WI1708TH Analyse 2. College 1 10 november Challenge the future

Transcriptie

1 WI1708TH Analyse 2 College 1 10 november

2 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI Slides op 2

3 Informatie Studiemateriaal Calculus, Early Transcendentals, 7 de editie (James Stewart) Inhoud Differentiaalvergelijkingen (Week 1 & 3) Complexe getallen (Week 2) Reeksen (Week 4 7) Werkvormen 4 uur colstructie per week 3

4 Informatie Toetsing Inleveropgaven Vier quizzen (15 minuten) 40% Tentamen (2,5 uur) 60% Belangrijke data Quiz 1: maandag 17 november Quiz 2: maandag 1 december Quiz 3: maandag 15 december Quiz 4: maandag 5 januari Tentamen: Dinsdag 27 januari 18:30 21:00 4

5 Programma Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden (9.2) Methode van Euler (9.2) Scheiden van variabelen (9.3) 5

6 Differentiaal vergelijking Definitie Een differentiaal vergelijking is een vergelijking van de vorm = F x, y waarbij de functie F afhangt van x en y(x). Een oplossing voor deze vergelijking is een functie y(x) waarvoor y x = F(x, y). 6

7 Differentiaal vergelijking Gegeven is de differentiaal vergelijking = 7y x. De functie y x = x 7 is een oplossing voor deze vergelijking want = 7x6 = 7 x7 x = 7y x. In het algemeen geldt dat y x = 7cx6 = 7 cx7 x = cx 7 een oplossing is want = 7y x. 7

8 Differentiaal vergelijking Definitie Als een oplossing voor een differentiaal vergelijking een constante c bevat, dan is dit de algemene oplossing. Als deze constante c vervangen is door een specifiek getal, dan is dit een particuliere oplossing voor de differentiaal vergelijking. 8

9 Differentiaal vergelijking Definitie Vaak wordt er naast de differentiaal vergelijking ook een beginvoorwaarde meegeven: = F x, y, y a = b 9

10 Differentiaal vergelijking Gegeven is de differentiaal vergelijking = 7y x. De functie y x = cx 7 is een algemene oplossing want = 7cx6 = 7 cx7 x = 7y x. Voor de beginvoorwaarde y 1 = 11 volgt dat y x = 11x 7. Dit is dus een particuliere oplossing. 10

11 Richtingsveld Definitie Een oplossingskromme voor differentiaal vergelijking = F(x, y) is een kromme waarbij de helling van de raaklijn voor elk punt (x, y) gelijk is aan F(x, y). Een richtingsveld wordt gegeven door de raakvectoren aan de oplossingskrommen. 11

12 Richtingsveld 5 5 ( 4,4) y 0 y x = x y x 12

13 Richtingsveld 5 y x 13

14 Richtingsveld Een bal wordt uit een helikopter gegooid vanaf 3000ft. De snelheid van de bal wordt gegeven door dv dt = v. Onafhankelijk van de snelheid op t = 0 zal de snelheid uiteindelijk 200 ft/s worden. v t

15 Methode van Euler y (x 3, y 3 ) (x 0, y 0 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) x 15

16 Methode van Euler Definitie Om de oplossing van = F x, y, y x 0 = y 0 te benaderen, wordt eerst een stapgrootte h gekozen. helling F(x n, y n ) (x n+1, y n+1 ) h F x n, y n (x n, y n ) h (x n+1, y n ) 16

17 Methode van Euler Definitie Om de oplossing van = F x, y, y x 0 = y 0 te benaderen, wordt eerst een stapgrootte h gekozen. Vervolgens geldt dat x n+1 = x n + h, y n+1 = y n + h F x n, y n. 17

18 Methode van Euler Gebruik de methode van Euler om de oplossing van = x y, y 0 = 3 te benaderen met stapgrootte h = 1 op het interval [0,3]. 18

19 Methode van Euler Gebruik de methode van Euler om de oplossing van = x y, y 0 = 3 te benaderen met stapgrootte h = 1 op het interval [0,3]. x 0 = 0, y 0 = 3 19

20 Methode van Euler Gebruik de methode van Euler om de oplossing van = x y, y 0 = 3 te benaderen met stapgrootte h = 1 op het interval [0,3]. x 0 = 0, y 0 = 3 x 1 = 1, y 1 = y 0 + h F x 0, y 0 = = 3,6 20

21 Methode van Euler Gebruik de methode van Euler om de oplossing van = x + 1 y, 5 y 0 = 3 te benaderen met stapgrootte h = 1 op het interval [0,3]. x 0 = 0, y 0 = 3 x 1 = 1, y 1 = 3,6 x 2 = = 2, y 2 = 3, ,6 = 3,32 21

22 Methode van Euler Gebruik de methode van Euler om de oplossing van = x y, y 0 = 3 te benaderen met stapgrootte h = 1 op het interval [0,3]. x 0 = 0, y 0 = 3 x 1 = 1, y 1 = 3,6 x 2 = 2, y 2 = 3,32 x 3 = = 3, y 3 = 3, ,32 = 1,984 22

23 Methode van Euler 10 5 Exacte oplossing y 0 3 h = 1 h = 0, x 23

24 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking de volgende vorm heeft = g x f(y) dan heet dit een scheidbare differentiaal vergelijking. = x y = x 1 y dus scheidbaar y y = x = x + y dus niet scheidbaar = 2xy y = y(2x 1) dus scheidbaar 24

25 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking de volgende vorm heeft = g x f(y) dan heet dit een scheidbare differentiaal vergelijking. Deze is te herschrijven tot 1 f y = g x. Dan geldt 1 f y = g x. 25

26 Scheiden van variabelen Bewijs 1 f y = g x d 1 f y = d g x d 1 f y = g x 1 f y = g x = g x f(y) 26

27 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking van de vorm 1 dan geldt = g x. f y = g x f(y) is = 6xy, y 0 = 7 1 y = 6x 1 y = 6x ln y = 3x2 + c = ln y y x = e 3x2 +c = e c e 3x2 y 0 = e c = 7 y x = 7e 3x2 27

28 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking van de vorm 1 dan geldt = g x. f y = g x f(y) is = 6xy, y 0 = 4 ln y = 3x 2 + c = ln y y x = e 3x2 +c = e c e 3x2 y 0 = e c = 4 y x = 4e 3x2 28

29 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking van de vorm 1 dan geldt = g x. f y = g x f(y) is = 6xy, y 0 = 0 y x = 0 is een oplossing, maar deze kan niet worden verkregen door scheiden van variabelen. 29

30 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking van de vorm 1 dan geldt = g x. f y = g x f(y) is y = 6x y y = 0 als y x = 1 terwijl dit wel een oplossing is. 30

31 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking van de vorm 1 dan geldt = g x. f y = g x f(y) is 1 y y = 6x y = 6x = 3 y = 3x 2 + c y = x 2 + c 3 y 1 = x2 + c y = x 2 + c

32 Scheiden van variabelen Definitie Als de differentiaal vergelijking van de vorm 1 dan geldt = g x. f y = g x f(y) is = 4 2x 3y 2 5, y 1 = 3 3y 2 5 = 4 2x = y 3 5y = 4x x 2 + c = = 12 = c = 3 + c c = 9 y 3 5y = 4x x

33 Opgaven maken Hoofdstuk 9.3 Opgaven: 1, 3, 5, 7, 10 14, 19 33