Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Transcriptie

1 Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel een parametervoorstelling van dit oppervlak op; besteed hierbij aandacht aan de keuze van de parameter en geef voldoende uitleg bij de berekeningen. (2) Voorspel welke de singuliere punten van dit oppervlak zijn, en controleer door expliciete berekening. (3) Is de doorsnijding van dit oppervlak met de gegeven sfeer een vlakke kromme? Leg uit. Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(0, 2, 0) en Q(1, 1, 1) omheen de rechte s die gaat door het punt R(2, 0, 0) en richtingsvector u(1, 1, 1) heeft, ontstaat een omwentelingsoppervlak. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) of een coördinatentransformatie, die het vlak bepaald door r en s, alsook de rechte s zelf, een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van dit omwentelingsoppervlak op te stellen. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking ook door een beschrijving als meetkundige plaats; leg uit. Een rechte conoïde met als richtrechte de Y-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (13, 0, 0) en straal 5. (1) Stel een parametervoorstelling van dit oppervlak op; besteed hierbij aandacht aan de keuze van de parameter en geef voldoende uitleg bij de berekeningen.

2 (2) Voorspel welke de singuliere punten van dit oppervlak zijn, en controleer door expliciete berekening. (3) Is de doorsnijding van dit oppervlak met de gegeven sfeer een vlakke kromme? Leg uit. Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 1) en Q(5, 1, 3) omheen de rechte s die gaat door het punt R(0, 3, 0) en richtingsvector u( 1, 1, 1) heeft, ontstaat een omwentelingsoppervlak. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) of een coördinatentransformatie, die het vlak bepaald door r en s, alsook de rechte s zelf, een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coordinatenstelsel. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van dit omwentelingsoppervlak op te stellen. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking ook door een beschrijving als meetkundige plaats; leg uit. Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P( 1, 1, 5) en Q(1, 0, 5) omheen de rechte s die gaat door het punt R(0, 0, 6) en richtingsvector u( 1, 1, 1) heeft, ontstaat een omwentelingsoppervlak. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) of een coördinatentransformatie, die het vlak bepaald door r en s, alsook de rechte s zelf, een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coordinatenstelsel. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van dit omwentelingsoppervlak op te stellen. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking ook door een beschrijving als meetkundige plaats; leg uit.

3 1. De kromme met parametervoorstelling (sin(t) cos( 5t), sin(t) 6 sin(5 t), cos(t)), t R, wordt 6 exact één keer volledig doorlopen als t een interval met lengte 12π doorloopt. 2. Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices A die voldoen aan de vergelijking A 3 + A 2 + A + I = 0, waarbij I de eenheidsmatrix van derde orde en 0 de nulmatrix van derde orde voorstellen. 3. Een kwadriek met dubbele eigenwaarde nul is steeds een parabolische cilinder. 4. Het punt P = (1 t)p 1 + tp 2 (t R en P 1 P 2 ) behoort tot [P 1 P 2 ] als en slechts dan als t [0, 1]. dim(v ) < dim(w), dan kan T niet surjectief zijn. 2. Als A een idempotente matrix is, dan is e A = I n + (e 1)A. 3. Gelijksoortige matrices hebben dezelfde minimaalveelterm. 4. Zij V een inproductruimte met inproduct.,. en W een eindigdimensionale deelruimte van V met orthonormale basis {e 1,...,e n }; dan wordt de orthogonale projectie van v V op W gegeven door n k=1 v,e k e k. 1. De kromme met parametervoorstelling (cos(t) cos( 6t), cos(t) 5 sin(6 t), sin(t)), t R, wordt 5 exact één keer volledig doorlopen als t een interval met lengte 10π doorloopt. 2. Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices A die voldoen aan de vergelijking A 3 A 2 + A I = 0, waarbij I de eenheidsmatrix van derde orde en 0 de nulmatrix van derde orde voorstellen. 3. Een niet-reduciebele kwadriek met dubbele eigenwaarde nul is steeds een parabolische cilinder. 4. De convexe omhullende van drie niet-collineaire punten is de driehoek die erdoor wordt opgespannen. dim(v ) > dim(w), dan kan T niet injectief zijn. 2. Als A diagonaliseerbaar is, dan is det(e A ) = e tr(a). 3. Gelijksoortige matrices hebben dezelfde karakteristieke veelterm.

4 4. Zij V een inproductruimte met inproduct.,. en W een deelruimte van V ; geldt er dat v w 0 W, met v V en w 0 W, dan is w 0 de beste approximatie van v in W. 1. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking xz = y is een rechte conoïde. 2. De kromme die ontstaat door een cirkel met straal r te laten rollen zonder glijden aan de binnenkant van een cirkel met straal R (R > r en R,r N), heeft kgv(r,r) singuliere R punten. 3. Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale spiegeling t.o.v. een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten. Dan is A I (met I de eenheidsmatrix) een nuldeler. 4. Het beeld van een vector v onder de orthogonale projectie volgens de richting van de eenheidsvector u, wordt gegeven door v (v u)u. dim(v ) = dim(w), dan volgt uit de injectiviteit van T ook de surjectiviteit. 2. Zijn A en B twee niet-singuliere vierkante matrices die anticommuteren, dan zijn ze beide spoorvrij. 3. De reële 3 3 matrix met elementen a ij = sin((i + j 1)θ) is nooit inverteerbaar. 4. Zij A een reëel-symmetrische matrix; twee eigenvectoren van A, behorend bij verschillende eigenwaarden, zijn steeds onderling orthogonaal. 1. Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking xz = y heeft twee stellen beschrijvenden, met elk hun eigen richtvlak. 2. De kromme die ontstaat door een cirkel met straal r te laten rollen zonder glijden aan de binnenkant van een cirkel met straal R (R > r en R,r N), heeft kgv(r,r) singuliere r punten.

5 3. Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale spiegeling t.o.v. een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten. Dan is A I (met I de eenheidsmatrix) een nuldeler. 4. De norm van het beeld van een vector v onder de orthogonale projectie volgens de richting van de eenheidsvector u, is de vierkantswortel uit v 2 (v u) 2. dim(v ) = dim(w), dan volgt uit de surjectiviteit van T ook de injectiviteit. 2. Zijn A en B twee vierkante matrices die anticommuteren, dan is hun product spoorvrij. 3. De reële 3 3 matrix met elementen a ij = cos((i + j 1)θ) is nooit inverteerbaar. 4. Zij A een reëel-symmetrische matrix; eigenvectoren van A, behorend bij verschillende eigenwaarden, zijn steeds lineair onafhankelijk. De matrix A = Op de vectorruimte V der symmetrische en spoorvrije matrices in C 3 3 wordt het endomorfisme T bepaald door T(X) = AX XA (1) Ga na dat T inderdaad een endomorfisme van V is. (2) Geef een matrixvoorstelling van T t.o.v. een basis van V naar keuze. (3) Ga na of T diagonaliseerbaar is over C, en geef desgevallend de diagonaalvorm en de basis t.o.v. dewelke deze wordt aangenomen. (4) Is T inverteerbaar? Leg uit. De matrix A = Op de vectorruimte V der antisymmetrische matrices in C 3 3 wordt het endomorfisme T bepaald door T(X) = AX XA

6 (1) Ga na dat T inderdaad een endomorfisme van V is. (2) Geef een matrixvoorstelling van T t.o.v. een basis van V naar keuze. (3) Ga na of T diagonaliseerbaar is over C, en geef desgevallend de diagonaalvorm en de basis t.o.v. dewelke deze wordt aangenomen. (4) Is T inverteerbaar? Leg uit. De vectorruimte W der reële veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 3, gerestringeerd tot het interval [ 1, +1]. Deze ruimte wordt voorzien van het inproduct p,q = 1 1 p(x)q(x) dx (1) Bepaal een orthonormale basis voor de gegeven vectorruimte, m.b.t. het gegeven inproduct; leg uw constructie uit. (2) Bepaal de beste benadering p 3 (x) in W van de functie sin(πx); leg uw constructie uit. (3) Bepaal de gemaakte fout wanneer men sin(πx) door p 3 (x) vervangt, binnen de beschouwde inproductruimte. (4) Wat zou er gebeuren indien men met veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 4 zou werken? De vectorruimte W der reële veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 4, gerestringeerd tot het interval [ 1, +1]. Deze ruimte wordt voorzien van het inproduct p,q = 1 1 p(x)q(x) dx (1) Bepaal een orthonormale basis voor de gegeven vectorruimte, m.b.t. het gegeven inproduct; leg uw constructie uit. (2) Bepaal de beste benadering p 4 (x) in W van de functie cos(πx); leg uw constructie uit. (3) Bepaal de gemaakte fout wanneer men cos(πx) door p 4 (x) vervangt, binnen de beschouwde inproductruimte. (4) Wat zou er gebeuren indien men met veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 5 zou werken?