Lineaire Algebra voor ST
|
|
- Joanna Bos
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 1 / 42
2 Inhoud 1 Vectoren in het vlak en in de ruimte 2 Matrixtransformaties 3 Determinant van een matrixtransformatie J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 2 / 42
3 Sommige fysische grootheden hebben alleen een grootte (bijv. massa, volume, druk). Dit zijn scalaire grootheden. Andere grootheden een grootte en een richting (bijv. snelheid, kracht, versnelling). Deze worden beschreven met vectoren u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 3 / 42
4 Definitie Een vector in het platte vlak of in de ruimte kan voorgesteld worden door een pijl. De pijlpunt geeft de richting aan, de lengte van het lijnstuk de grootte. Als v een vector is met beginpunt (staart) P en eindpunt (kop) Q dan schrijven we v = PQ Vectoren met dezelfde richting en grootte zijn equivalent en noemen we daarom gelijk. Q u v u u u P u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 4 / 42
5 Definitie Als u en v vectoren zijn in het vlak of de ruimte, dan is de som u + v de samenstelling van de pijlen u en v: verschuif v zodat zijn beginpunt samenvalt met het eindpunt van u, nu is het beginpunt van u + v per definitie gelijk aan het beginpunt van u en het eindpunt van u + v is per definitie gelijk aan het eindpunt van v. v u u+v u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 5 / 42
6 Definitie Als u een vector is in het vlak of de ruimte, dan is voor c R het scalaire product cu per definitie de vector die een lengte heeft die c maal de lengte is van u, en die als c > 0 dezelfde richting heeft als u, terwijl als c < 0 de richting tegenovergesteld is aan die van u. We noemen ( 1)u de tegengestelde van u en noteren deze met u. 2u u v v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 6 / 42
7 De vector met lengte 0 heet de nulvector en wordt ook genoteerd met 0. Voor elke vector u in het vlak of de ruimte geldt dat u + 0 = u en u + ( u) = 0. u u Bovendien geldt 0 = 0. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 7 / 42
8 Ook schrijven we voor v + ( u) meestal v u en noemen dit het verschil van v en u. v v u u u v u v u u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 8 / 42
9 R 2 = {(x, y) x, y R} kan opgevat worden als de verzameling punten P in het platte vlak: x en y zijn de coördinaten van P in een rechthoekig coördinatensysteem. y P(x,y) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 9 / 42
10 De vector v = OP met staart in de oorsprong O = (0, 0) en kop in het punt P(x, y) heeft per definitie componenten x en y (de coördinaten van de kop als de staart in O wordt genomen). We associëren met deze vector de 2 1 matrix [ x y ] en noemen zo n matrix dan ook een een vector in het vlak of een 2-vector. NB: R 2 staat ook voor de verzameling van alle 2-vectoren. y u P(1,3) v Q(5,4) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 10 / 42
11 Ander aangrijpingspunt De vector PQ met staart P(x, y) (niet noodzakelijk de oorsprong) en kop Q(x, y ) in R 2 heeft dezelfde lengte en richting als de vector OP met staart O en kop P (x x, y y). Kortom, PQ = [ x x y y ]. y P(1,3) Q(5,4) P (4,1) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 11 / 42
12 Voorbeeld PQ, met P( 3, 1) en Q( 1, 4) is gelijk aan de vector [ ( 1) ( 3) 4 1 ] = [ 2 3 ]. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 12 / 42
13 Definitie De lengte of norm u van vector u = [ u1 u 2 ] in het vlak, is wegens Pythagoras gelijk aan u = u1 2 + u2 2 = u u MATLAB: norm(u) y (4,3) 5 3 O 4 x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 13 / 42
14 Voorbeeld u = [ ] 2 u = 5 ( 2) = = 29 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 14 / 42
15 De richting van een vector in R 2 wordt gegeven door zijn hoek θ met de positieve x-as, ofwel met zijn helling (richtingscoëfficiënt) tan θ. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 15 / 42
16 Vectoren in de ruimte In de ruimte kan een rechthoekig coördinatenstelsel linkshandig of rechtshandig zijn. De verzameling van alle punten (x, y, z) in de ruimte heet R 3. z z RECHTSHANDIG LINKSHANDIG O y O x x y J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 16 / 42
17 De vector v = OP met staart in de oorsprong O = (0, 0, 0) en kop in het punt P(x, y, z) heeft per definitie componenten x, y en z (de coördinaten van de kop als de staart in O wordt genomen). We associëren met deze vector de 3 1 matrix x y z en noemen zo n matrix dan ook een een vector in de ruimte of een 3-vector. NB: R 3 staat ook voor de verzameling van alle 3-vectoren. NB: analoog noemen we de verzameling van alle n-vectoren R n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 17 / 42
18 Ander aangrijpingspunt De vector PQ met staart P(x, y, z) (niet noodzakelijk de oorsprong) en kop Q(x, y, z ) in R 3 heeft dezelfde lengte en richting als de vector OP met staart O en kop P (x x, y y, z z). Kortom, PQ = x x y y z z. Voorbeeld PQ, met P( 3, 1, 1) en Q( 1, 4, 1) is gelijk aan de vector ( 1) ( 3) = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 18 / 42
19 Vectoroptelling Matrixoptelling komt voor vectoren precies overeen met de meetkundige vectoroptelling in het vlak en in de ruimte. Als [ ] [ ] u1 v1 u = en v = dan representeert de matrix u 2 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 correct de meetkundige samenstelling u + v. (Idem in R 3 ). (6,7) ] v 2 y (1,3) v u+v u (5,4) u v O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 19 / 42
20 Scalair veelvoud van een vector Ook scalaire vermenigvuldiging van matrices komt voor vectoren in het vlak en in de ruimte overeen met de meetkundige definitie. Als [ ] [ ] u1 cu1 u = en c R, dan cu = cu 2 u 2 heeft een lengte die c maal groter is dan de lengte van u en een richting die hetzelfde is (als c > 0) of tegengesteld (als c < 0). (Idem in R 3 ) (2,6) y 2u (5,4) u (1,3) v O x v ( 5, 4) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 20 / 42
21 De nulvector in R 2 wordt gerepresenteerd door een 2 1 nulmatrix, en de nulvector in R 3 door een 3 1 nulmatrix: [ ] = respectievelijk 0 = Het verschil v u van twee vectoren v en u komt overeen met het verschil van de bijbehorende matrices. In R 2 : [ ] v1 u v u = 1 v 2 u 2 y v u (5,4) u (1,3) v u v u (4,1) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 21 / 42
22 Definitie De afstand tussen twee vectoren u = [ u1 u 2 ] en v = [ v1 v 2 ] in het vlak is per definitie gelijk aan de afstand tussen hun koppen P(u 1, u 2 ) en Q(v 1, v 2 ), dus aan (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 = v u y v u (5,4) u (1,3) v u v u (4,1) O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 22 / 42
23 Voorbeeld v u = u = [ 1 5 (3 + 1) 2 + (2 5) 2 = ] [ ] 3 v = ( 3) 2 = 25 = 5 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 23 / 42
24 Definitie De lengte of norm u van vector u = u 1 u 2 u 3 in de ruimte is wegens (twee maal) Pythagoras gelijk aan u = u u2 2 + u2 3 = u u Voorbeeld u = u = ( 2) = = 38 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 24 / 42
25 Definitie De afstand tussen twee vectoren u 1 u = u 2 en v = u 3 in de ruimte is per definitie gelijk aan de afstand tussen hun koppen P(u 1, u 2, u 3 ) en Q(v 1, v 2, v 3 ), dus aan (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + (v 3 u 3 ) 2 = v u Voorbeeld v u = u = v = v 1 v 2 v 3 (3 + 1) 2 + (2 5) 2 + (1 1) 2 = 25 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 25 / 42
26 De richting van een vector in R 3 wordt gegeven door zijn hoeken met de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as. We definiëren dus de hoek tussen twee vectoren in R 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 26 / 42
27 De hoek θ (met 0 θ π) tussen twee vectoren 0 u 1 v 1 u = u 2 u 3 en v = v 2 v 3 in de ruimte is gelijk aan Bewijs: de cosinus-regel geeft θ = arccos u 1v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u v v u 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ v u θ u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 27 / 42
28 v u 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ dus cos θ = u 2 + v 2 v u 2 2 u v = u 1v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u v u v = u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 28 / 42
29 Voorbeeld u = en v = De hoek θ tussen u en v wordt gegeven door cos θ = ( 1) ( 1) = 3 6 = Omdat 0 θ π geldt θ = π 3 of θ = 60. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 29 / 42
30 Een analoge formule is waar voor de hoek θ tussen twee vectoren 0 in R 2 : [ ] [ ] u1 v1 u = en v = u 2 cos θ = u 1v 1 + u 2 v 2 u v v 2 = u v u v Er is dus een verband tussen het inproduct en de hoek θ tussen twee vectoren u en v in R 2 of R 3, beide ongelijk aan 0: In het bijzonder geldt dat: u v = u v cos θ θ is scherp (0 θ < π 2 ) als u v > 0, θ is stomp ( π 2 < θ π) als u v < 0, en θ is recht (θ = π 2 ) als u v = 0. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 30 / 42
31 Definitie Twee vectoren u, v 0 in het vlak of de ruimte heten orthogonaal als ze loodrecht op elkaar staan (notatie u v). Stelling Twee vectoren in het vlak of de ruimte zijn orthogonaal dan en slechts dan als hun inproduct nul is. Voorbeeld De vectoren u = en v = staan loodrecht op elkaar, want u v = ( 2) = = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 31 / 42
32 Voor vectoren in R n (n willekeurig) is een inproduct gedefinieerd. Daarom kunnen de begrippen lengte, afstand, hoek, en orthogonaliteit gedefinieerd worden in de R n naar analogie met de R 2 en R 3. u = u u v u = (v u) (v u) cos θ = u v u v u v u v = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 32 / 42
33 Stelling Als u, v en w vectoren in R 2 of R 3 zijn, en c, d R, dan (a) u + v = v + u (vectoroptelling is commutatief) (b) u + (v + w) = (u + v) + w (vectoroptelling is associatief) (c) u + 0 = 0 + u = u (d) u + ( u) = 0 (e) c(u + v) = cu + cv (f) (c + d)u = cu + du (g) c(du) = (cd)u (h) 1u = u Bewijs: dit zijn eerder bewezen eigenschappen van matrixoperaties. NB: Ook waar voor vectoren in de R n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 33 / 42
34 Matrixtransformaties Een 2 2 matrix A correspondeert met een functie (afbeelding) f : R 2 R 2 die een vector x R 2 afbeeldt op de vector Ax R 2 : f (x) = Ax Voorbeeld Spiegeling in de x-as van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x 1 0 x x f = = y 0 1 y y Het beeld onder f van de 2-vector [ ] ([ ]) [ is de 2-vector f = ] [ 1 2 ] [ = 1 2 ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 34 / 42
35 Voorbeeld Verlenging van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x r 0 x rx f = = y 0 r y ry voor een zekere r > 1. Als 0 < r < 1, dan heet deze afbeelding contractie. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 35 / 42
36 Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ van een vector in R 2 is de afbeelding f : R 2 R 2 die gedefinieerd is door ([ ]) [ ] [ ] [ ] x cos φ sin φ x x cos(φ) y sin(φ) f = = y sin φ cos φ y x sin(φ) + y cos(φ) = [ r cos(θ) cos(φ) r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) sin(φ) + r sin(θ) cos(φ) ] = [ r cos(θ + φ) r sin(θ + φ) waarbij x = r cos(θ) en y = r sin(θ) (poolcoördinaten). Rotatie van een 2-vector over een hoek van zestig graden komt neer op (voor)vermenigvuldigen met de matrix [ ] [ cos(π/3) sin(π/3) = sin(π/3) cos(π/3) 1/2 1/2 (3) 1/2 (3) 1/2 ] ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 36 / 42
37 In het algemeen wordt door (voor)vermenigvuldigen met een m n matrix A een afbeelding f : R n R m gedefinieerd: als x een n-vector is dan is f (x) = Ax een m-vector. Voorbeeld Projectie van een vector in R 3 op het xy-vlak is de afbeelding f : R 3 R 2 die gedefinieerd is door x [ ] x [ ] f y = y x = y z z Het bereik van f is de hele R 2 want voor elke 2-vector v = x er een 3-vector u, bijv. u = y waarvoor 1 f (u) = v. [ x y ] bestaat J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 37 / 42
38 Volume en oppervlakte Met behulp van determinanten kan de oppervlakte van een driehoek of parallellogram worden uitgerekend: Stelling Als P het parallellogram in R 2 is dat opgespannen wordt door de vectoren [ ] [ ] x1 x2 en y 1 y 2 dan geldt ([ opp P = det x1 y 1 x 2 y 2 ]) ([ = det x1 x 2 y 1 y 2 ]) Een analoge uitspraak geldt voor het volume van een een parallellepipedum in de R 3, en algemener in R n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 38 / 42
39 Hieruit volgt voor de oppervlakte van een driehoek: Stelling Als T een driehoek met hoekpunten (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) en (x 3, y 3 ) in R 2 is dan geldt opp T = 1 ([ ]) 2 det x1 x 3 y 1 y 3 x 2 x 3 y 2 y 3 ofwel opp T = 1 2 det x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 39 / 42
40 De determinant van een matrix A geeft aan met welke factor de oppervlakte (in R 2 ) of het volume (in R 3 of algemener R n ) van een gesloten figuur toeneemt door op deze de matrixtransformatie toe te passen gedefinieerd door (voor)vermenigvuldigen met A. Voorbeeld Laat T een driehoek zijn in R 2, gedefinieerd door drie hoekpunten of vectoren x, y, z in R 2. Laat A een 2 2 matrix zijn, en L : R 2 R 2 de afbeelding gedefinieerd door L(v) = Av Dan geldt voor de oppervlakte van de driehoek L(T ) gedefinieerd door de hoekpunten L(x), L(y), L(z) dat opp L(T ) = det(a) opp T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 40 / 42
41 Voorbeeld Spiegeling in de x-as is de matrixtransformatie met matrix [ ] Deze matrix heeft determinant 1. Spiegeling laat de oppervlakte van een driehoek invariant. Voorbeeld Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ heeft matrix [ ] cos φ sin φ sin φ cos φ met determinant cos 2 (φ) + sin 2 (φ) = 1. Rotatie laat de oppervlakte van een driehoek invariant. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 41 / 42
42 Voorbeeld Verlenging van een vector in R 2 heeft matrix [ ] r 0 0 r met determinant r 2. Door toepassing van deze matrixtransformatie vermenigvuldigt de oppervlakte van een driehoek (of parallellogram) met r 2 : driehoek (1, 0), (0, 1), (1, 1) heeft oppervlakte 1 2, terwijl de (beeld)driehoek (r, 0), (0, r), (r, r) oppervlakte 1 2 r 2 heeft. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 42 / 42
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Vectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden
college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 1 8 september 2016 1 Even voorstellen Theresia van Essen Universitair docent bij Technische Wiskunde j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Vectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Matrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening
Tentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
More points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri
Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).
Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2007 2008 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening
Vectoranalyse voor TG
college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen
Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri
Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Ruimtemeetkunde. (
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.
Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
15 Uitwerkingen Lineaire Algebra
5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton
Lineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Cursus analytische meetkunde
Cursus analytische meetkunde René Déscartes 3 mei 596 La Haye en Touraine (Frankrijk) februari 650 Stockholm (Zweden) Cursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen ) Herhaling a) Vectoren Definities
Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Zomercursus Wiskunde. Module 6 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 6 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1 1.1 Goniometrische cirkel............................
10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
2. Transformaties en matrices
Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type
Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Uitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Determinanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde
Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde
Vectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Analytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Tentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Integratie voor meerdere variabelen
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Lineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.
Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
1 Symmetrieën van figuren
1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de
8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN
II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart