Wie A zegt moet B zeggen
|
|
- Alexander Koning
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Logica in actie H O O F D S T U K 3 Wie A zegt moet B zeggen Logici ontwerpen niet alleen systemen om bestaande vormen van redeneren te analyseren, ze bestuderen ook de eigenschappen van die systemen op zich. De propositielogica is daarvan een uitstekend voorbeeld, want we kunnen dit systeem gebruiken om nu stelselmatige wetmatigheden aan het licht te brengen. Wat maakt bijvoorbeeld de formule (p p) zo bijzonder? Dat is vooral het feit dat de formule niet onwaar kan worden, anders gezegd: dat de formule waar is, of p nu waar is of niet. Dit kunnen we aflezen uit de waarheidstabel van de formule. Deze eigenschap komt bij veel formules voor en is van groot belang, zowel voor de theorie als voor diverse toepassingen. Een andere wetmatigheid heeft te maken met redeneringen. Een redenering van de vorm uit p q en q kan men p afleiden vonden we correct (geldig), en we kunnen uitzoeken welke eigenschap van de waarheidstabellen van de formules in kwestie hiervoor verantwoordelijk is. Door op zo n wiskundige manier te denken kunnen we dus precies definiëren wat geldigheid is, maar we kunnen hiermee ook allerlei mooie patronen zien in geldig redeneren die anders onzichtbaar zouden blijven. Voorbeelden die we zullen zien zijn de dualiteit van conjunctie en disjunctie in de aanwezigheid van negatie, en het systematisch aan elkaar schakelen van implicaties. 3. Tautologie Door middel van waarheidstabellen kunnen we onderzoeken onder welke voorwaarden een formule waar is. Twee gevallen springen er duidelijk uit: formules die altijd waar zijn en formules die altijd onwaar zijn. Met altijd bedoelen we: bij elke toekenning van waarheidswaarden aan propositieletters.
2 VOORBEELD 3. De formule p p is waar, ongeacht de waarheidswaarde van p. Dit is direct te zien aan de waarheidstabel: p p p De waarheidswaarden van de hele formule staan in de kolom onder, die in stap 3 berekend worden. In deze kolom staan alleen enen, zodat de formule altijd waar is. Elke uitspraak van deze vorm is dus altijd waar. Vanaf nu geven we trouwens de stappen waarin de waarheidstabel wordt opgesteld (de onderste rij in de tabel) niet meer aan. VOORBEELD 3. De formule (p (p q)) q is waar, welke waarheidswaarde we ook voor p en q kiezen. p q (p (p q)) q Zo n toekenning van waarheidswaarden aan propositieletters heet een waardering. Een waardering w is een functie van propositieletters naar waarheidswaarden, dat wil zeggen w: {p, q, r,...} {0, }. En een waardering die een formule waar maakt noemen we een model voor die formule. Je zou ook kunnen zeggen dat die waardering model staat voor die formule. Een formule is vervulbaar als deze ten minste één model heeft. DEFINITIE 3. Een tautologie is een formule van de propositielogica die waar is voor elke waardering. Bij iedere rij in een waarheidstabel hoort dus een waardering. De formules in de laatste twee voorbeelden, die voor iedere waardering waar zijn, zijn tautologieën. Bij een tautologie is iedere waardering ook model voor die formule. Om na te gaan of een formule een tautologie is, dienen we dus een waarheidstabel voor de formule op te stellen, en vervolgens te kijken of de kolom onder het connectief met het grootste bereik alleen maar enen bevat.
3 De tegenhanger van een tautologie is een formule die voor iedere waardering onwaar is. Dit heet een contradictie. VOORBEELD 3.3 De formule p p is onwaar, ongeacht de waarheidswaarde van p. p p p In de hoofdkolom van de waarheidstabel van een contradictie staan dus alleen maar nullen. Het is duidelijk dat een formule niet zowel een contradictie als een tautologie kan zijn. Er is wel een verband: ϕ is een contradictie, precies dan als ϕ een tautologie is, en ϕ is een contradictie, precies dan als ϕ een tautologie is. Er bestaan ook formules die geen van beide zijn. Een eenvoudige propositieletter p voldoet daar al aan! Een ander voorbeeld is als volgt. VOORBEELD 3.4 De formule p q is waar voor één waardering, en onwaar voor de overige waarderingen. p q p q Bepaalde vormen van tautologieën keren steeds weer terug. Het is immers alleen de vorm van de propositie die haar geldig maakt. Daarom zijn naast p p ook q q en ((p q) r) ((p q) r) tautologieën. Kortom, alle formules van de vorm ϕ ϕ zijn tautologieën. Deze wet heet het principe van uitgesloten derde. In het Latijn is dit: tertium non datur, hetgeen betekent een derde wordt niet gegeven. Andere tautologieën zijn: ϕ ϕ (ϕ ϕ) ψ (ϕ (ϕ ψ)) ψ (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ψ ϕ) Dit kunt u desgewenst met waarheidstabellen aantonen. 3
4 We hoeven nu niet meer een omvangrijke waarheidstabel voor bijvoorbeeld ((p q) ( r s)) ((p q) ( r s)) op te stellen; het volstaat om te herkennen dat deze formule de vorm ϕ ϕ heeft. Verum en falsum Het is handig om een hele korte formule te hebben die een tautologie is. Soms wordt het speciale symbool ingevoerd als afkorting voor p p. Dit staat voor, in het Engels: true. In het Latijn spreken we van verum. Voor contradicties geldt net zoiets. De formule die altijd onwaar is wordt weergegeven met het symbool. Dit staat voor, in het Engels, false ; of, zo u wilt, in het Latijn, falsum. Visueel kunnen we hier een omgekeerde in zien: de waarheid op zijn kop, dus. 3. Logisch gevolg Met de hier ontwikkelde begrippen zijn we nu in staat om een precieze logische definitie te geven van wat we intuïtief een correcte redenering noemen. Welke eigenschap van de waarheidstabellen van de betrokken formules is hiervoor verantwoordelijk? Om dit te achterhalen, beschouwen we een eenvoudige redenering: uit Jan is een goede schaker en Karin een goede dammer kan worden geconcludeerd: Jan is een goede schaker. Het uitgangspunt is Jan is een goede schaker en Karin een goede dammer en de conclusie is Jan is een goede schaker. Hier is geen speld tussen te krijgen: de redenering is correct. Zij nu p: Jan is een goede schaker en q: Karin is een goede dammer. We maken vervolgens de waarheidstabellen van uitgangspunt (p q) en conclusie (p): p q p q p We scheiden het uitgangspunt (of de uitgangspunten) van de conclusie door een onderbreking in de tabel. Vergelijken we de aangegeven kolommen, dan valt op dat het uitgangspunt en de conclusie niet altijd waar zijn, en niet dezelfde waarheidswaarde hoeven te hebben, maar dat, en dit is essentieel: als het uitgangspunt waar is, dan is ook de conclusie waar. We spreken van logisch gevolg of van geldige gevolgtrekking. 4
5 DEFINITIE 3. Logisch gevolg De formule ψ is een logisch gevolg vanϕ als elke waardering die alle ϕ,..., ϕ n waar maakt, ook ψ waar maakt. We schrijven hiervoor ϕ ψ. Als ψ niet een logisch gevolg van ϕ,..., ϕn is, schrijven we ϕ / ψ. VOORBEELD 3.5 De redenering in het vorige voorbeeld kunnen we weergeven als p q p, dat wil zeggen: p is een logisch gevolg van p q. Immers, er was blijkens de tabel maar één waardering die p q waar maakte, en die maakt inderdaad de conclusie p ook waar. In dit voorbeeld is n = en is ϕ de formule p q. VOORBEELD 3.6 We herhalen de redenering van het begin van hoofdstuk : De afstandsbediening is kapot of de tv werkt niet goed. Maar de tv werkt wel goed. Dus de afstandsbediening is kapot. We kiezen nu p: De afstandsbediening is kapot en q: De tv werkt goed. We gaan nu kijken of p een logisch gevolg is van p q en q samen. p q p q q p Uit de tabel blijkt dat de beide uitgangspunten alleen tegelijk waar (onderstreepte enen) zijn als p en q waar zijn. Met andere woorden: we hoeven slechts naar de eerste rij waarheidswaarden te kijken, en daar is de conclusie ook waar. Kortom: p q, q p. In dit voorbeeld is n =, ϕ de formule p q en ϕ de formule q. Merk op dat in de definitie van geldig gevolg staat: elke waardering die de uitgangspunten waar maakt, moet de conclusie waar zijn. Het is niet voldoende dat er een waardering bestaat die zowel uitgangspunt als conclusie waar maakt. VOORBEELD 3.7 Uit Er komen meer wegen in Nederland precies dan als Nederland geasfalteerd raakt is het niet correct te concluderen dat er meer wegen in Nederland komen. Formeel: p q / p, dat wil zeggen: p is geen logisch gevolg van p q. Er is wel een waardering die het uitgangspunt en de conclusie waarmaakt, namelijk de waardering die p en q allebei waarmaakt. Maar er is ook een waardering die p q waarmaakt, maar niet de conclusie, namelijk de waardering die p en q allebei onwaar maakt. 5
6 Als twee formules uit elkaar volgen spreken we van logische equivalentie: als ϕ ψ en ψ ϕ dan schrijven we ϕ ψ, en we noemen de formules ϕ en ψ dan logisch equivalent. Er is een nauwe relatie tussen implicatie en logisch gevolg. De formule ( ϕ... ϕ n ) ψ is een tautologie precies dan als ϕ ψ. Bijvoorbeeld, de tautologie ((p q) (q r)) (p r) correspondeert met de gevolgtrekking p q, q r p r. Toch mogen de tekens en niet door elkaar worden gehaald. Het wezenlijke verschil is dat deel uitmaakt van de propositielogische taal, en niet. Schrijven we ϕ ψ, dan stelt dit dat ψ inderdaad volgt uit ϕ, terwijl als we ϕ ψ opschrijven, deze formule best onwaar kan zijn. Net zoiets geldt voor het verschil tussen het equivalentiesymbool en het begrip logische equivalentie. VOORBEELD 3.8 Logische equivalenties zijn nuttig voor het zoveel mogelijk vereenvoudigen van een formule. Dit kan ook bij het programmeren van pas komen. Om computertijd en programmeertijd te besparen, doen we er goed aan eerst zoveel mogelijk een programma te vereenvoudigen. Zo kunnen we als niet ((x = of y < 0) en (y < 0 of niet x = )) dan x := x + y zonder probleem vervangen door het simpeler (>= betekent ) als y >= 0 dan x := x + y We kunnen namelijk door middel van logische equivalentie uitrekenen dat niet ((x = of y < 0) en (y < 0 of niet x = )) niet ((x = of y < 0) en (niet x = of y < 0)) niet ((x = en niet x = ) of y < 0) niet (y < 0) (y >= 0) Met x := x + y wordt aangegeven dat aan de variabele x een nieuwe waarde wordt toegekend, namelijk de som van de waarden die x en y tot op dat moment hadden. 6
7 DEFINITIE 3.3 Een aantal bekende vormen van gevolgtrekkingen zijn: naam vorm van de gevolgtrekking ex falso ϕ, ϕ ψ modus ponens ϕ, ϕ ψ ψ modus tollens ϕ ψ, ψ ϕ contrapositie ϕ ψ ψ ϕ reductio ad absurdum als ϕ, ψ, dan ϕ ψ hypothetisch syllogisme ϕ ψ, ψ χ ϕ χ disjunctief syllogisme ϕ ψ, ϕ ψ ψ Deze regels worden (vaak stilzwijgend) gebruikt bij wiskundige bewijzen. Ex falso is een gangbare afkorting van ex falso sequitur quodlibet (Latijn: uit een contradictie volgt alles wat u maar wilt). Reductio ad absurdum (Latijn: het reduceren tot een absurde tegenstrijdige bewering) is niet een logisch gevolg, maar een relatie tussen logische gevolgen. In de tabel hebben we een derde Griekse letter ingevoerd voor willekeurige formules: χ, spreek uit chi. VOORBEELD 3.9 We kunnen nu de vorm herkennen van de bewijzen uit hoofdstuk. In stelling. bewezen we dat de wortel van geen breuk is. Laat p staan voor de bewering de wortel van twee is een breuk. Het bewijs verliep als volgt: we namen aan dat de wortel van twee een breuk was, p dus, en leidden daaruit een tegenspraak af:. Daarmee toonden we aan dat de wortel van niet een breuk was: p. Dit is een voorbeeld van een reductio ad absurdum. Deze heeft de vorm als ϕ, ψ, dan ϕ ψ. In dit geval kunnen we voor ϕ de de getaltheorie nemen (die we verder niet zullen detailleren; hieronder valt bijvoorbeeld dat we een deling kunnen uitvoeren, en factoren tegelijk uit de teller en de noemer kunnen verwijderen). Voor ψ nemen we p. Voor ψ krijgen we dan p, en dit is equivalent met p. De concrete redenering wordt daarmee: uit ϕ, p, volgt ϕ p. VOORBEELD 3.0 In stelling.3 uit hoofdstuk bewezen we dat er irrationale getallen x en y y bestaan waarvoor x rationaal is. Laat p staan voor de bewering ( ) is rationaal en laat q staan voor de bewering er zijn irrationale getallen x en y y waarvoor x rationaal is. Het bewijs verliep als volgt. We weten dat ( ) ofwel rationaal is, of niet. Dit is van de vorm p p (en zelfs exclusieve disjunctie, maar dat maakt hier niet uit). Uit p volgt q, want dan nemen we x = y =. Maar uit p volgt eveneens q, want dan nemen we x = ( ) en y =. Hiermee was het bewijs klaar, dat wil zeggen: hieruit volgde q. Er is hier dus sprake van een instantie van het disjunctief syllogisme, namelijk: p q, p q q. 7
8 3.3 Van gevolgtrekking tot informatieverwerking De propositielogica werd oorspronkelijk ontworpen als rekensysteem voor geldig redeneren. Maar zoals vaak gebeurt met wetenschappelijke theorieen, blijkt hun reikwijdte achteraf veel groter dan aanvankelijk werd gedacht, of zelfs bedoeld. Zoals we meteen aan het begin van hoofdstuk al zagen, vloeit informatie op veel meer manieren dan alleen het maken van gevolgtrekkingen. We krijgen informatie binnen door observatie en communicatie, en trekken daaruit dan pas conclusies. Dat verwerken van binnenkomende informatie op zich kan eveneens worden gemodelleerd in de propositielogica, namelijk door middel van updates op verzamelingen modellen. Propositielogica is dus niet alleen een theorie van gevolgtrekken, maar ook van informatieverwerking. In deze paragraaf schetsen we hoe dit in zijn werk gaat. In een gevolgtrekking ϕ ψ trekken we een conclusie uit verzameling aannames. De volgorde van die aannames doet er eigenlijk weinig toe. Gezien het verband met de tautologie ( ϕ... ϕ n ) ψ mag de volgorde er zelfs niet toe doen, omdat in een conjunctie de volgorde van de conjuncten irrelevant is. Maar die aannames moeten we eerst wel binnen krijgen. Dit proces kunnen we nu heel natuurlijk weergeven als toenemende inperking van mogelijkheden, dat wil zeggen: van de mogelijke waarderingen die echt het geval kunnen zijn. We beginnen met alle waarderingen. Formule ϕ beperkt deze verzameling al wat, namelijk tot de modellen van ϕ. Als nu ϕ eveneens vereist is, beperken we ons nog wat meer, namelijk tot de modellen van ϕ die eveneens modellen van ϕ zijn. Enzovoorts. Als we in dit proces een ϕ i tegen het lijf lopen die alle resterende modellen elimineert, weten we dat we te ver zijn gegaan : niet alle systeemeisen kunnen tegelijk vervuld worden. We zullen onze eisen dus ergens moeten herzien. Als we daarentegen wel alle eisen ϕ kunnen vervullen, kunnen we daarna verifiëren of een gewenste systeemeigenschap ψ geldt door na te gaan of ψ opgaat in alle resterende mogelijkheden. Dit geeft een verband tussen modeleliminatie en gevolgtrekking. Als we slechts een enkele mogelijkheid overhouden, dan is dat te zien als het bereiken van totale informatie over de situatie waar het ons om te doen was. Dit idee van informatieverwerving als modeleliminatie is heel algemeen, en het komt in allerlei wetenschappen voor. Meer algemeen is een dynamisch perspectief op informatieverwerking en gevolgtrekkingen ook van toepassing op de predikaatlogische modellen die we in de komende twee hoofdstukken gaan introduceren. De methode van modeleliminatie zullen we met name zien terugkeren bij de bestudering van kennis en informatie in taalgebruik en communicatie, het onderwerp van de kennislogica in hoofdstuk 6. In dat geval blijkt de volgorde waarin we de informatie verwerken er ineens wel toe te doen, en geldt dus niet 8
9 meer voor alle ϕ en ϕ dat eerst ϕ verwerken en dan ϕ verwerken hetzelfde oplevert als eerst ϕ verwerken en dan ϕ verwerken. VOORBEELD 3. We verwerken eerst de informatie p q. Deze formule heeft drie modellen. Daarna wordt bekend dat p q. We houden nog twee van drie modellen over. Ten slotte wordt bekend dat p. Hiermee resteert nog één model. Uit deze drie formules volgt dat p q. p q p q p q p p q Feitelijk redeneren Hoe verhoudt de logica zich tot de realiteit van ons gedrag? Behalve de leer van correcte informatieve handelingen is er dan in elk geval ook de analyse van incorrecte redeneringen. Er zijn immers allerlei redeneringen die in natuurlijke taal wel correct lijken, maar dat toch niet zijn. Een goed logisch systeem moet ook fouten kunnen analyseren, en voorspellen waar deze optreden, de zogenaamde drogredenen (in het Engels: fallacies ). Met name de argumentatietheorie houdt zich bezig met de analyse van drogredenen. We volstaan met een aantal voorbeelden. VOORBEELD 3. Bevestiging van het gevolg We gaan weer terug naar het voorbeeld in het begin van het hoofdstuk : Het schilderij hangt hier niet als het gestolen is. Het schilderij hangt hier niet. Dus is het gestolen. Deze ongeldige redenering heeft de vorm p q, q / p. De redenering is ongeldig omdat de waardering die p en q onwaar maakt, de uitgangspunten waarmaakt maar niet de conclusie. De redenering lijkt geldig omdat deze zowel op modus ponens lijkt als op modus tollens (zie definitie 3.3). VOORBEELD 3.3 Verborgen aanname De tweede voornaam van Barack Obama is Hussein. Hij is dus moslim! Je moet dus niet op hem stemmen bij de presidentsverkiezingen. Deze redenering bevat twee verborgen aannames. De eerste is Iemand die Hussein als voornaam heeft is een moslim. Deze aanname is niet gerechtvaardigd, want dit hoeft niet het geval te zijn. En president Obama is in feite geen moslim. De tweede verborgen aanname is Als iemand moslim is dan kan hij/zij geen kandidaat zijn voor de presidentsverkiezingen of (het 9
10 blijft gissen...) Als iemand moslim is dan zou hij/zij geen kandidaat mogen zijn voor de presidentsverkiezingen. Het eerste is wederom onwaar, omdat in de Amerikaanse grondwet is vastgelegd dat geloofsovertuiging politiek niet in de weg mag staan. Het tweede lijkt ons ook onwaar de vraag is natuurlijk of de meerderheid van de Amerikaanse bevolking daar nu, in 009, zo over denkt. We wachten tot de presidentsverkiezingen in 00, en de eerste islamitische Amerikaanse presidentskandidaat. VOORBEELD 3.3 Cirkelredenering De cirkelredenering staat bekend onder de Latijnse naam petitio principii. De algemene vorm van een cirkelredenering is ϕ ϕ, ϕ ϕ 3,..., ϕn ϕ / ϕ, en het kortst door de bocht is hierϕ ϕ / ϕ : uit de triviale implicatie dat een bewering zichzelf impliceert volgt de bewering zelf. Bijvoorbeeld: Ik ben de baas omdat ik het hier voor het zeggen heb. Of anders deze: Waar je die kerktoren ziet staan moet het centrum van Venlo wel zijn, want dat is echt zo n centrumkerk. In het Engels staat deze drogreden bekend als Begging the Question. Overigens willen we bepaald niet zeggen dat fouten en drogredenen kenmerkend zijn voor wat een logicus ziet als hij kijkt naar feitelijk redeneren van mensen. De laatste jaren groeit juist een interessant grensgebied tussen de logica en de cognitieve psychologie, waarbij gezocht wordt naar rijkere formele modellen van ons redeneren, dat veel meer omvat dan alleen overgangen van aannames naar conclusies. Logische systemen worden zelfs hier en daar gebruikt in het moderne hersenonderzoek, als bron van toetsbare hypotheses over de echte werkplaats van ons redeneren, de menselijke hersenen. 0
11 Samenvatting Een tautologie is een formule van de propositielogica die waar is voor elke waardering. Een waardering die een formule waar maakt is een model van die formule. Een contradictie is een formule die onwaar is voor elke waardering. Een formule is vervulbaar als deze een model heeft. Een formule ψ is een logisch gevolg van formules ϕ,..., ϕ n als elke waardering die alle ϕ,..., ϕn waar maakt, ook ψ waar maakt. We schrijven ϕ ψ. De formule ψ heet de conclusie van de gevolgtrekking en de formules ϕ de uitgangspunten of aannames. Als twee formules uit elkaar volgen, dat wil zeggen, zowel ϕ ψ als ψ ϕ, dan noemen we ze logisch equivalent en we schrijven hiervoor ϕ ψ. Verzamelingen waarderingen fungeren ook als informatietoestanden, en een update met nieuwe informatie ϕ vindt plaats door krimp van zo n verzameling tot de waarderingen daarbinnen die aan ϕ voldoen. Dit document bevat hoofdstuk 3 van de cursus Logica in actie. De volledige cursus is beschikbaar op Open Universiteit Nederland; Uitgeverij: Sdu Uitgevers, s Gravenhage. Dit materiaal is gelicentieerd onder een Creative Commons Licentie. Zie de licentie voor details. The content on this site is licensed under a Creative Commons Licentie. See licence for more details.
12 Opgaven OPGAVE 3. OPGAVE 3. OPGAVE 3.3 OPGAVE 3.4 OPGAVE 3.5 Ga voor elk van de volgende formules na of het een tautologie of een contradictie is. p p p (q p) ((p q) p) Bewijs met een waarheidstabel dat (p q) p een tautologie is. Welk logisch gevolg hangt samen met deze tautologie? Hoe is dit gevolg ook direct in te zien? Toon door middel van waarheidstabellen aan dat p q, q p. Los opgave.4 op door de twee gegeven beweringen op te vatten als achtereenvolgende updates op de beginverzameling van alle waarderingen. Hoeveel waarderingen zijn er over na de informatie Als Jan gaat, dan gaat Marie? En hoeveel als daarna de informatie komt dat Piet gaat alleen als Jan niet gaat? Wat is er mis met de volgende redenering: Papa, waarom gaat de zon onder? Omdat de zon om de aarde draait, jongen. En waarom is dat dan? Ja, anders zou ie toch stilstaan boven ons, niet?
13 Uitwerkingen van de opgaven bij hoofdstuk 3 3. De waarheidstabel van p p is: p p p De aangegeven kolom bevat slechts nullen, dus p p is een contradictie. De waarheidstabel van p (q p) is: p q p (q p) De aangegeven kolom bevat slechts enen, dus p (q p) is een tautologie. De waarheidstabel van ((p q) p) is: p q ((p q) p) De aangegeven kolom bevat niet slechts enen of nullen, dus de formule ((p q) p) is geen tautologie en ook geen contradictie. Omdat er een waardering is waarvoor de formule waar is, is deze vervulbaar. (Een formule die geen tautologie en ook geen contradictie is wordt ook wel een contingentie genoemd.) 3
14 3. De waarheidstabel van (p q) p is: p q (p q) p De aangegeven kolom bevat slechts enen, dus (p q) p is een tautologie. Deze tautologie hangt samen met de geldige gevolgtrekking p, q p. Dit is natuurlijk ook direct te zien: als p en q immers waar zijn, is p zeker waar. 3.3 De waarheidstabellen voor p q, q en p zijn: p q p q q p Alleen in de laatste rij zijn beide uitgangspunten waar, maar dan is de conclusie dat ook. We hebben de betreffende en onderstreept. Dus p q, q p. 3.4 We beginnen met 8 verschillende waarderingen. Na verwerking van de informatie Als Jan gaat, dan gaat Marie zijn er hiervan nog 6 over (namelijk de zes waarbij in de kolom voor (p q) in de uitwerking van opgave.4 een staat). Na verwerking van Piet gaat alleen als Jan niet gaat, vervalt er van deze 6 waarderingen nog één (namelijk de waardering waarin p, q, en r alledrie waar zijn) en blijven er dus nog 5 waarderingen over. 4
15 3.5 De redenering is: Papa, waarom gaat de zon onder? Omdat de zon om de aarde draait, jongen. En waarom is dat dan? Ja, anders zou ie toch stilstaan boven ons, niet? Laat propositieletter p staan voor de propositie de zon gaat onder, en laat propositieletter q staan voor de propositie de zon draait om de aarde. Voor het gemak vertalen we de zon staat stil als de zon gaat niet onder, dus als p. In een zin als a omdat b zeggen we eigenlijk: a is waar, en b impliceert a. De redenering De zon gaat onder omdat de zon om de aarde draait komt dus overeen met q, q p p. De redenering Anders zou ie toch stilstaan komt overeen met p, q p q. Deze beide redeneringen zijn correct. Samen krijgen we dus de incorrecte redenering q p, q p / p. Dit is een voorbeeld van de drogreden cirkelredenering. De redenering komt namelijk overeen met p q, q p / p. 5
Logica voor Informatica. Propositielogica. Syntax & Semantiek. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University
Logica voor Informatica Propositielogica Syntax & Semantiek Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Wat is Logica? Afleiden van conclusies uit aannames Jan Sara Petra Schuldig
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatiePropositielogica. Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn. 24 augustus Universiteit Antwerpen
Propositielogica Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn Universiteit Antwerpen 24 augustus 2006 Propositionele connectoren Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele
Nadere informatiePROPOSITIELOGICA. fundament voor wiskundig redeneren. Dr. Luc Gheysens
PROPOSITIELOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens PROPOSITIELOGICA Een propositie of logische uitspraak, verder weergegeven door een letter p, q, r is een uitspraak die in een vastgelegde
Nadere informatieLogica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 2.1 Geef de volgende zinnen weer in propositionele notatie: i Als de bus niet komt, komen de tram en de trein We voeren de volgende
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatiePropositielogica, waarheid en classificeren
Logica in actie H O O F D S T U K 2 Propositielogica, waarheid en classificeren We hebben al gezien dat voor een logicus het verhevene heel dicht kan liggen bij het alledaagse. Misschien beter gezegd:
Nadere informatieLogic for Computer Science
Logic for Computer Science 06 Normaalvormen en semantische tableaux Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Oneindige verzamelingen 2 Vandaag Wanneer zijn twee formules hetzelfde? Zijn er
Nadere informatieLogica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 3
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 3 3.1 Stel ϕ, ψ α, β γ, en ψ, α, γ χ. Indien nu bovendien bekend wordt dat χ onwaar is, maar ψ en β waar, wat weet u dan over ϕ? oplossing:
Nadere informatieTegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Nadere informatieCaleidoscoop: Logica
Caleidoscoop: Logica Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 3 October, 2007 Overzicht 1 2 Negaties We gaan rekenen met proposities (beweringen). Bedenker: George Boole
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieInhoud leereenheid 1. Inleiding. Introductie 13. Leerkern 13. 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13
Inhoud leereenheid 1 Inleiding Introductie 13 Leerkern 13 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13 12 Leereenheid 1 Inleiding I N T R O D U C T I E Studeeraanwijzing Deze leereenheid is een leesleereenheid.
Nadere informatieInleiding Wiskundige Logica
Inleiding Wiskundige Logica Yde Venema 2017/2018 c YV 2018 Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam, Science Park 904, NL 1098XH Amsterdam E-mail: yvenema@uvanl Voorwoord
Nadere informatiePropositionele logica
Logic is the beginning of wisdom, not the end. Captain Spock, Star Trek VI (1991) Hoofdstuk 1 ropositionele logica 1.1 Uitspraken Het begrip uitspraak. We geven hier geen definitie van het begrip uitspraak
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieSemantiek 1 college 4. Jan Koster
Semantiek 1 college 4 Jan Koster 1 Uitgangspunt sinds vorige week Semantiek is representationeel (en niet referentieel), gebaseerd op interpretaties van sprekers en hoorders Geen scherpe scheiding tussen
Nadere informatieHandout Natuurlijke Deductie
Handout Natuurlijke Deductie Peter van Ormondt 4 februari 2017 1 Inleiding In Van Benthem et al (2016, Hoofdstuk 2), hebben we redeneringen bestudeerd door te kijken naar de semantiek of betekenis van
Nadere informatieLogica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Propositielogica Normaalvormen en Semantische tableaux Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Literals Een literal is een propositieletter, of de
Nadere informatieLogica Les 1 Definities en waarheidstabellen. (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online)
Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online) Definities Een propositie is een bewering die waar of onwaar is (er is geen derde mogelijkheid).
Nadere informatieFormeel Denken. Herfst 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Propositielogica
Nadere informatie1 Logica. 1.2.1 a. tautologie -1-
1 Logica 1.1.1 a. neen: de spreker bedoelt met "hier" de plek waar hij op dat moment is, maar "warm" is subjectief; vgl.: "het is hier 25 graden Celsius". b. ja: de uitspraak is onwaar (=120 uur). c. neen:
Nadere informatieLogica voor Informatica. Propositielogica. Bewijssystemen voor propositielogica. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Propositielogica Bewijssystemen voor propositielogica Mehdi Dastani mmdastani@uunl Intelligent Systems Utrecht University Deductie Tot nu toe voornamelijk semantisch naar logica
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
Nadere informatieHoofdstuk 3. behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en
Hoofdstuk 3 Semantiek van de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt de semantiek (betekenistheorie) van de propositielogica behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en logisch
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 5: Semantiek van de Propositielogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Tip: Als ik je vraag de recursieve definitie van een functie over PROP op te schrijven,
Nadere informatieAndere grote namen van wiskundigen en/of filosofen: Plato, Socrates, Descartes (Cartesius), Spinoza, Kant, Russell, Hilbert, Tarski en Brouwer
Formele Logica Grondlegger Aristoteles (384/322 voor Chr.), filosoof. Andere grote namen van wiskundigen en/of filosofen: Plato, Socrates, Descartes (Cartesius), Spinoza, Kant, Russell, Hilbert, Tarski
Nadere informatieKennis en communicatie
Logica in actie H O O F D S T U K 6 Kennis en communicatie De traditionele logica richtte zich voornamelijk op producten van menselijk activiteit, zoals formules, formele gevolgtrekkingen, of bewijzen.
Nadere informatieARGUMENTEREN EN REDENEREN
ARGUMENTEREN EN REDENEREN Julie Kerckaert Vaardigheden I Academiejaar 2014-2015 Inhoudsopgave Deel 1: Argumenteren en redeneren... 2 1.1 Logica... 2 1.1.1 Syllogismen... 2 1.1.2 Soorten redeneringen...
Nadere informatieLogica. Oefeningen op hoofdstuk Propositielogica
Oefeningen op hoofdstuk 1 Logica 1.1 Propositielogica Oefening 1.1. Stel dat f en g functies zijn waarvoor f(x)dx = g(x)+c niet waar is. Als Elio Di Rupo paarse sokken heeft, bepaal dan de waarheidswaarde
Nadere informatieInleiding logica Inleveropgave 3
Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1
Nadere informatiePropositielogica. Leereenheid 4
Leereenheid 4 Propositielogica I N T R O D U C T I E Logica Van oudsher is de logica de leer van het correct redeneren. Nog steeds is het herkennen van correcte en incorrecte redeneringen een belangrijke
Nadere informatieOver Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten
1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor
Nadere informatieTentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica 27 oktober 2008, 9.00 12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5
Nadere informatieTentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Nadere informatieProposities. Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 2 Proposities In de wiskunde en in de informatica, en ook in veel andere disciplines, is er behoefte aan redeneren. Om dat goed te kunnen doen moet men allereerst beschikken over een arsenaal
Nadere informatiePredikaatlogica, modellen en programma s
Logica in actie H O O F D S T U K 4 Predikaatlogica, modellen en programma s De taal van de propositielogica is voor veel toepassingen te arm. Dat bleek al in de Klassieke Oudheid, waar logici allerlei
Nadere informatierh265e 0 true. In onze schrijfwijze wordt dat dus: (de bewering) [ P ] is even waar als (de bewering) P = true.
rh265e 0 Elementaire Predikatenrekening 0 Inleiding Dit is een samenvatting 0 van de rekenregels voor proposities en predikaten, zoals behandeld in het vak Logica & Verzamelingen. Enige vertrouwdheid met
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieComplexiteit van berekeningen
Logica in actie H O O F D S T U K 7 Complexiteit van berekeningen We hebben nu al een paar keer gezien dat logica nauw verbonden is met processen die informatie bewerken en overdragen. Het proces bij uitstek
Nadere informatieTentamentips. Tomas Klos. 14 december 2010
Tentamentips Tomas Klos 14 december 010 Samenvatting In dit document vind je een aantal tentamen tips. Het gaat om fouten die ik op tentamens veel gemaakt zie worden, en die ik je liever niet zie maken.
Nadere informatie1. TRADITIONELE LOGICA EN ARGUMENTATIELEER
Inhoud Inleidend hoofdstuk 11 1. Logica als studie van de redenering 11 2. Logica als studie van deductieve redeneringen 13 3. Logica als formele logica Het onderscheid tussen redenering en redeneringsvorm
Nadere informatieModelleren en Programmeren voor KI
Modelleren en Programmeren voor KI Practicumopdracht 4: SAT Solver Tomas Klos Het SAT probleem Parvulae Logicales: Propositielogica, Hoofdstuk 6 (Semantiek), p. 62: Het SAT probleem Ik geef je een propositielogische
Nadere informatiePropositielogica Het maken van een waarheidstabel
Informatiekunde naam datum Propositielogica Het maken van een waarheidstabel Eindhoven, 4 juni 2011 De propositielogica Zoekopdrachten met de operatoren AND, OR en zijn zogenaamde Booleaanse expressies.
Nadere informatielogische schakelingen & logica antwoorden
2017 logische schakelingen & logica antwoorden F. Vonk versie 4 2-8-2017 inhoudsopgave waarheidstabellen... - 3 - logische schakelingen... - 4 - meer over logische schakelingen... - 8 - logica... - 10
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieDossier 2 LOGICA. Dr. Luc Gheysens. fundament voor wiskundig redeneren
Dossier 2 LOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens Inleiding: logische puzzels Wiskundigen houden meestal van logische puzzels. Dit soort puzzels vormt niet alleen een uitdaging, maar
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 9 juli 2008) Inleiding Omdat de behandelde topics niet of nauwelijks meer aan bod komen in
Nadere informatieLOGICA OP HET MENU DEEL 2. Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant
LOGICA OP HET MENU DEEL 2 Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant Augustus De Morgan (180 1871) was een Britse wiskundige die vooral bekend is gebleven voor zijn werk op het gebied van de logica en meerbepaald
Nadere informatieLogica voor AI. Bewijstheorie en natuurlijke deductie. Antje Rumberg. 28 november Kripke Semantiek.
Logica voor AI en natuurlijke deductie Antje Rumberg AntjeRumberg@philuunl 28 november 2012 1 De taal L m van de modale propositielogica ::= p Blokje en ruitje : het is noodzakelijk dat : het is mogelijk
Nadere informatiePredikaatlogica en informatica
Logica in actie H O O F D S T U K 5 Predikaatlogica en informatica Wanneer is een predikaatlogische formule waar? Om de gedachten te bepalen, beschouwen we nog eens de formule: x (P(x) y (P(y) y > x))
Nadere informatieHoofdstuk 4. In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica
Hoofdstuk 4 Stellingen over de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica behandeld. In x4.1 wordt het begrip meta-stelling gentroduceerd en
Nadere informatieSamenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Nadere informatieLogica voor AI. Responsiecollege. Antje Rumberg. 12 december Kripke Semantiek. Geldigheid. De bereikbaarheidsrelatie
Logica voor AI Responsiecollege Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 12 december 2012 1 De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en ruitje ϕ: het is noodzakelijk
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieLogica voor Informatica
Logica voor Informatica 10 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Syntax van predikatenlogica Alfabet Termen Welgevormde formulas (wff) 2 Alfabet van de predikatenlogica
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieTI1300: Redeneren en Logica, Practicum 1 Deadline: 17 september 2010, 10:45 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 1 Deadline: 17 september 2010, 10:45 uur Introductie In deze practicumopgave komt
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieTI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur Introductie In deze practicumopgave komt de
Nadere informatieLogica voor Informatica
Logica voor Informatica 12 Normaalvormen Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vandaag We hebben gezien dat er verschillende normaalvormen zijn voor de propositionele logica. Maar hoe zit dat met de
Nadere informatieTI1300: Redeneren en Logica. TI1300 Redeneren en Logica College 1: Inleiding en Bewijstechnieken. Blackboard: enroll!
TI1300: Redeneren en Logica TI1300 Redeneren en Logica College 1: Inleiding en Bewijstechnieken Tomas Klos TI1300 bestaat uit 2 delen: Th: Theorie, Tomas Klos Pr: Practicum, Tomas Klos plus student-assistenten
Nadere informatieVWO Wiskunde C Logisch redeneren
VWO Wiskunde C Logisch redeneren SLO nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling Quintijn Puite (Hogeschool Utrecht) NVvW studiedag 2015 Ichthus College Veenendaal 7 november 2015 Inkomertje Doet u
Nadere informatie1 Kettingbreuken van rationale getallen
Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieBEWIJZEN EN REDENEREN
BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave
Nadere informatieDe Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica
De Resolutiemethode (Logica, hoofdstuk 15) Robinson (1965) TI1300 Redeneren en Logica College 7: Resolutie Tomas Klos Algoritmiek Groep De Resolutiemethode De resolutiemethode is een methode waarmee je
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieCursustekst Logica. Ontworpen door Milbou Lotte.
Cursustekst Logica Ontworpen door Milbou Lotte. 1 We starten met een korte uitleg over de kaders die gehanteerd worden doorheen de cursus. Om de overzichtelijkheid te bewaren, werden de oefeningen steeds
Nadere informatieLogica voor AI. Verschillende modale systemen en correctheid. Antje Rumberg. 30 november 2012.
Logica voor AI en correctheid Antje Rumberg AntjeRumberg@philuunl 30 november 2012 1 De minimale normale modale logica K Axioma s alle tautologieën van de propositielogica ( ψ) ( ψ) (K-axioma) (Def ) Afleidingsregels
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatiePropositielogica. Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman
Propositielogica Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman They who are acquainted with the present state of the theory of Symbolic Algebra, are aware of the validity of the processes of analysis
Nadere informatieCombinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III
Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Sjoerd van Egmond LIACS, Leiden University, The Netherlands svegmond@liacs.nl 2 juni 2010 Samenvatting Deze notitie beschrijft een nederlandse
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieMaak automatisch een geschikte configuratie van een softwaresysteem;
Joost Vennekens joost.vennekens@kuleuven.be Technologiecampus De Nayer We zijn geïnteresseerd in het oplossen van combinatorische problemen, zoals bijvoorbeeld: Bereken een lessenrooster die aan een aantal
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieLogica voor AI. Inleiding modale logica en Kripke semantiek. Antje Rumberg. 14 november 2012
Logica voor AI Inleiding modale logica en Kripke semantiek Antje Rumberg Antje.Rumberg@phil.uu.nl 14 november 2012 1 Logica voor AI Deel 1: Modale logica semantiek en syntax van verschillende modale logica
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieHet nutteloze syllogisme
Het nutteloze syllogisme Victor Gijsbers 21 februari 2006 De volgende tekst is een sectie uit een langer document over het nut van rationele argumentatie dat al een jaar onaangeraakt op mijn harde schijf
Nadere informatieOpdrachten Tarski s World
Opdrachten Tarski s World Logika thema 4 13 april 2004 1 Propositielogika 1.1 Atomaire proposities in Tarski s world Open de wereld, wittgens.sen, en het bestand met beweringen, wittgens.sen 1. Ga van
Nadere informatieInhoud casus blok 4. Analyse van een woordspel. Introductie 7
Inhoud casus blok 4 Analyse van een woordspel Introductie 7 1 Iets over het spel... en de knikkers 7 2 Algemene opzet van het computerprogramma 8 3 De delen van het computerprogramma 9 4 Conclusies 13
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieFormeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt
Nadere informatieJohan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie
Logica in actie Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck Logica in actie Dit boek bevat de teksten van de cursus Logica in actie. De volledige cursus is beschikbaar op www.spinoza.ou.nl. Meer
Nadere informatieLogica als een oefening in Formeel Denken
Logica als een oefening in Formeel Denken Herman Geuvers Institute for Computing and Information Science Radboud Universiteit Nijmegen Wiskunde Dialoog 10 juni, 2015 Inhoud Geschiedenis van de logica Propositielogica
Nadere informatieGoed aan wiskunde doen
Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave
Nadere informatieRAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Nadere informatieGödels Onvolledigheidsstellingen
Gödels Onvolledigheidsstellingen Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Symposium A-eskwadraat, 11 december 2014 De Onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn verreweg de beroemdste resultaten
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatie