DEEL I WISKUNDIGE LOGICA

Transcriptie

1 DEEL I WISKUNDIGE LOGICA Inhoud Hoofdstuk I : De propositielogica Hoofdstuk II : De predikatenlogica Hoofdstuk III : Onbeslisbaarheid en de onvolledigheidsstelling van Gödel Aanbevolen literatuur - J. Barwise, J. Etchemedy, Language, Proof and Logic, CSLI publications (2002) - J. van Benthem, H. van Ditmarsch, J. Ketting, W. Meyer-Viol, Logica voor informatici, Addison Wesley Nederland (1994). 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Inleiding (kort historisch overzicht) De Griekse wijsgeer Aristoteles ( v.c.) was de eerste die de regels van het correct redeneren ontleedde. Leibniz (Duits wiskundige en wijsgeer ( )) stelde voor de regels van het redeneren met wiskundige middelen te bestuderen. Maar zelf heeft hij dat programma nooit uitgewerkt. Op het einde van de 19 de eeuw begonnen Boole, Peano, Frege, Russell, en anderen met de wiskundige studie van de redeneerregels (symbolische of mathematische logica) (voordien was de logica het domein van wijsgeren). Hun doel was de wiskunde op meer exacte wijze te funderen, om zo een aantal paradoxen weg te werken die te wijten waren aan een te slordige fundering (Grondslagenonderzoek). Sinds Gödel (1930) is de wiskundige logica meer dan de studie der redeneerregels en grondslagenonderzoek (zie Hoofdstuk III). De wiskundige logica heeft implicaties voor de filosofie, zuivere wiskunde, computerwetenschappen, kunstmatige intelligentie en de taalkunde. Een belangrijke toepassing in de informatica is software die het mogelijk maakt computers te laten redeneren. Daarover zullen we in deze cursus meer te weten komen... Notatie In deze tekst maken we gebruik van de volgende standaard notaties : N = {0, 1, 2, 3, } (de natuurlijke getallen), N 0 = N\{0}, Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, } (de gehele getallen), Q = {a/b a, b Z, b 0} (de rationale getallen), R = de verzameling der reële getallen. Bovendien gebruiken we de volgende afkortingen : Geg. Gegeven T.B. Te Bewijzen Bew. Bewijs V.T.B. Voldoende Te Bewijzen. We schrijven A B om aan te duiden dat A een deelverzameling is van B; dit sluit niet uit dat A = B.

3 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 3 HOOFDSTUK I DE PROPOSITIELOGICA 1. De propositielogicataal - We voeren een kunstmatige taal in : de propositielogicataal (prop-taal). - De symbolen van de prop-taal bestaan uit 1. de propositiesymbolen : p 0, p 1, p 2, (oneindig veel) 2. de connectieven : (en) (conjunctie) (of) (disjunctie) (niet) (negatie) (als...dan) (implicatie) (asa) (equivalentie) 3. de hulpsymbolen : ( ) [ ] { } (haakjes). - Een zin van de prop-taal is een rij symbolen van de prop-taal die kan bekomen worden door herhaaldelijke toepassing van de volgende regels : 1. Elk propositiesymbool is een zin van de prop-taal. 2. Als A en B zinnen van de prop-taal zijn, dan zijn ook (A B) (A B) (A B) (A B) A zinnen van de prop-taal. Hetzelfde geldt ook voor ( ) vervangen door [ ], of door { }. -Voorbeelden : zijn zinnen van de prop-taal. Maar (p 0 p 1 ) ( p 7 ( p 1 p 125 )) ( p 1 p 3 ) ( p 0 p 1 )p 1 p 2 ) Typeset by AMS-TEX

4 4 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA zijn geen zinnen van de prop-taal. - Hierboven worden de symbolen A, B, C, gebruikt om zinnen van de prop-taal aan te duiden. Dus als A, B zinnen van de prop-taal aanduiden, dan duidt (A B) een zin van de prop-taal aan, maar met meestal meer dan 5 symbolen. Dus A, B, zijn hier op te vatten als variabelen, zoals in de algebra x, y geen echte getallen zijn, maar variabelen om getallen aan te duiden. - Men noemt A het antecedens van de implicatie A B, en B het consequens. - Meer algemeen mag men voor de propositiesymbolen ook andere symbolen of tekenreeksen gebruiken dan p 0, p 1, op voorwaarde dat men dan eerst een expliciete lijst van deze symbolen of tekenreeksen geeft. - We maken nu nog een aantal afspraken om het geheel meer overzichtelijk te maken : Weglaten van haakjes Als geen misverstand mogelijk is, zullen we gemakkelijkheidshalve haakjes weglaten: We spreken af dat we dit mogen doen in de volgende situaties: -de buitenste haakjes : A B in plaats van (A B). -herhaalde disjunctie: (A B C) in plaats van (A (B C)), of in plaats van ((A B) C), omdat de laatste twee zinnen altijd dezelfde waarheidswaarde hebben. We laten dit ook toe voor meer dan 3 disjuncten. -herhaalde conjunctie: idem als voor herhaalde disjunctie maar nu met in plaats van. Merk op dat in de zin ( p 1 p 2 ) geen haakjes weggelaten zijn. Inderdaad deze zin wordt bekomen door toepassing van de regels 1 en 2 op de voorgaande pagina. In paragraaf 2 zullen we zien dat deze zin geinterpreteerd wordt door ((niet p 1 ) of p 2 ). We spreken af dat we (ter verduidelijking) steeds haakjes mogen toevoegen indien dit de betekenis niet verandert. Dus in plaats van p 1 p 2 mogen we ook schrijven ( p 1 ) p 2. We mogen ook haakjes weglaten op basis van de volgende voorrangsregels: 1/ bindt sterker dan alle andere connectieven. 2/ bindt sterker dan bindt sterker dan bindt sterker dan. 3/ Voor identieke connectieven wordt de binding sterker van links naar rechts. Voorbeelden: P Q R in plaats van P (Q R) P Q R in plaats van (P Q) R P Q R S in plaats van P (Q R) S P Q R S in plaats van (P Q R) S P Q R in plaats van (P Q) R P Q R S in plaats van (P Q) (R S) P Q R in plaats van (P Q) R P Q R in plaats van P (Q R) P Q R in plaats van P (Q R) Men is niet verplicht om zoveel mogelijk haakjes weg te laten. In de cursustekst

5 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 5 zullen we zelden haakjes weglaten op basis van de voorrangsregels, maar in de oefeningen zullen we dit vaker doen wanneer we met ingewikkelde formules werken. Conventie: Wanneer we zinnen van de prop-taal aanduiden met letters A, B, C, P, Q, en we bouwen daarmee een andere zin op, bijvoorbeeld A B, dan veronderstellen we (hierboven en in het vervolg) altijd (zonder dat expliciet te vermelden) dat er in A, B, C,, P, Q, geen buitenste haakjes weggelaten zijn. Anders zou het kunnen dat de opgebouwde zin een heel andere betekenis krijgt dan verwacht. Inderdaad indien A de zin p 0 p 1 is, en B de zin p 2, dan is A B letterlijk hetzelfde als p 0 p 1 p 2, wat volgens onze voorrangsregels een totaal andere betekenis heeft dan (p 0 p 1 ) p 2. Dit willen we dus vermijden.

6 6 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 2. Interpretatie (= semantiek) van de propositielogicataal - Zij A een zin van de prop-taal. Indien we p 0, p 1, p 2, interpreteren als uitspraken die ofwel waar, ofwel vals zijn (=proposities), dan kunnen we A ook interpreteren als een uitspraak die ofwel waar, ofwel vals is, door,,,, te interpreteren als respectievelijk en, of, niet, als...dan, asa (asa is de afkorting van als en slechts als ). We spreken hierbij af dat we de negatie altijd laten slaan op de kleinste deelzin die op volgt. Dus bijvoorbeeld A B interpreteren we door (niet A) of B. - Symbolisch duiden we vals aan met 0, en waar met 1. - Indien de waarheidswaarde (dit wil zeggen waar of vals ) w(a) van A en w(b) van B gekend is, dan wordt de waarheidswaarde van A B, A B, A, A B, A B gegeven (per definitie) door de volgende waarheidstabel : w(a) w(b) w(a B) w(a B) w( A) w(a B) w(a B) Enigermate problematisch is de definitie van de waarheidswaarde van A B. Als B waar is, is het redelijk te definiëren dat A B waar is. Als A waar is, en B is vals, dan is natuurlijk A B vals. Per afspraak definiëren we dat A B waar is in t geval dat A en B beiden vals zijn. Dus per definitie hebben we ((A B) is vals) asa (A is waar en B is vals). Het kan zijn dat dit niet helemaal overeenkomt met ons taalgevoel in het dagelijks leven. Bekijk bijvoorbeeld de uitspraak Als vandaag de zon schijnt dan is logica een belangrijk vak. Aannemende dat logica inderdaad een belangrijk vak is, besluiten we dat volgens onze definitie van als...dan de uitspraak waar is. Nochtans zou men kunnen opmerken dat het weer van de dag niets te maken heeft met de belangrijkheid van het vak logica. Op die grond zouden sommige mensen mischien verwachten dat de uitspraak vals is, maar volgens onze afspraken is de uitspraak waar. Alleszins is de uitspraak wel misleidend... Bekijk vervolgens de uitspraak Als de maan een dampkring heeft dan is het vak logica onbelangrijk. Daar de maan geen dampkring heeft is de uitspraak waar. Weer zou men dezelfde kritiek kunnen uiten als hierboven. - Definitie van Tautologie (intuïtief geformuleerd). Een zin A van de prop-taal heet een tautologie (of logisch waar ) als A waar is voor om het even welke waarheidswaarde voor p 0, p 1,. - We willen echter deze definitie op een meer exacte wijze formuleren, daarom voeren we eerst een andere definitie in : Definitie. Een waardering w is een afbeelding w : {A A is een zin van de prop-taal} {0, 1},

7 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 7 die voor alle zinnen A, B voldoet aan bovenstaande tabel. Dus w(a) is volledig bepaald van zodra men w(p 0 ), w(p 1 ), w(p 2 ), kent. Definitie van Tautologie (exact geformuleerd). Een zin A van de prop-taal heet een tautologie (of logisch waar ) als w(a) = 1 voor elke waardering w. Definitie. Twee zinnen A, B van de prop-taal heten logisch equivalent als A B een tautologie is. Een zin B heet een logisch gevolg van de zinnen A 1,..., A n als (A 1... A n ) B een tautologie is. Voorbeeld. Zij A, B, C zinnen van de prop-taal. Dan is [(A B) C] [(A C) (B C)] een tautologie. We verifiëren dit door de waarheidstabel op te stellen : A B C (A B) (A B) C A C B C (A C) (B C) (A B) C (A C) (B C) Voorbeeld. Zij A, B zinnen van de prop-taal. Dan zijn A B, en A B, logisch equivalent. We verifiëren dit door de waarheidstabel op te stellen : A B A B A A B (A B) ( A B) We kunnen voor een zin van de prop-taal altijd nagaan of het een tautologie is door de waarheidstabel op te stellen.

8 8 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 3. Enkele belangrijke tautologieën - Zij A, B, C, D zinnen van de prop-taal, dan zijn de volgende zinnen (1)-(17) tautologieën. Dit kan bewezen worden door de waarheidstabel op te stellen. (1) (A B) (B A), (A B) (B A) (commutativiteit) (2) [(A B) C] [A (B C)] (associativiteit) [(A B) C] [A (B C)] (3) [A (B C)] [(A B) (A C)] (distributiviteit van t.o.v. ) [A (B C)] [(A B) (A C)] (distributiviteit van t.o.v. ) (4) (A A) A, (A A) A (idempotentie) (5) A A, A A (dubbele ontkenning), (uitgesloten derde) (6) (A B) ( A B) (wetten van De Morgan) (A B) ( A B) (7) (A B) ( A B) (uitdrukking van pijl in, ) (8) (A B) ( B A) (contrapositie) (9) (A A) B (uit een contradictie volgt alles) (10) [ A (B B)] A (bewijs uit het ongerijmde) (11) (A B) (A B) (negatie van de pijl) (12) [(A B) (B C)] (A C) (transitiviteit van de pijl) (13) (A B) [(A B) (B A)] (uitdrukking van in twee pijlen) (14) (A B) ( A B) (contrapositie) (15) [(A B) (B C)] (A C) (transitiviteit van ) (16) [A (B C)] [(A B) C] (17) [A (B (C D))] [(A B C) D] - Verder hebben we ook nog de volgende vanzelfsprekende regels : (18) Als A en A B tautologieën zijn, dan is B een tautologie. (19) Als A en B tautologieën zijn, dan is A B een tautologie. (20) Als A een tautologie is, en als we in A op elke plaats de propositievariabele p 0 door een zelfde zin B vervangen, dan bekomen we opnieuw een tautologie. (zelfde resultaat voor p 1, p 2, enz.) Voorbeeld : (p 0 p 1 ) p 0 is een tautologie, dus ook [(p 3 p }{{} 5 ) p 1 ] (p 3 p 5 ) is een tautologie. }{{} B B (21) Zij A een zin, en zij B een deelzin van A (dit wil zeggen een deelrij van opeenvolgende symbolen van A die zelf een zin van de prop-taal is). Zij C een zin van de prop-taal, die logisch equivalent is met B. Als we in A de deelzin B vervangen door C, bekomen we een zin D die logisch equivalent is met A. Als A een tautologie is, dan is D ook een tautologie. Voorbeeld : We hebben de volgende tautologie (volgens (16)) (p 0 (p 1 p }{{} 2 )) ((p 0 p 1 ) p 2 ). B Volgens (8) is p 1 p 2 }{{} B logisch equivalent met p 2 p 1 }{{} We bekomen dus de volgende tautologie (p 0 ( p 2 p 1 )) ((p 0 p 1 ) p 2 ). }{{} C C.

9 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 9 Stelling. Zij A een zin van de prop-taal. Dan is A logisch equivalent met een zin B die bestaat uit disjuncties van conjuncties van propositiesymbolen of negaties van propositiesymbolen. (We zeggen dat B in disjunctieve normaalvorm is.) Voorbeeld : (p 0 p 1 ) (p 3 p 4 ) is niet in disjunctieve normaalvorm. We hebben echter de volgende logische equivalenties : (p 0 p 1 ) (p 3 p 4 ) ( p 0 p 1 ) (p 3 p 4 ) De Morgan [( p 0 p 1 ) p 3 ] [( p 0 p 1 ) p 4 ] distributiviteit [( p 0 p 3 ) ( p 1 p 3 )] [( p 0 p 4 ) ( p 1 p 4 )] ( p 0 p 3 ) ( p 1 p 3 ) ( p 0 p 4 ) ( p 1 p 4 ) De laatste zin is in disjunctieve normaalvorm. Bewijs : Door gebruik te maken van (13) kunnen we de wegwerken. Door gebruik te maken van (7) kunnen we de pijlen wegwerken. Door gebruik te maken van de wetten van De Morgan, kunnen we de negaties doorschuiven tot vlak voor de propositiesymbolen. Tenslotte gebruiken we de distributiviteit van t.o.v.. Voorbeeld : (p 0 p 1 ) (p 2 p 1 ) is niet in disjunctieve normaalvorm. We hebben echter de volgende equivalenties : (p 0 p 1 ) (p 2 p 1 ) [ (p 0 p 1 ) (p 2 p 1 )] [(p 2 p 1 ) (p 0 p 1 )] [(p 0 p 1 ) (p 2 p 1 )] [ (p 2 p 1 ) (p 0 p 1 )] [ ( p 0 p 1 ) (p 2 p 1 ) ] [ (p 2 p 1 ) ( p 0 p 1 )] [ p 0 p 1 p 2 ] [( p 2 p 1 ) (p 0 p 1 )] [( p 0 p 1 p 2 ) ( p 2 p 1 )] [( p 0 p 1 p 2 ) (p 0 p 1 )] ( p 0 p 2 p 1 ) (p 1 p 2 p 1 ) (p 2 p 2 p 1 ) ( p 0 p 0 p 1 ) ( p 0 p 1 p 2 ) (p 0 p 1 p 2 ) De laatste zin is in disjunctieve normaalvorm. (p 1 p 0 p 1 ) (p 2 p 0 p 1 ) Oefening : Breng in disjunctieve normaalvorm [(p 0 p 2 ) p 1 ] (p 1 p 2 ). Oplossing : [ (p 0 p 2 ) p 1 ] (p 1 p 2 ) [ p 0 p 2 p 1 ] (p 1 p 2 ) [ p 0 (p 1 p 2 )] [ p 2 (p 1 p 2 )] [ p 1 (p 1 p 2 )] ( p 0 p 1 ) ( p 0 p 2 ) ( p 2 p 1 ) ( p 2 p 2 ) ( p 1 p 1 ) ( p 1 p 2 ) ( p 0 p 1 ) ( p 0 p 2 ) ( p 2 p 1 ) ( p 1 p 2 ). Stelling. Zij A een zin van de prop-taal. Dan is A logisch equivalent met een zin B die bestaat uit conjuncties van disjuncties van propositiesymbolen of negaties van propositiesymbolen. (We zeggen dat B in conjunctieve normaalvorm is.)

10 10 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Inderdaad de situatie is hier volledig analoog met wat we hierboven gezien hebben voor de disjunctieve normaalvorm: het bewijs, de voorbeelden en de oefeningen kunnen aangepast worden op een voor de hand liggende wijze.

11 4. Praktische methoden DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 11 We hebben reeds opgemerkt dat het opstellen van de waarheidstabel een algemene methode (algorithme) geeft, om na te gaan of een zin van de prop-taal een tautologie is. Als de zin n propositiesymbolen bevat, moeten we in de waarheidstabel 2 n verschillende waarderingen beschouwen. Dit geeft dus ontzaglijk veel werk als n groot is. In speciale gevallen kan men soms veel sneller werken door gebruik te maken van de resultaten van 3 of door het gezond verstand te gebruiken. In volgende oefeningen stellen A, B, C, D, E zinnen van de prop-taal voor. Oefening 1. Toon aan dat (A B) (A B) een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen. Oplossing. Het linkerlid is logisch equivalent met A B (formule (7) van 3). Het rechterlid is logisch equivalent met A B (De Morgan). Oefening 2. Toon aan dat (A (B C)) ((A B) C) een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen. Oplossing. (1ste werkwijze) Het linkerlid is logisch equivalent met A (B C) (formule (7) van 3). Het rechterlid is logisch equivalent met (A B) C (formule (7) van 3 ) ( A B) C (De Morgan) A (B C). Oplossing. (2de werkwijze) a) Om aan te tonen dat [A (B C)] [(A B) C] een tautologie is, moeten we het volgende aantonen : Gegeven : w(a (B C)) = 1, w(a B) = 1. Te bewijzen : w(c) = 1. Bewijs : Uit w(a B) = 1, volgt w(a) = 1 en w(b) = 0. Dus uit w(a (B C)) = 1, volgt nu dat w(b C) = 1. Dus w(c) = 1, daar w(b) 1. b) We tonen ook aan dat [(A B) C] [A (B C)] een tautologie is. Gegeven : w((a B) C) = 1, en w(a) = 1. Te bewijzen : w(b C) = 1. Bewijs : Veronderstel w(b) = 0. Dan w(a B) = 1, dus w(c) = 1. Dus w(b C) = 1. Oefening 3. Toon aan dat [(A B) C] [(A C) B] een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen. Oplossing.

12 12 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Het linkerlid is logisch equivalent met (A B) C (formule (7) van 3) A B C (De Morgan) Het rechterlid is logisch equivalent met (A C) B (formule (7) van 3) A C B (De Morgan) A B C Oefening 4. Toon aan dat {[D ((A B) C)] [D C]} {D (A B)} een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen. Oplossing. We moeten dus eigenlijk het volgende bewijzen : Gegeven : (1) (2) (3) (4) w[d ((A B) C)] = 1, w(d C) = 1, w(d) = 1, w(a) = 1. Te bewijzen : w(b) = 1. Bewijs. Uit (3) en (2) volgt w(c) = 0. Uit (3) en (1) volgt w((a B) C) = 1. Uit dit laatste en w(c) = 0, volgt w(a B) = 0. Uit dit laatste en w(a) = 1, volgt w( B) = 0. Dus w(b) = 1. Opmerking. Indien we oefening 4 zouden willen oplossen met een waarheidstabel, dan zouden we veel meer werk hebben, omdat we dan 2 4 = 16 waarderingen zouden moeten beschouwen. Oefening 5. Toon aan dat de zin (17) in 3 een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen. Oplossing. We hebben de volgende tautologieën : [A (B E)] [(A B) E] ( 3 (16)) [A (B (C } {{ D } ))] [(A B) (C } {{ D } )] E E ( 3 (16)) Het gevraagde volgt nu uit 3 (21). [((A B) C) D].

13 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 13 Oefening 6. Toon aan dat ( E D) {(B C) [(E A) (( (B C) E) (D A))]} een tautologie is. Oplossing. We moeten dus eigenlijk het volgende bewijzen : Gegeven : (1) w( E D) = 1, (2) w(b C) = 1, (3) w(e A) = 1. Te bewijzen : (4) w[ (B C) E] = 1 en (5) w(d A) = 1. Bewijs : Uit (2) volgt (4). Als w(e) = 1, dan volgt uit (1) dat w(d) = 1, en als w(e) = 0, dan volgt uit (3) dat w(a) = 1. Dus in elk geval hebben we w(d A) = 1. Dit bewijst (5). De volgende oefening toont aan hoe we de propositielogica kunnen gebruiken in de elementaire verzamelingenleer. Oefening 7. Zij X, Y, Z deelverzamelingen van U. Het complement van bv. X in U duiden we aan met X, dus X = U\X. Toon aan dat : Als Z X, dan X Y X (Y Z). Oplossing. Zij x een willekeurig element van U. We moeten bewijzen dat Maar er is gegeven dat x (X Y ) x (X (Y Z)) [x } {{ X } (x } {{ Y } )] [x } {{ X } (x } {{ Y } x }{{ Z } )]. p 0 p 1 p 0 p 1 p 2 x Z }{{} p 2 Het is dus voldoende te bewijzen dat x } {{ X }. p 0 (p 2 p 0 ) {(p 0 p 1 ) [p 0 (p 1 p 2 )]} een tautologie is. Dit is gemakkelijk, want deze zin is logisch equivalent met [(p 2 p 0 ) (p 0 p 1 )] [p 0 (p 1 p 2 )] [(p 0 p 2 ) (p 0 p 1 )] [p 0 (p 1 p 2 )] [p 0 ( p 2 p 1 )] [p 0 ( p 1 p 2 )] [p 0 ( p 1 p 2 )] [p 0 ( p 1 p 2 )].

14

15

16

17 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 17 HOOFDSTUK II DE PREDIKATENLOGICA 0. Inleidend voorbeeld - Zij M de verzameling van de mensen die nu leven of ooit geleefd hebben. Op die verzameling M beschouwen we de relatie is op een vroeger tijdstip geboren dan. We duiden die relatie hier aan met OUDERDAN. Wiskundig bekeken is die relatie eigenlijk een verzameling van koppels (geordende paren), namelijk: {(x, y) x M, y M, x is op een vroeger tijdstip geboren dan y}. - Dit voorbeeld illustreert de volgende algemene definitie. Een binaire relatie (of relatie met twee argumenten) op een verzameling A is een deelverzameling van de verzameling A 2 van alle koppels (x, y) met x en y in A. En meer algemeen: Een relatie met n argumenten op een verzameling A is een deelverzameling van de verzameling A n van alle geordende n-tallen (x 1, x 2,, x n ) met x 1, x 2,, x n in A. Een relatie met 1 argument op een verzameling A is per definitie eender welke deelverzameling van A. - We keren nu terug naar ons voorbeeld over de relatie OUDERDAN op M. Bovendien beschouwen we ook nog twee functies 1 van M naar M, namelijk de functie VADER : M M : x de vader van x, en de functie MOEDER : M M : x de moeder van x. (We nemen hier aan dat elke mens die ooit geleefd heeft een menselijke vader en moeder had, wat in werkelijkheid niet kan...) Tenslotte beschouwen we ook nog een speciaal element van M, namelijk Jan Zonder Vrees, graaf van Vlaanderen van 1405 tot 1419 (tevens hertog van Bourgondië). We duiden Jan Zonder Vrees kortweg aan door JAN. Het geheel bestaande uit de verzameling M, de relatie OUDERDAN (met 2 argumenten), de twee functies VADER (met 1 argument) en MOEDER (met 1 argument), en het speciale element JAN van M, is een voorbeeld van een structuur met signatuur < 2; 1, 1; 1 > (zie volgende paragraaf). We duiden die structuur aan door M = < M; OUDERDAN; VADER, MOEDER; JAN >, 1 In deze cursus is functie een synoniem van afbeelding, en bij een functie van een verzameling A naar een verzameling B moet er in elk element van A juist 1 pijl vertrekken. Typeset by AMS-TEX

18 18 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA en noemen M het universum van M. - We voeren nu een kunstmatige taal L in, waarmee we allerlei beweringen over de structuur M kunnen formuleren. Dit is de predicatenlogicataal met één relatieidentifier OUDERDAN (met 2 argumenten), met twee functie-identifiers VADER (met 1 argument) en MOEDER (met 1 argument), en met één constante-identifier JAN. We geven nu een aantal voorbeelden van zinnen in die taal: (1) ( x)( y)(jan = VADER(x) (x = VADER(y) x = MOEDER(y)) ) (2) ( x)( OUDERDAN(x,JAN) VADER(x) = VADER(JAN) MOEDER(x) = MOEDER(JAN) ) (3) ( x)( y)( VADER(y) = JAN MOEDER(y) = x) Als we de zin (1) interpreteren in de structuur M dan beweert die zin dat Jan Zonder Vrees een kleinkind heeft. Zin (2) beweert dat Jan Zonder Vrees een oudere broer of oudere zus heeft. Zin (3) beweert dat alle kinderen van Jan Zonder Vrees dezelfde moeder hebben. Als we een zin van een predikatenlogicataal interpreteren in een structuur, dan betekent ( x) dat er een x in het universum van die structuur bestaat zodat. En ( x) betekent dat voor elke x in het universum geldt dat. We spreken af dat een kwantor altijd slaat op de kleinste deelformule die erachter volgt, zie paragraaf 2. Dus ( y)( VADER(y) = JAN MOEDER(y) = x) heeft een gans andere betekenis dan ( y) VADER(y) = JAN MOEDER(y) = x. Een uitdrukking zoals VADER(JAN), of MOEDER(VADER(x)), noemen we een term. Een term stelt een element van het universum M voor, we kunnen er geen waarheidswaarde (waar of vals) aan toekennen. We kunnen zinnen zoals (1), (2), en (3) hierboven ook interpreteren in andere structuren, bijvoorbeeld in de structuur die men bekomt door in het voorgaande het universum M te vervangen door alle voorouders van Filips de Goede (een zoon van Jan Zonder Vrees). De interpretatie van zin (1) is duidelijk vals in die nieuwe structuur, alhoewel Filips de Goede een zoon heeft (Karel de Stoute). De idee dat we zinnen van een predikatenlogicataal in heel veel verschillende structuren kunnen interpreteren zal verderop heel belangrijk worden.

19 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Structuren - Definitie. Zij n 1, n 2,, n k, m 1, m 2,, m r, κ N 0. Een structuur D met signatuur < n 1,, n k ; m 1,, m r ; κ > bestaat uit: (i) Een niet lege verzameling D, het universum van D genoemd, (ii) Voor elke i = 1, 2,, k een relatie R i op D met n i argumenten. Dus R i is een deelverzameling van D n i = D D D = {(x }{{} 1,, x ni ) x 1 D,, x ni D}. n i keren (iii) Voor elke j = 1, 2,, r een afbeelding (=functie) F j : D m j D. De afbeelding F j heeft dus m j argumenten. (iv) Voor elke l = 1,, κ een element d l D. Zo een element d l wordt een constante genoemd. Notatie : D =< D ; R 1, R 2,, R k ; F 1, F 2,, F r ; d 1, d 2,, d κ >. Een relatie met 1 argument is gewoon een deelverzameling van D. De relaties R 1, R 2, hoeven niet onderling verschillend te zijn, de afbeeldingen F 1, F 2, hoeven niet onderling verschillend te zijn. Ook de elementen d 1, d 2, van D hoeven niet onderling verschillend te zijn. We kunnen ook structuren beschouwen met signatuur <; m 1,, m r ; κ >, dus zonder relaties : < D; ; F 1,, F r ; d 1,, d κ >, signatuur < n 1,, n k ; ; κ >, dus zonder functies : < D; R 1,, R k ; ; d 1,, d κ >, signatuur < n 1,, n k ; m 1,, m r >, zonder constanten : < D; R 1,, R k ; F 1,, F r >, signatuur <; m 1,, m r >, alleen maar functies : < D; ; F 1,, F r >, signatuur <; ; κ > zonder relaties en functies : < D; ; ; d 1,, d κ >, signatuur < n 1,, n k >, zonder functies en constanten: < D; R 1,, R k >. Voorbeelden. We hebben bijvoorbeeld de volgende structuren: < {alle mensen} ;...is ouder van...,...is een vrouw > signatuur < 2, 1 > < {alle mensen} ; jonger ; moeder, vader ; JanDenef > signatuur < 2; 1, 1; 1 > < N ; < > signatuur < 2 > < N ; < ; ; 0, 1 > signatuur < 2; ; 2 > < N ; < ; ; 2, 5, 3, 11, 2 > signatuur < 2; ; 5 > < N ; ; +, ; 0, 1 > signatuur <; 2, 2; 2 > < N ; < ; +, ; 0, 1 > signatuur < 2; 2, 2; 2 > < N; <, > signatuur < 2, 2 > < R; <, Z > signatuur < 2, 1 > - In 2 gaan we voor elke gegeven signatuur kunstmatige talen invoeren waarin we over elke structuur met die gegeven signatuur kunnen spreken. Eerst gaan we

20 20 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA zo een taal bekijken zonder rekening te houden met wat de zinnen van die taal betekenen. In 3 zullen we dan exact definiëren hoe we die zinnen kunnen interpreteren (= semantiek).

21 2. De predikatenlogicatalen DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 21 - Met een identifier bedoelen we in deze cursus een eindige rij symbolen die begint met een letter en waarbij elk symbool een letter of een cijfer is. Een letter mag een hoofdletter of een kleine letter zijn. Voorbeeld: Jan507tjeJoris7 is een identifier. Opmerking: identifier is een Engels woord en dient zo uitgesproken te worden. - Zij P 1, P 2,, P k, G 1, G 2,, G r, c 1, c 2,, c κ een rij waarvan de elementen onderling verschillende identifiers aanduiden. Dus P 1 duidt een identifier aan, P 2 duidt een identifier aan, en zo verder. - Zij n 1, n 2,, n k, m 1,, m r, κ een rij getallen in N 0. - We gaan nu een kunstmatige taal L invoeren, namelijk de predikatenlogicataal L met relatie-identifiers P 1 met n 1 argumenten, P 2 met n 2 argumenten,, P k met n k argumenten, met functie-identifiers G 1 met m 1 argumenten, G 2 met m 2 argumenten,, G r met m r argumenten, en met constante-identifiers c 1, c 2,, c κ. - We gebruiken de volgende notatie om die taal L op ondubbelzinnige wijze te karakteriseren: L = < (P 1, n 1 ), (P 2, n 2 ),, (P k, n k ) ; (G 1, m 1 ),, (G r, m r ) ; c 1, c 2,, c κ >, en we zeggen dat < n 1,, n k ; m 1,, m r ; κ > de signatuur is van L. Soms zullen we het nogal lange woord predikatenlogicataal afkorten tot pred-taal. Indien een relatie-identifier slechts uit één symbool bestaat, dan zullen we dat soms een relatiesymbool noemen. Op dezelfde wijze zullen we ook spreken over functiesymbolen en constantesymbolen. In de meeste boeken en artikels wordt een relatie-identifier eigenlijk een relatiesymbool genoemd, zelfs als de relatie-identifier uit meerdere symbolen bestaat. Dezelfde opmerking geldt voor functie-identifiers en constante-identifiers. - De symbolen en identifiers van L bestaan uit 1. De relatie-identifiers : P 1, P 2,, P k 2. De functie-identifiers : G 1, G 2,, G r 3. De constante-identifiers : c 1, c 2,, c κ 4. De variabelen : v 0, v 1, v 2, (oneindig veel) 5. De connectieven :,,,, 6. De kwantoren :, 7. Gelijkheidssymbool : = 8. Hulptekens : ( ) [ ] { } (haakjes) en, (de komma) We laten ook toe eender welke identifiers te gebruiken als variabelen op voorwaarde dat die verschillend zijn van de relatie-identifiers, functie-identifiers en constanteidentifiers. We moeten erg oppassen dat we onderscheid maken tussen de variabelen en de constante-identifiers. - Een term van L is een rij symbolen van L die kan bekomen worden door herhaaldelijke toepassing van de volgende regels : 1. Elke variabele is een term van L. 2. Elke constante-identifier van L is een term van L.

22 22 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 3. Als t 1, t 2, t 3, termen zijn van L dan zijn G 1 (t 1, t 2,, t m1 ) G 2 (t 1, t 2,, t m2 ). G r (t 1, t 2,, t mr ) termen van L. (De getallen m 1, m 2,, m r hangen af van de signatuur van L.) Hetzelfde geldt ook voor ( ) vervangen door [ ], of door { }. Voorbeeld. G 2 (G 1 (G 2 (v 1, v 2, c 1 ), G 1 (v 1, c 2 )), c 1, c 2 ) is een term in eender welke pred-taal met signatuur < 1; 2, 3, 5; 3 >, maar G 2 (v 1, v 2 ) is geen term in die taal. - Een formule van L is een rij symbolen van L die kan bekomen worden door herhaaldelijke toepassing van de volgende regels : 1. Als t 1, t 2, t 3, termen zijn van L dan zijn P 1 (t 1, t 2,, t n1 ) P 2 (t 1, t 2,, t n2 ). P k (t 1, t 2,, t nk ) formules van L. (De getallen n 1, n 2,, n k hangen af van de signatuur van L.) Hetzelfde geldt ook voor ( ) vervangen door [ ], of door { }. 2. Als t 1 en t 2 termen zijn van L dan is t 1 = t 2 een formule van L. 3. Als A en B formules van L zijn, dan zijn ook (A B) (A B) (A B) (A B) A formules van L. Hetzelfde geldt ook voor ( ) vervangen door [ ], of door { }. 4. Als A een formule van L is en als x een variabele is, dan zijn formules van L. ( x)a ( x)a - Opmerking. n i wordt het aantal argumenten van de relatie-identifier P i genoemd, en m i wordt het aantal argumenten van de functie-identifier G i genoemd. De formules bekomen door 1 en 2 heten atomische formules.

23 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 23 - Opmerking. De lezer moet er zich van bewust zijn, dat de bovenstaande definities (en bijna alle definities in deze cursus) vatbaar zijn voor vele variaties, en dat elk handboek over logica een verschillend stel definities gebruikt. - Opmerking. Een relatie wordt ook wel eens een predikaat genoemd, vandaar de naam predikatenlogica. Daarom spreekt men soms over predikaat-identifiers en predikaatsymbolen in plaats van relatie-identifiers en relatiesymbolen. - Voorbeeld : Zij < 2, 3, 4; 1, 2; 1 > de signatuur van L, dan zijn (P 1 (v 0, v 112 ) ( v 0 )P 2 (v 0, v 10, G 2 (c 1, G 1 (v 0 ))) ) ( v 1 ) (P 3 (v 0, v 1, v 5, v 2 ) ( v 3 ) (P 1 (v 1, v 2 ) P 2 (v 1, v 2, v 3 ))) ( v 1 )P 1 (v 0, v 0 ) ( v 0 ) (( v 0 )P 2 (v 0, v 2, v 9 ) ( P 1 (v 0, v 0 ))) formules van L. - Voorbeeld : Beschouw de pred-taal met slechts één relatie-identifier OUDERDAN, met 2 argumenten, met twee functie-identifiers MOEDER en VADER, elk met één argument, en met één constante-identifier JAN. Dus deze taal heeft signatuur < 2; 1, 1; 1 > en wordt aangeduid met < (OUDERDAN, 2); (MOEDER, 1), (VADER, 1); JAN >. Dit is de taal die we in paragraaf O bekeken hebben. atomische formule in deze taal is Een voorbeeld van een OUDERDAN(MOEDER(JAN), JAN). - Hierboven gebruikten we de symbolen A, B, C, om formules van L aan te duiden. De symbolen x, y, z, worden soms gebruikt om variabelen (dus elementen van {v 0, v 1, v 2, }) aan te duiden. Dus als bijvoorbeeld A, B formules van L aanduiden, en als x een variabele aanduidt, dan duidt (( x)a B) een formule van L aan, maar de rij van deze 9 symbolen is zelf geen formule van L. - Soms gaan we een formule van L aanduiden met A(x), om er de aandacht op te vestigen dat de variabele x mag voorkomen in de formule. Weglaten van haakjes De afspraken aangaande het weglaten van haakjes, die we in hoofdstuk I 1 gemaakt hebben, blijven we gebruiken in de predikatenlogica. Dus mogen we schrijven in plaats van P 1 (v 0, v 112 ) ( v 0 )P 2 (v 0, v 10, v 2 ) (P 1 (v 0, v 112 ) ( v 0 )P 2 (v 0, v 10, v 2 )) omdat we de buitenste haakjes mogen weglaten. Zoals in hoofdstuk I 1 mogen we ook haakjes weglaten op grond van de daar ingevoerde voorrangsregels, bijvoorbeeld: P 1 (v 1, v 2 ) P 1 (v 1, v 1 ) ( v 3 )P 2 (v 3, v 3, v 3 )

24 24 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA in plaats van: (P 1 (v 1, v 2 ) P 1 (v 1, v 1 )) ( v 3 )P 2 (v 3, v 3, v 3 ). Bovendien spreken we af dat de kwantoren sterker binden dan de connectieven, dus mogen we schrijven: in plaats van ( v 1 )( v 2 )P 1 (v 1, v 2 ) ( v 1 )P 1 (v 1, v 1 ) ( v 3 )P 2 (v 3, v 3, v 3 ) ( ( v 1 )( v 2 )P 1 (v 1, v 2 ) (( v 1 )P 1 (v 1, v 1 ) ( v 3 )P 2 (v 3, v 3, v 3 )) ). We mogen steeds haakjes toevoegen, op voorwaarde dat dit de betekenis niet verandert. Dus in plaats van de laatste formule hierboven mogen we ook schrijven: ( ( v 1 )( v 2 )P 1 (v 1, v 2 ) ) (( v 1 )P 1 (v 1, v 1 ) ( v 3 )P 2 (v 3, v 3, v 3 )). Merk op dat er in de formule (( v 1 )P 1 (v 1, v 1 ) ( v 1 )( v 2 )( v 3 )P 2 (v 1, v 2, v 3 )) geen haakjes zijn weggelaten, inderdaad die formule wordt bekomen door de vormingsregels (in de definitie van wat een formule is) toe te passen. Men is niet verplicht om zoveel mogelijk haakjes weg te laten. In de cursustekst zullen we zelden haakjes weglaten op basis van de voorrangsregels voor de connectieven, maar in de oefeningen zullen we dit vaker doen wanneer we met ingewikkelde formules werken. Conventie: Wanneer we formules van de pred-taal aanduiden met letters A, B, of A(x), B(y), en we bouwen daarmee een andere formule op, bijvoorbeeld ( v 1 )A, dan veronderstellen we (hierboven en in het vervolg) altijd (zonder dat expliciet te vermelden) dat er in A, B,, A(x), B(y), geen buitenste haakjes weggelaten zijn. Anders zou het kunnen dat de opgebouwde formule een heel andere betekenis krijgt dan verwacht. Inderdaad indien A de formule P 1 (v 1, v 2 ) P 2 (v 1, v 2, v 3 ) is, dan is ( v 1 )A letterlijk hetzelfde als ( v 1 )P 1 (v 1, v 2 ) P 2 (v 1, v 2, v 3 ), wat een totaal andere betekenis heeft dan ( v 1 )(P 1 (v 1, v 2 ) P 2 (v 1, v 2, v 3 )). Dit willen we dus vermijden. Notatie: Om het geheel overzichtelijker te maken zullen we dikwijls t 1 t 2 schrijven in plaats van t 1 = t 2, wanneer t 1 en t 2 termen zijn van L. We beschouwen v 1, v 2, als zijnde hetzelfde als v 1, v 2,. Inderdaad indices worden dikwijls aangeduid door een underscore. Definitie van vrije en gebonden variabelen Een formule A van L is een rij van symbolen. Een deelrij van opeenvolgende symbolen van A die zelf een formule is (en die niet start of eindigt binnen een identifier), wordt een deelformule van A genoemd. Voorbeeld : ( v 1 )(P 3 (v 0, v 1, v 5, v 2 ) ( v 3 )(P 1 (v 1, v 2 ) P 2 (v 1, v 2, v 3 )) ) P 1 (v 5, v 5 ) }{{} deelformule

25 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 25 Maar anderzijds is JORIS = JORIS geen deelformule van JANJORIS = JORIS. Het is ook onderverstaan dat v 1 = v 12 geen deelformule is van v 1 = v Zij x een variabele, en veronderstel dat de kwantor ( x) op een bepaalde plaats voorkomt in de formule A. Het bereik van de kwantor ( x) op die plaats, is de kleinste deelformule van A die direct volgt na die kwantor ( x). Op dezelfde wijze definiëren we het bereik van een kwantor ( x). Voorbeeld : ( v 1 ) (P 1 (v 0, v 1 ) P 2 (v 0, v 1 )) P 3 (v 1 ) }{{} bereik Veronderstel dat de variabele x op een bepaalde plaats in de formule A voorkomt. We zeggen dat x gebonden is op die plaats in A, als x op die plaats voorkomt in een kwantor ( x) of ( x) of in het bereik ervan. We zeggen dat x vrij is op die plaats in de formule A, als ze daar niet gebonden is. Voorbeeld : ( v }{{} 0 )(P 2 ( gebonden P 1 (v 0, v }{{ 1 ) ( } vrij gebonden {}}{ v 0, v 1, v }{{ 1 ) ( } vrij gebonden {}}{ v 0 )P 2 ( v 0, v 0 }{{} gebonden, vrij {}}{ v 1 ) gebonden {}}{ v 1 ) P 3 ( v 0, v 1 }{{} gebonden vrij {}}{, v 2, v 3 )) Het is dus mogelijk dat een variabele in een formule op sommige plaatsen vrij is en op andere plaatsen gebonden is. (Dit is soms hinderlijk maar het loont niet de moeite om het te verbieden.) Definitie. Een zin (of gesloten formule) van L is een formule van L zonder vrije variabelen. Voorbeeld : (met c 1 een constantesymbool) ( v 0 )( v 1 )( v 3 )(P 1 (v 0, v 1 ) P 2 (c 1, v 1, v 3 )) ( v 0 )(P 1 (v 0, v 1 ) P 2 (v 0, v 1, v 3 )) ( v 1 )( v 2 )P 1 (v 0, v 2 ) is geen zin. is een zin. is geen zin. Unicode-syntax versus ASCII-syntax De ASCII-karakters zijn de letters, cijfers en symbolen die te vinden zijn op de Amerikaanse toetsenborden voor computers (samen met een aantal controlekarakters). De symbolen,,,,,,, zijn geen ASCII-karakters. Het zijn wel Unicode-karakters. Meerdere tekstverwerkers en clients bieden niet de mogelijkheid met deze unicode-karakters te werken. Voor deze redenen is het soms belangrijk de symbolen,,,,, te vervangen door de ASCII karakters /\, \/,, >, < >, <>.

26 26 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Indien we bovendien de kwantoren in uitdrukkingen van de vorm ( x)c(x), en ( x)c(x), overal herschrijven onder de vorm A x C(x), en E x C(x), dan bekomen we een nieuwe schrijfwijze voor onze formules die we ASCII-syntax noemen. De spatie achter een kwantor en achter de variabele na een kwantor, is verplicht in ASCII-syntax. De schrijfwijze die we aanvankelijk hadden ingevoerd noemen weunicode-syntax. Met de software-tool LogicPalet kun je gemakkelijk vertalen van Unicode-syntax naar ASCII-syntax en omgekeerd. Nog enkele andere schrijfwijzen Een andere schrijfwijze voor kwantoren die in sommige boeken wordt gebruikt is van de vorm x : en x :. Bij het gebruik van de dubbelpunt acher een variabele na een kwantor is de conventie dat de kwantor slaat op al wat achter de dubbelpunt volgt, tenzij haakjes het anders bepalen. Tenslotte vermelden we nog de Spass-syntax die gebruikt wordt door de software SPASS. Die syntax is totaal verschillend van de hiervoor behandelde schrijfwijzen. Bijvoorbeeld: A B wordt in Spass-syntax and(a,b), en ( x)a(x) wordt forall([x], A(x)). Met de software-tool LogicPalet kun je gemakkelijk vertalen van Unicode-syntax naar Spass-syntax. Probeer met enkele voorbeelden en dan zul je zien hoe de andere connectieven is Spass-syntax geschreven worden.

27 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Interpretatie (=semantiek) van de predikatenlogicatalen - Zij L de predikatenlogicataal L = < (P 1, n 1 ), (P 2, n 2 ),, (P k, n k ) ; (G 1, m 1 ),, (G r, m r ) ; c 1, c 2,, c κ >. Deze taal heeft signatuur < n 1,, n k ; m 1,, m r ; κ >, en heeft relatie-identifiers P 1,, P k, functie-identifiers G 1,, G r, en constante-identifiers c 1,, c κ. Zij D =< D; R 1,, R k ; F 1,, F r ; d 1,, d κ > een structuur met zelfde signatuur. Zij A een zin van L. We kunnen A interpreteren in D : interpreteer P i door R i, G j door F j, c l door d l, interpreteer = door de gelijkheidsrelatie, interpreteer de connectieven,,,, door en, of, implicatie, asa, niet, en interpreteer ( x) door er bestaat een x in het universum D zodanig dat, en interpreteer ( x) door voor alle x in het universum D geldt. We spreken hierbij af dat een kwantor altijd slaat op zijn bereik, dus op de kleinste deelformule achter de kwantor. Op deze wijze bekomen we een bewering aangaande de structuur D die ofwel waar is (we zeggen dan dat A waar is in D, notatie D A), ofwel vals is. We zullen een nauwkeurige definitie geven van het zojuist geschetste begrip, maar eerst een voorbeeld : Voorbeeld 1. Zij L de pred-taal < (P 1, 2) >. Zij D 1 =< Z ; < >, D 2 =< Q ; < >. Zij A de zin ( v 1 )( v 2 ) (P 1 (v 1, v 2 ) ( v 3 )(P 1 (v 1, v 3 ) P 1 (v 3, v 2 ))). Dan is A vals in D 1 maar waar in D 2. - We kunnen niet zeggen of een formule met vrije variabelen ( bijvoorbeeld P 1 (v 1, v 2 ) in voorbeeld 1 hierboven) waar of vals is in de structuur D. Daarvoor moeten we eerst de vrije variabelen vervangen door elementen van het universum D. Daarom maken we de volgende definitie : Definitie : Een bedeling s voor een structuur D is een afbeelding s: {v 0, v 1, v 2, } D : v i s(v i ), van de verzameling 2 van de variabelen naar D. Zij nu A een formule van L met vrije variabelen v i, v j,. We zeggen dat A waar is in D onder de bedeling s (notatie D, s A) als de formule waar is in D nadat men de vrije variabelen v i, v j, vervangen heeft door s(v i ), s(v j ),. Vooraleer we een exacte definitie geven, bekijken we nog een voorbeeld : Voorbeeld 2. Zij L en D 1 zoals in voorbeeld 1. Zij s een bedeling met s(v 1 ) = 1, s(v 2 ) = 2. Zij s een bedeling met s (v 1 ) = 2, s (v 2 ) = 4. Zij B de formule ( v 3 )(P 1 (v 1, v 3 ) P 1 (v 3, v 2 )). Dan hebben we dat ( betekent : niet ). D 1, s B en D 1, s B. 2 We nemen hier stilzwijgend aan dat v 0, v 1, v 2, de enige variabelen zijn. Als er ook andere variabelen gebruikt worden dan moet men de uitleg hier op evidente wijze aanpassen.

28 28 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA - Exacte definitie van Zij L de predikatenlogicataal L = < (P 1, n 1 ), (P 2, n 2 ),, (P k, n k ) ; (G 1, m 1 ),, (G r, m r ) ; c 1, c 2,, c κ >, zoals op de vorige pagina. Deze taal heeft signatuur < n 1,, n k ; m 1,, m r ; κ >. Zij D =< D; R 1,, R k ; F 1,, F r ; d 1,, d κ > een structuur met zelfde signatuur. Zij s een bedeling voor D. Alvorens aan de eigenlijke definitie van te beginnen, voeren we nog een notatie in : Notatie : Zij j N, r D, en zij s een bedeling voor D. Met s(v j r) duiden we een nieuwe bedeling voor D aan, die gedefinieerd is door { r s(v j r): {v 0, v 1, v 2, } D : v i s(v i ) als i = j als i j. - Zij t een term van L. Onder de bedeling s kunnen we de term t op evidente wijze interpreteren door een element s(t) D. Dit element wordt bekomen door de variabelen van t te vervangen door de waarde die de bedeling daaraan associeert en door de functie-identifiers en constante-identifiers G 1,, G r, c 1,, c κ te interpreteren door F 1,, F r, d 1,, d κ. Men noemt s(t) de interpretatie van t in D onder de bedeling s. Een exacte definitie van s(t) door inductie op het aantal symbolen van t is als volgt : 1. Als t de variabele v i is, dan s(t) = s(v i ). 2. Als t de constante-identifier c i is, dan s(t) = d i. 3. Als t de term G i (t 1,, t mi ) is, met t 1,, t mi termen, dan s(t) = F i (s(t 1 ),, s(t mi )). - Zij A een formule van L. Intuïtief is het duidelijk wat we bedoelen met de formule A is waar in D onder de bedeling s (notatie D, s A). Inderdaad, de termen die in A voorkomen moeten geïnterpreteerd worden zoals hierboven. Een exacte definitie, door inductie op het aantal symbolen van A, is als volgt : 1. Zij t 1,, t ni termen van L, dan D, s P i (t 1,, t ni ) asa (s(t 1 ),, s(t ni )) voldoet aan de relatie R i. 2. Zij t 1 en t 2 termen van L, dan 3. Zij A en B formules van L, dan D, s t 1 = t 2 asa s(t 1 ) = s(t 2 ). D, s (A B) asa D, s A en D, s B D, s (A B) asa D, s A of D, s B D, s (A B) asa D, s A of D, s B D, s (A B) asa D, s A asa D, s B D, s A asa D, s A.

29 4. Zij A een formule van L, dan DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 29 D, s ( v j )A asa er bestaat een r D zodat D, s(v j r) A, D, s ( v j )A asa voor elke r D geldt D, s(v j r) A. Volgens de conventie in paragraaf 2 veronderstellen we hier dat er in A geen buitenste haakjes zijn weggelaten, dus het bereik van de vooropstaande kwantor is A. Die veronderstelling is nodig: Bijvoorbeeld als A de formule P 1 (v j ) P 2 (v j ) is, dan geldt het bovenstaande niet. Voor de bondigheid hebben we hierboven alleen maar gewerkt met kleine haakjes, maar de definities met [ ] en { } zijn natuurlijk volledig analoog. Eigenschap 1. Zij C een formule van L, en zij s en s bedelingen voor D. Veronderstel dat s(v) = s (v) voor elke variabele v die vrij voorkomt in C. Dan D, s C asa D, s C. Dus, de waarheidswaarde van C is onafhankelijk van de waarde van de bedeling op die variabelen die niet voorkomen in C of die alleen gebonden voorkomen in C. Inderdaad, uit 4 hierboven volgt dat we voor een gebonden variabele v j de bedeling vervangen door s(v j r), zodat de waarde s(v j ) geen rol speelt. Definitie. Zij A een zin van L (dus een formule zonder vrije variabelen). We zeggen A is waar in D (Notatie D A) asa D, s A voor minstens één (en dus voor elke!) bedeling s. Oefening 1. Zij L, D 1, en D 2 zoals in voorbeeld 1. Zij A de formule Voor welke bedelingen s geldt (a) D 1, s A (b) D 2, s A. ( v 0 ) (v 1 = v 0 ( v 1 )(P 1 (v 0, v 1 ) P 1 (v 1, v 2 ))). Belangrijke definities. Zij A een formule van de predikatenlogicataal L. We zeggen dat A logisch waar is (notatie A) asa D, s A voor elke structuur D met zelfde signatuur als L en voor elke bedeling s voor D. Twee formules A, B van de predikatenlogicataal L heten logisch equivalent asa de formule A B logisch waar is. Een theorie T in L is een verzameling zinnen van L. We zeggen dat de structuur D een model is voor T ( notatie D T ) asa D B voor elke B T. Zij A 1,, A l en B zinnen van L. We zeggen dat B een logisch gevolg is van A 1,, A l, asa de zin (A 1 A 2 A l ) B logisch waar is. Dit geldt asa B waar is in elke structuur (met zelfde signatuur als L) waarin A 1,, A l waar zijn.

30 30 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Voorbeelden - De formule ( v 0 )P 1 (v 0, v 1 ) ( v 0 )P 1 (v 0, v 1 ) is logisch waar. Om dit in te zien moet je gebruik maken van het feit dat het universum van een structuur minstens één element bevat (per definitie D ). - De zin ( v 0 )( v 1 )v 1 = v 0 is niet logisch waar. Inderdaad, deze zin is waar in een structuur D asa het universum van D bevat slechts één element. - Dus ook de zin ( v 0 )( v 1 )v 1 = v 0 is niet logisch waar. - Deze voorbeelden tonen aan dat A niet impliceert dat A. Oefening 2. - Beschouw de pred-taal met relatie-identifiers OuderVan (met 2 argumenten) en Vrouw (met 1 argument). De verzameling van de mensen (die nu leven of ooit geleefd hebben) is het universum van een structuur met signatuur < 2, 1 > en relaties... is ouder van... en... is een vrouw. Vertaal in die pred-taal de volgende beweringen over die structuur: a) Niemand is vader van iedereen. b) Iedereen heeft een moeder. c) Wie een dochter heeft, heeft een zoon. - Definieer in die pred-taal de volgende relaties in twee argumenten (je moet dus een formule in die pred-taal vinden (met twee vrije variabelen) wiens interpretatie de opgegeven relatie is) d)... is grootouder van... e)... is zuster van... f)... is oom van... Oefening 3. - Beschouw de pred-taal met signatuur < 1, 2; 1, 1 >, met twee relatie-identifiers Vrouw (met 1 argument), en OuderDan (met twee argumenten), en met twee functie-identifiers moeder en vader (elk met één argument). De verzameling van de mensen (die nu leven of ooit geleefd hebben) is het universum van een structuur met signatuur < 1, 2; 1, 1 >, met relaties... is een vrouw, en... is ouder dan... en functies de moeder van... en de vader van.... (We nemen hier aan dat elke mens die ooit geleefd heeft een menselijke vader en moeder had, wat in werkelijkheid niet kan...) Vertaal in die pred-taal de volgende beweringen over die structuur: a) Niemand is vader van iedereen. b) Iedereen heeft een moeder die ouder is dan zijn vader. c) Wie een dochter heeft, heeft een zoon. g) Sommige vaders zijn ouder dan de moeder van sommige van hun kinderen. (opgepast: met sommige... bedoelen we minstens één... ) - Definieer in die pred-taal de volgende relaties in twee argumenten (je moet dus een formule in die pred-taal vinden (met twee vrije variabelen) wiens interpretatie de opgegeven relatie is) d)... is grootvader van... e)... is zuster van... f)... is oom van... - Is de volgende zin van die pred-taal al dan niet logisch waar: ( v 0 ) OuderDan(moeder(v 0 ), v 0 )

31 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA 31 Antwoord: niet logisch waar, want om logisch waar te zijn moet de zin waar zijn als men OuderDan interpreteert door t is eender welke relatie in twee argumenten en moeder door t is eender welke functie in één argument. Opmerkingen. - In de vorige twee oefeningen definiëren we niet exact wat we bedoelen met vertalen, maar het is intuitief wel duidelijk wat hier bedoeld wordt. In het kader van de Tarski-werelden zullen we hieronder aan de notie vertalen een specifieke betekenis geven (die echter niet van toepassing is op de situatie hierboven). - Met sommige... bedoelen we steeds minstens één, alhoewel achter de uitdrukking sommige steeds een meervoudsvorm komt. Dus als we zeggen sommige mensen hebben de eigenschap..., dan bedoelen we dat minstens één mens eigenschap... heeft.

32 32 DEEL I. WISKUNDIGE LOGICA Tarski-werelden - Een Tarski-wereld bestaat uit figuren (minstens 1) die zich op een schaakbord met 8x8 velden bevinden (zie tekening 1 verderop). Elke figuur is ofwel een driehoek, ofwel een vierkant, ofwel een vijfhoek. Zo een figuur kan groot, klein, of middelmatig zijn. Sommige van de figuren hebben eventueel een naam a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, of q. Een figuur mag niet meer dan één naam hebben, en de namen van de figuren moeten onderling verschillend zijn. De namen moeten duidelijk op de tekening aangegeven worden. - Aan een Tarski-wereld associëren we een structuur (in de zin van de predikatenlogica): Het universum is de verzameling van de figuren op het schaakbord, en de relaties zijn de volgende:... is een driehoek Triangle(...)... is een vierkant Square(...)... is een vijfhoek Pentagon(...)... is klein Small(...)... is middelmatig Medium(...)... is groot Large(...)... is (strikt) kleiner dan... Smaller(...,...)... is (strikt) groter dan... Larger(, )... is meer naar links gelegen dan... LeftOf(...,...)... is meer naar rechts gelegen dan... RightOf(, )... is meer naar voor gelegen dan... FrontOf(...,...)... is meer naar achter gelegen dan... BackOf(, )... bevindt zich tussen... en... Between(...,...,...) De constanten van de structuur zijn de figuren die een naam hebben, op alfabetische volgorde. Er zijn geen functies. Figuren die op verschillende velden van het schaakbord staan worden altijd beschouwd als verschillende elementen van het universum. - De Tarski-wereld-pred-taal heeft de hierboven (in de rechtse kolom) vermelde relatie-identifiers en de volgende constante-identifiers: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q. Een zin in de Tarskiwereld-pred-taal kunnen we op de voor de hand liggende wijze interpreteren (waar of vals) in een Tarski-wereld, op voorwaarde dat er voor elk constantesymbool dat voorkomt in die zin, een figuur in die Tarski-wereld aanwezig is met dezelfde naam. We spreken af om in formules van de Tarski-wereld-pred-taal alleen maar de variabelen r, s, t, u, v, w, x, y, z te gebruiken, omwille van de te gebruiken software-tool. - Sommige van onze relaties moeten nog nauwkeuriger gedefinieerd worden: We zeggen dat een figuur x meer naar links gelegen is dan een figuur y, dus LeftOf(x,y), asa de kolom waartoe x behoort aan de linkerkant gelegen is van de kolom waartoe y behoort (deze kolommen mogen dus zeker niet dezelfde zijn). De zinswendingen x bevindt zich links van y, x ligt links van y, x links van y beschouwen we als synoniemen van LeftOf(x,y). De definitie van RightOf(x,y) is analoog. We zeggen dat een figuur x meer naar voor gelegen is dan een figuur y, dus FrontOf(x,y), asa de rij waartoe x behoort meer naar voor gelegen is dan de rij waartoe y behoort (deze rijen mogen dus zeker niet dezelfde zijn). De zinswendingen x bevindt zich voor y, x ligt voor y, x voor y beschouwen we als synoniemen van FrontOf(x,y). De definitie van BackOf(x,y) is analoog. We zeggen dat een figuur z zich bevindt tussen de figuren x en y, dus Between(z,x,y), asa z gelegen is tussen x en y in eenzelfde kolom, rij of diagonaal. Dan moeten die drie figuren alleszins op drie