Determinanten. , dan is det A =
|
|
|
- Louisa de Graaf
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is A ij de ((m (n -matrix die uit A ontstaat door de i e rij en de j e kolom te schrappen Zo n matrix die uit A ontstaat door (0 of meer rijen en (0 of meer kolommen te schrappen heet een ondermatrix van A We definiëren nu de determinant van een ( -matrix : a a a Definitie Als A a a a, dan geldt : a a a a a a det A a a a a a a a a a a a a a a a a + a a a a a a det A a det A + a det A Vervolgens generaliseren we dit tot : Definitie Als A (a ij een (n n-matrix is met n, dan geldt : n det A a det A a det A + + ( +n a n det A n ( +j a j det A j heet de determinant van de matrix A Notatie : det A of A j Definitie 5 Als A (a ij een (n n-matrix is met n, dan geldt : heet een cofactor van A C ij : ( i+j det A ij Dit is dus de determinant van de ondermatrix A ij (onderdeterminant voorzien van een (extra plus- of een minteken bepaald door het volgende schaakbordpatroon :
2 Hiermee hebben we nu : Stelling Als A (a ij een (n n-matrix is met n, dan geldt : det A a i C i + a i C i + + a in C in (ontwikkeling naar de i e rij a j C j + a j C j + + a nj C nj (ontwikkeling naar de j e kolom Bewijs Voor een ( -determinant volgt dit onmiddellijk uit definitie Voor een ( - determinant volgt dit uit definitie door alle mogelijkheden uit te schrijven In het algemeen is het bewijs erg lastig en wordt daarom buiten beschouwing gelaten Volgens definitie wordt een determinant berekend door te ontwikkelen naar de eerste rij Stelling zegt nu dat we de determinant kunnen berekenen door te ontwikkelen naar een willekeurige rij of door te ontwikkelen naar een willekeurige kolom Bij de cofactoren dienen we dan rekening te houden met het eerder genoemde schaakbordpatroon We bekijken nu eerst enkele voorbeelden Voorbeeld Door te ontwikkelen naar respectievelijk de e rij, de e kolom en de e rij vinden we : De laatste twee vergen minder rekenwerk vanwege de 0 die optreedt De bij die 0 behorende onderdeterminant hoeft niet uitgerekend te worden Voorbeeld Door handig te ontwikkelen naar een rij of een kolom met veel nullen vinden we dan : ( (5 ( ( Definitie 6 Een matrix A (a ij met a ij 0 voor alle i > j heet een bovendriehoeksmatrix Een matrix A (a ij met a ij 0 voor alle i < j heet een benedendriehoeksmatrix
3 Nu is eenvoudig in te zien : Stelling Als A een vierkante (boven- of benedendriehoeksmatrix is, dan is de determinant van A het product van de diagonaalelementen We hebben verder de volgende rekenregels : Stelling Als A een vierkante matrix is, dan geldt : als B de matrix is die uit A ontstaat door een veelvoud van een rij op te tellen bij een andere rij, dan is det B det A twee rijen van plaats te verwisselen, dan is det B det A een rij te vermenigvuldigen met een getal k, dan is det B k det A Deze stelling geeft de mogelijkheid om het berekenen van een determinant te vereenvoudigen door de matrix eerst te vegen tot een driehoeksvorm en vervolgens stelling te gebruiken Bij dat veegproces dient men dan rekening te houden met de rekenregels van stelling Het bewijs van stelling laten we achterwege Enkele voorbeelden : Voorbeeld Door te vegen vinden we nu : ( 7 7 Voorbeeld Door te vegen vinden we ook : ( ( Voorbeeld 5 Door te vegen vinden we bijvoorbeeld ook : ( 0 0
4 Elke matrix kan geveegd worden tot een echelonmatrix Een vierkante matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als er in elke rij en in elke kolom een pivotpositie bestaat In de echelonvorm verschijnen de pivots dan op de hoofddiagonaal Er geldt dus : Stelling Als A een vierkante matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Dit hadden we al gezien voor ( -matrices, maar geldt dus algemeen voor elke vierkante matrix Met behulp van stelling kan men bewijzen dat : Stelling 5 Als A een vierkante matrix is, dan geldt : det A T det A Dit betekent dat de rekenregels van stelling ook gelden voor kolommen in plaats van rijen Voorbeeld 6 We kunnen de determinant uit voorbeeld 5 nu bijvoorbeeld ook zo bepalen : Om een determinant handig te berekenen kunnen we dus het vegen met rijen, het vegen met kolommen en het ontwikkelen naar een rij of naar een kolom combineren Voorbeeld 7 Zo vinden we bijvoorbeeld : (6 + 5 Een andere belangrijke eigenschap van determinanten, die we niet zullen bewijzen, is : Stelling 6 Als A en B twee (n n-matrices zijn, dan geldt : det AB (det A(det B Deze stelling heeft veel belangrijke gevolgen Enkele voorbeelden : Gevolg Als A en B twee (n n-matrices zijn, dan geldt in het algemeen dat AB BA Toch geldt wel dat det AB det BA, immers : det AB (det A(det B (det B(det A det BA
5 Gevolg Als A inverteerbaar is, dan geldt : det A det A, immers : AA I det I det AA (det A(det A det A det A Gevolg Als A een (n n-matrix is, dan geldt : det(λa λ n det A, immers : λa (λia det(λa (det(λi(det A λ n det A Tenslotte gaan we nog even in op de meetkundige betekenis van de determinant van een ( -matrix en een ( -matrix Stelling 7 Er geldt : Als A een ( -matrix is, dan is det A de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de kolommen van A Als A een ( -matrix is, dan is det A de inhoud of het volume van het parallellepipedum opgespannen door de kolommen van A Bewijs Zie ook pag 00 en 0 van Lay ( a 0 Als A een diagonaalmatrix is, zeg A, dan is det A ad en dat is de 0 d ( ( a 0 oppervlakte van de rechthoek opgespannen door de vectoren en 0 d Stel nu dat A a a, dan geldt : det A det a a det a a + λa voor iedere λ R We kunnen vervolgens λ zo bepalen dat a en a +λa een rechthoek opspannen De determinant is dus gelijk aan de oppervlakte van deze rechthoek en die is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en a zoals blijkt uit figuur op pag 00 van Lay Het bewijs voor een ( -matrix gaat op dezelfde manier De inhoud of het volume van een parallellepipedum is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte Door op dezelfde manier te schuiven kunnen we zo n parallellepipedum transformeren tot een rechthoekig blok waarvan de inhoud gelijk is aan de lengte maal de breedte maal de hoogte Zie figuur en figuur op pag 00 en pag 0 van Lay 5
6 Deze stelling geeft ons de mogelijkheid om allerlei oppervlakte- en inhoudsberekeningen uit te voeren in R en R die anders veel lastiger zijn We bekijken enkele voorbeelden : Voorbeeld 8 Stel P (,, Q (, 5 en R (, Vraag : Wat is dan de oppervlakte van driehoek P QR? Eerst verschuiven we de driehoek zodat het punt P in de oorsprong O terechtkomt Dan geldt dat de oppervlakte van driehoek P QR gelijk is aan de helft van de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a ( 5 ( ( 7 en b ( ( ( Dus : opp(p QR ( det Voorbeeld 9 Stel A (,, B (,, C (,, D (, 5 en E (0, Vraag : Wat is de oppervlakte van vijfhoek ABCDE? Merk eerst op dat de oppervlakte van vijfhoek ABCDE gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de driehoeken ABC, ACD en ADE Om die te berekenen verschuiven we de vijfhoek ABCDE zodanig dat hoekpunt A in de oorsprong O terechtkomt Voor de oppervlaktes van de drie driehoeken gebruiken we de vectoren b a d a ( ( 5 ( ( ( (, c a en e a ( ( 0 ( ( We vinden dus : opp(abcde ( ( ( ( 5 det + 5 det + det 7 ( ( 5 (, Voorbeeld 0 De inhoud van het parallellepipedum in R opgespannen door de vectoren a, b en c 0 is gelijk aan det 0 We vinden : Dus : de inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan 6
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Vectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Matrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
De inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Determinanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Hoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Stelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
![x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1](/thumbs/40/22115465.jpg "x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1")
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Lineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Toepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Symmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Hoofdstuk 3 : Determinanten
Hoofdstuk 3 : Determinanten Paragraaf 3.2 : Determinanten (Les ) Definitie determinant aa bb De determinant van de [2 x 2]-matrix AA = is een getal met waarde cc dd det(a) = ad bc. aa bb Notatie : dddddd(aa)
11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.
![4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.](/thumbs/92/110838999.jpg "4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.")
3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen
UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Toepassingen op discrete dynamische systemen
Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch
vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som
Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
2. Transformaties en matrices
Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden
college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Uitwerkingen huiswerk week 6
Lineaire algebra 2 najaar 2008 Uitwerkingen huiswerk week 6 Opgave( 21. ) a b Zij A = F 2 2. (i) Laat zien dat deta noodzakelijk van de vorm deta = ad bc is (door A op bovendriehoeksvorm te transformeren).
Stelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
3.1 Haakjes wegwerken [1]
![3.1 Haakjes wegwerken [1]](/thumbs/53/31611347.jpg "3.1 Haakjes wegwerken [1]")
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
![8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde](/thumbs/31/15201373.jpg "8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde")
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Tentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Meetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]
![8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]](/thumbs/20/408417.jpg "8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]")
8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken. Een grondvlak en een bovenvlak. De andere grensvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van de prisma is de lengte van de opstaande
Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer
Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016
Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard
Voorbeeld theorie examen
Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
De dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
![8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde](/thumbs/98/138669860.jpg "8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde")
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie
Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
![Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²](/thumbs/54/34123992.jpg "Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²")
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor