Types differentiaal vergelijkingen
|
|
- Irma Vink
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking en volg gewoon de bijhorende oplossingsmethodologie. In dit document zet ik even alle types op een rijte. Al de types waren: 1. Juiste diff.vgl, orde1 2. Scheiding van veranderlijke, orde 1 3. homogene p en q, orde 1 4. p en q veeltermen van graad 1, orde 1 5. lineaire diff.vgl van orde 1 6. Bernouilli diff vgl, orde 1 7. y ontbreekt, orde 1 8. x ontbreekt, orde 1 9. y kan worden afgezonderd, orde vgl waarin x of y in ontbreekt, orde 2 of groter 11. vgl homogeen y, y,..., y (n), orde 2 of groter 12. diff. vgl met constante coeff, orde 2 of groter 13. Euler diff vgl, orde 2 of groter 14. stelsel diff vgl. Ik ga nu de methodologie van iedere type herhalen. Maar eerst herinner: Definitie 1 Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. De hoogste afgeleide dat voorkomt heet de orde (hier is dit n en in de oefeningen meestal 1 of 2). Een oplossing van de differentiaalvergelijking heet ook wel een integraal. Indien we de vergelijking kunnen herschijven als y (n) = F (x, y, y, y,..., y (n 1) ) dan heet de differentiaalvergelijking normaal.
2 Merk op dat een oplossing van een differentiaalvergelijking dus een functie y(x) is. Bij het oplossen van een differentiaalvergelijking van orde n zullen we steeds n constantes overhouden. In het praktijk zijn deze constantes bepaald door de randvoorwaarden van het systeem in beschouwing. Er bestaat geen algemene methode om differentiaalvergelijkingen op te lossen... Vandaar dat we veel types beschouwen en bijhorende methodes leren. Differentiaalvergelijkingen zijn dan nog steeds een heel actief en populair onderzoeksgebied. In het eerste deel, reeks 8 in de WPO, lossen we differentiaalvergelijkingen op van de eerste orde. In de reeksen nadien zullen we dikwijls hogere orde differentiaalvergelijkingen reduceren tot differentiaalvergelijkingen van de eerste orde om dan de methode van reeks 8 toe te passen. We beschouwen dus nu even normale differentiaalvergelijkingen van de vorm: F (x, y, y ) = 0. Gezien we de vergelijking normaal veronderstellen dus ook wel, y = f(x, y). Deze kunnen we ook in de volgende vorm schrijven: p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0. (1) We gaan het dan ook steeds zo schrijven Type 1, juiste diff. vgl : Veronderstel dat vergelijking (1) kan geschreven worden als d(h(x, y)) = 0. Dan heet de diff vgl juist. Overduidelijk voldoet de functie h(x, y) = c aan deze vergelijking en is dus een oplossing van onze diff.vgl. In dit geval moet je je 2 vragen stellen: hoe weten we dat het juist is? en vervolgens hoe vinden we de functie h?. Ivm vraag 1, Stelling 1 (st , pg 95) Onder een aantal voorwaarden, indien dan is de diff vgl (1) juist. p y = q x Ivm vraag 2: doe zoals de voorbeelden op pg 97-98, namelijk: we weten dat dh(x, y) = hdx + x hdy. Dus: y h h = p(x, y) en = q(x, y). x y Neem dus nu op h = p(x, y) de integraal naar x. Dit geeft u h maar met een constante afhankelijk x van y!. Om de constante te bepalen, integreer dit resultaat dan naar y en gebruik dat h = q(x, y). y Zo zal je alles hebben. (zie verder reeks 8.1) Type 2, scheiding van veranderlijke : Dit zijn diff. vgl p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 dat je kan herschrijven in de vorm f(x)dx = g(y)dy (zoals de naam het deed vermoeden...). Hier nu gewoon de integraal nemen aan de beiden kanten en het eind antwoord eventueel mooi herschrijven. (zie pg 98 voor vb n en reeks 8.2 voor oef) Type 3, homogene diff. vgl : Dit zijn diff. vgl p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 waar de functies p en q homogene veeltermen zijn (i.e veeltermen waarvan de totale exponent van iedere monoom gelijk is, bv x 2 y 3 + 7y 5 2x 4 y). Voor deze type voer de substitutie z = y x 2
3 door (niet vergeten de dy ook te substitueren naar een dz!) en dan krijg je een diff. vgl van Type 2 scheiding van veranderlijke (zie pg voor meer uitleg). Bij het einde moet je de substitutie ook weer ongedaan maken. Type 4, p en q lineaire veeltermen : Zoals de naam het zegt zijn dit diff vgl. p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0 waar p en q functies ax + by + cvan de 1ste graad zijn (bv p(x, y) = x + y 1 en q(x, y) = 3x + y + 1). Door de constante termen in p en/of q zijn dit geen diff.vgl van de vorige type. Daarom voeren we een substitutie door om in Type 3 of 2 terecht te geraken. We onderscheiden twee gevallen. (i) stel dat p en q evenwijdig zijn (i.e hun richtingsvectoren zijn een veelvoud van elkaar of dus hun rico s zijn gelijk). Doe dan de volgende substitutie: u = ax + by, waar p(x, y) = ax + by. Dan zal men een diff.vgl krijgen van Type 2, scheiding van veranderlijken, krijgen. (ii) stel dat p en q snijdend zijn in een punt (x 0, y 0 ). Voer dan de volgende substitutie uit: { x = t + x0 y = u + y 0 Na deze substitutie zal men een diff.vgl van Type 3 krijgen. Zie reeks 8.4 voor oef. Type 5, lineaire diff.vgl van 1ste orde : Dit zijn diff. vgl. van de vorm a(x)y + b(x)y = d(x) (2) Voor het oplossen van deze type gaan we eerst de geassocieerde homogene diff. vgl a(x)y + b(x)y = 0 (3) oplossen. Volgende stelling zegt ons dan dat, samen met een particuliere we de algemene oplossing vinden. Stelling 2 (St , pg 102) Zij y h de oplossing van de geassocieerde homogene diff.vgl (3) en y p een particuliere oplossing. Dan is de algemene oplossing van de diff vgl (2): y = y h + y p. De natuurlijke vragen zijn nu: hoe vinden we die y h en y p?. De homogene diff vgl kunnen we steeds met scheiding van veranderlijke oplossen! (zie pg 103). Voor de particuliere oplossing is iedere andere oplossing goed. Maar in praktijk zullen we de zogenaamde techniek van variatie van constantes toepassen. Meer precies, stel dat y h = cf(x) dan proberen we een oplossing te vinden van de vorm y p = c(x)f(x). De vraag is dus: voor welke functie c(x) is bovenstaande y p een oplossing van de diff.vgl (2)?. Hiervoor gaan we gewoon y p invullen in de diff.vgl (en ihb y p berekenen) en proberen c(x) te 3
4 bepalen. In praktijk zal men eerst de afgeleide c(x) van c(x) bepalen en dan door een extra integratie c(x) zelf. Zie reeks 8.5 voor oefeningen en pg voor theorie en vbn. Type 6, Bernoulli diff. vgl : Dit zijn diff.vgl van de vorm a(x)y + b(x)y = d(x)y m (4) Zonder die term y m zouden het dus diff.vgl van de vorige type zijn. Daarom gaan we de beide leden delen door y m en de substitutie z = 1 y m 1 doorvoeren. Na dit zal men een diff.vgl in z en x van de vorm (2) (i.e Type 5). Vergeet, zoals steeds, niet om bij het einde terug naar y en x te gaan. Zie reeks 8.6 voor oef en pg 105 voor theorie en vb. Vanaf nu werken we niet meer automatisch met normale differentiaalvergelijkingen. Tot nu toe was de grootste voorkomende macht van y gelijk aan 1. In het vervolg behandelen we differentiaavergelijkingen van de vorm F (x, y, y ) = 0 waar dus de graad van y groter of gelijk is aan 1. De bedoeling is om te reduceren naar de types 1 t.e.m 6. Een eerste naïve manier is door de diff. vgl te ontbinden: 0 = F (x, y, y ) = F 1 (x, y, y )... F 2 (x, y, y )... F n (x, y, y ) Nu, een product is nul als 1 van de termen nul is. Dus om alle oplossingen te vinden is het voldoende om voor alle 1 i n de vergelijking F i (x, y, y ) = 0 op te lossen. Stel dat we als oplossing G i (x, y, y ) = 0 vinden. Dan is de algemene oplossing: 0 = G 1 (x, y, y )... G 2 (x, y, y )... G n (x, y, y ). Deze methode is natuurlijk onafhankelijk van iedere type. Vandaar dat het hier schuin staat. Type 7, y ontbreekt: Hier is dus de diff. vgl van de vorm F (x, y ) = 0. In dit geval zullen we overstappen naar parametervorm. Er is geen vaste manier om de paramater te kiezen! Maar we zullen de parameter zo kiezen dat we zo gemakkelijk mogelijk x en y in functie van deze kunnen zetten: { x = φ(t) y = ψ(t) We willen x en y in functie van t. Het eerste hebben we al, dus nog de 2de. Hiervoor neem dy uit de 2de vergelijking te halen en daarin dx (i.e de differentiaal van de 1ste vergelijking) in te vullen vinden we dat dy = φ(t) ψ(t)dt en bijgevolg ook y in functie van t. Voor meer detail en vbn zie pg25 oefeningenbundel en reeks 9.1. Type 8, x ontbreekt: Ditmaal hebben we dus F (y, y ) = 0. Het is nu analoog aan het vorige. Voer namelijk een parameter t in: { y = φ(t) y = ψ(t) 4
5 En haal hier dx uit door de differentiaal van de 1ste vergelijking te vergelijken met de 2de vergelijking. Dan zal dx = φ dt en na integreren vindt men x. Alweer voor meer detail en vbn zie pg26 ψ oefeningenbundel en reeks 9.1. Type 8, vergelijking homogeen in x en y: Zoals bij type 3 deel door de hoogste macht van x waardoor men de diff. vgl F ( y x, y ) = 0 krijgt. Voer alweer een paramater t in. { y x = φ(t) y = ψ(t) Haal uit de 2 vergelijkingen dx in functie van t en dt. Deze zal steeds op te lossen zijn via scheiding van veranderlijken! (Type 1). Zie reeks 9.1 en pg oef. bundel voor meer. Type 9, y kan worden afgezonderd: Hier veronderstellen we dat we in de diff. vgl F (x, y, y ) = 0 de y kunnen afzonderen: y = φ(x, y ). (5) Met behulp van de techniek van afleiden en elimineren gaan we dan verder. Zie pg van oef. bundel voor alle details en reeks 9.2. Het idee zal zijn om de substitutie y = p in te voeren en de vergelijking (5) om te vormen naar een vergelijking in x en p. Deze zal van de eerste orde en 1ste graad zijn en zijn bijgevolg Types 1-6 mischien van toepassing. (9.1) vgl van Lagrange: Dit is een vergelijking van de vorm y = xφ(y ) + ψ(y ). Deze kan men steeds oplossen op bovenstaande wijze. Zie pg 31 voor een vb en reeks 9.2 voor oef. (9.2) vgl van Clairaut: Dit is een vetelijking van de vorm y = xy + ψ(y ). Het is dus een vergelijking van Lagrange met φ(y ) = y. Zie pg 32 voor een vb een reeks 9.2 voor een oef. Vanaf nu gaan we differentiaalvergelijkingen van hogere ordes bestuderen. Dus vergelijkingen waar ook y, y (3), etc. voorkomen : F (x, y, y,..., y (n) ) = 0. Hier zal men steeds proberen om de orde te verlagen en zo diff vgl van de vorige types te ontmoeten. Type 10, slechts x en 1 afgeleide: Het is dus een diff. vgl van de vorm y n = f(x). Hier is het voldoende om de vergelijking n keer te integreren. Type 10, vgl waarin x of y in ontbreekt: (10.1) y ontbreekt: Dus stel dat we een diff vgl van de volgende vorm hebben: 0 = F (x, y,..., y (n) ). Om de orde te verlagen voeren we logischer wijze de substitutie y = z in. Zo krijgt men 0 = F (x, z,..., z (n 1) ) en is dit hopelijk een diff vgl dat we reeds kennen. Zie pg oef bundel voor een vb en reeks 10.1 voor oef. 5
6 (10.2) x ontbreekt: Dus stel dat we een diff vgl van de volgende vorm hebben: 0 = F (y, y,..., y (n) ). Om de orde te verlagen veranderen we de rollen van x en y. Pas op bij de substitutie! Want, dan is y = 1 en y = x x. Eenmaal dit gedaan hebben we een diff vgl van de vorige type (x ) 3 (10.1), nl 0 = G(y, x,..., x (n) ). Zie pg oef bundel en reeks 10.1 voor meer. Type 11, vgl homogeen y, y,..., y (n) : In dit geval kunnen we de orde van 1 verlagen door de substitutie z = y y bundel voor een vb en reeks 10.1 voor oef. Type 12, met constance coefficienten: In dit geval worden de volgende differentiaal vergelijkingen bestudeert: te doen. Zie pg 40 in oef a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 0 y = b(x) (6) waar a n,..., a 0 reeele constantes zijn. Aangezien deze diff vgl een speciale vorm zijn van Type 5 vindt men ook van de vgl (6) de oplossing door eerst de geassocieerde homogene op te lossen en een particuliere te vinden en ze op te tellen, y = y h + y p. Echter ditmaal zijn andere technieken meer geschikt. Voor de homogene: we associeren met de diff vgl (6) een karakteristieke vergelijking: a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 = 0. Deze vergelijking heeft n, niet noodzakelijk verschillende, oplossingen t 1,..., t n in C (grondstelling van de algebra) en met ieder van deze oplossingen t i gaan we een oplossing e t ix associeren. Het probleem is dat sommige oplossingen multipliciteit 2 of meer kunnen hebben, bv t 1 = t 3, en dus de bijhorende oplossingen ook. Aangezien we geinteresseerd zijn in een algemene oplossing van (6) hebben we n lineair onafhankelijke oplossingen nodig en gaan we bijgevolg met de multipliciteit rekening moeten houden. Stel dat de karakteristieke vergelijking als, verschillende, oplossingen t 1,..., t l heeft met respectievelijk multipliciteit m 1,..., m l. Dan associeren we met iedere t i de volgende functies: e t ix, xe t ix,..., x m i 1 e t ix. In totaal zijn dit er m m l onafhankelijk zijn. Dus: = n en is bewezen in Gevolg 8.4.3, pg 119 dat ze lineair y h = c 1 e t 1x c m1 x m 1 1 e t 1x + c m1 +1e t 2x +... c n x m l 1 e t lx Merk wel op (pg120 in theorie) dat indien t j = α + iβ een complex getal is dan associeren we met t j en zijn complex toegevoegd t j de oplossingen e αx cos(βx), e αx sin(βx), xe αx cos(βx), xe αx sin(βx),..., x m j 1 e αx cos(βx), x m j 1 e αx sin(βx). De particuliere: Hiervoor kan men alweer variatie van constantes doen (i.e y p is y h maar waar alle c i vervangen worden door functies c i (x) dat men moet bepalen door y p in te vullen en een stelsel op te lossen). Dit is echter heel lang en indien de rechterlid b(x) een bijzondere vorm heeft is er ook korter. 6
7 Stelling 3 (St , pg 124) Indien de rechterlid b(x) = V (x)e µx waar V (x) een veelterm van graad m is, dan proberen we een particuliere oplossing y p van de vorm y p = x m(µ) K(x)e µx waar m(µ) de multipliciteit is van het getal µ als oplossing van de karakteristieke vergelijking (zie homogene deel) en K(x) = a m x m + a m 1 x m a 0 een veelterm is van dezelfde graad als V (x). Dus men probeert een y p van bovenstaande vorm te vinden. De enigste onbekendes in deze oplossing zijn de coefficienten van de veelterm K(x). Aangezien de enigste conditie op y p is dat het een oplossing moet zijn van de diff vgl (6) gaan we y p daarin invullen. Bij het einde krijgen we een veelterm links en in de rechterlid b(x). Nu 2 veeltermen zijn gelijk als al hun coefficienten gelijk zijn. Dus eenmaal we de 2 leden vergelijken vind men de coefficienten van K(x). Tenslotte is de algemene oplossing y = y p + y h. Zie pg voor meer detail en reeks voor oefeningen. Type 13, stelsel van diff vgln : Dit is via de techniek van eigenwaarden en eigenvectore. Zie pg in theorie en reeks 11.5 en 11.6 voor oefeningen. 7
OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieWI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieLineaire gewone & partiele 1ste en 2de orde differentiaalvergelijkingen
Lineaire gewone & partiele 1ste en de orde differentiaalvergelijkingen Basisbegrippen Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin minstens een afgeleide van een onbekende reeelwaardige functie
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe
Nadere informatieENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT
Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieWiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieNotatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen
Notities bij de nascholing Differentiaalvergelijkingen Eekhoutcentrum 11 mei 2005 Bart Windels Differentiaalvergelijkingen 1 1 Algemeenheden Zij I een open interval van R (eventueel onbegrensd) en y :
Nadere informatieAANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN
AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN Hieronder volgt een korte beschrijving van de vragen van het oefeningengedeelte met antwoord. We geven ook kort weer wat regelmatig
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieWiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen
FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieTentamenopgaven over hfdst. 1 t/m 4
Ttamopgav over hfdst. 1 t/m 4 1. donderdag 31 oktober 1996 Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y + 4y = 4 cos 2x, y(0) = 1, y (0) = 0. 2. donderdag 31 oktober 1996 Bepaal de algeme oplossing
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
1ste semester 23 januari 2007 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven zijn twee normen 1 en 2 op een vectorruimte V. Wanneer zegt men dat de 1 fijner is dan 2? Wat is dan het verband tussen convergentie
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 20 20 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Integrerende factor (8.4) Vanmiddag Populatiemodellen (8.5) 2 Herhaling Als de differentiaal vergelijking wordt gegeven door dy dx
Nadere informatien 2 + 3n + 6 4n 3 3 n + 8n n + 3n + 16 n=1 Indien convergent, bepaal dan ook de waarde van de reeks.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP004B januari 05,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen
Analyse Differentiaalvergelijkingen Jens Bossaert 2013 Gottfried Leibniz Isaac Newton Inhoudsopgave 1 Terminologie 4 2 Algemene technieken 5 2.1 Factorisatie..............................................
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieStelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieStelsels van lineaire DVen met constante coëfficiënten
Zij K = R of C, n N, A R n n. Zoek differentieerbare functies y : R K n zodanig dat ẏ(t) = Ay(t), t R. Opmerking: De oplossingen vormen een lineaire deelruimte (ga na!). Deze heeft dimensie n. De algemene
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatieOefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M van 16:00 tot 18:00u
Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M 00.07 van 16:00 tot 18:00u Beste student, Deze oefeningentoets bevat twee oefeningen betreffende het tweede deel
Nadere informatieAnalyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 15 Even voorstellen... Dr. Roelof Koekoek Gebouw
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 6-7 ste semester november 6 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Toon aan dat een niet-stijgende begrensde rij convergent is.. Onderstel dat f : [a, b] R continu is over
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 6. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 6 Han Hoogeveen, Utrecht University JBF methode voor oplossen recurrente betrekkingen Op te lossen recurrente betrekking a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 +... + c k a n k + f (n),
Nadere informatieHoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieAnalyse I. f(x)dx + f(x)dx =
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar 1-11 1ste semester, 18 januari 11 Analyse I 1. f en g zijn numerieke functies, f is differentieerbaar in a en g is differentieerbaar
Nadere informatien 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatieTussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatieWI1708TH Analyse 2. College 1 10 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 1 10 november 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke 191512600
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Partieel Breuksplitsen a0 x m C a x m C C a m x C a m
Nadere informatiex a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieUITBREIDING INTEGRALEN VAN HET TYPE. ««««««««««x ««2« ««9««««««««««1««6««x««««« ««1««««««««««u«««««2. f (x) 1 ««««««««
INTEGRALEN VAN HET TYPE k. f (x). dx ««a««««««««b«.«««f«(«x«)««a. Een nieuwe fundamentele integraal Met behulp van de rekenregels van afgeleiden vinden we ook. du = arcsin u + c ««««««««««««u«««««arcsin
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 5-6 ste semester 9 oktober 5 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Geef de definitie van een Cauchy rij. Toon aan dat elke Cauchy rij begrensd is. Toon aan dat een numerieke
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatiecollege 2: partiële integratie
39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatieDe hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen
Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieAnalyse, Deel III Samenvatting Martijn Boussé
Analyse, Deel III Inhoudsopgave I Lineaire Differentiaalvergelijkingen... 2 I.I Algemene theorie... 2 I.II Lineaire differentiaalvergelijkingen constante coëfficiënten... 3 I.III Lineaire differentiaalvergelijking
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatie