Logica 1. Joost J. Joosten

Transcriptie

1 Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan CS Utrecht Kamer 158, jjoosten@phil.uu.nl jjoosten (hier moet een tilde bij) Logica 1 p.1/17

2 Mededelingen Extra werkcollege Logica 1 p.2/17

3 Mededelingen Extra werkcollege Gastcollege van Dalen Logica 1 p.2/17

4 Vandaag Syntax predicatenlogica een beetje preciseren Logica 1 p.3/17

5 Vandaag Syntax predicatenlogica een beetje preciseren Semantiek (modellen) predicatenlogica bestuderen Logica 1 p.3/17

6 Vandaag Syntax predicatenlogica een beetje preciseren Semantiek (modellen) predicatenlogica bestuderen Deductie en predicatenlogica Logica 1 p.3/17

7 Vandaag Syntax predicatenlogica een beetje preciseren Semantiek (modellen) predicatenlogica bestuderen Deductie en predicatenlogica Begin Intuïtionistische Logica Logica 1 p.3/17

8 Syntax We werken altijd met een fragment predicatenlogica a van volle Logica 1 p.4/17

9 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Logica 1 p.4/17

10 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Er zijn symbolen voor variabelen (en mogelijk ook voor constanten) Logica 1 p.4/17

11 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Er zijn symbolen voor variabelen (en mogelijk ook voor constanten) Er zijn hulpsymbolen zoals haakjes en komma s Logica 1 p.4/17

12 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Er zijn symbolen voor variabelen (en mogelijk ook voor constanten) Er zijn hulpsymbolen zoals haakjes en komma s Er zijn symbolen voor predicaten Logica 1 p.4/17

13 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Er zijn symbolen voor variabelen (en mogelijk ook voor constanten) Er zijn hulpsymbolen zoals haakjes en komma s Er zijn symbolen voor predicaten Er zijn symbolen voor logische connectieven Logica 1 p.4/17

14 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Er zijn symbolen voor variabelen (en mogelijk ook voor constanten) Er zijn hulpsymbolen zoals haakjes en komma s Er zijn symbolen voor predicaten Er zijn symbolen voor logische connectieven Er zijn symbolen voor quantoren (worden soms ook tot de connectieven gerekend) Logica 1 p.4/17

15 Syntax We werken altijd met een fragment van volle predicatenlogica (denk aan prop. logica en alleen werken met de variabelen p 0,p 1 ) Er zijn symbolen voor variabelen (en mogelijk ook voor constanten) Er zijn hulpsymbolen zoals haakjes en komma s Er zijn symbolen voor predicaten Er zijn symbolen voor logische connectieven Er zijn symbolen voor quantoren (worden soms ook tot de connectieven gerekend) Gegeven een aantal predicaten, dan is de verzameling van predicaatlogische formules wederom inductief gedefinieerd Logica 1 p.4/17

16 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Logica 1 p.5/17

17 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Zinnen en formules Logica 1 p.5/17

18 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Zinnen en formules termen Logica 1 p.5/17

19 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Zinnen en formules termen Substitutie; Logica 1 p.5/17

20 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Zinnen en formules termen Substitutie; Voorbeeld: y H(x, y)[j/x] Logica 1 p.5/17

21 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Zinnen en formules termen Substitutie; Voorbeeld: y H(x, y)[j/x] t is vrij voor x in ϕ Logica 1 p.5/17

22 Nomenclatuur Vrije en gebonden variabelen Zinnen en formules termen Substitutie; Voorbeeld: y H(x, y)[j/x] t is vrij voor x in ϕ ; Voorbeeld: y(x y) Logica 1 p.5/17

23 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Logica 1 p.6/17

24 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Logica 1 p.6/17

25 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein Logica 1 p.6/17

26 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Logica 1 p.6/17

27 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Interpretatie van de betreffende predicaten symbolen Logica 1 p.6/17

28 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Interpretatie van de betreffende predicaten symbolen, relaties op het domein Logica 1 p.6/17

29 Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Niet leeg! Interpretatie van de betreffende predicaten symbolen, relaties op het domein Logica 1 p.6/17

30 Modellen In modellen geven we alle elementen uit het domein een unieke naam Logica 1 p.7/17

31 Modellen In modellen geven we alle elementen uit het domein een unieke naam A = ϕ Logica 1 p.7/17

32 Modellen In modellen geven we alle elementen uit het domein een unieke naam A = ϕ (Lemma uit L&S); Tarski s waarheidsdefinitie Logica 1 p.7/17

33 Modellen In modellen geven we alle elementen uit het domein een unieke naam A = ϕ (Lemma uit L&S); Tarski s waarheidsdefinitie = ϕ Logica 1 p.7/17

34 Modellen In modellen geven we alle elementen uit het domein een unieke naam A = ϕ (Lemma uit L&S); Tarski s waarheidsdefinitie = ϕ tautologie Logica 1 p.7/17

35 Modellen In modellen geven we alle elementen uit het domein een unieke naam A = ϕ (Lemma uit L&S); Tarski s waarheidsdefinitie = ϕ tautologie contingenties en valsheden Logica 1 p.7/17

36 Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Logica 1 p.8/17

37 Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Er is iemand die alleen van zichzelf houdt Logica 1 p.8/17

38 Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Er is iemand die alleen van zichzelf houdt Iedereen houdt van tenminste twee mensen Logica 1 p.8/17

39 Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Er is iemand die alleen van zichzelf houdt Iedereen houdt van tenminste twee mensen Wederom, semantiek Logica 1 p.8/17

40 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Logica 1 p.9/17

41 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: Logica 1 p.9/17

42 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Logica 1 p.9/17

43 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: Logica 1 p.9/17

44 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) Logica 1 p.9/17

45 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) En wegens Logica 1 p.9/17

46 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) En wegens M(s) Logica 1 p.9/17

47 Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) En wegens M(s) krijgen we via Modus Ponens, S(s) Logica 1 p.9/17

48 Predicatenlogica Aristoteles heeft een zeer beperkt deel van de predicaten logica in kaart gebracht met zijn syllogismen. Logica 1 p.10/17

49 Predicatenlogica Aristoteles heeft een zeer beperkt deel van de predicaten logica in kaart gebracht met zijn syllogismen. Wij zullen een grotere en betere kaart maken Logica 1 p.10/17

50 Redeneren met quantoren Universele kwantor :, Logica 1 p.11/17

51 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie, Logica 1 p.11/17

52 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), Logica 1 p.11/17

53 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie Logica 1 p.11/17

54 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Logica 1 p.11/17

55 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor, Logica 1 p.11/17

56 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie, Logica 1 p.11/17

57 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie (via een soort assumptie), Logica 1 p.11/17

58 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie (via een soort assumptie), introductie Logica 1 p.11/17

59 Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie (via een soort assumptie), introductie (wegens een instantie) Logica 1 p.11/17

60 Voorbeelden x y ϕ(x, y) y xϕ(x, y) Logica 1 p.12/17

61 Voorbeelden x y ϕ(x,y) y xϕ(x,y) Met ϕ(x,y) bedoelen we een formule ϕ, waar x en y als vrije variabelen in voorkomen Logica 1 p.12/17

62 Voorbeelden x y ϕ(x,y) y xϕ(x,y) Met ϕ(x,y) bedoelen we een formule ϕ, waar x en y als vrije variabelen in voorkomen x (ϕ ψ) x ϕ x ψ Logica 1 p.12/17

63 Voorbeelden x y ϕ(x,y) y xϕ(x,y) Met ϕ(x,y) bedoelen we een formule ϕ, waar x en y als vrije variabelen in voorkomen x (ϕ ψ) x ϕ x ψ Merk op: we geven niet altijd de variabelen weer! Logica 1 p.12/17

64 Voorbeelden x y ϕ(x,y) y xϕ(x,y) Met ϕ(x,y) bedoelen we een formule ϕ, waar x en y als vrije variabelen in voorkomen x (ϕ ψ) x ϕ x ψ Merk op: we geven niet altijd de variabelen weer! Als x FV(ϕ), dan x (ϕ ψ(x)) (ϕ x ψ(x)) Logica 1 p.12/17

65 Voorbeelden x y ϕ(x,y) y xϕ(x,y) Met ϕ(x,y) bedoelen we een formule ϕ, waar x en y als vrije variabelen in voorkomen x (ϕ ψ) x ϕ x ψ Merk op: we geven niet altijd de variabelen weer! Als x FV(ϕ), dan x (ϕ ψ(x)) (ϕ x ψ(x)) Als x FV(ψ), dan x (ϕ(x) ψ) ( x ϕ(x) ψ) Logica 1 p.12/17

66 Voorbeelden x y ϕ(x,y) y xϕ(x,y) Met ϕ(x,y) bedoelen we een formule ϕ, waar x en y als vrije variabelen in voorkomen x (ϕ ψ) x ϕ x ψ Merk op: we geven niet altijd de variabelen weer! Als x FV(ϕ), dan x (ϕ ψ(x)) (ϕ x ψ(x)) Als x FV(ψ), dan x (ϕ(x) ψ) ( x ϕ(x) ψ) x (ϕ(x) ψ(x)) x ϕ(x) x ψ(x) Logica 1 p.12/17

67 Eigenschappen kaart Correctheid Logica 1 p.13/17

68 Eigenschappen kaart Correctheid Volledigheid Logica 1 p.13/17

69 Eigenschappen kaart Correctheid Volledigheid Onbeslisbaarheid! Logica 1 p.13/17

70 Intuïtionisme Vaak ook wel constructivisme genoemd Logica 1 p.14/17

71 Intuïtionisme Vaak ook wel constructivisme genoemd Existentiële uitspraken kunnen slechts wegens een instantiatie worden aangetoond Logica 1 p.14/17

72 Intuïtionisme Vaak ook wel constructivisme genoemd Existentiële uitspraken kunnen slechts wegens een instantiatie worden aangetoond Evidentie voor proposities wordt gegeven door bewijzen. Logica 1 p.14/17

73 Intuïtionisme Vaak ook wel constructivisme genoemd Existentiële uitspraken kunnen slechts wegens een instantiatie worden aangetoond Evidentie voor proposities wordt gegeven door bewijzen. Wij maken bewijzen. Dus wij creëren evidentie. Logica 1 p.14/17

74 Intuïtionisme Vaak ook wel constructivisme genoemd Existentiële uitspraken kunnen slechts wegens een instantiatie worden aangetoond Evidentie voor proposities wordt gegeven door bewijzen. Wij maken bewijzen. Dus wij creëren evidentie. Dus wij creëren proposities: Logica 1 p.14/17

75 Intuïtionisme Vaak ook wel constructivisme genoemd Existentiële uitspraken kunnen slechts wegens een instantiatie worden aangetoond Evidentie voor proposities wordt gegeven door bewijzen. Wij maken bewijzen. Dus wij creëren evidentie. Dus wij creëren proposities: geen Platonisme! Logica 1 p.14/17

76 Deductie Gentzen s deductie systeem geeft constructief redeneren weer! (Prawitz) Logica 1 p.15/17

77 Deductie Gentzen s deductie systeem geeft constructief redeneren weer! (Prawitz) Behalve RAA Logica 1 p.15/17

78 Intuïtionisme Wat zijn tautologiën voor constructivisten? Logica 1 p.16/17

79 Intuïtionisme Wat zijn tautologiën voor constructivisten? Herinterpretatie van de logische connectieven Logica 1 p.16/17

80 Intuïtionisme Wat zijn tautologiën voor constructivisten? Herinterpretatie van de logische connectieven De Brouwer-Heyting-Kolmogorov Interpretatie Logica 1 p.16/17

81 Intuïtionisme Wat zijn tautologiën voor constructivisten? Herinterpretatie van de logische connectieven De Brouwer-Heyting-Kolmogorov Interpretatie Voorbeeld: ϕ ψ ϕ is een tautologie Logica 1 p.16/17

82 Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Logica 1 p.17/17

83 Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Logica 1 p.17/17

84 Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Het specificeren van modellen (semantiek) voor fragmenten van eerste orde predicaten logica Logica 1 p.17/17

85 Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Het specificeren van modellen (semantiek) voor fragmenten van eerste orde predicaten logica Het maken van afleidingen in natuurlijke deductie van predicaatlogische uitspraken Logica 1 p.17/17

86 Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Het specificeren van modellen (semantiek) voor fragmenten van eerste orde predicaten logica Het maken van afleidingen in natuurlijke deductie van predicaatlogische uitspraken Informele bewijzen mbv de BHK-interpretatie geven van propositioneel logische tautologiën Logica 1 p.17/17