Logica voor Informatica. predikatenlogica. Syntax van predikatenlogica. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University

Transcriptie

1 Logica voor Informatica predikatenlogica Syntax van predikatenlogica Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University

2 Redenering in Propositie Logica Als Jan zijn medicijnen neemt dan Jan voelt zich beter Jan neemt zijn medicijnen P Q P Jan voelt zich beter Q

3 Redenering in Propositie Logica 1. Tenminste een is schuldig. 2. Niet alle zijn schuldig. 3. Als Sara schuldig is, dan is Jan ook schuldig. 4. Als Petra niet schuldig is, dan is Jan ook niet.

4 Syllogistische redeneringen Syllogistische redeneringen zoals Alle mensen zijn sterfelijk Socrates is een mens P Q Socrates is sterfelijk R

5 Syllogistische redeneringen Syllogistische redeneringen zoals Alle mensen zijn sterfelijk Socrates is een mens P Q Socrates is sterfelijk R P, Q = R??? kunnen niet met propositielogica worden geanalyseerd.

6 Syllogistische redeneringen Syllogistische redeneringen zoals Alle mensen zijn sterfelijk Socrates is een mens P Q Socrates is sterfelijk R P, Q = R??? kunnen niet met propositielogica worden geanalyseerd.

7 Predikatenlogica: Objecten, Predikaten, Kwantoren Predikatenlogica onderscheidt: Individuele Elementen, zoals Socrates, 2, vw 123 Variabelen, zoals x, y, z Predikaten, zoals mens, sterfelijk, groter dan Kwantoren, zoals alle, sommige

8 Predikatenlogica: Objecten, Predikaten, Kwantoren Predikatenlogica onderscheidt: Individuele Elementen, zoals Socrates, 2, vw 123 Variabelen, zoals x, y, z Predikaten, zoals mens, sterfelijk, groter dan Kwantoren, zoals alle, sommige Redenering wordt nu formeel: x(mens(x) sterfelijk(x)) mens(socrates) kwantoren sterfelijk(socrates)

9 Predikatenlogica: Objecten, Predikaten, Kwantoren Predikatenlogica onderscheidt: Individuele Elementen, zoals Socrates, 2, vw 123 Variabelen, zoals x, y, z Predikaten, zoals mens, sterfelijk, groter dan Kwantoren, zoals alle, sommige Redenering wordt nu formeel: x(mens(x) sterfelijk(x)) mens(socrates) kwantoren variabelen sterfelijk(socrates)

10 Predikatenlogica: Objecten, Predikaten, Kwantoren Predikatenlogica onderscheidt: Individuele Elementen, zoals Socrates, 2, vw 123 Variabelen, zoals x, y, z Predikaten, zoals mens, sterfelijk, groter dan Kwantoren, zoals alle, sommige Redenering wordt nu formeel: x(mens(x) sterfelijk(x)) mens(socrates) sterfelijk(socrates) kwantoren variabelen predikaten

11 Predikatenlogica: Objecten, Predikaten, Kwantoren Predikatenlogica onderscheidt: Individuele Elementen, zoals Socrates, 2, vw 123 Variabelen, zoals x, y, z Predikaten, zoals mens, sterfelijk, groter dan Kwantoren, zoals alle, sommige Redenering wordt nu formeel: x(mens(x) sterfelijk(x)) mens(socrates) sterfelijk(socrates) kwantoren variabelen predikaten elementen

12 Kwantoren Universele kwantor voor alle Notatie: x U : heeft massa(x) alle elementen hebben massa Existentiële kwantor er is een Notatie: Bijv. x U : heeft negatieve massa(x) sommige elementen hebben negatieve massa

13 Vertalen in Predikatenlogica Hans is een jongen. jongen(hans) Marie is geen student. student(marie) Marie is geen student maar een docent. student(marie) docent(marie) 2 is groter dan 1. 2 > 1

14 Vertalen in Predikatenlogica Marie heeft een kind. x kind van(x, Marie) Vaders hebben kinderen. x (vader(x) y kind van(y, x)) Elk natuurlijk getal heeft een opvolger. x (x N y (y = x + 1))

15 Vertalen in Predikatenlogica (belangrijke formules) Alle A s zijn B s Voor alle x: als x is A dan x is B x ( A(x) B(x) ) NIET: x ( A(x) B(x) ) Sommige A s zijn B s Er is x: x is A en x is B x ( A(x) B(x) ) NIET: x ( A(x) B(x) )

16 Vertalen in Predikatenlogica (ambiguïteit) Elke jongen houdt van een hond x ( jongen(x) y (hond(y) houdt van(x, y)) ) y ( hond(y) x (jongen(x) houdt van(x, y)) )

17 Vertalen in Predikatenlogic (volgorde kwantoren) x y A(x, y) Voor elke x is er een y zdd A(x,y) Bijv. Voor elk (kind) x is er een (vrouw) y zdd moeder(x,y) y x A(x, y) Er is een y zdd voor elke x A(x,y) Bijv. Er is een (vrouw) y zdd voor elk (kind) x moeder(x,y)

18 Kwantoren en eindig domein Als het domein van kwantificatie eindig is, zeg {a 1,..., a n }, zijn de universele en existentiele kwantoren eigenlijk niets meer dan een afkorting van een eindige conjunctie resp. disjunctie: x A(x) = A(a 1 )... A(a n ) x A(x) = A(a 1 )... A(an)

19 Verband tussen en x A(x) x A(x) Bijv. Iemand is rijk Niet iedereen is arm (arm = niet rijk) x A(x) x A(x) Bijv. Iedereen is rijk Niemand is arm

20 Scope van Kwantoren & Ambiguïteit x man(x) vrouw(x) x(man(x)) vrouw(x) y(man(y)) vrouw(x) Iedereen is een man of x is een vrouw x(man(x) vrouw(x)) y(man(y) vrouw(y)) Iedereen is of een man of een vrouw

21 Scope van Kwantoren & Binding van Variabelen Scope óf bereik van een kwantor In x(a) en x(a) is A de scope van de betreffende kwantor, bijv. de scope van variable x is x(man(x) vrouw(x)) Binding van voorkomens van variabelen Als een variabele x in de scope van een kwantor x of x voorkomt, heet dit voorkomen gebonden; anders vrij. x(man(x)) vrouw(x)

22 Gebonden of Vrij? x y (vader(x) kind van(y, x)) x (vader(x) kind van(y, x)) x (vader(x) kind van(marie, x)) x (vader(x) y kind van(y, piet))

23 Nog meer over kwantoren! x ( yhoudt van(x, y) gelukkig(x) ) Iedereeen die van iemand houdt is gelukkig x ( yhoudt van(y, x) gelukkig(x) ) Iedereen die door iemand bemind wordt is gelukkig x y ( houdt van(y, x) gelukkig(x) ) Voor iedereen is er iemand die hem/haar gelukkig maakt als hij/zij door bemind wordt

24 Nog meer over kwantoren! x ( mens(x) y(mens(y) houdt van(x, y)) ) Ieder mens houdt van een mens (iedereen houdt van iemand) x y ( kind van(y, x) z(z y kind van(z, x)) ) Elk kind heeft twee (genetische) ouders

25 Functiesymbolen We kunnen in de predikatenlogica functies (of liever functiesymbolen) gebruiken om te verwijzen naar objecten Bijv. moeder van(a) opvolger van(n) vader van(moeder van(piet))

26 Taal van de predikatenlogica De taal van de predikatenlogica bevat de volgende ingrediënten: Alfabet Termen Welgevormde formules (wff s)

27 Alfabet van de predikatenlogica Constanten c 1,..., c n,... Variabelen x 1,..., x n,... Functiesymbolen f 1 1,..., f 1 n1,..., f 2 1,..., f 2 n2,..., f 3 1,..., f 3 n3,... Predikaatsymbolen P 1 1,..., P1 m1,..., P2 1,..., P2 m2,..., P3 1,..., P3 m3,... Logische symbolen,,,,,, Punctuatiesymbolen (, ),,

28 Ariteit Het superscript bij de predikaten- en functiesymbolen slaat op de zgn. ariteit, d.w.z. het aantal argumenten Bijv. Bijv. kind van 2 (aya, eva) P7 3 (x, y, z) moeder van 1 (piet) som 2 (3, 4) (x, y) f 2 5

29 Termen Termen worden recursief gedefinieerd: Iedere constante is een term: jan, marie, 2, fiet235 Iedere variabele is een term: x, y, z Als t 1, t 2,..., t n termen zijn, dan is f n i (t 1, t 2,..., t n ) ook een term Niets anders is een term Bijv.: moeder van 1 (jan), eigenaar 1 (fiet235), som 2 (4, x)

30 Welgevormde formules Ook welgevormde formules (wff) worden recursief gedefinieerd: Als t 1, t 2,..., t n termen zijn, dan is P n i (t 1, t 2,..., t n ) een wff Als A en B wff s zijn, dan zijn de volgende ook wff s A, A B, A B, A B en A B Als A een wff is, dan zijn ook xa en xa wff s Niets anders is een wff

31 Gebonden en Vrije variabelen In x A(x, c) komt x gebonden voor In x A(x, c) B(y) komt x gebonden voor en y vrij In x (A(x, y) yb(y)) komt x gebonden voor en y zowel gebonden als vrij!!

32 Gesloten wff s (zinnen) Een wff is gesloten als deze geen vrije voorkomens van variabelen bevat Voorbeelden: A(c 1, f (c 2 )) gesloten x y A(x, f (y)) gesloten x A(x, f (y)) niet gesloten