Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Transcriptie

1 Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

2 Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van een deelruimte wordt vaak, ter afkorting, weergegeven door een sierletter bijvoorbeeld B. 29 september

3 Met deze notatie kan de definitie van basis ook als volgt worden geformuleerd: Definitie Een basis voor een deelruimte H van R n is een verzameling vectoren B met de volgende eigenschappen: 1. B is lineair onafhankelijk en 2. H = Span(B). Vraag Wat is een basis voor R 2, R 3? En R n? De n eenheidsvectoren in R n vormen een basis voor R n. Dus: B = {e 1, e 2,..., e n} is een basis voor R n 29 september

4 Vraag Heeft een deelruimte H van R n maar één basis? Nee, kijk maar eens naar dit plaatje. B 1 = {e 1, e 2} is een basis voor R 2 maar B 2 = {b 1, b 2} ook. 29 september

5 En, kijk maar eens naar dit plaatje waarin twee bases van R 3 zijn getekend (paars en rood). Vraag Hoeveel vectoren heeft een basis van R 2? En van R 3? 29 september

6 Stel H is een lijn door 0 in het platte vlak of de ruimte. Hoeveel vectoren bevat een basis van H? Dezelfde vraag wanneer H een vlak is door 0 in de ruimte. 29 september

7 Stelling Als H een deelruimte is van R n dan bevat elke basis van H evenveel vectoren. Gevolg Een basis van H bevat ten hoogste n vectoren. 29 september

8 Definitie Als H een deelruimte is van R n dan heet het aantal vectoren in een basis van H, de dimensie van H. {0} is de enige deelruimte van R n zonder basis. De afspraak dat de dimensie van H gelijk is aan 0. Notatie dim(h) 29 september

9 Stelling Laat H een deelruimte zijn van R n met basis B = {v 1, v 2,..., v p }. Dan is iedere x H op precies één manier te schrijven als lineaire combinatie van v 1, v 2,..., v p. Bewijs. Laat x een vector zijn in H. Omdat H = Span(B) bestaan er scalairen c 1, c 2,..., c p zodat x = c 1v 1 + c 2v c pv p Stel dat er ook nog scalairen d 1, d 2,..., d p bestaan zodat x = d 1v 1 + d 2v d pv p. 29 september

10 Bewijs. Dan x = c 1v 1 + c 2v c pv p = d 1v 1 + d 2v d pv p. Maar dan (c 1 d 1)v 1 + (c 2 d 2)v (c p d p)v p = 0 Omdat B een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is kan dit alleen wanneer c 1 d 1 = 0, c 2 d 2 = 0,..., c p d p = 0 zodat c 1 = d 1, c 2 = d 2,..., c p = d p. 29 september

11 Definitie Laat H een deelruimte zijn van R n met basis B = {v 1, v 2,..., v p }. Bij x H bestaan éénduidig bepaalde scalairen c 1, c 2,..., c p zodat x = c 1 v 1 + c 2 v c p v p. c 1, c 2,..., c p heten de coördinaten of kentallen van x ten opzichte van de basis B. De vector c 1 c 2. c p heet de coördinaatvector van x ten op zichte van B. Deze vector (in R p!) wordt genoteerd als [x] B 29 september

12 Opgave 2.9, opgave 3 [ ] [ ] [ ] Laat b 1 = 1 2 3, b 2 = en x = B = {b 1, b 2 } is een basis voor R 2. Bepaal de coördinaatvector van x ten opzichte van B. ] x = c 1b 1 + c 2b 2 x = [b 1 b 2] c waarbij c = }{{} A [ c1 Oplossen van deze matrixvergelijking Ac = x geeft [x] B = c = c 2 [ 7 5 ]. 29 september

13 Voorbeeld ( 2.9, opgave 8) [ ] [ ] [ Laat b 1 = 0 2, b 2 = 2 1, x = [ ] z = ],y = [ 2 4 ] en Lees [x] B, [y] B en [z] B af uit het plaatje. Controleer de antwoorden! 29 september

14 Opgaven 2.8, opgave 25 Hieronder staan A en een echelonmatrix bij A Bepaal een basis voor Col(A) en Nul(A). 29 september

15 Een echelonmatrix bij de matrix A is al gegeven. Met een klein beetje moeite kan daar een gereduceerde echelonmatrix van worden gemaakt Voor elk van deze matrices geldt: derde kolom = -2 (eerste kolom) + 5 (tweede kolom) en 2 vijfde kolom = 7 (eerste kolom) 1 (tweede kolom) + 4 (vierde kolom) september

16 Rij-operaties beïnvloeden de relaties tussen de kolommen niet De matrix maakt duidelijk dat elke vector in de kolomruimte niet alleen een lineaire combinatie is van de vijf kolommen maar ook een lineaire combinatie van de eerste, tweede en vierde, die lineair onafhankelijk zijn. En dus is B = {a 1, a 2, a 4} een basis voor Col(A) en dim(col(a)) = september

17 De gereduceerde echelonmatrix geeft ook dat wanneer Nul(A) moet worden bepaald x 3 en x 5 vrije variabelen zijn en dat Nul(A) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = t s 0 (t, s R) } {{ } b 1 1 } {{ } b 2 Omdat C = {b 1, b 2} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is moet C een basis zijn voor Nul(A) en dus is dim(nul(a)) = 2 Merk op dat dim(col(a)) + dim(nul(a)) = september

18 Opgaven 2.9, opgave 9 Hieronder staan A en een echelonmatrix bij A Bepaal een basis voor Col(A) en Nul(A) evenals hun dimensies. Tip: Kijk eens naar het laatste voorbeeld. 29 september

19 2.9, opgave Gegeven zijn de vectoren 3 2, 9 6, 1 4 en Bepaal een basis van de deelruimte die deze vectoren opspannen. Wat is de dimensie van deze deelruimte? Tip: Laat de gegeven vectoren kolommen zijn van een matrix A. Dan is de deelruimte opgespannen door deze vectoren Col(A). 29 september

20 Definitie De rang van een m n matrix A is gelijk aan dim(col(a)) en wordt genoteerd als rank(a) of rang(a) Stelling Als A een m n matrix is dan dim(col(a)) + dim(nul(a)) = n of rank(a) + dim(nul(a)) = n 29 september

21 Voorbeeld Gegeven is een homogeen stelsel van 40 lineaire vergelijkingen in 42 onbekenden dat geschreven kan worden als Ax = 0. Veronderstel dat de algemene oplossing een lineaire combinatie is van twee lineair onafhankelijke oplossingen. Toon aan dat het inhomogene stelsel vergelijkingen dat geschreven kan worden als Ax = b voor elke b consistent is. 29 september