Logica voor AI. Responsiecollege. Antje Rumberg. 12 december Kripke Semantiek. Geldigheid. De bereikbaarheidsrelatie

Transcriptie

1 Logica voor AI Responsiecollege Antje Rumberg 12 december

2 De taal L m van de modale propositielogica ϕ ::= p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Blokje en ruitje ϕ: het is noodzakelijk dat ϕ ϕ: het is mogelijk dat ϕ 2

3 Modelstructuur (of frame) Een modelstructuur (of frame) is een geordend paar F = W, R, waarbij W een verzameling mogelijke werelden en R W W een bereikbaarheidsrelatie is. w v u t s r 3

4 Kripke Model Een Kripke model is een geordend drietal M = W, R, V, waarbij W, R een modelstructuur en V : W Pow(VAR) een interpretatiefunctie is. Een propositie p is waar in een wereld w desda p V(w). (p, q) w (p) v (q) u t (q) s (p) r (q) 4

5 De semantische regels voor en M, w ϕ desda voor iedere v met wrv geldt M, v ϕ M, w ϕ desda voor tenminste één v met wrv geldt M, v ϕ Dualiteit ϕ ϕ ϕ ϕ 5

6 Waarheid in een wereld: M, w ϕ Zij ϕ L m een formule, M = W, R, V een Kripke model en w W een wereld. M, w p desda p V(w) M, w M, w ϕ desda M, w ϕ M, w ϕ ψ desda M, w ϕ en M, w ψ M, w ϕ ψ desda M, w ϕ en/of M, w ψ M, w ϕ ψ desda M, w ϕ en/of M, w ψ M, w ϕ desda voor iedere v met wrv geldt M, v ϕ M, w ϕ desda voor tenminste één v met wrv geldt M, v ϕ 6

7 Opgave Geef voor elke wereld in het onderstaande modelstructuur een formule die alleen in die wereld waar is, ongeacht de valuatie op de modelstructuur. Je kunt dit doen met behulp van en. w t v u w: v: t: u: 7

8 in een model: M ϕ Een formule ϕ is geldig in een Kripke model M = W, R, V, notatie: M ϕ, desda voor alle werelden w W geldt M, w ϕ in een modelstructuur: F ϕ Een formule ϕ is geldig in een modelstructuur F = W, R, notatie: F ϕ, desda voor alle modellen M = W, R, V geldt M ϕ in een klasse van modelstructuren: C ϕ Een formule ϕ is geldig in een klasse C van modelstructuren, notatie: C ϕ, desda voor alle modelstructuren F C geldt F ϕ Algemene modaallogische geldigheid: ϕ Een formule ϕ is algemeen modaallogisch geldig, notatie: ϕ, desda voor alle modelstructuren F = W, R geldt F ϕ 8

9 Opgave Geef één valuatie op de onderstaande modelstructuur zodanig dat de volgende formules waar zijn in elke wereld. Met andere worden, laat de volgende formules geldig zijn in het resulterende model. p p p p p p w v u w v u ( ) (p) ( ) 9

10 Bewijs van geldigheid Hoe laat je zien dat een formule ϕ geldig is in een modelstructuur F = W, R? Je bekijkt een willekeurige Kripke model M = W, R, V op F en een willekeurige wereld w W en laat met behulp van de semantische regels zien dat M, w ϕ. Bewijs van ongeldigheid Hoe laat je zien dat een formule ϕ niet geldig is in een modelstructuur F = W, R? Je geeft een valuatie V op de modelstructuur zodanig dat voor tenminste één wereld w in het resulterende model M = W, R, V geldt dat M, w ϕ. 10

11 Opgave Zijn de volgende formules algemeen modaallogisch geldig? Laat zien waarom wel/niet? ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ is algemeen modaallogisch geldig. Zij F = W, R een willekeurige modelstructuur, M = W, R, V een willekeurige model op F en zij w W een willekeurige wereld. Stel dat M, w ϕ. Dan is er op grond van de semantische regels voor en een wereld v zodanig dat wrv en v ϕ. Aangezien en duaal zijn, geldt dus: M, v ϕ. Omdat wrv, volgt op grond van de semantische regel voor : M, w ϕ Dus: M, w ϕ ϕ. 11

12 Opgave Zijn de volgende formules algemeen modaallogisch geldig? Laat zien waarom wel/niet? ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ is niet algemeen modaallogisch geldig. Beschouw het volgende tegenmodel: (p) w v ( ) M, w p, want v is een blinde wereld M, w p, want v is een blinde wereld Dus: M, w p p 12

13 Geldige gevolgtrekking: Γ ϕ Een formule ϕ L m is een geldige gevolgtrekking uit een verzameling van formules Γ L m, notatie: Γ ϕ, desda voor alle modellen M = W, R, V en alle werelden w W geldt: Als voor alle ψ Γ, W, w ψ, dan M, w ϕ. ϕ desda ϕ {ψ} ϕ desda ψ ϕ Geldige gevolgtrekking: Γ CS Een formule ϕ L m is een geldige gevolgtrekking uit een verzameling van formules Γ L m met betrekking tot de klasse C S van modelstructuren, notatie: Γ CS ϕ, desda voor alle modelstructuren F C S, alle modellen M = F, V en alle werelden w W geldt: Als voor alle ψ Γ, W, w ψ, dan M, w ϕ. ϕ 13

14 Bewijs van geldigheid Hoe laat je zien dat een formule ϕ een geldige gevolgtrekking uit een verzameling Γ is? Je bekijkt een willekeurige Kripke model M = W, R, V en een willekeurige wereld w W waarin de formules uit Γ allemaal waar zijn (d.w.z. M, w ψ voor alle ψ Γ) en laat met behulp van de semantische regels zien dat de formule ϕ vervolgens ook waar is in w (d.w.z. M, w ϕ). Bewijs van ongeldigheid Hoe laat je zien dat een formule ϕ geen geldige gevolgtrekking uit een verzameling Γ is? Je geeft een model M = W, R, V zodanig dat er in tenminste één wereld w W alle formules uit Γ waar zijn (d.w.z. M, w ψ voor alle ψ Γ) en ϕ onwaar is (d.w.z. M, w ϕ). 14

15 Zij R W W een bereikbaarheidsrelatie. R is reflexief desda w(wrw). w R is symmetrisch desda w v(wrv vrw). w v R is transitief desda w v z((wrv vrz) wrz). v w z R is euclidisch desda w v z((wrv wrz) vrz). v w z R is voortzettend (of serieel) desda w v(wrv). 15

16 R is reflexief w(wrw) R is irreflexief w (wrw) R is symmetrisch w v(wrv vrw) R is asymmetrisch w v(wrv vrw) R is anti-symmetrisch w v((wrv w v) vrw) R is transitief w v z((wrv vrz) wrz) R is euclidisch w v z((wrv wrz) vrz) R is dicht w v(wrv z(wrz zrv)) R is deterministisch w v z((wrv wrz) v = z) R is voortzettend w v(wrv) R is disconnected w v( vrw) R is universeel w v(wrv) 16

17 Karakteriseerbaarheid Een verzameling formules Γ L m karakteriseert een klasse C van modelstructuren desda voor alle modelstructuren F geldt: F C desda F ψ voor alle ψ Γ. Als Γ de klasse C van modelstructuren karakteriseert en Γ de klasse C van modelstructuren karakteriseert, dan karakteriseert Γ Γ de klasse C C van modelstructuren. Modale definieerbaarheid Een klasse C van modelstructuren is modaal definieerbaar desda er is een verzameling modale formules Γ L m die deze klasse karakteriseert. 17

18 Zij F = W, R een modelstructuur. F ϕ ϕ desda F is voortzettend F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is reflexief F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is symmetrisch F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is transitief F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is euclidisch F ϕ ϕ (of F ϕ ϕ) desda F is dicht F ϕ ϕ desda F is deterministisch F ϕ (of F ) desda F is disconnected 18

19 Opgave Noem een modelstructuur M = W, R indirect reflexief dan en slechts dan als w v(wrv vrw). Geef een bewijs voor het volgende correspondentie-theorema: F is indirect reflexief F ϕ ϕ Stel dat F = W, R indirect reflexief is. Zij M = W, R, V een willekeurige model op F en w W een willekeurige wereld. Stel dat M, w ϕ. Aangezien F indirect reflexief is, is er een wereld v met wrv en vrw. Omdat vrw en M, w ϕ, volgt M, v ϕ. Omdat wrv en M, v ϕ, volgt M, w ϕ. Dus: M, w ϕ ϕ 19

20 Opgave Noem een modelstructuur M = W, R indirect reflexief dan en slechts dan als w v(wrv vrw). Geef een bewijs voor het volgende correspondentie-theorema: F is indirect reflexief F ϕ ϕ Stel dat F = W, R niet indirect reflexief. Dan is er een wereld w zodanig dat voor alle v met wrv geldt: niet vrw. Beschouw M = W, R, V met p V(x) desda x = w. Dan: M, w p en M, w p (want voor alle v met wrv geldt M, v p) Daaruit volgt: M, w p p Dus: F p p 20

21 Zij C een modaal definieerbare verzameling modelstructuren, waarbij ϕ L m de karakteriserende formule is. Dan geldt voor alle modelstructuren F : F C desda F ϕ. Is het mogelijk dat er een modelstructuur F C met een valuatie V op F zodanig dat ϕ in het resulterende model M = W, R V geldig is? - Ja! Voorbeeld F reflexief desda F ϕ ϕ Bekijk het volgende model M dat op een niet-reflexieve modelstructuur gebaseerd is. Het geldt: M p p. (p) w v (p) 21

22 Verschillende modaliteiten epistemisch doxastisch deontisch temporeel Verschillende principes Naam Principe Modelstructuren D ϕ ϕ voortzettend T ϕ ϕ reflexief B ϕ ϕ symmetrisch 4 ϕ ϕ transitief 5 ϕ ϕ euclidisch 22

23 Niet-karakteriseerbaarheid De klasse van irreflexieve intransitieve asymmetrische anti-symmetrische universele modelstructuren is niet modaal definieerbaar. 23

24 Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Een bisimulatie tussen M en M is een relatie Z W W zodanig dat als wzw, dan V(w) = V(w ); als wzw en wrv, dan is er een v z.d.d. w R v en vzv ; R w v Z R w Z als wzw en w R v, dan is er een v z.d.d. wrv en vzv. R w v Z v v R w Z 24

25 Voorbeeld 0 (p) 1 (p) 2 (p) 3 (p)... a (p) P Z = {< 0, a >, < 1, a >, < 2, a >, < 3, a >,... } 25

26 Opgave Laat zien dat er geen bisimulatie bestaat tussen de werelden v en a door een formule te geven die waar is in één van deze werelden v en a, en onwaar in de andere. w v u ( ) ( ) (p) M, v p M, a p a b ( ) (p) 26

27 theorema Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Zij Z W W een bisimulatie tussen M en M. Als < w, w > Z, dan geldt voor alle formules ϕ L m : M, w ϕ desda M, w ϕ Complete bisimulatie Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Een bisimulatie Z W W tussen M en M heet compleet voor M desda voor alle w W is er een w W met wzw. 27

28 Zijn M = W, R, V en M = W, R, V Kripke modellen. Zij Z W W een bisimulatie tussen M en M die compleet is voor M. Dan geldt: M ϕ M ϕ Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Als er voor elke valuatie V op F een valuatie V op F is zodanig dat er een bisimulatie Z W W tussen de resulterende modellen M = W, R, V en M = W, R, V is die compleet is voor M, dan geldt: F ϕ F ϕ 28

29 Niet-karakteriseerbaarheid Gegenereerde subframes Zij F = W, R een modelstructuur en zij w W een wereld. Zij R = {< w, v >: er zijn u 1,..., u n z.d.d. wru 1 R... Ru n Rv}. Het w-gegenereerde subframe van F is de modelstructuur F w = W w, R w, waarbij Ww = {v W : v = w of wr v} en Rw = R (W w W w ) = {< v, w > R : v R w en w R w }. Voorbeeld: v F t v F w t w u w 29

30 Niet-karakteriseerbaarheid Disjoint unions Zijn F 1 = W 1, R 1 en F 2 = W 2, R 2 modelstructuren. De disjoint union van F 1 en F 2 is de modelstructuur F 1 F 2 = W, R, waarbij W = {(w, i) : w Wi, i {1, 2}} R = {< (w, i), (v, i) >: wri v, i {1, 2}} Voorbeeld: F 1 v w w t F 2 F 1 F 2 (v, 1) (w, 1) (w, 2) (t, 2) 30

31 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfisme Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Een p-morfisme tussen F en F is een functie f : W W zodanig dat f is een surjectie; als wrv, dan f(w)r f(v); v R w f f v w R als f(w)r v, dan is er een v W met wrv en f(v) = v. v R w f f v w R p p 31

32 Niet-karakteriseerbaarheid P-morfismen Voorbeeld: a f(n) = a voor alle n N 32

33 Niet-karakteriseerbaarheid Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. F het w-gegenereerde subframe F w van F Als F de disjoint union F F er een p-morfisme f : W W tussen F en F dan geldt voor alle formules ϕ L m : F ϕ F ϕ is, Bewijs: Voor elke valuatie V op F is er een valuatie V op F zodanig {< v, v >: v F } dat er een bisimulatie Z = {< w, (w, i) >: w W} {< w, f(w) >: w W} tussen de resulterende modellen M = W, R, V en M = W, R, V is die compleet is voor M. 33

34 Niet-karakteriseerbaarheid Zijn F = W, R en F = W, R modelstructuren. Zij C een klasse van modelstructuren met F C en F C. F het w-gegenereerde subframe F w van F Als F de disjoint union F F is, er een p-morfisme f : W W tussen F en F dan is de klasse C niet modaal definieerbaar. Bewijs: Stel dat de klasse C modaal definieerbaar was. Dan is er een karakteriserende formule ϕ zodanig dat voor alle modelstructuren F geldt: F ϕ desda F C Aangezien F C geldt: F ϕ. Daaruit volgt: F ϕ Aangezien F C volgt dat ϕ geen karakteriserende formule voor de klasse C zijn kan. 34

35 Niet-karakteriseerbaarheid Opgave Neem de volgende frame eigenschap: F heet verschillig dan en slechts dan als w v(w v wrv). Bewijs dat deze eigenschap niet modaal definieerbaar is. Zij F = W, R een verschillige modelstructuur. De disjoint union F F = W, R met W = {(w, i) : w W, i {1, 2}} en R = {< (w, i), (v, i) >: wrv, i {1, 2}} is niet verschillig. Voor alle werelden w W geldt: (w, 1) (w, 2) en < (w, 1), (w, 2) > R 35

36 De minimale normale modale logica K Axioma s alle tautologieën van de propositielogica (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (K-axioma) ϕ ϕ (Def. ) Afleidingsregels Substitutie: Als ϕ, dan ψ voor elke instantie ψ van ϕ Modus Ponens: Als ϕ ψ en ϕ, dan ψ Necessitatie: Als ϕ, dan ϕ 36

37 voor de modale logica Uitbreidingen van het systeem K Naam Systeem Modelstructuren K K alle D KD voortzettend T KT reflexief B KB symmetrisch 4 K 4 transitief 5 K 5 euclidisch S4 KT 4 reflexief + transitief S5 KTB4 reflexief + symmetrisch + transitief Zwakke S5 KD45 voortzettend + transitief + euclidisch Let op: S5 = KTB4 = KT45 = KT5 37

38 Uitbreidingen van het systeem K KT45 KD45 K45 KT4 KD4 KT KD K 38

39 Deductie De -aanname... ϕ ϕ ϕ. M, w ϕ wrv : M, v ϕ vrt : M, t ϕ 39

40 : Het systeem K De modale operatoren en -intro -elim -intro Def.. ϕ... ϕ ϕ ϕ. ϕ ψ ϕ. ψ ϕ... ϕ ϕ... ϕ 40

41 Deductie Herhalingen toegestaan. ϕ ψ. ϕ.. ϕ niet toegestaan. ϕ.. ϕ. ϕ. 41

42 Uitbreidingen van het systeem K D T B 4 5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 42

43 Afgeleide regels ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ CP ϕ ψ ψ ϕ 43

44 Opgave Geef een afleiding in natuurlijke (met de regels van het systeem K) voor ( p (p q)) q. 1 p (p q) (Aann.) 2 p ( -elim, 1) 3 (p q) ( -elim), 1 4 ( ) 5 p q (Aann.) 6 p ( -elim, 2+4) 7 q ( -elim, 5+6) 8 q ( -intro, ) 9 ( p (p q)) q ( -intro, 1+8) 44

45 Een informele afleiding in systeem S bestaat uit een reeks van opeenvolgend genummerde modaallogische formules voorzien van een rechtvaardiging, waarbij we tot een rechtvaardiging in S van ϕ met nummer n rekenen. ϕ is een instantie van een axioma van systeem S. (Ax.) ϕ kan worden verkregen uit de formule ψ met nummer m < n door toepassing van de definitie van. (Def.,m) ϕ kan worden verkregen uit de formule ϕ met nummer m < n door het vervangen van minstens één voorkomen van θ in ϕ door ψ en ψ θ. (ψ θ,m) ϕ volgt volgens de regels van de propositielogica uit de formules met nummers m 1,..., m n, m i < n. (m 1,..., m n ) ϕ = ψ, waarbij ψ de formule met nummer m < n is en ψ van geen aannames afhangt. (Nec,m) ϕ is een aanname. (Aann.) 45

46 De axioma s van het systeem K alle tautologieën van de propositielogica (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (K-axioma) Def. & Def. ϕ := ϕ ϕ := ϕ Regels van de propositielogica regels voor de logische connectieven als ϕ ψ, dan ψ ϕ als ϕ ψ en ψ θ, dan ϕ θ als ϕ ψ en ϕ θ, dan ϕ (ψ θ) 46

47 Volledigheid Correctheid Alles wat bewijsbaar is, is ook geldig. Volledigheid Γ ϕ Γ ϕ Alles wat geldig is, is ook bewijsbaar. Γ ϕ Γ ϕ Γ ϕ Γ ϕ 47

48 Correctheid Correctheidsstelling: Γ S ϕ Γ CS ϕ Γ K ϕ Γ ϕ Γ D ϕ Γ CD ϕ Γ T ϕ Γ CT ϕ Γ B ϕ Γ CB ϕ Γ 4 ϕ Γ C4 ϕ Γ 5 ϕ Γ C5 ϕ Γ S4 ϕ Γ CT C 4 ϕ Γ S5 ϕ Γ CT C B C 4 ϕ Γ KD45 ϕ Γ CD C 4 C 5 ϕ 48

49 Correctheid Γ K ϕ Γ ϕ Als Γ K ϕ, dan M w(m, w Γ M, w ϕ). Bewijs: inductie op de lengte van een bewijs Laat zien dat elke instantie van een afleidingsregel een geldige gevolgtrekking is. 49

50 Volledigheid Volledigheidsstelling: Γ CS ϕ Γ S ϕ Γ ϕ Γ K ϕ Γ CD ϕ Γ D ϕ Γ CT ϕ Γ T ϕ Γ CB ϕ Γ B ϕ Γ C4 ϕ Γ 4 ϕ Γ C5 ϕ Γ 5 ϕ Γ CT C 4 ϕ Γ S4 ϕ Γ CT C B C 4 ϕ Γ S5 ϕ Γ CD C 4 C 5 ϕ Γ KD45 ϕ 50

51 Volledigheid Γ ϕ Γ K ϕ Als M w(m, w Γ M, w ϕ), dan Γ K ϕ. Γ K ϕ Γ ϕ Als Γ K ϕ, dan is er een model M en een wereld w zodanig dat M, w Γ en M, w ϕ. Voor alles dat niet bewijsbaar is, is er een tegenmodel. 51

52 Volledigheid: Consistentie S-consistente verzameling Een verzameling formules Γ L m is S-consistent Γ S. Maximaal S-consistente verzameling desda Een S-consistente verzameling Γ is maximaal S-consistent desda voor alle ϕ L m geldt: ϕ Γ of ϕ Γ. Lindenbaum Lemma Elke S-consistente verzameling van formules Γ L m kan worden uitgebreid tot een maximaal S-consistente verzameling. 52

53 Volledigheid: Consistentie Opgave De volgende afleidingsregel is correct voor voortzettende modelstructuren. Het is een alternatief voor regel D: ( ) Laat zien met behulp van deze regel dat de verzameling { p, p} niet KD4-consistent is.. 53

54 Volledigheid: Consistentie Opgave 1 p (Prem.) 2 p (Prem.) 3 p (4, 2) 4 ( ) 5 p ( -elim, 1+4) 6 p ( -elim, 3+4) 7 ( ) 8 p ( -elim, 5+7) 9 p ( -elim, 6+7) 10 ( -elim, 8+9) 11 ( -intro, 7+10) 12 (, 11) 13 ( -intro, 4+12) 14 (, 13) 54

55 Volledigheid: Kanoniek model Het S-kanoniek model Het S-kanonieke model is het Kripke-model M S = W S, R S, V S waarbij WS = {Γ L m : Γ is maximaal S-consistent}; < Γ, Γ > R S desda voor alle ϕ L m : ϕ Γ ϕ Γ ; p VS (Γ) desda p Γ. Waarheidslemma Zij M S = W S, R S, V S het S-kanonieke Kripke-model en zij Γ W S. Dan geldt: M S, Γ ϕ desda ϕ Γ 55

56 Volledigheid van het systeem K ϕ K ϕ Bewijs: contrapositie Stel K ϕ. Dan is { ϕ} K-consistent. Op grond van het Lindenbaum lemma kan { ϕ} worden uitgebreid tot een maximaal K-consistente verzameling Γ. Op grond van het waarheidslemma volgt: M K, Γ en M K, Γ ϕ. Dus: M K, Γ en M K, Γ ϕ. Daaruit volgt: ϕ 56

57 Volledigheid lemma Zij M S = W S, R S, V S het S-kanonieke Kripke-model. Als D een regel van S is, dan is RS voortzettend. Als T een regel van S is, dan is RS reflexief. Als B een regel van S is, dan is RS symmetrisch. Als 4 een regel van S is, dan is RS transitief. Als 5 een regel van S is, dan is RS euclidisch. 57