Voortgezette Logica, Week 2

Transcriptie

1 Voortgezette Logica, Week 2 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan CS Utrecht Kamer 164, [email protected] jjoosten (hier moet een tilde bij) Voortgezette Logica, Week 2 p.1/??

2 Vragen? Welke regels mogen? Voortgezette Logica, Week 2 p.2/??

3 Vragen? Welke regels mogen? Identiteit dus niet!!! Voortgezette Logica, Week 2 p.2/??

4 Vragen? Welke regels mogen? Identiteit dus niet!!! Existentiële kwantor eliminatie: uitroepteken achter het intrekken van de aanname Voortgezette Logica, Week 2 p.2/??

5 Vragen? Welke regels mogen? Identiteit dus niet!!! Existentiële kwantor eliminatie: uitroepteken achter het intrekken van de aanname Hoe moet van Dalen gelezen worden? Voortgezette Logica, Week 2 p.2/??

6 Vragen? Welke regels mogen? Identiteit dus niet!!! Existentiële kwantor eliminatie: uitroepteken achter het intrekken van de aanname Hoe moet van Dalen gelezen worden? Verdere vragen? Voortgezette Logica, Week 2 p.2/??

7 Propositielogica Bewijzen Voortgezette Logica, Week 2 p.3/??

8 Propositielogica Bewijzen Waarheid, i.e., semantiek Voortgezette Logica, Week 2 p.3/??

9 Propositielogica Bewijzen Waarheid, i.e., semantiek Vocabularium voor waarheidstafels: valuaties Voortgezette Logica, Week 2 p.3/??

10 Prop. Logica en valuaties We wijken hier iets af van van Dalen Voortgezette Logica, Week 2 p.4/??

11 Prop. Logica en valuaties We wijken hier iets af van van Dalen Definitie: een valuatie is een afbeelding van de propositievariabelen naar {0, 1} (die zegt welke proposities het geval zijn) Voortgezette Logica, Week 2 p.4/??

12 Prop. Logica en valuaties We wijken hier iets af van van Dalen Definitie: een valuatie is een afbeelding van de propositievariabelen naar {0, 1} (die zegt welke proposities het geval zijn) Inductief wordt gedefinieerd v = ϕ en we zeggen dat ϕ is waar onder valuatie v Voortgezette Logica, Week 2 p.4/??

13 Prop. Logica en valuaties We wijken hier iets af van van Dalen Definitie: een valuatie is een afbeelding van de propositievariabelen naar {0, 1} (die zegt welke proposities het geval zijn) Inductief wordt gedefinieerd v = ϕ en we zeggen dat ϕ is waar onder valuatie v Stappen in de inductie: v = φ ψ [If v = φ then v = ψ] Voortgezette Logica, Week 2 p.4/??

14 Prop. Logica en valuaties We wijken hier iets af van van Dalen Definitie: een valuatie is een afbeelding van de propositievariabelen naar {0, 1} (die zegt welke proposities het geval zijn) Inductief wordt gedefinieerd v = ϕ en we zeggen dat ϕ is waar onder valuatie v Stappen in de inductie: v = φ ψ [If v = φ then v = ψ] (subtiel spel meta-taal versus object taal) ψ is per definitie een tautologie is we schijven = ψ indien ψ waar is onder elke valuatie Voortgezette Logica, Week 2 p.4/??

15 Prop. Logica en valuaties We wijken hier iets af van van Dalen Definitie: een valuatie is een afbeelding van de propositievariabelen naar {0, 1} (die zegt welke proposities het geval zijn) Inductief wordt gedefinieerd v = ϕ en we zeggen dat ϕ is waar onder valuatie v Stappen in de inductie: v = φ ψ [If v = φ then v = ψ] (subtiel spel meta-taal versus object taal) ψ is per definitie een tautologie is we schijven = ψ indien ψ waar is onder elke valuatie Dit is bijna hetzelfde als waarheidstafels, maar iets anders Voortgezette Logica, Week 2 p.4/??

16 Propositielogica Ons bewijssysteem, ND, is correct Voortgezette Logica, Week 2 p.5/??

17 Propositielogica Ons bewijssysteem, ND, is correct Methode om niet-bewijsbaarheid aan te tonen! Voortgezette Logica, Week 2 p.5/??

18 Propositielogica Ons bewijssysteem, ND, is correct Methode om niet-bewijsbaarheid aan te tonen! Ons bewijssysteem, ND, is volledig Voortgezette Logica, Week 2 p.5/??

19 Propositielogica Ons bewijssysteem, ND, is correct Methode om niet-bewijsbaarheid aan te tonen! Ons bewijssysteem, ND, is volledig Bewijsbaar is existentieel, waarheid universeel, qua definitie Voortgezette Logica, Week 2 p.5/??

20 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

21 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Gegeven een vocabularium met ariteiten, definiëren wij de verzameling zinnen/formules. Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

22 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Gegeven een vocabularium met ariteiten, definiëren wij de verzameling zinnen/formules. Veel subtiliteiten: vrije variabelen, variabelen en meta-variabelen Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

23 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Gegeven een vocabularium met ariteiten, definiëren wij de verzameling zinnen/formules. Veel subtiliteiten: vrije variabelen, variabelen en meta-variabelen Regels ND Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

24 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Gegeven een vocabularium met ariteiten, definiëren wij de verzameling zinnen/formules. Veel subtiliteiten: vrije variabelen, variabelen en meta-variabelen Regels ND Semantiek predicatenlogica Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

25 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Gegeven een vocabularium met ariteiten, definiëren wij de verzameling zinnen/formules. Veel subtiliteiten: vrije variabelen, variabelen en meta-variabelen Regels ND Semantiek predicatenlogica Tarski s waarheidsconditie s Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

26 Predicatenlogica Predicaten en kwantoren Gegeven een vocabularium met ariteiten, definiëren wij de verzameling zinnen/formules. Veel subtiliteiten: vrije variabelen, variabelen en meta-variabelen Regels ND Semantiek predicatenlogica Tarski s waarheidsconditie s Predicatenlogica is correct en volledig! (Gödel) Voortgezette Logica, Week 2 p.6/??

27 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

28 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Hier is M het domein van M, de objecten waar onze objectvariabelen naar verwijze. Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

29 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Hier is M het domein van M, de objecten waar onze objectvariabelen naar verwijze. Bv, "iedereen", verwijst naar alle mensen. Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

30 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Hier is M het domein van M, de objecten waar onze objectvariabelen naar verwijze. Bv, "iedereen", verwijst naar alle mensen. I is een interpretatie Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

31 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Hier is M het domein van M, de objecten waar onze objectvariabelen naar verwijze. Bv, "iedereen", verwijst naar alle mensen. I is een interpretatie Als R bv een tweeplaatsig relatiesymbool is, dan is I(R) een binaire relatie, dat is, I(R) M M Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

32 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Hier is M het domein van M, de objecten waar onze objectvariabelen naar verwijze. Bv, "iedereen", verwijst naar alle mensen. I is een interpretatie Als R bv een tweeplaatsig relatiesymbool is, dan is I(R) een binaire relatie, dat is, I(R) M M We laten het onderscheid tussen M en M vaak achterwege Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

33 Semantiek predicatenlogica Een model M voor een bepaald vocabularium bestaat uit een paar M,I Hier is M het domein van M, de objecten waar onze objectvariabelen naar verwijze. Bv, "iedereen", verwijst naar alle mensen. I is een interpretatie Als R bv een tweeplaatsig relatiesymbool is, dan is I(R) een binaire relatie, dat is, I(R) M M We laten het onderscheid tussen M en M vaak achterwege Let op: dit is een iets kortere (en (op deze slides) iets minder uitgewerkte) beschrijving dan van Dalen en zijn similarity types en structures daarvoor Voortgezette Logica, Week 2 p.7/??

34 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

35 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

36 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

37 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voor zinnen is M = ψ wel betekenisvol Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

38 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voor zinnen is M = ψ wel betekenisvol De betekenis wordt gegeven door Tarski s waarheidsdefinitie Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

39 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voor zinnen is M = ψ wel betekenisvol De betekenis wordt gegeven door Tarski s waarheidsdefinitie Om deze te formuleren staan we (tijdelijk) alle objecten van M toe als constanten in onze taal Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

40 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voor zinnen is M = ψ wel betekenisvol De betekenis wordt gegeven door Tarski s waarheidsdefinitie Om deze te formuleren staan we (tijdelijk) alle objecten van M toe als constanten in onze taal Bv M = x ϕ(x) iff. voor elke a M geldt M = ϕ(x/a) Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

41 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voor zinnen is M = ψ wel betekenisvol De betekenis wordt gegeven door Tarski s waarheidsdefinitie Om deze te formuleren staan we (tijdelijk) alle objecten van M toe als constanten in onze taal Bv M = x ϕ(x) iff. voor elke a M geldt M = ϕ(x/a) Iets andere substitutienotatie dan in vd. Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??

42 Pred. Logica M = ψ(x) heeft zonder specificatie van x nog geen betekenis Wederom valuaties, maar dan nu voor pred. logica Van Dalen gebruikt dit niet Voor zinnen is M = ψ wel betekenisvol De betekenis wordt gegeven door Tarski s waarheidsdefinitie Om deze te formuleren staan we (tijdelijk) alle objecten van M toe als constanten in onze taal Bv M = x ϕ(x) iff. voor elke a M geldt M = ϕ(x/a) Iets andere substitutienotatie dan in vd. NB zeer subtiel spel tussen object-taal en meta-taal Voortgezette Logica, Week 2 p.8/??