Logica voor Informatica. Propositielogica. Syntax & Semantiek. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University
|
|
|
- Vera Lenaerts
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Logica voor Informatica Propositielogica Syntax & Semantiek Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University
2 Wat is Logica? Afleiden van conclusies uit aannames Jan Sara Petra Schuldig Schuldig Schuldig Schuldig Schuldig niet Schuldig Schuldig niet Schuldig Schuldig 1. Tenminste een is schuldig. 2. Niet alle zijn schuldig. 3. Als Sara schuldig is, dan is Jan ook schuldig. 4. Als Petra niet schuldig is, dan is Jan ook niet. Schuldig niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig Schuldig Schuldig niet Schuldig Schuldig niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig Schuldig niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
3 Logica: Syntax & Semantiek Syntax (expressie) Semantiek (betekenis) taal wereld (primitieve) propositie (basis) feiten Bewijsbaarheid Waarheid
4 Taal van propositielogica (syntax) Propositielogische zinnen/formules: Marie is een student (p) en Jan werkt (q) p q Piet gaat verhuizen (p) of Anne is ziek (q) p q Henk werkt (p) niet p Als Henk werkt (p) dan werkt Ingrid (q) niet p q
5 Taal van propositielogica (syntax) Atomaire propositieletters: p, q, r, s,... Logische connectieven en of niet impliceert, als... dan... bi-impliceert, dan en slechts dan als Formules A, B,... (in het dictaat φ, ψ, ϕ,...) worden opgebouwd m.b.v. deze logische connectieven (en atomaire propositieletters)
6 Taal van propositielogica (syntax) Recursieve definitie van de taal: Als p is een propositieletter, dan p is een welgevormde formule/zinnen (wff) Als A en B welgevormde formules, dan zijn de volgende ook wel welgevormde formules: A, A B, A B, A B, A B Niets anders is een welgevormde formule.
7 BNF (Backus-Naur Form) notatie systeem BNF regels: S ::= A B. A ::= C D B ::= E A C ::= elke een geen D ::= man vrouw E ::= bemint haat elke man bemint een vrouw een vrouw haat geen man geen man een vrouw bemint (niet wff)
8 BNF notatie voor de taal van propositielogica formule ::= propositieletter formule ( formule formule ) ( formule formule ) ( formule formule ) ( formule formule )
9 Constructieboom van wff formules (p (q r)) p (q r) p q r q r r
10 Taal van propositielogica (Semantiek) Een propositie heeft een waarheidswaarde: waar (T) of onwaar (F) We schrijven v(a) voor de waarheidswaarde ( value ) van propositie A T en F worden soms ook wel aangegeven met 1 respectivelijk 0
11 Waarheidstafels Waarheidstafels geven aan welke waarheidswaarde een connectief oplevert voor alle mogelijke combinaties van de waarheidswaarden van de proposities die door de connectief samengevoegd zijn.
12 Waarheidstafel van niet ( ) A A F T
13 Waarheidstafel van niet ( ) A A F T T
14 Waarheidstafel van niet ( ) A A F T T F
15 Waarheidstafel voor en ( ) A B A B
16 Waarheidstafel voor en ( ) A B A B F F F T T F T T
17 Waarheidstafel voor en ( ) A B A B F F F F T T F T T
18 Waarheidstafel voor en ( ) A B A B F F F F T F T F T T
19 Waarheidstafel voor en ( ) A B A B F F F F T F T F F T T
20 Waarheidstafel voor en ( ) A B A B F F F F T F T F F T T T
21 Waarheidstafel voor of ( ) A B A B
22 Waarheidstafel voor of ( ) A B A B F F F T T F T T
23 Waarheidstafel voor of ( ) A B A B F F F F T T F T T
24 Waarheidstafel voor of ( ) A B A B F F F F T T T F T T
25 Waarheidstafel voor of ( ) A B A B F F F F T T T F T T T
26 Waarheidstafel voor of ( ) A B A B F F F F T T T F T T T T
27 Waarheidstafel voor als-dan ( ; implicatie) A B A B
28 Waarheidstafel voor als-dan ( ; implicatie) A B A B F F F T T F T T
29 Waarheidstafel voor als-dan ( ; implicatie) A B A B F F T F T T F T T
30 Waarheidstafel voor als-dan ( ; implicatie) A B A B F F T F T T T F T T
31 Waarheidstafel voor als-dan ( ; implicatie) A B A B F F T F T T T F F T T
32 Waarheidstafel voor als-dan ( ; implicatie) A B A B F F T F T T T F F T T T
33 Opmerking over implicatie Vergelijk: Als 2 x 2 = 5, dan 5 X 3 = 20 Als 2 x 2 = 5, dan 5 X 3 = 15 Als 2 x 2 = 4, dan 5 X 3 = 20 Als 2 x 2 = 4, dan 5 X 3 = 15 De eerste twee proposities zijn waar omdat de premissen onwaar zijn, maar de eerste lijkt veel zinniger dan de tweede!
34 Waarheidstafel voor als-dan ( ; bi-implicatie) A B A B
35 Waarheidstafel voor als-dan ( ; bi-implicatie) A B A B F F F T T F T T
36 Waarheidstafel voor als-dan ( ; bi-implicatie) A B A B F F T F T T F T T
37 Waarheidstafel voor als-dan ( ; bi-implicatie) A B A B F F T F T F T F T T
38 Waarheidstafel voor als-dan ( ; bi-implicatie) A B A B F F T F T F T F F T T
39 Waarheidstafel voor als-dan ( ; bi-implicatie) A B A B F F T F T F T F F T T T
40 Alternatieve beschrijving waarheidstafels Gegeven v : atomen {F, T }, breid v uit op complexe proposities: v( A) = T niet v(a) = T v(a B) = T v(a) = T en v(b) = T v(a B) = T v(a) = T of v(b) = T v(a B) = T als v(a) = T dan v(b) = T v(a B) = T v(a) = T desda v(b) = T
41 Model van een bewering De waarheidswaarde van een bewering hangt af van de waarheidstoekenning aan de atomen die erin voorkomen. Een waarheidstoekenning aan de atomen zodanig dat v(a) = T wordt een model van de bewering A genoemd.
42 Bewering: (p q) p v 1 v 2 v 3 v 4 p q p q (p q) p
43 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F v 2 F T v 3 T F v 4 T T
44 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F v 2 F T v 3 T F v 4 T T
45 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F v 2 F T T v 3 T F v 4 T T
46 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F v 2 F T T v 3 T F T v 4 T T
47 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F v 2 F T T v 3 T F T v 4 T T T
48 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F T v 2 F T T v 3 T F T v 4 T T T
49 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F T v 2 F T T F v 3 T F T v 4 T T T
50 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F T v 2 F T T F v 3 T F T T v 4 T T T
51 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F T v 2 F T T F v 3 T F T T v 4 T T T T
52 Bewering: (p q) p p q p q (p q) p v 1 F F F T v 2 F T T F v 3 T F T T v 4 T T T T
53 Model van een verzameling beweringen Zij {A 1,..., A n } een verzameling beweringen. Een waarheidstoekenning aan atomen is een model van de verzameling {A 1,..., A n } als geldt dat die waarheidstoekenning elke A i waar maakt, d.w.z. v(a 1 ) =... = v(a n ) = T, onder die waarheidstoekenning.
54 Model van een verzameling beweringen Jan Sara Petra Schuldig Schuldig Schuldig Schuldig Schuldig niet Schuldig Schuldig niet Schuldig Schuldig 1. Tenminste een is schuldig. 2. Niet alle zijn schuldig. 3. Als Sara schuldig is, dan is Jan ook schuldig. 4. Als Petra niet schuldig is, dan is Jan ook niet. Schuldig niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig Schuldig Schuldig niet Schuldig Schuldig niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig Schuldig niet Schuldig niet Schuldig niet Schuldig
55 Bewering: { (p q), p } v 1 v 2 v 3 v 4 p q p q p
56 Bewering: { (p q), p } p q p q p v 1 F F v 2 F T v 3 T F v 4 T T
57 Bewering: { (p q), p } p q p q p v 1 F F F v 2 F T T v 3 T F T v 4 T T T
58 Bewering: { (p q), p } p q p q p v 1 F F F T v 2 F T T T v 3 T F T F v 4 T T T F
59 Bewering: { (p q), p } p q p q p v 1 F F F T v 2 F T T T v 3 T F T F v 4 T T T F
60 Tautologie, contradictie, contingentie Een bewering A is een tautologie als A in alle gevallen de waarheidswaarde T heeft. Een bewering A is een contradictie als A in alle gevallen de waarheidswaarde F heeft. Een bewering A is contingent als A in sommige gevallen de waarheidswaarde F en in sommige gevallen T heeft.
61 Tautologie: p p p p p p F T T T F T
62 Tautologie: p p p p p p F T T T F T
63 Contradictie: p p p p p p F T F T F F
64 Contradictie: p p p p p p F T F T F F
65 Contingentie: p q p q p q F F F F T T T F T T T T
66 Contingentie: p q p q p q F F F F T T T F T T T T
67 N.B. Voor een tautologie A is elke waarheidstoekenning aan de atomen is een model, d.w.z v(a) = T voor elke waarheidstoekenning aan de atomen. Een contradictie A heeft geen modellen, d.w.z. alle waarheidstoekenning aan de atomen zodat v(a) = F.
68 Logische equivalentie Twee logische expressies zijn logisch equivalent als ze dezelfde waarheidstafel hebben (d.w.z. bij elke toekenning van waarheidswaarden aan de atomen dezelfde waarheidswaarde) Notatie: A B A en B zijn logisch equivalent
69 Voorbeeld: ( p q) p q p q p q p q ( p q) p q F F T T T F F F T T F T F F T F F T T F F T T F F F T T
70 Voorbeeld: ( p q) p q p q p q p q ( p q) p q F F T T T F F F T T F T F F T F F T T F F T T F F F T T
71 Stelling A B A B is een tautologie
72 Stelling A B A B is een tautologie Bewijs A B
73 Stelling A B A B is een tautologie Bewijs A B [ voor alle v : v(a) = T v(b) = T ]
74 Stelling A B A B is een tautologie Bewijs A B [ voor alle v : v(a) = T v(b) = T ] [ voor alle v : v(a B) = T ]
75 Stelling A B A B is een tautologie Bewijs A B [ voor alle v : v(a) = T v(b) = T ] [ voor alle v : v(a B) = T ] A B is een tautologie
76 Wetten van logische equivalentie A 0 0 A 1 A A 0 A A 1 1 A A A A A A A A 0 A A 1 A A A B B A A B B A A (A B) A A (A B) A A ( A B) A B A ( A B) A B (A B) (A B) A A B A B A B (A B)
77 Wetten van logische equivalentie Distributiviteit A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Wetten van De Morgan (A B) A B (A B) A B
78 Eliminatie van connectieven We hebben gezien dat A B ( A B) Dat wil zeggen dat uitdrukkingen met kunnen worden uitgedrukt in en, en dus geëlimineerd. Verder geldt: A B A B A B (A B) (B A) ( A B) ( B A) ( ( A B) ( B A)) Dus we kunnen volstaan met de connectievenverzameling,
79 Voldoende ( sufficient ) connectievenverzameling {, } heet een voldoende (soms sufficient genoemd) verzameling connectieven. Andere van zulke voldoende connectievenverzamelingen zijn: {, } {, 0}
80 Voldoende ( sufficient ) connectievenverzameling {, } is voldoende: A B ( A B) A B A B (A B) A B (A B) (B A)... {, 0} is voldoende: A A 0 A B ( A) B A B (A 0) B A B ( A B) (A B) (A (B 0)) 0 A B (A B) (B A)...
81 Consistentie Een verzameling beweringen is consistent als ze alle tegelijk waar kunnen zijn; anders inconsistent Om de consistentie van {A 1,..., A n } te controleren maken we dus een waarheidstafel van de bewering A 1... A n en kijken of v(a 1... A n ) = T in de tafel ergens voorkomt. Voorbeeld: {p, q, q p} is consistent {p, q, q p} is inconsistent
82 {p, q, q p} is consistent p q q q p p q (q p) F F T T F F T F T F T F T T T T T F F F
83 {p, q, q p} is consistent p q q q p p q (q p) F F T T F F T F T F T F T T T T T F F F
84 {p, q, q p} is inconsistent p q q p p q (q p) F F T F F T T F T F T F T T F F
85 {p, q, q p} is inconsistent p q q p p q (q p) F F T F F T T F T F T F T T F F
86 N.B. We merken dus op dat geldt: {A} is inconsistent A 0 Niet: {A} is consistent A 1 (alleen )
87 Logisch gevolg We noemen B een logisch gevolg van A 1,..., A n (notatie { A 1,..., A n } = B ) als voor alle v geldt dat v(a 1 ) = T en... en v(a n ) = T v(b) = T Voorbeeld: {regen, regen nat } = nat regen nat regen nat nat F F T F F T T T T F F F T T T T
88 Logisch gevolg We noemen B een logisch gevolg van A 1,..., A n (notatie { A 1,..., A n } = B ) als voor alle v geldt dat v(a 1 ) = T en... en v(a n ) = T v(b) = T Voorbeeld: {regen, regen nat } = nat regen nat regen nat nat F F T F F T T T T F F F T T T T
89 Logisch gevolg We noemen B een logisch gevolg van A 1,..., A n (notatie { A 1,..., A n } = B ) als voor alle v geldt dat v(a 1 ) = T en... en v(a n ) = T v(b) = T Voorbeeld: {regen, regen nat } = nat regen nat regen nat nat F F T F F T T T T F F F T T T T
90 Observatie We zien dus Enerzijds: { regen nat, regen } = nat Anderzijds: ((regen nat) regen) nat is een tautologie Dit is niet toevallig
91 Stelling Bewijs: {A 1,..., A n } = B { A 1,..., A n } = B (A 1... A n ) B is een tautologie [ voor alle v : v(a 1 ) = T en... en v(a n ) = T v(b) = T ] [ voor alle v : v(a 1... A n ) = T v(b) = T ] [ voor alle v : v(a 1... A n B) = T ] (A 1... A n ) B is een tautologie
92 Nogmaals logisch gevolg De conditie dat voor alle v v(a 1 ) = T en... en v(an) = T v(b) = T zegt in feite dat elk willekeurig model van {A 1,..., A n } ook een model van B is. M.a.w. {A 1,..., A n } = B zegt dat: elk model van A 1,..., A n is ook een model van B
93 Nogmaals tautologie en contradictie Als A een tautologie is, dan geldt: = A Als A een contradictie is, dan geldt: = A Als A contingent is, dan geldt: = A en = A
Logica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Propositielogica Normaalvormen en Semantische tableaux Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Literals Een literal is een propositieletter, of de
Logic for Computer Science
Logic for Computer Science 06 Normaalvormen en semantische tableaux Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Oneindige verzamelingen 2 Vandaag Wanneer zijn twee formules hetzelfde? Zijn er
Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 5: Semantiek van de Propositielogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Tip: Als ik je vraag de recursieve definitie van een functie over PROP op te schrijven,
Logica voor Informatica
Logica voor Informatica 10 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Syntax van predikatenlogica Alfabet Termen Welgevormde formulas (wff) 2 Alfabet van de predikatenlogica
Inleiding Wiskundige Logica
Inleiding Wiskundige Logica Yde Venema 2017/2018 c YV 2018 Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam, Science Park 904, NL 1098XH Amsterdam E-mail: yvenema@uvanl Voorwoord
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 2.1 Geef de volgende zinnen weer in propositionele notatie: i Als de bus niet komt, komen de tram en de trein We voeren de volgende
Samenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Formeel Denken. Herfst 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Propositielogica
Logica voor Informatica. Propositielogica. Bewijssystemen voor propositielogica. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Propositielogica Bewijssystemen voor propositielogica Mehdi Dastani mmdastani@uunl Intelligent Systems Utrecht University Deductie Tot nu toe voornamelijk semantisch naar logica
Inhoud leereenheid 1. Inleiding. Introductie 13. Leerkern 13. 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13
Inhoud leereenheid 1 Inleiding Introductie 13 Leerkern 13 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13 12 Leereenheid 1 Inleiding I N T R O D U C T I E Studeeraanwijzing Deze leereenheid is een leesleereenheid.
Tegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Toelichting bij geselecteerde opdrachten uit Betekenis en Taalstructuur
Toelichting bij geselecteerde opdrachten uit Betekenis en Taalstructuur Hoofdstuk 2, tot en met pagina 41. Maak opdrachten 1,2,3,4,5,7,9,10,11,15,16 *1 Met "welgevormd" wordt bedoeld dat de formule toegestaan
Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen. (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online)
Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online) Definities Een propositie is een bewering die waar of onwaar is (er is geen derde mogelijkheid).
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 3
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 3 3.1 Stel ϕ, ψ α, β γ, en ψ, α, γ χ. Indien nu bovendien bekend wordt dat χ onwaar is, maar ψ en β waar, wat weet u dan over ϕ? oplossing:
Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Hoofdstuk 3. behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en
Hoofdstuk 3 Semantiek van de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt de semantiek (betekenistheorie) van de propositielogica behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en logisch
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
1 Logica. 1.2.1 a. tautologie -1-
1 Logica 1.1.1 a. neen: de spreker bedoelt met "hier" de plek waar hij op dat moment is, maar "warm" is subjectief; vgl.: "het is hier 25 graden Celsius". b. ja: de uitspraak is onwaar (=120 uur). c. neen:
Logica voor Informatica. predikatenlogica. Syntax van predikatenlogica. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University
Logica voor Informatica predikatenlogica Syntax van predikatenlogica Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Redenering in Propositie Logica Als Jan zijn medicijnen neemt
Proposities. Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 2 Proposities In de wiskunde en in de informatica, en ook in veel andere disciplines, is er behoefte aan redeneren. Om dat goed te kunnen doen moet men allereerst beschikken over een arsenaal
Semantiek 1 college 4. Jan Koster
Semantiek 1 college 4 Jan Koster 1 Uitgangspunt sinds vorige week Semantiek is representationeel (en niet referentieel), gebaseerd op interpretaties van sprekers en hoorders Geen scherpe scheiding tussen
Propositielogica. Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn. 24 augustus Universiteit Antwerpen
Propositielogica Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn Universiteit Antwerpen 24 augustus 2006 Propositionele connectoren Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele
Logica voor AI. Inleiding modale logica en Kripke semantiek. Antje Rumberg. 14 november 2012
Logica voor AI Inleiding modale logica en Kripke semantiek Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 14 november 2012 1 Logica voor AI Deel 1: Modale logica semantiek en syntax van verschillende modale logica
Caleidoscoop: Logica
Caleidoscoop: Logica Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 3 October, 2007 Overzicht 1 2 Negaties We gaan rekenen met proposities (beweringen). Bedenker: George Boole
PROPOSITIELOGICA. fundament voor wiskundig redeneren. Dr. Luc Gheysens
PROPOSITIELOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens PROPOSITIELOGICA Een propositie of logische uitspraak, verder weergegeven door een letter p, q, r is een uitspraak die in een vastgelegde
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica 27 oktober 2008, 9.00 12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5
Voortgezette Logica, Week 2
Voortgezette Logica, Week 2 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 164, 030-2535575 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier
Logica voor Informatica. predikatenlogica. Syntax van predikatenlogica. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University
Logica voor Informatica predikatenlogica Syntax van predikatenlogica Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Syllogistische redeneringen Syllogistische redeneringen zoals
Semantiek 1 college 10. Jan Koster
Semantiek 1 college 10 Jan Koster 1 Vandaag Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie Vandaag: inleiding in de formele semantiek Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde
Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 5 november 2010, 9.00 12.00 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Wie A zegt moet B zeggen
Logica in actie H O O F D S T U K 3 Wie A zegt moet B zeggen Logici ontwerpen niet alleen systemen om bestaande vormen van redeneren te analyseren, ze bestuderen ook de eigenschappen van die systemen op
Logica voor Informatica. Logica Toepassingen. PROLOG: Logische Programmeertaal. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Logica Toepassingen PROLOG: Logische Programmeertaal Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Programmeren met Logica Propositielogica is niet geschikt
Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 30 april 2007 INLEIDING Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie
Tentamentips. Tomas Klos. 14 december 2010
Tentamentips Tomas Klos 14 december 010 Samenvatting In dit document vind je een aantal tentamen tips. Het gaat om fouten die ik op tentamens veel gemaakt zie worden, en die ik je liever niet zie maken.
College Logica voor CKI
College Logica voor CKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 15 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Syntaxis De eerste ronde: Constanten:
Logica voor AI. Responsiecollege. Antje Rumberg. 12 december Kripke Semantiek. Geldigheid. De bereikbaarheidsrelatie
Logica voor AI Responsiecollege Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 12 december 2012 1 De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en ruitje ϕ: het is noodzakelijk
Propositielogica, waarheid en classificeren
Logica in actie H O O F D S T U K 2 Propositielogica, waarheid en classificeren We hebben al gezien dat voor een logicus het verhevene heel dicht kan liggen bij het alledaagse. Misschien beter gezegd:
Propositielogica. Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman
Propositielogica Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman They who are acquainted with the present state of the theory of Symbolic Algebra, are aware of the validity of the processes of analysis
Inleiding Wiskundige Logica
Inleiding Wiskundige Logica Yde Venema 2017/2018 c YV 2018 Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam, Science Park 904, NL 1098XH Amsterdam E-mail: yvenema@uvanl Voorwoord
Semantiek van predicatenlogica en Tractatus
Logica en de Linguistic Turn 2012 Semantiek van predicatenlogica en Tractatus Maria Aloni ILLC-University of Amsterdam M.D.Aloni@uva.nl 1/11/12 Plan voor vandaag 1. Predicatenlogica: semantiek 2. Tractatus:
Inleiding logica Inleveropgave 3
Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1
Propositionele logica
Logic is the beginning of wisdom, not the end. Captain Spock, Star Trek VI (1991) Hoofdstuk 1 ropositionele logica 1.1 Uitspraken Het begrip uitspraak. We geven hier geen definitie van het begrip uitspraak
TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur Introductie In deze practicumopgave komt de
Propositielogica. Leereenheid 4
Leereenheid 4 Propositielogica I N T R O D U C T I E Logica Van oudsher is de logica de leer van het correct redeneren. Nog steeds is het herkennen van correcte en incorrecte redeneringen een belangrijke
Formeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 1 Deadline: 17 september 2010, 10:45 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 1 Deadline: 17 september 2010, 10:45 uur Introductie In deze practicumopgave komt
Hoofdstuk 4. In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica
Hoofdstuk 4 Stellingen over de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica behandeld. In x4.1 wordt het begrip meta-stelling gentroduceerd en
Logica voor AI. Bisimulatie en niet-karakteriseerbaarheid. Antje Rumberg. 21 november Correspondentie.
Logica voor AI en niet-karakteriseerbaarheid Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 21 november 2012 1 Kripke Semantiek De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en
rh265e 0 true. In onze schrijfwijze wordt dat dus: (de bewering) [ P ] is even waar als (de bewering) P = true.
![rh265e 0 true. In onze schrijfwijze wordt dat dus: (de bewering) [ P ] is even waar als (de bewering) P = true.](/thumbs/93/111894272.jpg "rh265e 0 true. In onze schrijfwijze wordt dat dus: (de bewering) [ P ] is even waar als (de bewering) P = true.")
rh265e 0 Elementaire Predikatenrekening 0 Inleiding Dit is een samenvatting 0 van de rekenregels voor proposities en predikaten, zoals behandeld in het vak Logica & Verzamelingen. Enige vertrouwdheid met
Logica voor Informatica
Logica voor Informatica 13 Prolog Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Programmeren met Logica Propositielogica is niet geschikt voor programmeren er is nauwlijkst iets interessants uit te drukken.
Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Logica voor AI. Bewijstheorie en natuurlijke deductie. Antje Rumberg. 28 november Kripke Semantiek.
Logica voor AI en natuurlijke deductie Antje Rumberg AntjeRumberg@philuunl 28 november 2012 1 De taal L m van de modale propositielogica ::= p Blokje en ruitje : het is noodzakelijk dat : het is mogelijk
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
ARGUMENTEREN EN REDENEREN
ARGUMENTEREN EN REDENEREN Julie Kerckaert Vaardigheden I Academiejaar 2014-2015 Inhoudsopgave Deel 1: Argumenteren en redeneren... 2 1.1 Logica... 2 1.1.1 Syllogismen... 2 1.1.2 Soorten redeneringen...
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Antwoorden. Inductiestap: als A een propositieletter is en A begint met een p, dan begint A ook met een p.
Inductiesta: als A een roositieletter is en A begint met een, dan begint A ook met een. Antwoorden Ogave 6.7,. 58: Bewijs: (met inductie naar de grootte van de verzameling A) Basissta: als A nul elementen
Handout Natuurlijke Deductie
Handout Natuurlijke Deductie Peter van Ormondt 4 februari 2017 1 Inleiding In Van Benthem et al (2016, Hoofdstuk 2), hebben we redeneringen bestudeerd door te kijken naar de semantiek of betekenis van
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
achtergronden en lessuggesties voor Logisch redeneren
achtergronden en lessuggesties voor Logisch redeneren 75 76 Achtergrondinformatie Logisch redeneren Dit lesmateriaal wijkt af van de gebruikelijke inleidingen tot de logica: De hoofdredenen zijn: Dit is
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Modelleren en Programmeren voor KI
Modelleren en Programmeren voor KI Practicumopdracht 4: SAT Solver Tomas Klos Het SAT probleem Parvulae Logicales: Propositielogica, Hoofdstuk 6 (Semantiek), p. 62: Het SAT probleem Ik geef je een propositielogische
Relaties en Functies
Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =
Betekenis I: Semantiek
Betekenis I: Semantiek Marieke Schouwstra 21 mei De studie van betekenis Semantiek: de studie van betekenis in taal 17.1, 17.2, 17.3, vandaag Pragmatiek: de studie van betekenis in taalgebruik delen van
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Logica voor Informatica
Logica voor Informatica 12 Normaalvormen Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vandaag We hebben gezien dat er verschillende normaalvormen zijn voor de propositionele logica. Maar hoe zit dat met de
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam
Inleiding Wiskundige Logica
Inleiding Wiskundige Logica Yde Venema 2015/2016 c YV 2016 Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam, Science Park 904, NL 1098XH Amsterdam E-mail: yvenema@uvanl Voorwoord
Inhoud casus blok 4. Analyse van een woordspel. Introductie 7
Inhoud casus blok 4 Analyse van een woordspel Introductie 7 1 Iets over het spel... en de knikkers 7 2 Algemene opzet van het computerprogramma 8 3 De delen van het computerprogramma 9 4 Conclusies 13
Logic for Computer Science
Logic for Computer Science 07 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vrijdag Aanstaande vrijdag is geen hoorcollege of werkcollege. De tussentoets is uitgesteld tot volgende week dinsdag.
Logica. Oefeningen op hoofdstuk Propositielogica
Oefeningen op hoofdstuk 1 Logica 1.1 Propositielogica Oefening 1.1. Stel dat f en g functies zijn waarvoor f(x)dx = g(x)+c niet waar is. Als Elio Di Rupo paarse sokken heeft, bepaal dan de waarheidswaarde
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Logica voor AI. Verschillende modale systemen en correctheid. Antje Rumberg. 30 november 2012.
Logica voor AI en correctheid Antje Rumberg AntjeRumberg@philuunl 30 november 2012 1 De minimale normale modale logica K Axioma s alle tautologieën van de propositielogica ( ψ) ( ψ) (K-axioma) (Def ) Afleidingsregels
Logica als een oefening in Formeel Denken
Logica als een oefening in Formeel Denken Herman Geuvers Institute for Computing and Information Science Radboud Universiteit Nijmegen Wiskunde Dialoog 10 juni, 2015 Inhoud Geschiedenis van de logica Propositielogica
Inhoudstafel Blok I: Propositielogica... 3 Hoofdstuk 2: Syntaxis en semantiek... 3 Hoofdstuk 3: Geldig gevolg... 6 Hoofdstuk 4: Afleidingen...
Inhoudstafel Blok I: Propositielogica... 3 Hoofdstuk 2: Syntaxis en semantiek... 3 1.Inleiding... 3 2. Syntaxis... 3 3. Semantiek... 3 4. Modellen... 4 Hoofdstuk 3: Geldig gevolg... 6 1. Geldig Gevolg...
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam
Dossier 2 LOGICA. Dr. Luc Gheysens. fundament voor wiskundig redeneren
Dossier 2 LOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens Inleiding: logische puzzels Wiskundigen houden meestal van logische puzzels. Dit soort puzzels vormt niet alleen een uitdaging, maar
6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x )] xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist:
![6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x )] xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist:](/thumbs/62/46975123.jpg "6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x )] xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist:")
6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x ) xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist: Kies als tegenvoorbeeld: P (x ):x 2 > 0enQ (x ):x>0, voor U = R Dan geldt:
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 9 juli 2008) Inleiding Omdat de behandelde topics niet of nauwelijks meer aan bod komen in
Cursustekst Logica. Ontworpen door Milbou Lotte.
Cursustekst Logica Ontworpen door Milbou Lotte. 1 We starten met een korte uitleg over de kaders die gehanteerd worden doorheen de cursus. Om de overzichtelijkheid te bewaren, werden de oefeningen steeds
Elementaire logica voor juristen. Jaap Hage
Elementaire logica voor juristen Jaap Hage I. WAT IS LOGICA EN WAAR IS DEZE GOED VOOR? 1. ELEMENTAIRE BEGRIPPEN Wat is logica? Die vraag is nog niet zo eenvoudig te beantwoorden maar het volgende is een
Hoofdstuk 6. Natuurlijke Deductie volgens Fitch. In de vorige hoofdstukken is de propositielogica hoofdzakelijk vanuit een semantisch
Hoofdstuk 6 Natuurlijke Deductie volgens Fitch In de vorige hoofdstukken is de propositielogica hoofdzakelijk vanuit een semantisch standpunt beschouwd De sleutelconcepten hierbij waren valuatie, model,
Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Opdrachten Tarski s World
Opdrachten Tarski s World Logika thema 4 13 april 2004 1 Propositielogika 1.1 Atomaire proposities in Tarski s world Open de wereld, wittgens.sen, en het bestand met beweringen, wittgens.sen 1. Ga van
Predikaatlogica en informatica
Logica in actie H O O F D S T U K 5 Predikaatlogica en informatica Wanneer is een predikaatlogische formule waar? Om de gedachten te bepalen, beschouwen we nog eens de formule: x (P(x) y (P(y) y > x))
Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 5 november 2010, 9.00 12.00 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Boolealgebra s. Leereenheid 16
Leereenheid 16 Boolealgebra s I N T R O D U C T I E Als we ons afvragen welk van de twee verzamelingen wiskundig interessanter is: de verzameling natuurlijke getallen of de verzameling {Astrid, Bert, Corrie,
Verzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Meer oefenen. TI1300: Redeneren en Logica. Vertalen. Meerdere wegen leiden naar Rome
Meer oefenen TI1300: Redeneren en Logica College 13: Synta en Semantiek van de Predicatenlogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Vertaal: Niet alle paarden zijn bruin Geef ook je vertaalsleutel (welke predicaten,
LOGICA OP HET MENU DEEL 2. Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant
LOGICA OP HET MENU DEEL 2 Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant Augustus De Morgan (180 1871) was een Britse wiskundige die vooral bekend is gebleven voor zijn werk op het gebied van de logica en meerbepaald
TAALFILOSOFIE. Overkoepelende vraag: WAT IS BETEKENIS?
TAALFILOSOFIE Overkoepelende vraag: WAT IS BETEKENIS? GOTTLOB FREGE (1848 1925) Logische Untersuchungen Der Gedanke Die Verneinung Gedankengefüge DER GEDANKE Logica waarheid Logica kunst van het geldig
Logica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Parvulae Logicales: Propositielogica. Hendrik Jan Veenstra. Vincent van Oostrom. Albert Visser
Parvulae Logicales: Propositielogica Hendrik Jan Veenstra Vincent van Oostrom Albert Visser Samenvatting. Dit dictaat is bestemd voor: Inleiding Logica ck1w0010. Deze cursus wordt jullie geboden door de
Hoorcollege Logica. Hans-Dieter A. Hiep
Hoorcollege Logica Hans-Dieter A. Hiep Agenda 1. Horn-formules 2. Vervulbaarheidsprobleem Validiteit en vervulbaarheid Gegeven een formule φ in de (klassieke) propositielogica. Definitie φ is valide voor
INLEIDING WISKUNDIGE LOGICA
INLEIDING WISKUNDIGE LOGICA Woord vooraf Deze tekst is een bewerking en uitbreiding van een syllabus die ik in 1983 geschreven heb voor een eerste semester-college aan de Rijksuniversiteit te Groningen.