Semantiek (2IT40) Jos Baeten. Formele Methoden. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 1 (29 maart 2007)

Transcriptie

1 Jos Formele Methoden HG 7.19 tel.: Hoorcollege 1 (29 maart 2007)

2 2IT40 Organisatie Colstructie: docent: wanneer: donderdagen 3 e en 4 e uur waar: Pav. U.46 Toetsing: schriftelijk tentamen (gesloten boek) Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 1/21

3 2IT40 Studiemateriaal 1. Dictaat Semantiek (verkrijgbaar bij de dictatenverkoop). Het is een kopie van Chapters 1 6 van Glynn Winskel. The Formal Semantics of Programming Languages An Introduction MIT Press, Aanvullend materiaal in de vorm van handouts (wordt uitgedeeld en komt op de webpagina te staan). 3. Slides (komen op de webpagina te staan). Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 2/21

4 2IT40 Webpagina Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 3/21

5 Illustratie: redeneren over programma s (1) Probleem: zoek nulpunt van een gegeven functie F : Z Z P1 found := false; X := 1; while found do X := X + 1; found := (F(X ) = 0) P2 found := false; Y := 0; while found do Y := Y 1; found := (F(Y ) = 0) Is Z1 P1 P2 een correcte oplossing? Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 4/21

6 Illustratie: redeneren over programma s (1) Probleem: zoek nulpunt van een gegeven functie F : Z Z P1 found := false; X := 1; while found do X := X + 1; found := (F(X ) = 0) P2 found := false; Y := 0; while found do Y := Y 1; found := (F(Y ) = 0) Is Z1 P1 P2 een correcte oplossing? Nee! Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 4/21

7 Illustratie: redeneren over programma s (2) Probleem: zoek nulpunt van een gegeven functie F : Z Z P1 X := 1; while found do X := X + 1; found := (F(X ) = 0) P2 Y := 0; while found do Y := Y 1; found := (F(Y ) = 0) Is Z2 found := false ; (P1 P2) een correcte oplossing? Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 5/21

8 Illustratie: redeneren over programma s (2) Probleem: zoek nulpunt van een gegeven functie F : Z Z P1 X := 1; while found do X := X + 1; found := (F(X ) = 0) P2 Y := 0; while found do Y := Y 1; found := (F(Y ) = 0) Is Z2 found := false ; (P1 P2) een correcte oplossing? Nee! Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 5/21

9 Illustratie: redeneren over programma s (3) Probleem: zoek nulpunt van een gegeven functie F : Z Z P1 X := 1; while found do X := X + 1; if F(X ) = 0 then found := true P2 Y := 0; while found do Y := Y 1; if F(Y ) = 0 then found := true Is Z3 found := false ; (P1 P2) een correcte oplossing? Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 6/21

10 Illustratie: redeneren over programma s (3) Probleem: zoek nulpunt van een gegeven functie F : Z Z P1 X := 1; while found do X := X + 1; if F(X ) = 0 then found := true P2 Y := 0; while found do Y := Y 1; if F(Y ) = 0 then found := true Is Z3 found := false ; (P1 P2) een correcte oplossing? Ja, onder een fairness aanname. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 6/21

11 2IT40 inhoud Met semantiek bedoelen we in 2IT40 formele semantiek: beschrijf gedrag/effect van programma s in wiskundige taal opdat we er wiskundig over kunnen redeneren We behandelen de semantiek van: 1. imperatieve, deterministische programma s (IMP) 2. nondeterminisme 3. parallellisme Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 7/21

12 Formele semantiek waarom? Een formele semantiek stelt je in staat om uitspraken over programma s te bewijzen. is machine-onafhankelijk. is niet ambigu en vaak compact (communicatiemiddel). maakt het mogelijk om het redeneren over programma s te automatiseren (verificatie). Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 8/21

13 Formele semantiek drie stijlen Operationele semantiek: de semantiek van een programma wordt gegeven via de formalisering van de executie van het programma op een abstracte machine; Denotationele semantiek: de semantiek van een programma wordt direct gegeven als een element van een wiskundig domein; Axiomatische semantiek: de semantiek van een programma wordt indirect gegeven, als de collectie van formele eigenschappen waaraan het programma (bewijsbaar) voldoet. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 9/21

14 IMP syntactische categorieën 1. Numbers (m, n N): gehele getallen 2. Truth values (T = {true, false}): waarheidswaarden 3. Locations (X, Y, Z Loc): programmavariabelen 4. Arithmetic expressions (a Aexp) 5. Boolean expressions (b Bexp) 6. Commands (c Com) Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 10/21

15 IMP syntax in Backus-Naur Form Arithmetic expressions (a Aexp): a ::= n X a 0 + a 1 a 0 a 1 a 0 a 1. Boolean expressions (b Bexp): b ::= true false a 0 =a 1 a 0 a 1 b b 0 b 1 b 0 b 1. Commands (c Com): c ::= skip X := a c 0 ; c 1 if b then c 0 else c 1 while b do c. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 11/21

16 Informele semantiek Informele semantiek van de while-loop (while b do c): The boolean expression is evaluated, and if it is true, the body is executed repeatedly until the boolean expression evaluates to false. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 12/21

17 Informele semantiek Informele semantiek van de while-loop (while b do c): The boolean expression is evaluated, and if it is true, the body is executed repeatedly until the boolean expression evaluates to false. Wat doet het volgende programma? Z := 0; while Y X do X := X Y ; Z := Z + 1 Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 12/21

18 Informele semantiek Informele semantiek van de while-loop (while b do c): The boolean expression is evaluated, and if it is true, the body is executed repeatedly until the boolean expression evaluates to false. Wat doet het volgende programma? Z := 0; sla 0 op in Z while Y X do X := X Y ; Z := Z + 1 verhoog getal in Z met 1 herhaal zolang getal in Y getal in X sla verschil van de getallen in X en Y op in X Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 12/21

19 Toestand De totale geheugeninhoud noemen we de toestand (Eng: Formeel is een toestand σ een functie state). σ : Loc N. Dus: een toestand σ geeft bij elke locatie X een getal σ(x ), de inhoud van X. De verzameling van alle toestanden duiden we aan met Σ. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 13/21

20 Evaluatie van arithmetic expressions (1) Een arithmetic-expression configuratie is een paar a, σ bestaande uit een arithmetic expression a en een toestand σ. De evaluatie van een arithmetic expression a in een toestand σ gaan we formaliseren als een relatie tussen arithmetic-expression configuraties en getallen. Dus: a, σ n betekent in toestand σ evalueert a naar n. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 14/21

21 Evaluatie van arithmetic expressions (2) (A1) n, σ n (A2) X, σ σ(x ) (A3) (A4) (A5) a 0, σ n 0 a 1, σ n 1 a 0 + a 1, σ n a 0, σ n 0 a 1, σ n 1 a 0 a 1, σ n a 0, σ n 0 a 1, σ n 1 a 0 a 1, σ n n = n 0 + n 1 n = n 0 n 1 n = n 0 n 1 Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 15/21

22 Evaluatie van boolean expressions (1) Een boolean-expression configuratie is een paar b, σ bestaande uit een boolean expression b en een toestand σ. De evaluatie van een boolean expression b in een toestand σ gaan we formaliseren als een relatie tussen boolean-expression configuraties en waarheidswaarden. Dus: b, σ t betekent in toestand σ evalueert b naar t. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 16/21

23 Evaluatie van boolean expressions (2) (B1) true, σ true (B2) false, σ false (B3) (B4) (B5) (B6) a 0, σ n a 1, σ m a 0 = a 1, σ true a 0, σ n a 1, σ m a 0 = a 1, σ false a 0, σ n a 1, σ m a 0 a 1, σ true a 0, σ n a 1, σ m a 0 a 1, σ false n = m n m n m n > m Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 17/21

24 Evaluatie van boolean expressions (3) (B7) b, σ true b, σ false (B8) b, σ false b, σ true (B9) b 0, σ t 0 b 1, σ t 1 b 0 b 1, σ t t = t 0 t 1 (B10) b 0, σ t 0 b 1, σ t 1 b 0 b 1, σ t t = t 0 t 1 Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 18/21

25 Executie van commands (1) Een (command) configuratie is een paar c, σ bestaande uit een command c en een toestand σ. De evaluatie van een command c in een toestand σ wordt geformaliseerd als een relatie tussen command configuraties en toestanden. Dus: c, σ σ betekent de executie van c in σ termineert in state σ. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 19/21

26 Executie van commands (2) (C1) skip, σ σ (C2) a, σ n X := a, σ σ[n/x ] waarbij σ[n/x ](Y ) = { n if Y = X σ(y ) if Y X Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 20/21

27 Executie van commands (3) (C3) c 0, σ σ c 1, σ σ c 0 ; c 1, σ σ (C4) b, σ true c 0, σ σ if b then c 0 else c 1, σ σ (C5) b, σ false c 1, σ σ if b then c 0 else c 1, σ σ Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 21/21

28 Executie van commands (4) (C6) b, σ false while b do c, σ σ (C7) b, σ true c, σ σ while b do c, σ σ while b do c, σ σ Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 22/21

29 Opgaven voor volgende keer: Uit dictaat: 2.3, 2.4 Aanvullende opgaven: A.1, A.2 Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 23/21

30 Equivalentie Arithmetic expressions: a 0 a 1 desda σ Σ, n N. a 0, σ n a 1, σ n. Boolean expressions: b 0 b 1 desda σ Σ, t T. b 0, σ t b 1, σ t. Commands: c 0 c 1 desda σ, σ Σ. c 0, σ σ c 1, σ σ. Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 24/21

31 Executie van commands (C1) skip, σ σ (C2) (C3) (C4) (C6) (C7) c 0, σ σ c 1, σ σ c 0 ; c 1, σ σ b, σ true c 0, σ σ if b then c 0 else c 1, σ σ b, σ false while b do c, σ σ (C5) a, σ n X := a, σ σ[n/x ] b, σ true c, σ σ while b do c, σ σ while b do c, σ σ b, σ false c 1, σ σ if b then c 0 else c 1, σ σ Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 25/21

32 Opgaven voor de komende twee colstructies Uit handout: A.1, A.2, A.3, A.4, A.5, A.6, A.7 Uit dictaat: 2.3, 2.4, 2.7, 3.4, 3.5, 3.6, 3.13, 4.8, 4.9, 4.10 Hoorcollege 1 (29 maart 2007) 26/21