Logic for Computer Science

Transcriptie

1 Logic for Computer Science 06 Normaalvormen en semantische tableaux Wouter Swierstra University of Utrecht 1

2 Vorige keer Oneindige verzamelingen 2

3 Vandaag Wanneer zijn twee formules hetzelfde? Zijn er ook alternatieven voor waarheidstabellen? 3

4 Normaalvorm Er zijn heel veel verschillende propositionele formules met precies dezelfde waarheidstafel: p q; p q; ( p q); Dit maakt het soms lastig om equivalentie van twee formules vast te stellen, zonder een hele waarheidstabel uit te schrijven. 4

5 Normaalvorm Er zijn heel veel verschillende propositionele formules met precies dezelfde waarheidstafel: p q; p q; ( p q); Dit maakt het soms lastig om equivalentie van twee formules vast te stellen, zonder een hele waarheidstabel uit te schrijven. Een normaalvorm is een (unieke) representatie van mathematisch object. 4

6 Normaalvorm Voorbeeld: We kunnen elke polynoom van één variabele schrijven in de vorm: a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Dan is x + 2x 2 wel een normaalvorm; Maar (x + 3)(2x + 4) niet; Als we willen weten of twee functies hetzelfde zijn, kan dat eenvoudig door de normaalvormen te vergelijken. 5

7 Normaalvorm Zijn (x + 2)(x + 1) en 5x x(x 2) gelijke functies? 6

8 Normaalvorm Zijn (x + 2)(x + 1) en 5x x(x 2) gelijke functies? Laten we ze allebei als normaalvorm schrijven: (x + 2)(x + 1) = 2 + 3x + x 2 5x x(x 2) = 2 + 3x + x 2 De normaalvormen zijn gelijk dus zijn deze functies ook gelijk. Wat is een geschikte normaalvorm voor propositionele formules? 6

9 Literals Een literal is een atomaire propositie (zoals P), of de negatie van een propositieletter, bijvoorbeeld: p, q, r, r Literals = {p, p p is een propositieletter} Als ϕ is een literal, dan ϕ is het complement van ϕ. p = p en p = p (Hier ben ik weer wat losser met het onderscheid tussen atomaire proposities en metavariabelen) 7

10 Normaalvormen Disjunctieve normaalvorm (DNF) Disjunctie van conjuncties van literals (r q r) ( q s t) ( p r) Conjunctieve normaalvorm (CNF) Conjunctie van disjuncties van literals (r q r) ( q s t) ( p r) Dit zijn twee verschillende normaalvormen die het makkelijker maken om proposities te vergelijken. 8

11 Disjunctieve normaalvormen (DNF) (r q r) ( q r) ( p r) Een DNF is vervulbaar dan en slechts dan als tenminste één onderdeel van de disjunctie vervulbaar is. Een component is vervulbaar dan en slechts dan als er geen complementair paar literals in voorkomt. Dus, een DNF is vervulbaar dan en slechts dan als een component geen complementair paar literals bevat. Een DNF is een contradictie dan en slechts dan als er geen component vervulbaar is. 9

12 Converteren naar DNF waarheidstabel (p q) p p q p q (p q) p F F T F F T T F T F F T T T T T Uit tabel lezen we af dat er zijn twee gevallen zijn waar de formule waar is: p en q p en q 10

13 Converteren naar DNF waarheidstabel (p q) p p q p q (p q) p F F T F F T T F T F F T T T T T Hieruit leiden we de volgende normaalvorm af: (p q) (p q) Zo kunnen we voor elke formule een DNF vinden. 11

14 Converteren naar DNF herschrijven 1. Elimineer A B ( A B) ( B A) 12

15 Converteren naar DNF herschrijven 1. Elimineer A B ( A B) ( B A) 2. Elimineer A B A B 12

16 Converteren naar DNF herschrijven 1. Elimineer A B ( A B) ( B A) 2. Elimineer A B A B 3. Pas distributieve wet toe: A (B C) (A B) (A C) (A B) C (A C) (B C) 12

17 Converteren naar DNF herschrijven 1. Elimineer A B ( A B) ( B A) 2. Elimineer A B A B 3. Pas distributieve wet toe: A (B C) (A B) (A C) (A B) C (A C) (B C) 4. Breng negatietekens binnen haakjes (A B) A B en (A B) A B 12

18 Converteren naar DNF herschrijven 1. Elimineer A B ( A B) ( B A) 2. Elimineer A B A B 3. Pas distributieve wet toe: A (B C) (A B) (A C) (A B) C (A C) (B C) 4. Breng negatietekens binnen haakjes (A B) A B en (A B) A B 5. Elimineer dubbele negaties A A 12

19 Conjunctieve normaalvormen (CNF) (r q r) ( q r t) ( p r) Een CNF is vervulbaar dan en slechts dan als alle componenten vervulbaar zijn. Een CNF is een tautologie dan en slechts dan als alle componenten tautologieen zijn. Een component is een tautologie dan en slechts dan als er een complementair paar literals in voorkomt. Dus, een CNF is een tautologie dan en slechts dan als in alle componenten een complementair paar literals voorkomen. 13

20 Converteren naar CNF met behulp van herschrijven Vraag: Hoe kunnen we deze formule schrijven in CNF? ( p ( q r)) s 14

21 Converteren naar CNF met behulp van herschrijven Vraag: Hoe kunnen we deze formule schrijven in CNF? ( p ( q r)) s ( p ( q r)) s s ( p ( q r)) ( p ( q r)) s s ( p ( q r)) ( p (q r)) s s ( p (q r)) ( p (q r)) s s ( p (q r)) ( p (q r)) s s ( p (q r)) (p ( q r)) s s ( p (q r)) ((p q) (p r)) s ( s p) ( s (q r)) ((p q) s) ((p r) s) ( s p) ( s (q r)) (p q s) (p r s) ( s p) ( s q r) 14

22 Converteren naar CNF via DNF Laat A een willekeurige propositie zijn. Converteer A naar DNF vorm, bijv. A = (p 1 p 2...) (q 1 q 2...)... CNF van A is dan A = ((p 1 p 2...) (q 1 q 2...)...) = (p 1 p2...) (q 1 q 2...)... = ( p 1 p 2...) ( q 1 q 2...)... 15

23 Toepassing: logische circuits 16

24 Van waarheidstafel naar circuit Gegeven een (waarheidstafel voor een) waarheidsfunctie R kunnen we op systematische manier een logisch circuit maken dat R realiseert: Beschouw alle rijen waarvoor v(r) = T Iedere rij levert een disjunct op die zelf bestaat uit een conjunctie van literals Vereenvoudig zo mogelijk mbv regels voor 17

25 Voorbeeld A B C R(A, B, C) F F F F F F T F F T F T F T T F T F F F T F T T T T F T T T T F 18

26 Voorbeeld A B C R(A, B, C) F F F F F F T F F T F T F T T F T F F F T F T T T T F T T T T F Deze procedure levert nu op voor R: ( A B C) (A B C) (A B C) Dit is logisch equivalent ( ) met: (B C) (A B C) 18

27 Alternatieve methoden om geldigheid formules te bepalen In de praktijk is het werken met waarheidstafels onhandig omdat ze erg groot worden in een beetje realistische toepassing: een waarheidstafel met n atomen heeft 2 n rijen. Voor 10 variabelen is dat al meer dan 1000 rijen veel te veel om met de hand uit te schrijven! Voor het vaststellen van geldigheid alle rijen te bekijken: (te)veel werk. Zoeken naar alternatieven: bijvoorbeeld door semantische tableaux en (natuurlijke) deductie. 19

28 Semantische tableaux 20

29 Model Een waarheidstoekenning aan de atomaire proposities van een propositionele formule ϕ zodanig dat ϕ waar is, wordt een model van de bewering ϕ genoemd. Bijvoorbeeld: als p waar is en q onwaar is, is dit een model van p q. 21

30 Tautologie, contradictie, contingent Een propositionele formule dat altijd waar is heet een tautologie. Voorbeeld: p p. Elke toekenning is een model. Een propositionele formule dat nooit waar is heet een contradictie. Voorbeeld: p p Geen enkele toekenning is een model. Een propositionele formule dat voor sommige waarden van de variabelen waar is en voor anderen onwaar is heet contingent. Voorbeeld: p q Sommige toekenningen zijn modellen. 22

31 Logisch gevolg Een formule ϕ is een logisch gevolg van de formule ψ, geschreven ψ ϕ als voor elke rij van de waarheidstabel waar ψ geldt, ϕ ook geldt. Dit kunnen we nog algemener maken: als we een verzameling formules ψ 1, ψ 2,..., ψ n hebben, geldt ψ 1, ψ 2,..., ψ n ϕ als voor die rijen van de waarheidstabel waar alle ψ i waar zijn, de formule ϕ ook waar is. 23

32 Semantische tableaux Een semantisch tableau is een (vertakkende) sequentie van propositionele formules, geconstrueerd volgens bepaalde regels, vaak gerepresenteerd in een boom of tabel. Deze methode levert modellen voor een formule als deze bestaan: ze geeft op systematische wijze aan welke atomen waar moeten worden gemaakt om een formule waar te maken, en geeft ook aan als dit niet kan! Voor complexe propositionele formules is deze methode vaak efficienter dan brute force invullen van waarheidstabellen. 24

33 Semantische tableaux Kan een verzameling proposities waar zijn, d.w.z. kan een verzameling proposities een model hebben. Voorbeeld: kan { p q, p } een model hebben? p q, p p q p p, q p closed Een semantische tableaux is een boom, waarbij we de formules opdelen: links staan de formules die waar moeten worden gemaakt; rechts staan de formules die onwaar moeten worden gemaakt: 25

34 Semantische tableaux Om vast te stellen of ψ ϕ maken we een semantische tableaux van de vorm: ψ ϕ We zoeken een tegenvoorbeeld waarbij ψ wel waar is, maar ϕ niet. Als we die niet vinden (en alle bladeren weten af te sluiten) is de oorspronkelijke bewering waar. Als de constructie van de semantische tableaux wel een tegenvoorbeeld oplevert, is de oorspronkelijke bewering dus onwaar en hebben we het model gevonden dat dit aantoont. 26

35 Regels semantische tableaux Voor elke logische operator, zoals,, en, definieren we twee regels. één voor als de formule links staat (en we de formule waar moet zijn); één voor als de formule rechts staat (en we de formule onwaar moet zijn). Elke regel breekt de formule op in kleinere stukjes, zodat we op de manier de tableaux verder kunnen opbouwen. Sommige regels introduceren nieuwe vertakkingen, die we elk afzonderlijk verder moeten afronden. 27

36 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ψ ϕ ψ ϕ, ψ ϕ ψ Om ϕ ψ waar te maken, moeten we ϕ én ψ waar maken Om ϕ ψ onwaar te maken, moeten we ϕ óf ψ onwaar maken 28

37 Regels semantische tableaux Vraag: Hoe zien de regels voor disjunctie er uit? 29

38 Regels semantische tableaux Vraag: Hoe zien de regels voor disjunctie er uit? Regel ( -links) 29

39 Regels semantische tableaux Vraag: Hoe zien de regels voor disjunctie er uit? Regel ( -links) ϕ ψ ϕ ψ 29

40 Regels semantische tableaux Vraag: Hoe zien de regels voor disjunctie er uit? Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ψ ϕ ψ 29

41 Regels semantische tableaux Vraag: Hoe zien de regels voor disjunctie er uit? Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ, ψ 29

42 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ϕ ϕ ϕ 30

43 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ 31

44 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ Deze regels zien er misschien wat anders uit maar onthoud dat ϕ ψ logisch equivalent is aan ϕ ψ dan zie je dat deze regels zich precies gedragen zoals verwacht! 31

45 Regels semantische tableaux Regel ( -links) Regel ( -rechts) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ, ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ 32

46 Regels semantische tableaux Afsluitingsregel..., ϕ,......, ϕ,... closed Als een logische formule ϕ in beide kanten van het scheidingsteken,, in een tak voorkomt, dan is ϕ inconsistent en wordt de tak gesloten ( closed ). 33

47 Wel of geen modellen? Als alle takken sluiten dan is de verzameling proposities waar je mee begon inconsistent (d.w.z. heeft geen model) Als minstens één tak open blijft, geeft de tak een model voor de verzameling proposities! Dit model lees je af door de atomaire proposities links waar te veronderstellen; de atomaire proposities rechts zijn onwaar. 34

48 Voorbeeld: Is { (p q), p q } inconsistent? (p q), p q p, (p q) q, (p q) (p q) p p, p q p p, q closed q p q q, p q closed 35

49 Voorbeeld Vraag: Is { p, q, q p } inconsistent? Construeer de bijbehorende semantisch tableau. 36

50 Voorbeeld Vraag: Is { p, q, q p } inconsistent? Construeer de bijbehorende semantisch tableau. p, q p, q p, q p q p q p, p q p p, q closed 36

51 Voorbeeld Vraag: Is { p, q, q p } inconsistent? Construeer de bijbehorende semantisch tableau. p, q p, q p, q p q p q p, p q p p, q closed De linker tak kunnen we niet verder afsluiten. Dus is de formule wel vervulbaar! Model: v(q) = F, v(p) = T 36

52 Voorbeeld: { p, q, q p } is inconsistent? p, q, q p q closed p p closed Soms laten we de (atomaire) proposities die niet wijzigen weg om de boom overzichtelijk te houden. 37

53 Geldigheid van een formule Semantische tableaux leveren een systematische manier om modellen van een propositie te vinden die vaak wat compacter is dan de waarheidstabel uitschrijven. Als een propositie geen modellen heeft, is deze inconsistent 38

54 Geldigheid van een formule Semantische tableaux leveren een systematische manier om modellen van een propositie te vinden die vaak wat compacter is dan de waarheidstabel uitschrijven. Als een propositie geen modellen heeft, is deze inconsistent Maar we kunnen ook deze methode gebruiken om te checken of een propositie ϕ een tautologie is, immers: ϕ is geldig (tautologie) ϕ is inconsistent (contradictie) 38

55 Voorbeeld Vraag: Is p ( q p) is een tautologie? Laat dit zien met behulp van een semantisch tableau. 39

56 Voorbeeld Vraag: Is p ( q p) is een tautologie? Laat dit zien met behulp van een semantisch tableau. (p ( q p)) p ( q p) p, q p q p, p p, q p closed 39

57 Semantische tableaux en logisch gevolg We kunnen de semantische tableaux methode ook gebruiken om logisch gevolg te onderzoeken. Beschouw weer het logisch gevolg: regen nat, regen = nat De geldigheid hiervan is aan te tonen door te controleren of de verzameling { regen nat, regen, nat } inconsistent is, d.w.z. geen modellen heeft. 40

58 Semantische tableaux en logisch gevolg regen nat, regen nat regen closed nat closed Er zijn dus geen modellen voor { regen nat, regen, nat }, ofwel deze verzameling is inconsistent. Dus, logisch gevolg regen nat, regen = nat is correct. 41

59 Semantische tableaux en logisch gevolg regen nat, nat = regen is niet correct. We laten met semantische tableaux zien dat de verzameling { regen nat, nat, regen } consistent is, d.w.z. een model heeft. regen nat, nat regen regen open nat open Model: v(regen) = F, v(nat) = T 42

60 Nogmaals Logische Gevolg en Model Let op! Het symbool = heeft twee verschillende betekenissen afhankelijk van de context: Model (Interpretatie): m = ψ Het model m (of interpretatie m) maakt ψ waar. Merk op dat een model een rij van de waarheidstafel is. Logische Gevolg: ϕ 1,..., ϕ n = ψ Elk model van proposities ϕ 1,..., ϕ n is ook een model van propositie ψ. 43

61 Semantische tableaux: Correctheid We hebben allerlei regels opgesteld voor semantische tableaux maar hoe weten we nou dat deze regels de juiste zijn? Hebben we niet te veel regels? Of te weinig? Kunnen we het ene bewijzen met waarheidstabellen en het andere met semantische tableaux? 44

62 Semantische tableaux: Correctheid Gezondheid Als ϕ 1,..., ϕ n = ψ, dan elk mogelijk tableaux beginnend met ϕ 1,..., ϕ n ψ heeft tenminste een open tak. Volledigheid Als ϕ 1,..., ϕ n = ψ, dan elk mogelijk tableaux beginnend met ϕ 1,..., ϕ n ψ bestaat uit alleen takken die gesloten kunnen worden. 45

63 Normaalvormen met tableaux DNF van een propositie φ is te verkrijgen door een tableaux te maken voor φ. We kunnen dan de gewenste modellen aflezen van het tableaux. CNF van een propositie φ is te verkrijgen door een tableaux te maken voor φ. Alle bladeren die een tegenvoorbeeld representeren moeten worden ontkent om te voorkomen dat φ onwaar wordt. (p q) p p q p q (p q) p p (p q) p p q p q p p ( q p) p 46

64 Materiaal Diktaat Hoofdstuk 7 47