Ruimtemeetkunde deel 1
|
|
- Christiana Simons
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen van E 0 noemen we punten. Punten kan je dus optellen en vermenigvuldigen met reële getallen. We noteren punten zowel met een hoofdletter als met een kleine letter. We verkiezen kleine letters als we bewerkingen uitvoeren op de punten. Een basis voor E 0 stellen we voor door {e 1, e 2, e 3 } waarmee {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} correspondeert in R 3. Elk punt P van E 0 kan dan op juist één manier geschreven worden als lineaire combinatie van die basis : P = x.e 1 + y.e 2 + z.e 3. Korter genoteerd als P (x, y, z). Men noemt (x, y, z) het coördinatendrietal van P. 2 Vectoren Zijn a en b twee punten van E 0, dan noemt men b a de vector bepaald door (a, b). We noteren AB = b a. Een vector is, als verschil van twee punten, dus ook een punt. Omgekeerd is elk punt p ook te schrijven als p = p o = OP. Dus het punt p komt overeen met de vector bepaald door (o, p). Als a(x 1, y 1, z 1 ) en b(x 2, y 2, z 2 ), dan noemen we (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) de coördinaten van vector AB. 1
2 Het midden van het koppel punten (a, b) wordt gedefinieerd als het punt m met AM = MB. Stelling 2.1. Als m het midden is van (a, b), dan is. m = a + b 2 Bewijs. Uit AM = MB volgt dat m a = b m of 2.m = a + b. Hieruit volgt het gestelde. Het zwaartepunt z van een driehoek ABC verdeelt een zwaartelijn in stukken die zich verhouden als 2 : 1, zodat AZ = 2 AM, waarbij m het 3 midden is van (b, c). Stelling 2.2. Als z het zwaartepunt is van driehoek ABC, dan is. z = a + b + c 3 Bewijs. Uit AZ = 2 AM volgt dat z a = 2 (m a). Hierbij is 3 3 m = b + c. Dus 3z 3a = 2m 2a of 3z 3a = b + c 2a. Hieruit 2 volgt dat 3z = a + b + c. Hiermee is het gestelde bewezen. Op analoge manier kan men bewijzen dat het zwaartepunt z van een viervlak ABCD gegeven wordt door de formule z = a + b + c + d 4 3 Deelruimten van E 0 De dimensie van E 0 is 3. De enige echte deelruimten hebben dus dimensie 1 en 2. De deelruimten van dimensie 1 noemen we vectorrechten en we noteren a 0, b 0,. De deelruimten van dimensie 2 noemen we vectorvlakken en we noteren α 0, β 0,. 2
3 Om de onderlinge ligging van vectorrechten en vectorvlakken te bepalen, bestuderen we hun doorsnede. We weten dat de doorsnede van twee deelruimten zeker een deelruimte is, waarvan de dimensie kleiner of gelijk is aan de dimensies van de afzonderlijke deelruimten. De situatie van twee vectorrechten: Stelling 3.1. Twee vectorrechten zijn ofwel snijdend in o ofwel samenvallend. Bewijs. De dimensie van de doorsnede van twee vectorrechten is ofwel 0 ofwel 1. Als de dimensie 0 is dan hebben die vectorrechten enkel o gemeenschappelijk. De vectorrechten zijn dan snijdend in o. Als de dimensie van de doorsnede 1 is dan is de doorsnede gelijk aan beide vectorrechten en zijn ze dus samenvallend. De situatie van twee vectorvlakken: Stelling 3.2. Twee vectorvlakken zijn ofwel snijdend volgens een vectorrechte ofwel samenvallend. Bewijs. De dimensie van de doorsnede van twee vectorvlakken α 0 en β 0 is ofwel 0 ofwel 1 ofwel 2. Als de dimensie 0 is dan volgt uit de dimensiestelling dat dim (α 0 + β 0 ) = = 4 en dat is natuurlijk onmogelijk in de driedimensionele vectorruimte E 0. Als de dimensie van de doorsnede 1 is dan is de doorsnede een vectorrechte en dan snijden de vectorvlakken elkaar volgens deze vectorrechte. Als de dimensie van de doorsnede 2 is dan is de doorsnede gelijk aan beide vectorvlakken en zijn ze dus samenvallend De situatie van een vectorrechte en een vectorvlak: Stelling 3.3. Een vectorrechte snijdt het vectorvlak in o ofwel ligt de vectorrechte in het vectorvlak. Bewijs. De dimensie van de doorsnede van een vectorrechte en een vectorvlak is ofwel 0 ofwel 1. Als de dimensie 0 is dan hebben die vectorrechte en het vectorvlak enkel o gemeenschappelijk. Als de dimensie van de doorsnede 1 is dan is de doorsnede gelijk aan de vectorrechte en ligt die in het vectorvlak. 3
4 Enkele oefeningen: Bepaal de onderlinge ligging van: 1. a 0 = R(1, 2, 1) en b 0 = R(2, 4, 2). 2. a 0 = R(1, 2, 2) en b 0 = R(2, 3, 1). 3. a 0 = R(2, 1, 2) en α 0 = R(1, 3, 0) + R(0, 0, 1). 4. a 0 = R(1, 7, 3) en α 0 = R(2, 5, 0) + R(0, 3, 2). 5. α 0 = R(0, 1, 0) + R(1, 0, 1) en β 0 = R(1, 1, 0) + R(0, 3, 1). 6. α 0 = R(1, 1, 0) + R(1, 2, 1) en β 0 = R(0, 1, 1) + R(2, 3, 1). 4 Rechten en vlakken Een rechte is een nevenklasse van een vectorrechte. Een vlak is een nevenklasse van een vectorvlak. We noteren rechten met a, b,. Rechten en punten worden dus op een zelfde manier voorgesteld. Als er verwarring mogelijk is, dan gebruiken we voor punten hoofdletters. Vlakken worden aangeduid met α, β,. Net zoals in de vlakke meetkunde bepalen twee verschillende punten juist 1 rechte. Toen hebben we dat als axioma aangenomen. Nu gaan we dat gewoon bewijzen. Stelling 4.1. Twee verschillende punten bepalen juist 1 rechte. Bewijs. Als a en b verschillende punten zijn, dan is b a 0 en is R(b a) een 1 dimensionele deelruimte van E 0, een vectorrechte dus. We construeren nu c = a + R(b a). Volgens bovenstaande definitie is dit een rechte, als nevenklasse van een vectorrechte. Omdat a = a + 0.(b a) en b = a 1.(b a) zullen a en b op die rechte liggen. Rest ons nog te bewijzen dat deze rechte uniek is. Stel dat er nog een rechte d door a en b gaat. Dan is de vectorrechte geassocieerd met d gegeven door R(b a) en dan is d = a + R(b a) = c. Er is dus maar 1 rechte door a en b. 4
5 In het vierde jaar hebben we gezien dat drie niet-collineaire punten juist 1 vlak bepalen. We gaan dat nu bewijzen. Stelling 4.2. Drie niet-collineaire punten bepalen juist 1 vlak. Bewijs. Als a,b en c drie niet-collineaire punten zijn, gaan we eerst aantonen dat b a en c a lineair onafhankelijk zijn. Stel dat het niet zo is, dan is c a = k(b a) of c = a + k(b a). Maar dit betekent dat c op de rechte door a en b zou liggen, wat niet mogelijk is omdat de drie punten niet-collineair zijn. Bijgevolg is R(b a) + R(c a) een 2 dimensionele deelruimte van E 0, een vectorvlak dus. Dan is α = a+r(b a)+r(c a) een vlak. Omdat a = a+0.(b a)+0.(c a) en b = a + 1.(b a) + 0.(c a) en c = a + 0.(b a) + 1.(c a), bevat het vlak α de punten a,b en c. Rest ons nog te bewijzen dat dit vlak enig is. Veronderstel dat er nog een tweede vlak β zou bestaan dat ook door a,b en c zou gaan, dan zou b a en c a gelegen zijn in β 0 of met andere woorden β 0 = R(b a) + R(c a). Maar dan is β = a + β 0 = α. De twee vlakken vallen dus samen en bijgevolg is er maar 1 vlak door de punten a,b en c. Opdat alle meetkundige eigenschappen zoals de stelling van Thales, de stelling van Pythagoras en andere, geldig zouden blijven in elk vlak van E 0, hebben we volgende evidente stelling nodig: Stelling 4.3. Als een rechte twee punten gemeen heeft met een vlak, dan ligt die rechte volledig is dat vlak. Bewijs. Stel dat de rechte de punten a en b gemeen heeft met het vlak en veronderstel dat c een punt is van het vlak zodat a,b en c niet collineair zijn. Neem nu een willekeurig punt x van de rechte door a en b, dan is x = a + k(b a) met k R. Maar dat is x = a + k(b a) + 0.(c a) en dus ligt x in het vlak bepaald door a,b en c. Elk punt van de rechte ligt bijgevolg in het vlak. De rechte ligt dus volledig is het vlak. 5 Onderlinge ligging van rechten en vlakken In het vierde jaar hebben we de onderlinge ligging van rechten en vlakken reeds gezien. We gaan nu na of onze nieuwe aanpak dezelfde resultaten geeft. De situatie van twee rechten: 5
6 Stelling 5.1. Twee rechten a en b zijn ofwel samenvallend, disjunct evenwijdig, snijdend of kruisend. Bewijs. Wat betreft de vectorrechten a 0 en b 0 weten we dat ze ofwel samenvallen ofwel enkel o gemeenschappelijk hebben. Als a 0 = b 0 en a en b hebben geen enkel element gemeenschappelijk, dan noemen we die rechten disjunct evenwijdig. Stel dat a en b wel een punt p gemeenschappelijk hebben, dan is a = p + a 0 = p + b 0 = b. De rechten vallen dus samen. Bestuderen we nu het geval dat de a 0 en b 0 enkel o gemeenschappelijk hebben. Als a en b geen elementen gemeenschappelijk hebben, dan noemen we die rechten kruisend. Hebben a en b wel een punt p gemeenschappelijk, dan kunnen a en b geen ander punt gemeen hebben. Want stel dat a en b ook q gemeenschappelijk zouden hebben, dan is q p a 0 b 0 = {0}. Bijgevolg is q = p. De rechten a en b zijn dus snijdend. De situatie van twee vlakken: Stelling 5.2. Twee vlakken α en β zijn ofwel samenvallend, disjunct evenwijdig of snijdend. Bewijs. Wat betreft de vectorrechten α 0 en β 0 weten we dat ze ofwel samenvallen ofwel snijden volgens een vectorrechte. Als α 0 = β 0 en α en β hebben geen enkel element gemeenschappelijk, dan noemen we die vlakken disjunct evenwijdig. Stel dat α en β wel een punt p gemeenschappelijk hebben, dan is α = p + α 0 = p + β 0 = β. De vlakken vallen dus samen. Als α 0 β 0 = s 0, dan is α β een nevenklasse van s 0. Immers is dim(α 0 + β 0 ) = = 3. Bijgevolg is α 0 + β 0 = E 0. Stel nu dat α = a + Rb + Rc en β = d + Re + Rf. Nu brengen b,c,e en f dus E 0 voort, dus is a = r.b + s.c + t.e + u.f en d = v.b + w.c + x.e + y.f. Hieruit volgt dat a d = (r v).b + (s w).c + (t x).e + (u y).f of a + (v r).b + (w s).c = d + (t x).e + (u y).f. Het linkerlid van de laatste gelijkheid is een element van α en het rechterlid een element van β. Bijgevolg bestaat er zeker een element in α β. Noem dit element p en definieer s = p + s 0. We willen nu aantonen dat α β = s. Omdat s 0 zowel in α 0 als β 0 ligt, zal s ook is α β liggen. Omgekeerd als q een element is van α β, dan is q p α 0 β 0 = s 0. Maar dan is q een element van s. Bijgevolg zullen de twee vlakken elkaar snijden volgens een rechte. 6
7 De situatie van een rechte en een vlak: Stelling 5.3. Een rechte a en een vlak α zijn ofwel disjunct evenwijdig, ofwel ligt de rechte in het vlak ofwel snijdt de rechte het vlak. Bewijs. Wat betreft de vectorrechte en het vectorvlak weten we dat ze ofwel enkel o gemeenschappelijk hebben ofwel ligt de vectorrechte in het vectorvlak. Als a 0 α 0 en a en α hebben geen elementen gemeenschappelijk, dan noemen we a en α disjunct evenwijdig. Als ze wel een element p gemeenschappelijk hebben, dan geldt voor elk element x van a dat x p + a 0. Dan is x p + α 0 = α. Elk punt van a ligt dus in α. De rechte ligt volledig is het vlak. Stel nu dat a 0 α 0 = {o}, dan is dim (a 0 + α 0 ) = = 3 zodat a 0 + α 0 = E 0. Stel nu dat a = p + Rb en α = q + Rc + Rd. Nu brengen b,c en d dus E 0 voort, zodat p = r.b + s.c + t.d en q = v.b + w.c + x.d. Hieruit volgt dat q p = (v r).b+(w s).c+(x t).d of p+(v r).b = q + (s w).c + (t x).d. Het linkerlid van de laatste gelijkheid is een element van a en het rechterlid van α, zodat a α zeker niet leeg kan zijn. Stel dat m en n allebei tot deze doorsnede zouden behoren, dan is m n a 0 α 0 = {0} en dus is m = n. De rechte en het vlak snijden elkaar in 1 punt. 6 Vergelijkingen van rechten 6.1 De rechte Een vergelijking van een rechte of een vlak opstellen is een nodige en voldoende voorwaarde vinden waaraan een punt moet voldoen om op die rechte of vlak te liggen. We weten uit een vroeger resultaat dat de rechte door de punten a en b, ook genoteerd als AB, gegeven wordt door AB = a + R(b a) We noemen dit de vectorvergelijking van de rechte AB. Dit betekent dat p AB als en slechts als er een reëel getal r bestaat zodat p = a + r.(b a). Als de parameter r de reële getallen doorloopt zal p de rechte AB doorlopen. Als AB geijkt wordt met 0 in a en 1 in b, dan stelt r de abscis voor van p. 7
8 In deze vergelijking noemen we b a een richtingsvector of richtvector van de rechte. Omdat elk element van de vectorrechte R(b a) hiervoor gebruikt kan worden, zeggen we dat een richtvector op een veelvoud na bepaald is. Het punt a in de vergelijking noemen we een steunvector van de rechte AB. Elk element van de rechte kan gebruikt worden als steunvector. Als we de vectorvergelijking omzetten naar R 3 en we p(x, y, z), a(x 1, y 1, z 1 ), b(x 2, y 2, z 2 ) noteren, dan ligt p op AB als en slechts als (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + r.(x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) of ook x = x 1 + r.(x 2 x 1 ) y = y 1 + r.(y 2 y 1 ) z = z 1 + r.(z 2 z 1 ) We noemen dit een parametervoorstelling van de rechte AB. De cartesiaanse vergelijking van de rechte AB vinden we tenslotte door de nodige en voldoende voorwaarde op te stellen voor het bestaan van een r in de parametervoorstelling van de rechte. Dit betekent dat we de parameter r moeten elimineren uit de 3 bovenstaande vergelijkingen. Dit betekent dat we r uit één vergelijking halen en daarna in de andere twee stoppen. Dit lukt steeds omdat de coëfficiënten van r nooit alle drie nul kunnen zijn. Als alle coëfficiënten verschillend van 0 zijn, dan bekomen we: x x 1 = y y 1 = z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 Merk dus op dat een rechte twee Cartesiaanse vergelijkingen heeft. 6.2 Het vlak We weten dat het vlak door de punten a, b en c ook genoteerd als ABC, gegeven wordt door ABC = a + R(b a) + R(c a) We noemen dit de vectorvergelijking van het vlak ABC. Dit betekent dat p ABC als en slechts als er reële getallen r en s bestaan zodat p = a + r.(b a) + s.(c a). Als de parameters r en s de reële getallen doorlopen zal p het vlak ABC doorlopen. Als AB geijkt wordt met 0 in a en 1 in b en AC met 0 in a en 1 in c, dan stelt (r, s) het coördinatenkoppel voor van p ten opzichte van de basis { AB, AC} in het vlak ABC. 8
9 We noteren p(x, y, z), a(x 1, y 1, z 1 ), b(x 2, y 2, z 2 ) en c(x 3, y 3, z 3 ). De parametervoorstelling van het vlak ABC is dan: x = x 1 + r.(x 2 x 1 ) + s.(x 3 x 1 ) y = y 1 + r.(y 2 y 1 ) + s.(y 3 y 1 ) z = z 1 + r.(z 2 z 1 ) + s.(z 3 z 1 ) Om de Cartesiaanse vergelijking van het vlak ABC te vinden, zullen we r en s elimineren uit vorige 3 vergelijkingen. We herschrijven daarvoor dat stelsel als : x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 y y 1 = r. y 2 y 1 + s. z z 1 z 2 z 1 y 3 y 1 z 3 z 1 x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 Dit betekent dat in volgende determinant y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 z z 1 z 2 z 1 z 3 z 1 de eerste kolom een lineaire combinatie is van de tweede en derde kolom, die geen veelvouden van elkaar zijn. Bijgevolg moet de determinant gelijk zijn aan 0. Dit geeft dan de Cartesiaanse vergelijking van het vlak ABC: x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 z z 1 z 2 z 1 z 3 z 1 = 0 Wanneer we deze determinant ontwikkelen volgens de eerste kolom, dan bekomen we een vergelijking van de eerste graad in x,y en z. Dus de Cartesiaanse vergelijking van een vlak is steeds van de vorm ax + by + cz + d = 0 waarbij a,b en c nooit alle drie 0 zijn. 7 Evenwijdigheid 7.1 Definities In tegenstelling tot de benadering van de vlakke meetkunde, kunnen we nu een definitie geven voor het begrip evenwijdigheid door middel van een formule. Als symbool voor evenwijdigheid gebruiken we. Twee rechten zijn evenwijdig als hun vectorrechten (ook richtrechten genoemd) samenvallen: a b a 0 = b 0 9
10 Anders geformuleerd: twee rechten zijn evenwijdig als hun richtvectoren evenredig zijn. Twee vlakken zijn evenwijdig als hun vectorvlakken (ook richtvlakken genoemd) samenvallen: α β α 0 = β 0 Twee vlakken zijn dus evenwijdig als de richtvectoren van het ene vlak lineaire combinaties zijn van de richtvectoren van het andere vlak. Vorige omschrijving is niet zo praktisch in de oefeningen. Als ax + by + cz = d de vergelijking is van een vlak α, dan is ax + by + cz = 0 de vergelijking van α 0. Dus zijn twee vlakken evenwijdig als, in hun Cartesiaanse vergelijkingen, de coëfficiënten van x,y en z evenredig zijn. Een rechte is evenwijdig met een vlak als de vectorrechte gelegen is in het vectorvlak: a α a 0 α 0 Een rechte is dus evenwijdig met een vlak als de richtvector van de rechte een lineaire combinatie is van de richtvectoren van het vlak. Of beter als de richtvector van de rechte voldoet aan de vergelijking van α 0 ( ax + by + cz = 0 ). 7.2 Eigenschappen Vooraleer we beginnen met het bewijzen van een aantal stellingen die we reeds kennen uit het vierde jaar, toch even een aantal formules die volgen uit het bestuderen van de onderlinge stand van rechten en vlakken: a α a 0 α 0 en α β = s α 0 β 0 = s 0. Stelling 7.1. Is een rechte a evenwijdig met een vlak α, en gaat er door die rechte een vlak β dat het eerste snijdt, dan is de snijlijn s evenwijdig met de gegeven rechte. Bewijs. a α a 0 α 0 en a β a 0 β 0. Maar dan is a 0 α 0 β 0. Maar α 0 β 0 = s 0, dus is a 0 s 0. Zowel a 0 als s 0 hebben dimensie 1. Volgens de vectorruimte theorie zal dus a 0 = s 0 en daaruit volgt dat a s. 10
11 Stelling 7.2. Is één van twee evenwijdige rechten a en b omvat in een vlak α, dan is de andere rechte evenwijdig met dit vlak. Bewijs. a b a 0 = b 0 en a α a 0 α 0. Dan is ook b 0 α 0 en is b α. Stelling 7.3. Als twee snijdende vlakken α en β elk één van twee evenwijdige rechten a en b omvatten, dan is hun snijlijn s evenwijdig met die rechten. Bewijs. Uit het gegeven volgt dat α 0 β 0 = s 0, a 0 α 0 en b 0 β 0. Omdat a b is a 0 = b 0 en zal dus ook a 0 β 0. Omdat a 0 ook in α 0 ligt, volgt hieruit dat a 0 α 0 β 0 = s 0. Omdat a 0 en s 0 beiden dimensie 1 hebben, weten we dat a 0 = s 0 en dus is a s. Stelling 7.4. Als een vlak α twee onderling evenwijdige vlakken β en γ snijdt, dan zijn de snijlijnen a en b evenwijdig. Bewijs. Omdat β γ is β 0 = γ 0. Verder is α 0 β 0 = a 0 en α 0 γ 0 = b 0. Hieruit volgt dat a 0 = b 0 en dus is a b. Stelling 7.5. Is een rechte a evenwijdig met twee onderling snijdende vlakken α en β, dan is hij evenwijdig met hun snijlijn s. Bewijs. Omdat a α en a β is a 0 α 0 en a 0 β 0 en dus ook a 0 α 0 β 0 = s 0. Bijgevolg is a 0 s 0. Omdat ze beiden dimensie 1 hebben, volgt hieruit dat a 0 = s 0 en a s. 11
12 Stelling 7.6. Is b niet evenwijdig met a, dan stelt a + b 0 het vlak voor dat a omvat en evenwijdig is met b. Bewijs. Stel dat α het gevraagde vlak is en stel p a, dan is a = p+a 0. Omdat a in α ligt, zal a 0 α 0. Omdat b α, zal b 0 α 0. Uit deze twee feiten volgt dat a 0 + b 0 α 0. Omdat a en b niet evenwijdig zijn is dim (a 0 + b 0 ) = = 2. Bijgevolg is a 0 + b 0 = α 0. Maar dan is a + b 0 = p + a 0 + b 0 = p + α 0 = α. Hieruit volgt het gestelde. 12
Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale
Ruimtemeetkunde. (
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking
Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag
college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak
Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen
Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal
14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
More points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Cursus analytische meetkunde
Cursus analytische meetkunde René Déscartes 3 mei 596 La Haye en Touraine (Frankrijk) februari 650 Stockholm (Zweden) Cursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen ) Herhaling a) Vectoren Definities
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Wiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt
Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde
Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
College WisCKI. Albert Visser. 21 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Vectorruimte
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 21 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Lichaam Lichaam (Körper, Field):
Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Vectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Pascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)
- 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...
Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Hoofdstuk 1. Projectief vlak. 1.1 Het gecompleteerd affien vlak
Hoofdstuk 1 Projectief vlak 1.1 Het gecompleteerd affien vlak We kiezen in R, E O, + een coördinatenstelsel met assen X, Y en Z. Het punt E(1, 1, 1) bepaalt de ijken op X-as, Y -as en Z-as. We beschouwen
Uitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Een korte beschrijving van de inhoud
Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op
Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud
Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede graad Roger
Massa punten. Hector Mommaerts
Massa punten Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Een massa punt is een paar (n, P ), waarbij n een positief getal is en het gewicht genoemd wordt en waarbij P een punt is. Soms gebruikt men ook de
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Types differentiaal vergelijkingen
1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking
Oefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een
Stelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Matrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
III.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Vectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Elementaire Meetkunde aanvullingen en errata
Laatste update: 5 april 09 Elementaire Meetkunde aanvullingen en errata Hoofdstuk De stelling bovenaan bladz. 308 heeft niet nummer.7.5 maar.7.4 versie. Vervang in de laatste zin van.8. 'vierhoek ABCP'
ProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Meetkunde I [B-KUL-G0N31B]
KU Leuven Meetkunde I [B-KUL-G0N31B] Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 24 september 2014 Gecompileerd 18 januari 2016 Docent: Prof. Wendy Goemans Inhoudsopgave 1 Affiene meetkunde 4 1.1 Affiene ruimte.......................................
Vlakke Analytische Meetkunde
Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1
Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2
Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar