Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet orthonormaal als bovendien v i = voor i =, 2,..., r. Stelling Zij v,..., v r R n een orthogonaal stelsel. Dan vormen deze vectoren een onafhankelijk stelsel Bewijs: Stel, we hebben een relatie λ v + λ 2 v λ r v r = 0. Kies voor i een willekeurige index tussen en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen λ (v v i ) + λ 2 (v 2 v i ) + + λ r (v r v i ) = 0. Merk op dat v j v i = 0 voor alle j i vanwege de orthogonaliteit. Er blijft dus over, λ i (v i v i ) = 0. Omdat v i v i > 0 (want v i 0)) volgt hieruit dat λ i = 0. Dit geldt voor elke i en dus concluderen we dat v,..., v r een onafhankelijk stelsel vormen. Orthonormale bases van een deelruimte W zijn bijzonder handig om loodrechte projectie op W te berekenen. Stelling Zij W een deelruimte van R n en a,..., a r een orthonormale basis van W. Zij x R n. Dan wordt de loodrechte projectie van x op W gegeven door (x a )a + (x a 2 )a (x a r )a r.

2 2 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Bewijs: We moeten aantonen dat de verschilvector x (x a )a (x a 2 )a 2 (x a r )a r loodrecht staat op a i voor i =,..., r. Ter controle bepalen we het inproduct x a i (x a )(a a i ) (x a r )(a r a i ). Voor alle indices j geldt dat a j a i = 0 tenzij j = i in welk geval we a i a i = hebben. Bijna alle termen zijn dus nul, behalve die voor j = i. Het inproduct wordt nu x a i (x a i )(a i a i ) = 0. En dat moesten we bewijzen. Het aardige is dat elke deelruimte een orthonormale basis bezit. Het bewijs gaat juist met orthogonale projecties. Stelling Elke deelruimte heeft een orthormale basis. Bewijs: Zij W de deelruimte. We bewijzen onze Stelling met inductie naar dim(w ). Als dim(w ) = dan zijn we klaar, we kiezen gewoon een vector w W van lengte. Stel nu r > en dat onze stelling waar is voor elke deelruimte van dimensie r. Stel nu dat dim(w ) = r. Kies een basis a,..., a r van W. De deelruimte W van W opgespannen door a,..., a r heeft dimensie r en heeft volgens de inductiehypothese een orthonormale basis. Laten we deze b,..., b r noemen. Zij nu a de projectie van a r op W. Dan staat a = a r a loodrecht op alle vectoren uit W. Kies nu b r = a / a. Dan heeft b r lengte en staat loodrecht of b,..., b r. Dus is b,..., b r een orthonormale basis van W. Dit inductieve bewijs geeft een constructieve manier om, gegeven een basis van een deelruimte, een orthonormale basis van die deelruimte te construeren. We starten met een basis a,..., a r. - Definieer b = a / a. Er geldt nu b =. - Definieer a 2 = a 2 (a 2 b )b. Dan staat a 2 loodrecht op b. - Definieer b 2 = a 2/ a 2. Dan heeft b 2 lengte en staat loodrecht op b. - Definieer a 3 = a 3 (a 3 b )b (a 3 b 2 )b 2. Dan staat a 3 loodrecht op b en b 2. - Definieer b 3 = a 3/ a 3. - Ga zo door tot we bij de r-de stap aankomen, a r = a r (a r b )b (a r b r )b r en b r = a r/ a r.

3 95.2. ORTHOGONALE AFBEELDINGEN 3 Uit al het voorgaande volgt nu dat b, b 2,..., b r een orthonormale basis van W is. We noemen de bovenstaande procedure de Gramm-Schmidt procedure. Voorbeeld Gevraagd een orthonormale basis van de deelruimte W R 4 opgespannen door (,, 0, ), (2, 0,, ), (0,,, 0). Laten we deze vectoren aangeven met respectievelijk a, a 2 en a 3. Dan geldt, b = a / a = (,, 0, )/ 3 a 2 = a 2 (a 2 b )b = (2, 0,, ) (,, 0, ) (,, 0, ) (2, 0,, ) 3 3 = (,,, 0) b 2 = (,,, 0)/ 3 a 3 = a 3 (a 3 b )b (a 3 b 2 )b 2 = (0,,, 0) (,, 0, ) (,, 0, ) (0,,, 0) 3 3 (0,,, 0) (,,, 0) (,,, 0) 3 3 = (/3, 0, /3, /3)/3 b 3 = (, 0,, )/ 3 De orthonormale basis wordt gegeven door 3 (,, 0, ), 3 (,,, 0), 3 (, 0,, ) Orthogonale afbeeldingen Een speciale klasse van lineaire afbeeldingen van R n zogenaamde orthogonale afbeeldingen. wordt gevormd door de Definitie Een lineaire afbeelding A : R n R n heet orthogonaal als Ax = x voor alle x R n. Dergelijke afbeeldingen zijn lengte-behoudend en voorbeelden hiervan worden gevormd door draaiingen en spiegeling zoals in voorgaande paragrafen behandeld. De naam orthogonaal vindt zijn oorsprong in het feit dat lengte-behoudende lineaire afbeeldingen ook inproduct-behoudend zijn. In het bijzonder zullen de beelden van twee orthogonale vectoren weer orthogonaal zijn. Dit blijkt uit de volgende stelling.

4 4 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Stelling Zij A : R n R n een orthogonale afbeelding. Dan geldt dat A(x) A(y) = x y voor alle x, y R n. In het bijzonder volgt uit x y = 0 dat A(x) A(y) = 0. Bewijs: Uit het lengte-behoud van A volgt dat A(x+y) = x+y. Kwadrateer aan beide zijden en werk uit: A(x + y) 2 = x + y 2 A(x + y) A(x + y) = (x + y) (x + y) A(x) A(x) + 2A(x) A(y) + A(y) A(y) = x x + 2x y + y y A(x) 2 + 2A(x) A(y) + A(y) 2 = x 2 + 2x y + y 2 Gebruik nu dat A(x) = x en A(y) = y en we houden, na deling door 2, over dat A(x) A(y) = x y. Matrices van orthogonale afbeeldingen zijn gemakkelijk te herkennen. Stelling Zij A : R n R n een lineaire afbeelding en M A de bijbehorende matrix. Dan is A een orthogonale afbeelding precies dan als de kolommen van M A een orthonormaal stelsel vormen. Bewijs: De kolommen van M A worden gegeven door de beelden A(e i ) voor i =,..., n. Als A orthogonaal is dan geldt A(e i ) = e i voor i =,..., n. De kolommen van M A hebben dus lengte. Verder geldt voor elk paar i, j met i j dat A(e i ) A(e j ) = e i e j = 0. De kolommen van A staan dus onderling loodrecht. Stel nu dat de kolommen A(e i ) een orthonormaal stelsel vormen. Dan geldt voor elke vector x = x e + + x n e n dat A(x) 2 = A(x) A(x) = A(x e + + x n e n ) A(x e + + x n e n ) n n = x i x j A(e i ) A(e j ) i= j= Omdat A(e ) A(e j ) gelijk is aan 0 als i j en als i = j reduceert de laatste sommatie tot n i= x2 i = x 2. Conclusie: A(x) 2 = x 2 voor elke x R n en A is een orthogonale afbeelding. Definitie Een n n-matrix heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen.

5 95.2. ORTHOGONALE AFBEELDINGEN 5 Stelling zegt dus dat een lineaire afbeelding orthogonaal is precies dan als de bijbehorende matrix orthogonaal is. Voorbeelden van orthogonale matrices hebben we in de voorgaande paragrafen gezien. Ga na dat de volgende matrices inderdaad orthogonaal zijn. De draaiingsmatrices in R 2, ( ) cos α sin α sin α cos α Spiegelingen in R 3 in het vlak loodrecht op a = (a, a 2, a 3 ) met a =, 2a 2 2a a 2 2a a 3 2a 2 a 2a 2 2 2a 2 a 3 2a 3 a 2a 3 a 2 2a 2 3 De matrix van de rotatie om een hoek π/2 met als draaias (, 2, 2), /9 8/9 4/9 4/9 4/9 7/9 8/9 /9 4/9 Stelling Zij U een n n-matrix. De volgende uitspraken zijn equivalent,. U is orthogonaal 2. U = U t 3. De rijen van U vormen een orthonormaal stelsel Bewijs: Stel dat U de kolommen u i (i =,..., n) heeft. We weten dat U t U (de zogenaamde Gramm-matrix) precies de n n-matrix is met op plaats i, j het element u i u j. In het bijzonder volgt hieruit dat U t U = I n precies dan als U een orthogonale matrix is. Dit bewijst de equivalentie van () en (2). Op analoge manier zien we dat de rijen van U een orthonormaal stelsel vormen precies dan als UU t = I n. En het laatste is equivalent met U t U = I n. Met betrekking tot de eigenwaarden van een orthogonale matrix kunnen wij het volgende zeggen. Stelling Zij U een orthogonale matrix. Dan geldt voor elke eigenwaarde λ C dat λ =. In het bijzonder, als λ R dan geldt λ = ±. Verder geldt dat det(u) = ±. Bewijs: Als U orthogonaal is dan geldt U t U = I n. Neem aan beide zijden de determinant. Dan krijgen we det(u) 2 = det(u t )det(u) = det(i n ) =. Dus det(u) = ±.

6 6 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Zij nu λ C een eigenwaarde en v een eigenvector bij λ met complexe coëfficienten als λ R. Deze bepalen we gewoon door oplossing van het lineaire stelsel vergelijkingen Mv = λv. Stel v = (v,..., v n ) t. De complex geconjugeerde van v definieren we door v = (v,..., v n ) t. Merk op dat v t v = (v v 2 n). We weten dat Uv = λv. Neem de complex geconjugeerde en transponeer, v t U t = λv t. Vermenigvuldig de rechterkant van rechts met λv en de linkerkant met Uv. We krijgen v t U t Uv = λ 2 v t v. Gebruiken we nu U t U = I n en v t v = v v n 2 dan krijgen we v v n 2 = λ 2 ( v v n 2 ). Omdat v v n 2 0 volgt hieruit dat λ = Orthogonale afbeeldingen in R 2 en R 3 We bepalen hoe orthogonale afbeeldingen U : R 2 R 2 er uit zien. ( Daartoe ) a c bepalen we de orthogonale 2 2-matrices. Dat wil zeggen, matrices met b d de condities. a 2 + c 2 = 2. b 2 + d 2 = 3. ab + cd = 0 Uit de eerste vergelijking volgt het bestaan van een hoek φ zó dat a = cos φ en c = sin φ. Uit de derde vergelijking volgt dan b cos φ + d sin φ = 0. Oplossing hiervan geeft dat b = r sin φ, d = r cos φ voor zekere r R. Dit invullen in de tweede vergelijking geeft r 2 = en dus r = ±. We concluderen dat orthogonale 2 2-matrices één van de volgende vormen aanneemt, ( ) ( ) cos φ sin φ cos φ sin φ sin φ cos φ sin φ cos φ In het eerste type matrix herkennen we de rotatie in het platte vlak om de hoek φ. In het tweede voorbeeld zien we dat de eigenwaardevergelijking luidt λ 2 = 0. Er zijn dus twee reële eigenwaarden ±. De bijbehorende eigenvectoren zijn (sin φ, cos φ) (bij ) en (sin φ, cos φ) (bij ). Deze staan loodrecht op elkaar en we hebben dus te maken met een orthogonale spiegeling in de lijn met richting (sin φ, cos φ). Merk ook op dat de determinant van de matrix gelijk is aan in het eerste geval en in het tweede geval. We concluderen:

7 95.4. SYMMETRISCHE MATRICES 7 Stelling Een orthogonale afbeelding U : R 2 R 2 is ofwel een draaiing, ofwel een spiegeling. In het eerste geval geldt det(u) =, in het tweede geval det(u) =. We onderzoeken nu orthogonale afbeeldingen U : R 3 R 3. De eigenwaardevergelijking heeft graad 3. Er is dus altijd een reële oplossing λ en deze moet dus ± zijn. Geef een bijbehorende eigenvector aan met v. Zij W het vlak door de oorsprong dat loodrecht op v staat. Omdat U inproduct-behoudend is geldt dat U : W W. Omdat dim(w ) = 2, is U beperkt tot W een draaiing of spiegeling. We hebben nu vier mogelijkheden:. λ = en U : W W is een draaiing. In dit geval kunnen we U zien als een draaiing met v als draaiingsas. Merk op dat det(u) =. 2. λ = en U : W W is een spiegeling. In W zijn er orthogonale eigenvectoren v en v met eigenwaarde respectievelijk. In dit geval hebben we te maken met een spiegeling. Merk op dat det(u) =. 3. λ = en U : W W is een draaiing. Ditmaal hebben we te maken met een draaiing in het vlak W rond de as v, gevolgd door een loodrechte spiegeling in het vlak W waarbij v in v overgaat. We noemen dit een draaispiegeling. We hebben nu det(u) =. 4. λ = en U : W W is een spiegeling. In het vlak W zijn er twee onderling loodrechte vectoren v en v met eigenwaarden respectievelijk. Merk nu op dat we een draaiing om de hoek π in het vlak opgespannen door v en v hebben. Merk op dat det(u) =. Samenvattend, een orthogonale afbeelding van een driedimensionale ruimte naar zichzelf kan een draaiing of een draaispiegeling zijn. In het eerste geval is de determinant, in het tweede Symmetrische matrices Verreweg de belangrijkste stelling op het gebied van eigenwaarden en eigenvectoren is de volgende. Stelling (Hoofdstelling symmetrische matrices) Zij M een n n- matrix met elementen in R. Dan is er een basis van R n, bestaande uit onderling orthogonale eigenvectoren van M, precies dan als M t = M (maw M is een symmetrische matrix). We zullen deze stelling in stapjes bewijzen. Stel allereerst dat er een orthonormale basis v,..., v n van R n is, bestaande uit eigenvectoren van M. We gaan laten zien dat M symmetrisch is.

8 8 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT Geef de eigenwaarden met λ,..., λ n aan. Zij S de n n-matrix met de vectoren v i als kolommen. Dan is S een orthogonale matrix. Verder geldt dat S MS = Λ waarin Λ de diagonaalmatrix met de diagonaalelementen λ, λ 2,..., λ n is. Hieruit volgt dat M = SΛS. Gebruikmakend van Λ t = Λ en S t = S vinden we nu M = SΛS t en M t = (SΛS t ) t = (S t ) t Λ t S t = SΛS t = M. Met andere woorden, M is symmetrisch. Voorbeeld Zij P de matrix van een orthogonale projectie in R n op een deelruimte W. Er zijn twee eigenwaarden, namelijk 0 en. De eigenruimte bij bestaat precies uit alle vectoren in W. De eigenruimte bij 0 bestaat precies uit alle vectoren loodrecht op W. Zij f,..., f m een orthonormale basis van W en zij f m+,..., f n een orthonormale basis van W, de deelruimte van vectoren loodrecht op W. Dan is f,..., f n een orthonormale basis van R n, bestaande uit eigenvectoren van P. De matrix P is dus symmetrisch. Bijvoorbeeld, de matrix van de loodrechte projectie in R 3 op het vlak x + 2x 2 + 2x 3 = 0 wordt gegeven door 8/9 2/9 2/9 2/9 5/9 4/9 2/9 4/9 5/9 en deze matrix is inderdaad symmetrisch. Het lastigste deel van onze Hoofdstelling is aantonen dat een symmetrische matrix een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Allereerst laten we zien dat de eigenwaarden van een symmetrische matrix reëel zijn. Lemma Zij M een symmetrische matrix met elementen in R en λ C een eigenwaarde. Dan geldt, λ R. Bewijs: Zij λ C een eigenwaarde en v een eigenvector bij λ met complexe coëfficienten als λ R. Deze bepalen we gewoon door oplossing van het lineaire stelsel vergelijkingen Mv = λv. Stel v = (v,..., v n ) t. De complex geconjugeerde van v definieren we door v = (v,..., v n ) t. Merk op dat v t v = v v n 2. We weten dat Mv = λv. Neem de complex geconjugeerde en transponeer, v t M t = λv t. Vermenigvuldig de rechterkant v. We krijgen, omdat M t = M, v t Mv = λv t v. Gebruiken we nu Mv = λv en v t v = (v v 2 n) dan krijgen we λ( v v n 2 ) = λ( v v n 2 ). Hieruit volgt, omdat v v n 2 0, dat λ = λ, en dus λ R.

9 95.4. SYMMETRISCHE MATRICES 9 We laten nu zien dat een symmetrische n n-matrix M gediagonaliseerd kan worden met een orthogonale matrix. Met andere woorden, er is een orthogonale matrix U zó dat U MU diagonaal is, met uiteraard de eigenwaarden op de diagonaal. We gebruiken inductie naar n. Voor -matrices M is de stelling triviaal waar, elke matrix van dat formaat is zowel symmetrisch als diagonaal. Stel nu n > en stel dat onze bewering bewezen is voor (n ) (n )-matrices. Kies een eigenwaarde λ van M. Uit Lemma weten we dat λ R. Zij v de bijbehorende eigenvector. We mogen aannemen dat v =. Vul nu v aan tot een orthormale basis v, v 2,..., v n van R n en zij S de matrix met deze vectoren als kolommen. Dus S is een orthogonale matrix. Beschouw nu de matrix S MS. De eerste kolom van deze matrix wordt gegeven door S MSe = S Mv = λs v = λe. Met andere woorden, S MS heeft de vorm λ µ 2 µ n 0 µ 22 µ 2n.. 0 µ n2 µ nn Omdat S MS = S t MS ook een symmetrische matrix is, zien we dat µ k = 0 voor k = 2,..., n. Dus S MS heeft de vorm λ µ 22 µ 2n.. 0 µ n2 µ nn en de matrix µ 22 µ 2n M =.. µ n2 µ nn is symmetrisch. Dus bestaat er volgens de inductiehypothese een orthogonale (n ) (n )-matrix T zó dat T M T diagonaal is. Zij nu T de n n- matrix met als -ondermatrix T en op de eerste rij en kolom nullen behalve op plaats (, ) waar een staat. Dan diagonaliseert T de matrix S MS. Dus T S MST is diagonaal. Omdat ST orthogonaal is, als product van orthogonale matrices, is onze bewering bewezen.

10 0 HOOFDSTUK 95. ORTHOGONALITEIT 95.5 Opgaven. Verifieer in de volgende onderdelen dat de opspannende vectoren van W orthogonaal zijn en bepaal de projectie van b op W. (a) W = Span((2, 3, ), (,, )) en b = (2,, 4). (b) W = Span((, 0, ), (,, )) en b = (, 2, 3). (c) W = Span((,,, ), (,,, ), (, 0, 0, )) en b = (2,, 3, ). (d) W = Span((,,, ), (,,, ), (,,, )) en b = (, 4,, 2). 2. Vind een orthonormale basis voor de vectoren in de deelruimte gegeven door 2x + 3y + z = Bepaal een orthonormale basis voor de deelruimte in R 4 gegeven door x = x 2 + 2x 3 en x 4 = x 2 + x Pas het Gramm-Schmidt procédé toe op de vectoren (, 0, ), (0,, 2), (2,, 0). 5. Pas het Gramm-Schmidt procédé toe op de vectoren (, 0,, 0), (,,, 0), (,, 0, ) R Pas het Gramm-Schnidt procédé toe op de vectoren (,,, 0, 0), (, 0, 0, 0, ), (0, 0,, 0, ), (, 0, 0,, ) R Verifieer dat de onderstaande matrices orthogonaal zijn en bepaal hun inverse, ( ) 3/5 0 4/5, 4/5 0 3/ , Geef een derde kolom voor de matrix zó dat de matrix orthogonaal wordt / 3 / 2 / 3 0 / 3 / 2, 2/7 3/7 3/ 3 2/ 3 6/7 0

11 95.5. OPGAVEN 9. Vind een orthogonale matrix C zó dat C AC een diagonaalmatrix is voor de volgende symmetrische matrices A, ( ) ( ) 2 3 2, Zelfde vraag als in de vorige opgave, maar nu voor de matrices , Zelfde vraag als in de vorige opgave, maar nu voor de matrices , Zij v R n een niet-triviale vector. Bewijs dat I n 2 v 2 vv t een orthogonale matrix is. 3. Zij Q een m n-matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen en Q 2 een n t-matrix waarvan de kolommen ook orthonormaal zijn. Bewijs dat de kolommen van Q Q 2 een orthormaal stelsel vormen.