par 4.2 van het boek. Aan de hand van het basissysteem buiging wordt de systematiek van het oplossen van de niethomogene D.V. uitgewerkt. Hier wordt tevens ingegaan op de bijzondere eigenschap van de sinusvormige belasting voor de homogene oplossing van de D.V. Na het onderdeel buiging wordt begonnen met hoofdstuk 12 als inleiding op systemen van draagwerking. ir J.W. Welleman nov

9 4 UNIT 3: DRAAGSYSTEMEN 4.1 Introductie Deze laatste unit handelt over seriesystemen en parallelsystemen waarbij gebruik wordt gemaakt van de basisdraagsystemen. 4.2 Activiteiten Aan de hand van de sheets wordt, zij het in een andere volgorde dan in het boek, de onderwerpen van hfst 12 t/m 14 behandeld. BOEK Hfst 4 : Buiging en afschuiving als seriesysteem par 14.2 : Buiging en afschuiving als parallelsysteem par 13.2 : Kabel en buiging als parallelsysteem met een sinusvormige belasting par 13.5 : Kabels met buigstijfheid Opmerkingen: 1 Het algemene deel van par 13.4 is reeds eerder bij 14.2 aan de orde gekomen. 2 Par 13.6 Alleen de modelvorming incl. r.v.w. bestuderen 3 Par 14.3 valt buiten de stof ir J.W. Welleman nov

10 5 UNIT 4: ELASTISCH ONDERSTEUNDE BUIGLIGGER 5.1 Introductie Deze laatste unit handelt over de elastisch ondersteunde buigligger. Dit onderdeel wordt beschreven in hoofdstuk 11 van het boek van Bouma. 5.2 Activiteiten Aan de hand van de sheets wordt, zij het in een andere volgorde dan in het boek, de onderwerpen van hfst 11 behandeld. Eerst komt de modelvorming aan de orde, vervolgens wordt aan de hand van een voorbeeld de homogene oplossing van de DV uitgebreid toegelicht. Dit gebeurt aan zowel m.b.v. MAPLE als met de hand om de noodzakelijke verdieping te bereiken voor het interpreteren van de resultaten. Als laatste stap wordt aan de hand van een voorbeeld de particuliere oplossing van een eenvoudige verdeelde belasting behandeld. BOEK Hfst 11 : Elastisch ondersteunde buigliggers par 11.1 : Introductie par 11.2 : De DV en de beddingsconstante par 11.4 : De oplossing van de gereduceerde DV (homogene oplossing) par 11.5 : Een geconcentreerde last op een oneindig lange ligger par 11.8 : Verdeelde belasting. De particuliere oplossing Opmerkingen: 1 Een deel van dit hoofdstuk wordt in de sheets kortgesloten en wat beknopter verteld. 2 Het voorbeeld op blz 137 t/m 140 is leesstof. 3 par 11.7 komt in de sheets aan bod. 4 par 11.9 is leesstof, probeer de oplossing maar eens met MAPLE te vinden. ir J.W. Welleman nov