Propositielogica. Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn. 24 augustus Universiteit Antwerpen

Transcriptie

1 Propositielogica Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn Universiteit Antwerpen 24 augustus 2006

2 Propositionele connectoren Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen Ingekorte Tautologieën Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden

3 Negatie: NIET A Inhoud Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen 1. Als A een uitdrukking is, dan is A de negatie van A. 2. De waarheidstabel voor de negatie: A A T F F T 3. We gebruiken T en F om de waarheidswaarden true en false aan te duiden.

4 Conjunctie: A EN B Inhoud Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen 1. De conjunctie van twee uitdrukkingen A en B wordt genoteerd als A B. 2. De waarheidstabel voor de conjunctie: A B A B T T T F T F T F F F F F 3. De uitdrukkingen A en B worden de conjuncten van A B genoemd.

5 Disjunctie: A OF B Inhoud Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen 1. Er zijn twee verschillende interpretaties van OF : inclusief: A OF B betekent A of B of beide. exclusief: A OF B betekent A of B, maar niet beide. 2. De inclusieve disjunctie van A en B wordt genoteerd als A B. 3. De waarheidstabel voor de inclusieve disjunctie: A B A B T T T F T T T F T F F F 4. De uitdrukkingen A en B worden de disjuncten van A B genoemd.

6 Implicatie: ALS A DAN B Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen 1. In de taal is de interpretatie van ALS A DAN B onduidelijk indien er geen verband is tussen A en B. 2. De implicatie ALS A DAN B wordt genoteerd als A B. 3. Conventie in de wiskundige logica: A B is false als en slechts als A true is en B false. 4. De waarheidstabel voor de implicatie: A B A B T T T F T T T F F F F T 5. De uitdrukkingen A en B worden respectievelijk het antecedent en het consequent van A B genoemd.

7 Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen 6. Een rechtvaardiging van de waarheidstabel voor de implicatie is het feit dat (A B) B true moet zijn in alle gevallen: A B A B (A B) B T T T T F T F T T F F T F F F T

8 Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen Equivalentie: A ALS EN SLECHTS ALS B 1. Twee uitdrukkingen A en B zijn equivalent als ze elkaar impliceren: A B en A B. 2. De equivalentie van A en B wordt genoteerd als A B. 3. In woorden A ALS EN SLECHTS ALS B aangezien: A B A ALS B A B A SLECHTS ALS B 4. Het is duidelijk dat A B true is als en slechts als A en B dezelfde waarheidswaarde hebben. 5. De waarheidstabel voor de equivalentie: A B A B T T T F T F T F F F F T

9 Propositionele connectoren Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen 1. De symbolen,,, en worden propositionele connectoren genoemd. 2. Elke uitdrukking opgebouwd door toepassing van deze connectoren heeft een waarheidswaarde die afhangt van de waarheidswaarde van de samenstellende zinnen. 3. Om deze afhankelijkheid duidelijk te maken definiëren we: uitdrukkingsletters: de letters A,B,C,... uitdrukkingsvormen: uitdrukkingen opgebouwd met uitdrukkingsletters A,B,C,... door middel van connectoren.

10 Uitdrukkingsvormen Inhoud Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen Definitie 1. Alle uitdrukkingsletters, al dan niet met een numeriek onderschrift zijn op zich uitdrukkingsvormen. 2. Als B en C uitdrukkingsvormen zijn, dan zijn ook ( B),(B C ), (B C ), (B C ) en (B C ) uitdrukkingsvormen 3. Alleen uitdrukkingen die gevormd zijn zoals bedoeld onder 1 en 2 zijn uitdrukkingsvormen.

11 Uitdrukkingsvormen Inhoud Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen Definitie 1. Alle uitdrukkingsletters, al dan niet met een numeriek onderschrift zijn op zich uitdrukkingsvormen. 2. Als B en C uitdrukkingsvormen zijn, dan zijn ook ( B),(B C ), (B C ), (B C ) en (B C ) uitdrukkingsvormen 3. Alleen uitdrukkingen die gevormd zijn zoals bedoeld onder 1 en 2 zijn uitdrukkingsvormen. Voorbeelden B, ( C 2 ), (D 3 ( B)), ((( B 1 ) B 2 ) (A 1 C 2 )) en ((( A) A) (C (B C)))

12 Uitdrukkingsvormen Inhoud Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele connectoren Uitdrukkingsvormen De waarheidswaarde van een volledige uitdrukkingsvorm kunnen we afleiden door aan elke uitdrukkingsletter een T of F-waarde toe te kennen, en zo via de deeluitdrukkingsvormen een waarheidstabel samen te stellen. De uiteindelijke waarheidswaarde lees je dan af in de laatste kolom.

13 Ingekorte Voorbeeld 1 ((( A) B) C) waarheidstabel:

14 Ingekorte Voorbeeld 1 ((( A) B) C) waarheidstabel: Stap 1 A B C... ((( A) B) C) T T T F T T T F T F F T T T F F T F T F F F F F

15 Ingekorte Stap 2 A B C A ( A) B ((( A) B) C) T T T F F T T T T F T F F F T T T T F F F T F T T F F F F F F T

16 Ingekorte Stap 3 A B C A ( A) B ((( A) B) C) T T T F T F T T T T T F T F F F F T T T T T F F T F T F T T T F F F F F F F T T

17 Ingekorte Stap 4 A B C A ( A) B ((( A) B) C) T T T F T T F T T T T T T F T F F T F F T T T T T T F F T F F T F T T F T F F F F T F F F T T F

18 Ingekorte Voorbeeld 2 ((A B) (( A) B)) waarheidstabel:

19 Ingekorte Voorbeeld 2 ((A B) (( A) B)) waarheidstabel: Stap 1 A B... ((A B) (( A) B)) T T F T T F F F

20 Ingekorte Stap 2 A B A B A ( A) B ((A B) (( A) B)) T T T F T F T F F F F T

21 Ingekorte Stap 3 A B A B A ( A) B ((A B) (( A) B)) T T T F F T F T T F F F F F T T

22 Ingekorte Stap 4 A B A B A ( A) B ((A B) (( A) B)) T T T F F F T F T T T F F F F F F T T F

23 Ingekorte Stap 5 A B A B A ( A) B ((A B) (( A) B)) T T T F F F F T F T T T T F F F F T F F T T F F

24 Ingekorte Al naargelang het aantal verschillende uitdrukkingsletters in een uitdrukkingsvorm, is ook het aantal mogelijke combinaties anders. Omdat er voor elke uitdrukkingsletter 2 mogelijkheden zijn (T of F) hebben we bij n verschillende uitdrukkingsletters 2 n mogelijke combinaties. In een waarheidstabel hebben we dus steeds 2 n rijen (zonder de titelrij uiteraard).

25 Ingekorte Al naargelang het aantal verschillende uitdrukkingsletters in een uitdrukkingsvorm, is ook het aantal mogelijke combinaties anders. Omdat er voor elke uitdrukkingsletter 2 mogelijkheden zijn (T of F) hebben we bij n verschillende uitdrukkingsletters 2 n mogelijke combinaties. In een waarheidstabel hebben we dus steeds 2 n rijen (zonder de titelrij uiteraard). Een waarheidstabel kan ook worden ingekort, door enkel de gehele uitdrukkingsvorm te schrijven in de titelrij. Onder de uitdrukkingsletters vul je de verschillende T en F combinaties in en onder de connector het resultaat van deze bewerking.

26 Ingekorte Ingekorte waardheidstabellen Voorbeeld 2 ((A B) (( A) B))

27 Ingekorte Ingekorte waardheidstabellen Voorbeeld 2 ((A B) (( A) B)) Stap 1 ((A B) (( A) B)) T T T T F T F T T F T F F F F F

28 Ingekorte Ingekorte waardheidstabellen Stap 2 ((A B) (( A) B)) T T T T T F F T F T T F F T F F T F F F

29 Ingekorte Ingekorte waardheidstabellen Stap 3 ((A B) (( A) B)) T T T F T T F F T T F T T F F F T F F T F T F F

30 Ingekorte Ingekorte waardheidstabellen Stap 4 ((A B) (( A) B)) T T T F T F T F F T T F T T T F F F T F F F T F T F F F

31 Ingekorte Ingekorte waardheidstabellen Stap 5 ((A B) (( A) B)) T T T F F T F T F F T T T F T T T F F T F T F F F T F F T F F F

32 Ingekorte a-c-d-e-f-i

33 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Tautologieën Definities Een waarheidsfunctie van n argumenten is een functie van n argumenten die elk een waarheidswaarde hebben: true of false. Elke uitdrukkingsvorm die n verschillende letters bevat, beschrijft een overeenkomstige waarheidsfunctie van n argumenten. Een uitdrukkingsvorm die altijd waar is, wat de waarheidswaarden van zijn uitdrukkingsletters ook zijn, is een TAUTOLOGIE. Een uitdrukkingsvorm is een tautologie als en slechts als de overeenkomstige waarheidsfunctie alleen de waarde true aanneemt.

34 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Tautologieën Voorbeelden 1. (A ( A)) Dit is de wet van de uitgesloten derde. 2. ((A B) A) 3. (A ( ( A)))

35 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Definities B impliceert logisch C als en slechts als elke waarheidstoewijzing aan de uitdrukkingsletters van B en C die B true maakt ook C true maakt. B en C zijn logisch equivalent als en slechts als B en C dezelfde waarheidswaarde krijgen onder elke toewijzing van waarheidswaarden aan de uitdrukkingsletters van B en C.

36 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Voorbeelden 1. (A B) impliceert logisch A. 2. A impliceert logisch (A B). 3. (A (A B)) impliceert logisch A. 4. A en ( ( A)) zijn logisch equivalent. 5. (A B) en (B A) zijn logisch equivalent.

37 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Propositie 1.1a B impliceert logisch C als en slechts als (B C ) een tautologie is. Bewijs Neem aan dat B C logisch impliceert. Elke waarheidstoewijzing die B true maakt, maakt ook C true. Geen enkele waarheidstoewijzing maakt B true en C false. Geen enkele waarheidstoewijzing maakt (B C ) false. Elke waarheidstoewijzing maakt (B C ) true. Met andere woorden (B C ) is een tautologie. Neem aan dat (B C ) een tautologie is. Voor elke waarheidstoewijzing is (B C ) true. Het is niet zo dat als B true is, dat dan C false is. Elke waarheidstoewijzing die B true maakt, maakt ook C true. B impliceert logisch C.

38 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Propositie 1.1b B en C zijn logisch equivalent als en slechts als (B C ) een tautologie is. Bewijs (B C ) is een tautologie als en slechts als elke waarheidstoewijzing (B C ) true maakt. Als en slechts als elke waarheidstoewijzing B en C dezelfde waarheidswaarde geft. Als en slechts als B en C logisch equivalent zijn.

39 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Voorbeelden Voorbeeld 1 Bepaal of ((A (( B) C)) (( A) B)) een tautologie is. 1. Stel dat deze uitdrukking in sommige gevallen foutief is: ( ) (A (( B) C)) F (( A) B) 2. (( ) ( )) A T (( B) C) ( A) F B 3. ( (A (( B) C)) 4. (( ) FA (( B) C) (( ) )) T A B F (( ) )) A F B

40 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden 5. (( ( )) ) A ( B) F C (( A) B) 6. (( A (( ) )) ) F B C F (( A) B) 7. (( (( ) )) ) A B T C (( A) B) B is zowel False als True (contradictie!) dus is het onmogelijk dat de uitdrukking false is. Dit is dus een tautologie.

41 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Voorbeeld 2 Bepaal of ((A (B C)) (A B)) een tautologie is. 1. Stel dat deze uitdrukking in sommige gevallen foutief is: ( ) (A (B C)) F (A B) 2. (( ) ( )) A F (B C) A F B 3. ( ( )) TA F (A (B C)) B 4. (( ( )) ) TA B F C (A B)

42 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden 5. (( ( )) ) FB F A C (A B) Wanneer A true is, B false en C false, dan is de uitdrukking false. Dit is dus geen tautologie.

43 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden 1.5, 1.6, 1.11, 1.13

44 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Oefening 1.6 d Stap 1 Stap 2 Stap 3 ( (A B)) ( (A B)) ( (A B))... T... T... T T T F T T T... T... F... T F F T T F F... F... T... F F T T F F T... F... F... F T F F F T F Stap 1 Stap 2 Stap 3 (A ( B)) T... F T T... T F F... F T F... T F (A ( B)) T T T F F T F F (A ( B)) T F F T T T T F F T F T F F T F

45 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Voorbeeld 1.11a Stap 1 Stap 2 Stap 3 A B A A B A A B A T. T. T T T T. T T T T T T T. F. T T F F. T T F F T T F. T. F F F T. F F F T T F F. F. F F F F. F F F F T F

46 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Oplossing: oefening geen tautologie 2. geen tautologie 3. tautologie 4. tautologie 5. geen tautologie 6. tautologie 7. tautologie 8. geen tautologie 9. tautologie 10. tautologie

47 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Oplossing: oefening logische gelijkheid 2. logische gelijkheid 3. geen logische gelijkheid 4. logische gelijkheid 5. logische gelijkheid 6. logische gelijkheid 7. geen logische gelijkheid

48 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Oplossing: oefening logisch gevolg 2. logisch gevolg 3. logisch gevolg 4. logisch gevolg 5. logisch gevolg 6. logisch gevolg 7. logisch gevolg 8. logisch gevolg 9. geen logisch gevolg

49 Definities en voorbeelden Propositie 1.1 Voorbeelden Oplossing: oefening geen logisch gevolg 2. geen logisch gevolg 3. logisch gevolg 4. geen logisch gevolg 5. logisch gevolg 6. geen logisch gevolg 7. geen logisch gevolg 8. geen logisch gevolg 9. geen logisch gevolg