Maak automatisch een geschikte configuratie van een softwaresysteem;

Transcriptie

1 Joost Vennekens Technologiecampus De Nayer We zijn geïnteresseerd in het oplossen van combinatorische problemen, zoals bijvoorbeeld: Bereken een lessenrooster die aan een aantal voorwaarden voldoet; Stel een productieplanning op waarmee een aantal artikelen tijdig geproduceerd kunnen worden; Maak automatisch een geschikte configuratie van een softwaresysteem; Al deze problemen hebben een gelijkaardige vorm: het is de bedoeling om een (= lessenrooster, productieplanning, configuratie, ) te berekenen die voldoet aan een aantal. Er bestaan verschillende algoritmes waarmee dergelijke problemen kunnen worden opgelost. Een nadeel van deze algoritmes is dat ze in elke specifieke context (deels) opnieuw geïmplementeerd moeten worden: je hebt een ander programma nodig om lessenroosters te berekenen dan om software te configureren. De bedoeling van het IDP systeem om een generieke oplossingsmethode voor dergelijke problemen aan te bieden. Je geeft het IDP systeem als invoer een beschrijving van welke toestanden berekend moeten worden en aan welke voorwaarden deze toestanden moeten voldoen, en het systeem berekent dan zelf de oplossing. We gebruiken het oplossen van Sudoku puzzels als een eenvoudig voorbeeld. De toestanden die hier berekend moeten worden zijn 9x9 roosters van cijfers tussen 1 en 9. Vooraleer we in de volgende sectie bekijken hoe we de van Sudoku (= de voorwaarden waaraan deze roosters moeten voldoen) kunnen voorstellen, bekijken we in deze sectie hoe we de structuur van deze roosters zélf aan IDP kunnen duidelijk maken. Hierbij moeten we een onderscheid maken tussen twee verschillende stukken informatie: We moeten IDP vertellen hoe we Sudoku puzzels in het algemeen kunnen voorstellen; Daarna moeten we IDP ook één specifieke opgave kunnen geven, als concrete van het algemene probleem. Om het eerste klaar te spelen, moeten we een declareren. Het tweede zullen we dan kunnen doen door een specifieke voor dit vocabularium op te stellen. 1

2 Een vocabularium bepaalt welke symbolen we gaan gebruiken om het probleem te beschrijven. We onderscheiden drie soorten symbolen: bepalen over welke soorten van objecten we zullen spreken; leggen verbanden tussen een aantal van deze objecten; beelden tuples van deze objecten af op een ander object. In de voorstelling van Sudoku die wij zullen gebruiken, hebben we twee types nodig: een type waarmee we de kolom en rij indices van het rooster zullen voorstellen en een type waarmee we de cijfers zullen voorstellen die kunnen worden ingevuld. We noteren dit in IDP syntax heel eenvoudig als: type Index isa int type Waarde isa int De isa int uitdrukkingen geven aan dat deze twee types allebei overerven van het ingebouwde type int. Het netto effect hiervan is dat het mogelijk zal zijn om rekenkundige operaties (+,, /, ) te gebruiken op de elementen van deze types. Aangezien we een vakje van het rooster dus zullen voorstellen door een paar (i, j) waarbij i, j Index, zal het eenvoudig zijn om te zien wanneer twee zo n vakjes in dezelfde rij of kolom liggen. Daarnaast zullen we ook nog moeten weten wanneer ze in hetzelfde kleine 3x3 vierkant liggen. Hiervoor introduceren we de relatie InZelf degroep, die dus een verband zal leggen tussen bepaalde vakjes (i, j) en (i, j ), waarbij i, j, i, j Index. Deze relatie legt dus eigenlijk een verband tussen vier indices. We zeggen dat de relatie vier argumenten heeft, en dat elk van deze argumenten van het type Index is. In IDP syntax schrijven we dit zo: InZelfdeGroep(Index,Index,Index,Index) Tot slot moeten we ook nog weten welke cijfers in welke vakjes staan ingevuld. Dit doen we door middel van een functie die een cel (dwz. een paar van indices) afbeeldt op een waarde. We noteren dit zo: Inhoud(Index,Index) : Waarde Ons vocabularium is nu volledig. We kunnen dit als volgt aan IDP geven: vocabulary SudokuVoc { type Index isa int type Waarde isa int InZelfdeGroep(Index,Index,Index,Index) Inhoud(Index,Index) : Waarde Hierbij we hebben we ons vocabularium ook een naam moeten geven in dit geval: SudokuV oc. 2

3 Het vocabularium dat we net hebben opgesteld, laat ons toe om eender welke Sudoku voor te stellen. Om nu één concrete Sudoku aan IDP te geven, moeten we een zogenaamde maken voor dit vocabularium. We gaan om te beginnen nog geen Sudoku s oplossen, maar we beperken ons tot het eenvoudigere probleem van controleren of een gegeven oplossing wel degelijk correct is. De structuur die we gaan maken zal dus geen opgave beschrijven, maar wel een oplossing. Een structuur voor een vocabularium maak je door aan elk symbool uit dit vocabularium een te geven. Wat deze interpretatie juist is, hangt ervan af over welk soort symbool het gaat: Voor elk geef je een opsomming van alle waarden die tot dit type behoren; Voor elke geef je een opsomming van alle tupels waarvoor deze relatie geldt; Voor elke geef je voor elke mogelijke combinatie van argumenten de functiewaarde. Aan de twee types geven we de volgende invulling: Index = { 0..8 Waarde = { De notatie { is hierbij gewoon een afkorting voor de verzameling { 0,1,2,3,4,5,6,7,8. Voor de relatie InZelfdeGroup moeten we alle 4-tupels (i, j, i, j ) opsommen, waarvoor geldt dat cel (i, j) in hetzelfde 3x3 rooster ligt als cel (i, j ). Dit resulteert natuurlijk in een nogal lange opsomming. (Later in deze tekst gaan we zien dat dit ook op een kortere manier kan.) De verschillende tupels van de opsomming worden van elkaar gescheiden door puntkomma s, terwijl verschillende elementen van één tupel van elkaar gescheiden worden door komma s. InZelfdeGroup = { 0,0,0,0; 0,0,0,1; 0,0,0,2; 0,1,0,0; 0,1,0,1; 0,1,0,2;... Tot slot moeten we ook de functie Inhoud opsommen: Inhoud = { 0,0 -> 6; 0,1 -> 4; 0,2 -> 3;... Al deze informatie samen komt nu terecht in een structuur, die we een naam geven (Sudoku1) en waarbij we moeten verwijzen naar het vocabularium dat we eerder gedeclareerd hebben. structure Sudoku1 : SudokuVoc { Index = {

4 Waarde = { InZelfdeGroep = { 0,0,0,0; 0,0,0,1; 0,0,0,2; 0,1,0,0; 0,1,0,1; 0,1,0,2;... Inhoud = { 0,0 -> 6; 0,1 -> 4; 0,2 -> 3;... Nu we een ingevuld Sudokurooster kunnen voorstellen in IDP, kunnen we gaan controleren of dit rooster aan de vereiste voorwaarden voldoet. Deze voorwaarden worden in IDP voorgesteld door. Een verzameling van dergelijke formules wordt een genoemd. Vooraleer we de echte Sudoku voorwaarden beschouwen, beginnen we met enkele eenvoudigere voorbeeldjes. De eenvoudigste soort formules die we kunnen schrijven, zijn atomaire formules. Hiermee kunnen we bijvoorbeeld uitdrukken dat een bepaald tupel tot een relatie moet behoren, of dat een functie voor een bepaald tupel een bepaalde waarde moet hebben. Een is bijvoorbeeld InZelfdeGroep(0, 0, 0, 1). Deze atomaire formule drukt uit dat het tupel (0, 0, 0, 1) tot de relatie InZelfdeGroep behoort (maw. de cel (0, 0) en de cel (0, 1) zitten in hetzelfde 3x3 vierkant). Een is bijvoorbeeld Inhoud(0, 0) = 1. Deze atomaire formule drukt uit dat de functiewaarde van de functie Inhoud op het tupel (0, 0) gelijk is 1 (maw. de cel (0, 0) bevatde waarde 1). Aan een atomaire formule kunnen we een waarheidswaarde (waar/onwaar) toekennen in elke structuur voor een vocabularium dat de symbolen uit de atomaire formule bevat. Voor een atomaire relatie-formule is dat gewoon een kwestie van op te zoeken of het tupel in kwestie voorkomt in de interpretatie van de relatie. Voor een atomaire functie-formule moeten we nakijken of de functiewaarde van het tupel in de interpretatie van de functie dezelfde is als de opgegeven waarde. Om aan te geven dat een formule F de waarheidswaarde waar heeft in een structuur S, gebruiken we ook wel de notatie S = F. Als dit niet zo is (en F dus onwaar is in S), schrijven we S = F. 4

5 Met onze voorbeeldstructuur Sudoku1 uit de vorige sectie, is het dan bijvoorbeeld zo dat: Sudoku1 = InZelf degroep(0, 0, 0, 1) Sudoku1 = Inhoud(0, 0) = 6 We kunnen ingewikkeldere formules construeren door atomaire formules te combineren door middel van de gekende booleaanse operatoren en, of en niet. Onderstaande tabel toont voor deze operatoren de notatie die in IDP gebruikt wordt, samen met hun wiskundige notatie: Operator IDP Wiskunde niet en & of Een voorbeeld is de formule: InZelfdeGroep(0,0,0,1) & ~Inhoud(0,0) = 6 InZelfdeGroep(0,0,8,8) De verschillende operatoren staan in bovenstaande tabel gerangschikt van hoge prioriteit naar lage, wat betekent dat bovenstaande formule dezelfde is als: (InZelfdeGroep(0,0,0,1) & (~Inhoud(0,0) = 6)) InZelfdeGroep(0,0,8,8) Aangezien we voor elk van de atomaire formules een waarheidswaarde kunnen bepalen in een gegeven structuur, kunnen we ook voor deze hele formule eenvoudig een waarheidswaarde bepalen. Dit gebeurt aan de hand van de gekende waarheidstabellen voor de booleaanse operatoren: F G F & G waar waar waar waar onwaar onwaar onwaar waar onwaar onwaar onwaar onwaar Voor bovenstaande formule zien we dus dat: F G F G waar waar waar waar onwaar waar onwaar waar waar onwaar onwaar onwaar F waar onwaar F onwaar waar Sudoku1 = InZelfdeGroep(0, 0, 0, 1) & Inhoud(0, 0) = 6 InZelfdeGroep(0, 0, 8, 8). aangezien: waar & ~onwaar onwaar reduceert tot waar. In deze formule komt de negatie van een gelijkheid voor. In plaats hiervan kunnen we ook de ongelijkheidsoperator ~= gebruiken: ~Inhoud(0,0) = 6 is hetzelfde als Inhoud(0,0) ~= 6. Uit deze drie booleaanse operatoren worden ook nog volgende operatoren afgeleid: Operator Notatie Betekenis als, dan F => G ~F G als en slechts als F <=> G F & G ~F & ~G 5

6 Ook hier staan deze operatoren in volgorde van dalende prioriteit en hun prioriteit is beide lager dan die van de of. De als, dan operator drukt uit dat als F waar is, ook G waar is. De enige manier waarop een formule F => G ooit onwaar kan zijn, is als F waar is, maar G niet. (Merk op dat als F niet waar is, de waarheidswaarde van G dus irrelevant is: F => G is dan sowieso waar.) De als en slechts als operator drukt uit dat F waar is als en slechts als G waar is. Een formule F <=> G is dus waar als en slechts als F en G dezelfde waarheidswaarde hebben. Om interessantere formules te kunnen uitdrukken, moeten we in staat zijn om niet enkel dingen te zeggen over bv. één specifieke cel, maar zouden we iets moeten kunnen zeggen over alle cellen. Hiervoor dienen de : Operator IDP Wiskunde Voor alle! Er bestaat? We illustreren het gebruik van de voor alle kwantor door volgende eigenschap uit te drukken: Voor elk viertal (i, j, i, j ) zodat cellen (i, j) en (i, j ) tot dezelfde groep behoren, geldt dat de inhoud van cel (i, j) verschillend moet zijn van de inhoud van cel (i, j ). IDP kent een aantal verschillende varianten van de voor alle kwantor. We kunnen elk van deze varianten gebruiken om bovenstaande eigenschap uit te drukken.! x[type]: Voor alle objecten van een bepaald type!i[index] j[index] i2[index] j2[index]: InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) => Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2).! (x,y) in Relatie: Voor alle (tuples van) objecten uit een bepaalde relatie! (i,j,i2,j2) in InZelfdeGroep: Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2).! (x,y) sat Relatie(x,y): Voor alle (tuples van) objecten die voldoen aan een bepaalde voorwaarde! (i,j,i2,j2) sat InZelfdeGroep(i,j,i2,j2): Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2). Merk op dat we in het eerste item gebruik maken van de als, dan operator om ervoor te zorgen dat de voorwaarde Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2) enkel maar wordt toegepast op die tupels (i,j,i2,j2) waarvoor InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) voldaan is. Voor de andere tuples is de als, dan -uitdrukking immers sowieso voldaan, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de ongelijkheid Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2). Dit is een vaak voorkomend patroon. De er bestaat kwantor kent dezelfde varianten. We illustreren dit, gebruikmakend van volgende eigenschap: Er bestaat een viertal (i, j, i, j ) zodat cellen (i, j) en (i, j ) tot dezelfde groep behoren de inhoud van cel (i, j) gelijk is aan de inhoud van cel (i, j ). 6

7 ? x[type]: Er bestaan objecten van een bepaald type?i[index] j[index] i2[index] j2[index]: InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) & Inhoud(i,j) = Inhoud(i2,j2).? (x,y) in Relatie: Er bestaat een (tuple van) object(en) uit een bepaalde relatie? (i,j,i2,j2) in InZelfdeGroep: Inhoud(i,j) = Inhoud(i2,j2).? (x,y) sat Relatie(x,y): Er bestaat een (tuple van) object(en) dat voldoet aan een bepaalde voorwaarde? (i,j,i2,j2) sat InZelfdeGroep(i,j,i2,j2): Inhoud(i,j) = Inhoud(i2,j2). Nu maken we in het eerste item niet langer gebruik van de als, dan, maar wel van de en. Dit is logisch, aangezien de Nederlandse zin die we proberen voor te stellen op die plaats ook het woord en gebruikt. De combinatie van een er bestaat met een en is eveneens een veel voorkomend patroon. De aandachtige lezer heeft misschien al opgemerkt dat het voorbeeld dat we gebruikt hebben voor de er bestaat eigenlijk precies het omgekeerde zegt van het voorbeeld dat we bij de voor alle gebruikt hebben. Een andere manier om het tweede voorbeeld uit te drukken is dus door gewoon de negatie van het eerste voorbeeld te nemen (of andersom):!i[index] j[index] i2[index] j2[index]: InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) => Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2). = ~(?i[index] j[index] i2[index] j2[index]: InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) & Inhoud(i,j) = Inhoud(i2,j2)). Deze eigenschap lijkt heel erg op één van de spelregels van Sudoku, maar is er toch geen goede voorstelling van. We kunnen door IDP laten berekenen of deze formule bv. voldaan is in de structuur Sudoko1. Om dit te doen, moeten we eerst de formule in een theorie omvatten, waarbij we ook moeten aangeven in welk vocabularium deze theorie geschreven is (zodat IDP kan nagaan dat dit wel degelijk hetzelfde is als het vocabularium van onze structuur). theory SudRegel: SudokuVoc {!i[index] j[index] i2[index] j2[index]: InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) => Inhoud(i,j) ~= Inhoud(i2,j2). Merk op dat formules in IDP altijd beëindigd worden door een punt. Het IDP-systeem kan theorieën en structuren gebruiken om verschillende dingen mee te doen. Wat we juist willen dat IDP doet, moeten we programmeren in een procedure met de naam main. Om IDP te laten controleren of een bepaalde formule voldaan is in een bepaalde structuur gebruiken we volgende main procedure: 7

8 procedure main() { print(sat(sudregel,sudoku1)); De functie sat berekent hier of de gegeven theorie (dwz. voldaan) is in de gegeven structuur. Je kan het resultaat van deze berekening zelf eens bekijken door op Run te klikken in de online IDP IDE: http: //dtai.cs.kuleuven.be/krr/idp-ide/?src=67562f95dd9170d5665d269b87d7a7b9 Is het resultaat hier wat je verwacht? Om het resultaat te begrijpen, kan je IDP ook eens laten berekenen voor welke viertallen (i, j, i2, j2) de regel in kwestie niet voldaan is. Dit doe je door hiervoor een te definiëren: query Q: SudokuVoc { { i j i2 j2 : InZelfdeGroep(i,j,i2,j2) & Inhoud(i,j) = Inhoud(i2,j2) Een query beschrijft dus een verzameling van tuples in dit geval de verzameling van alle tuples (i, j, i2, j2) waarvoor geldt dat (i, j) en (i2, j2) in dezelfde groep zitten en de inhoud van (i, j) gelijk is aan dit van (i2, j2). Het is duidelijk dat als er zo n tuples bestaan, onze theorie SudRegel niet voldaan kan zijn. Om IDP deze verzameling van tuples te laten berekenen in de context van een gegeven structuur, gebruiken we volgende main procedure: procedure main() { print(query(q,sudoku1)); Probeer dit eens uit in de online IDP IDE en bekijk of je nu beter begrijpt waarom de theorie SudRegel niet voldaan was. Kan je de formule in deze theorie aanpassen, zodat dit probleem opgelost wordt? We hebben tot dusver enkel nog maar gekeken naar de Sudoku spelregel aangaande de 3x3 vierkanten. Er zijn natuurlijk ook nog beperkingen die gaan over de rijen en de kolommen. De beperking ivm. de rijen ziet er zo uit:! x[index] y[index] z[index]: z ~= y => Inhoud(x,y) ~= Inhoud(x,z). Hoe ziet de gelijkaardige beperking ivm. de kolommen er juist uit? Tot dusver hebben we enkel gekeken hoe we een gegeven Sudoku oplossing kunnen controleren op correctheid. Het is natuurlijk interessanter om ook Sudoku s te kunnen oplossen. Om dit te kunnen doen, moeten we ons vocabularium aanpassen: tot dusver spraken we enkel maar over 8

9 de Inhoud van de cellen, maar nu zullen we zowel over de inhoud als over de inhoud moeten spreken. We passen ons vocabularium als volgt aan: vocabulary SudokuVoc { type Index isa int type Waarde isa int InZelfdeGroep(Index,Index,Index,Index) Opgave(Index,Index) : Waarde Oplossing(Index,Index): Waarde Net zoals wiskundige functies, zijn functies in IDP normaalgezien, dwz. dat ze een functiewaarde produceren voor elk element in hun domein. Voor de functie Opgave geeft dit een probleem: deze functie heeft voor sommige paren (i, j) natuurlijk geen waarde. We kunnen dit probleem op verschillende manieren oplossen. Een eenvoudige oplossing is om het type W aarde een extra element te geven (bv. het cijfer 0, zodat Waarde = {0..9) en dit te gebruiken als inhoud van de lege vakjes. Hieronder zie je een opgave met de bijhorende interpretatie voor de functie Opgave Opgave = { 0,0->0; 0,1->0; 0,2->0; 0,3->0; 0,4->7; 0,5->0; 0,6->0; 0,7->2; 0,8->0; 1,0->8; 1,1->0; 1,2->0; 1,3->0; 1,4->0; 1,5->0; 1,6->0; 1,7->0; 1,8->6; 2,0->0; 2,1->1; 2,2->0; 2,3->2; 2,4->0; 2,5->5; 2,6->0; 2,7->0; 2,8->0; 3,0->9; 3,1->0; 3,2->5; 3,3->4; 3,4->0; 3,5->0; 3,6->0; 3,7->0; 3,8->8; 4,0->0; 4,1->0; 4,2->0; 4,3->0; 4,4->0; 4,5->0; 4,6->0; 4,7->0; 4,8->0; 5,0->3; 5,1->0; 5,2->0; 5,3->0; 5,4->0; 5,5->8; 5,6->5; 5,7->0; 5,8->1; 6,0->0; 6,1->0; 6,2->0; 6,3->3; 6,4->0; 6,5->2; 6,6->0; 6,7->8; 6,8->0; 7,0->4; 7,1->0; 7,2->0; 7,3->0; 7,4->0; 7,5->0; 7,6->0; 7,7->0; 7,8->9; 8,0->0; 8,1->7; 8,2->0; 8,3->0; 8,4->6; 8,5->0; 8,6->0; 8,7->0; 8,8->0 De oplossing van deze Sudoku ziet er als volgt uit:

10 Dit komt overeen met de volgende interpretatie voor de functie Oplossing: Oplossing = { 0,0->5; 0,1->9; 0,2->4; 0,3->8; 0,4->7; 0,5->6; 0,6->1; 0,7->2; 0,8->3; 1,0->8; 1,1->2; 1,2->3; 1,3->9; 1,4->1; 1,5->4; 1,6->7; 1,7->5; 1,8->6; 2,0->6; 2,1->1; 2,2->7; 2,3->2; 2,4->3; 2,5->5; 2,6->8; 2,7->9; 2,8->4; 3,0->9; 3,1->6; 3,2->5; 3,3->4; 3,4->2; 3,5->1; 3,6->3; 3,7->7; 3,8->8; 4,0->7; 4,1->8; 4,2->1; 4,3->6; 4,4->5; 4,5->3; 4,6->9; 4,7->4; 4,8->2; 5,0->3; 5,1->4; 5,2->2; 5,3->7; 5,4->9; 5,5->8; 5,6->5; 5,7->6; 5,8->1; 6,0->1; 6,1->5; 6,2->9; 6,3->3; 6,4->4; 6,5->2; 6,6->6; 6,7->8; 6,8->7; 7,0->4; 7,1->3; 7,2->6; 7,3->5; 7,4->8; 7,5->7; 7,6->2; 7,7->1; 7,8->9; 8,0->2; 8,1->7; 8,2->8; 8,3->1; 8,4->6; 8,5->9; 8,6->4; 8,7->3; 8,8->5 Deze interpretatie gaan we nu echter niet geven aan IDP, maar we gaan IDP deze zelf laten berekenen. Hiervoor gebruiken we de inferentietaak van. Deze taak is als volgt gedefinieerd: : Een vocabularium V, een theorie T in dit vocabularium V, een structuur S die het vocabularium V interpreteert : Een structuur S voor het volledige vocabularium V die een uitbreiding vormt van de structuur S (dwz. dat elk symbool dat al geïnterpreteerd werd door S ook op dezelfde manier geïnterpreteerd wordt door S ), zodat de theorie T voldaan is in S. Deze inferentietaak kunnen we uitvoeren met volgende main procedure: procedure main() { stdoptions.nbmodels = 1 printmodels(modelexpand(sudregels,sudoku1)) Deze code berekent één mogelijke modelexpansie van de gegeven structuur. Door stdoptions.nbmodels gelijk te stellen aan 0, laat je alle mogelijke modelexpansies berekenen. De theorie die we hiervoor nodig hebben, moet volgende beperkingen uitdrukken: Twee verschillende cellen in dezelfde rij hebben een verschillende inhoud in de oplossing; Twee verschillende cellen in hetzelfde 3x3 vierkant hebben een verschillende inhoud in de oplossing; Twee verschillende cellen in dezelfde kolom hebben een verschillende inhoud in de oplossing; In de oplossing heeft elke cel een waarde verschillend van 0; 10

11 Voor alle cellen waarvoor de opgave een inhoud heeft die verschillend is van 0, is de inhoud in de opgave en de inhoud in de oplossing dezelfde. Op deze URL: http: //dtai.cs.kuleuven.be/krr/idp-ide/?src=742ed49c9a0651f23d749b24fb59a09f vind je een IDP programma dat alle nodige componenten bevat, maar waarin de theorie alleen nog maar de eerste beperking uit bovenstaande lijst bevat. Voeg de andere beperkingen toe en ga na dat de correcte oplossing (en alleen maar deze) geproduceerd wordt. In plaats van de relatie InZelfdeGroep op te sommen in de structuur, kan je deze ook laten berekenen door IDP. Hiervoor moet je dan een geschikte formule toevoegen aan de theorie. Deze formule moet uitdrukken dat een viertal (i, j, i2, j2) tot de relatie InZelfdeGroep behoort als en slechts als er aan een bepaalde voorwaarde tussen i en i2, en j en j2 voldaan is. Probeer deze formule op te stellen. : Om deze formule te kunnen opschrijven, moet je gebruik maken van gehele deling (zodat bv. 7/2 = 3). Deze operator zit echter niet ingebouwd in IDP. De gehele deling van x door y schrijf je in IDP als (x x%y)/y (de % operator berekent de rest bij gehele deling). De volledige Sudoku oplosser in IDP ziet er nu zo uit: 11