Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Transcriptie

1 Aanvullingen bij Hoofdstuk Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los van de context van lineaire afbeeldingen. We kunnen anderzijds een vierkante matrix altijd beschouwen als de matrix van een lineaire afbeelding ten opzichte van een basis en dan moeten deze begrippen natuurlijk overeenkomen. Definitie 8.4. Zij B een (p p)-matrix. (1) De karakteristieke veelterm van B is f B (t) := det(ti p B). (2) Een eigenwaarde van B is een wortel van f B (t). (3) Een eigenvector van B met eigenwaarde λ is een vector (v 1... v p ) R p zodat (v 1... v p ) (0... 0) en v 1 v 1 B. = λ.. v p v p Anders gezegd als B : R p R p de lineaire afbeelding is met matrix B ten opzichte van de standaardbasis van R p dan is een eigenwaarde of eigenvector van B precies een eigenwaarde of eigenvector van B. Stelling 8.3. Zij B een (p p)-matrix en P een inverteerbare (p p)-matrix. Dan is f B = f P 1 BP en hebben B en P 1 BP dus dezelfde eigenwaarden. Bewijs. Oefening. Stelling 8.4. De eigenwaarden van een boven- of benedendriehoeksmatrix zijn de elementen op de hoofddiagonaal. Bewijs. Zij A een (p p)-boven- of benedendriehoeksmatrix. We noteren met a 11 a a pp de elementen op de hoofddiagonaal van A. Wegens Stelling 5.3 is p f A (t) = det(ti p A) = (t a ii ). 1

2 Definitie 8.5. Een (p p)-matrix B is diagonaliseerbaar als (1) R p een basis heeft bestaande uit eigenvectoren van B of equivalent hiermee als (2) er een inverteerbare (p p)-matrix P bestaat zodat P 1 BP een diagonaalmatrix is. Het bewijs van de equivalentie is eenvoudig. (Als je dit niet inziet kijk dan naar Stelling 8.2 en het bewijs hiervan.) 8.6 Criteria voor diagonaliseerbaarheid Omdat diagonaalmatrices de meest eenvoudige matrices zijn zowel om theoretisch mee te werken als praktisch ( met de hand of met de computer) loont het zeker de moeite om te onderzoeken wanneer precies een lineaire afbeelding diagonaliseerbaar is. Hiervoor gaan we eerst eigenvectoren en eigenwaarden wat van naderbij bestuderen. Belangrijke opmerking. We hebben de begrippen karakteristieke veelterm eigenwaarde eigenvector eigenruimte en diagonaliseerbaarheid intussen ook ingevoerd voor vierkante matrices. De resultaten en definities in dit deeltje gelden ook als je in de formuleringen de lineaire transformatie A vervangt door een vierkante matrix A. Stelling 8.5. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte V. Zij λ 1... λ r verschillende eigenwaarden van A. (1) Zij v i een eigenvector van A met eigenwaarde λ i voor i = 1... r. Dan zijn v 1 v 2... v r lineair onafhankelijk. (2) De som r E λ i is een directe inwendige som. Bewijs. (1) Dit tonen we aan per inductie op r; het geval r = 1 is alvast in orde. We veronderstellen nu dat r > 1. Wegens de inductiehypothese mogen we aannemen dat v 1 v 2... v r 1 lineair onafhankelijk zijn. Stel dat v 1 v 2... v r lineair afhankelijk zouden zijn. Dan geldt voor zekere α i R dat v r = α 1 v 1 + α 2 v α r 1 v r 1. Inderdaad bij een afhankelijkheidsrelatie tussen v 1 v 2... v r moet v r expliciet voorkomen omdat de anderen lineair onafhankelijk zijn. Enerzijds is nu A(v r ) = A(α 1 v 1 + α 2 v α r 1 v r 1 ) = α 1 A(v 1 ) + α 2 A(v 2 ) + + α r 1 A(v r 1 ) = α 1 λ 1 v 1 + α 2 λ 2 v α r 1 λ r 1 v r 1 2

3 en anderzijds is ook Hieruit volgt dat A(v r ) = λ r v r = α 1 λ r v 1 + α 2 λ r v α r 1 λ r v r 1. α 1 (λ 1 λ r )v 1 + α 2 (λ 2 λ r )v α r 1 (λ r 1 λ r )v r 1 = 0. Omdat v 1 v 2... v r 1 lineair onafhankelijk zijn zijn dan alle λ i λ r waarvoor α i 0 gelijk aan nul. Dus is er zeker één λ i = λ r. Dit levert een contradictie. (2) We gebruiken Stelling We schrijven de nulvector als 0 = w i waarbij elke w i E λi en moeten dan aantonen dat elke w i = 0. Stel dat minstens één van deze w j 0. Dan zegt bovenstaande gelijkheid dat een aantal eigenvectoren horende bij verschillende eigenwaarden lineair afhankelijk zijn. En dit kan niet wegens (1). Hieruit kunnen we reeds het volgende speciale geval halen in verband met diagonaliseerbaarheid. Stelling 8.6. Als een lineaire transformatie A van een p-dimensionale vectorruimte p verschillende eigenwaarden heeft dan is A diagonaliseerbaar. Bewijs. Kies bij elke eigenwaarde een eigenvector. Deze p eigenvectoren zijn lineair onafhankelijk en vormen dus een basis van de gegeven p-dimensionale vectorruimte. Opmerking. In dit geval is elke eigenruimte dus ééndimensionaal. Nu gaan we op zoek naar een nodige en voldoende voorwaarde voor diagonaliseerbaarheid. Hierbij zullen we de multipliciteit van een eigenwaarde nodig hebben. Definitie 8.6. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte en λ een eigenwaarde van A. De (algebraïsche) multipliciteit van λ genoteerd mult A λ of kortweg mult λ is het aantal keer dat λ een wortel is van de karakteristieke veelterm van A; anders gezegd : mult λ = m als f A (t) = (t λ) m g(t) met λ geen wortel van g. 3

4 Stelling 8.7. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Voor elke eigenwaarde λ van A geldt : dim E λ mult λ. Bewijs. Zij p de dimensie van de vectorruimte en k = dim E λ. Neem een basis v 1... v k van E λ en breid deze basis uit tot een basis van V met p k vectoren v k+1... v p. De matrix van A ten opzichte van de basis v 1... v p is van de vorm λik B A = O C waarbij O de (p k) k-nulmatrix is B een k (p k)-deelmatrix en C een (p k) (p k)- deelmatrix. De karakteristieke veelterm van A is dus f A (t) = ti p A = ti k λi k B O ti p k C = (t λ)i k B O ti p k C. Ontwikkelen naar de eerste k kolommen levert f A (t) = (t λ) k ti p k C. Dit zegt dat λ minstens multipliciteit k heeft als wortel van f A en dus inderdaad dat de multipliciteit van λ minstens even groot is als dim E λ. Opmerking. De dimensie van E λ heet ook de meetkundige multipliciteit van λ. Dan zegt de vorige stelling : (meetkundige multipliciteit van λ) (algebraïsche multipliciteit van λ). In Voorbeeld 8.10 bleek voor de enige eigenwaarde λ = 1 dat dim E λ < mult λ; in Stelling 8.7 kan de ongelijkheid dus strikt zijn. Dit was ook de reden waarom de transformatie in Voorbeeld 8.10 niet diagonaliseerbaar was. Zij nu A : V V een lineaire transformatie van een p-dimensionale vectorruimte en λ 1... λ r alle verschillende eigenwaarden van A. Dan is altijd r mult λ i p waarbij gelijkheid optreedt precies wanneer f A volledig splitst in lineaire factoren over R. Uit Stelling 8.7 volgt alvast dat steeds ( ) dim E λi mult λ i p. Deze ongelijkheden zijn belangrijk bij het bewijs van de volgende criteria voor diagonaliseerbaarheid. 4

5 Stelling 8.8. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte V. Zij λ 1... λ r alle verschillende eigenwaarden van A. Dan zijn volgende uitspraken equivalent : (1) A is diagonaliseerbaar (2) V = r E λ i (3) V = r E λ i (4) f A splitst volledig in lineaire factoren over R en dim E λi = mult λ i voor elke i = 1... r. Bewijs. Noteer p := dim V. (1) (2) Per definitie van diagonaliseerbaar heeft V dan een basis van eigenvectoren en is dus zeker V = r E λ i. (2) (3) Dit volgt uit Stelling 8.5(2). (3) (4) Uit het gegeven en ( ) volgt dat p = dim V = dim E λi mult λ i p. Dit kan enkel als alle ongelijkheden gelijkheden zijn. Dan is r mult λ i = p wat betekent dat f A volledig splitst in lineaire factoren over R en r dim E λ i = r mult λ i wat (wegens Stelling 8.7) impliceert dat dim E λi = mult λ i voor elke i = 1... r. (4) (1) Kies in elke E λi een basis B i (van eigenvectoren dus). Het aantal vectoren in r B i is volgens het gegeven r dim E λ i = r mult λ i = p. Wegens stelling 8.5 zijn deze vectoren lineair onafhankelijk en vormen dus een basis van V. Gevolg. Als A diagonaliseerbaar is vormt de (disjuncte) unie van basissen van de E λi een basis van V. 8.7 Trianguleren Zelfs als de karakteristieke veelterm van een lineaire transformatie A volledig splitst in lineaire factoren over R hoeft A niet diagonaliseerbaar te zijn; zie Voorbeeld De tweede voorwaarde in Stelling 8.8(4) is dus echt nodig. Maar dan kunnen we wel steeds een nog redelijk eenvoudige matrixvoorstelling van A vinden; ten opzichte van een geschikte basis wordt de matrix van A namelijk een bovendriehoeksmatrix. Men zegt dan dat A trianguleerbaar is. In het bewijs komt de notie van invariante deelruimte te voorschijn. 5

6 Definitie 8.7. Zij A : V V een lineaire transformatie van een vectorruimte V. Een A-invariante deelruimte van V is een deelruimte W van V waarvoor A(W ) W. Merk op dat de beperking van A tot W dan een lineaire transformatie is van W. Stelling 8.9. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte V. Als f A volledig splitst in lineaire factoren over R dan bestaat er een basis E van V zodat de matrix van A ten opzichte van E een bovendriehoeksmatrix is. Bewijs. We argumenteren per inductie op de dimensie p van V. Het geval p = 1 is evident. We nemen nu p > 1. Zij λ 1 een eigenwaarde van A en v 1 een eigenvector met eigenwaarde λ 1. W 1 := <v 1 > een A-invariante deelruimte van V. Dan is Breid nu v 1 uit tot een basis v 1 v 2... v p van V. Dan is W 2 := <v 2... v p > een supplementaire deelruimte van W 1 met andere woorden V = W 1 W 2 maar W 2 is niet noodzakelijk A-invariant. De matrix van A ten opzichte van v 1 v 2... v p is dus van de vorm λ1 A = O R waarbij O een kolom is van p 1 nullen R een (p 1) (p 1)-deelmatrix en een rij van p 1 getallen. (Indien W 2 ook A-invariant zou zijn wordt dit een nulrij.) Zij A R de lineaire transformatie van W 2 met matrix R ten opzichte van de basis v 2... v p van W 2. Een belangrijke opmerking voor het vervolg is dat voor elke w W 2 de verschilvector A(w) A R (w) tot W 1 behoort. Door de determinant van ti p A te ontwikkelen naar de eerste kolom verkrijgen we f A (t) = (t λ 1 )f AR (t). Bijgevolg splitst ook f AR volledig in lineaire factoren over R. Nu levert de inductiehypothese toegepast op de (p 1)-dimensionale vectorruimte W 2 en de lineaire transformatie A R een basis v 2... v p van W 2 zodat de matrix R van A R ten opzichte van deze nieuwe basis een bovendriehoeksmatrix is. De vectoren v 1 v 2... v p vormen ook een basis van V en de matrix van A ten opzichte van deze basis is van de vorm A λ1 = O R. Verifieer dit! Omdat R een bovendriehoeksmatrix is is A dit natuurlijk ook. Gevolg. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Als f A volledig splitst in lineaire factoren over R dan : 6

7 (1) det(a) is het product van alle eigenwaarden van A (2) Sp(A) is de som van alle eigenwaarden van A. Hierbij moeten de eigenwaarden wel geteld worden met hun multipliciteit. 8.8 En nu met complexe getallen Hiermee wordt alles niet complexer maar eenvoudiger! Voorbeeld 8.9bis. De matrix cos α sin α A = sin α cos α had als karakteristieke veelterm f A (t) = t 2 2(cos α)t + 1. Als cos α ±1 heeft A geen reële wortels en dus geen eigenwaarden en geen eigenvectoren. Over C heeft f A wel twee wortels namelijk λ 1 = cos α + i sin α (= e iα ) en λ 2 = cos α i sin α (= e iα ). We zeggen dat λ 1 en λ 2 complexe eigenwaarden zijn van A. We kunnen de matrix A eigenlijk ook beschouwen als een matrix over C en hieraan de afbeelding C 2 C 2 : ( z1 z 2 ) z1 A z 2 associëren. Analoog als in Definities 8.1 en 8.2 kunnen we complexe eigenvectoren en( eigenruimtes ) ( invoeren. ) Bijvoorbeeld voor λ 1 zijn dit de oplossingen in C 2 van z1 z1 A = λ z 1 dus van het homogene stelsel met coëfficiëntenmatrix 2 z 2 i sin α sin α λ 1 I 2 A =. sin α i sin α De oplossingen hiervan zijn alle complexe veelvouden van (1 i). Analoog vormen alle complexe veelvouden van (1 i) de complexe eigenruimte van λ 2. We voeren deze begrippen nu in het algemeen in. (A) Alles wat we tot nu toe gezien hebben blijft geldig met C in plaats van R. Hiermee bedoelen we het volgende : 7

8 Stel dat voor de verzameling V in Definitie 2.1 als tevoren een vectoroptelling gedefinieerd is maar nu een scalaire vermenigvuldiging met complexe in plaats van reële getallen. Vervang in de axioma s overal R door C. Men noemt V dan een complexe vectorruimte of vectorruimte over C. Alle ingevoerde begrippen kunnen we nu ook beschouwen voor complexe vectorruimten en alle geziene resultaten blijven geldig (waarbij we telkens reëel getal moeten vervangen door complex getal )! Opmerking. Wat we tot nu toe steeds gewoon vectorruimte genoemd hebben wordt ook reële vectorruimte of vectorruimte over R genoemd. Dit is nuttig voor de gevallen waarin er keuze is om over R of over C te werken; zie (C) hieronder. (B) We bekijken nu in het bijzonder de complexe versie van Definities 8.1 en 8.2. Aan lineaire transformaties van complexe vectorruimten respectievelijk aan complexe vierkante matrices associëren we eigenwaarden in C en eigenvectoren met complexe coördinaten (ten opzichte van een basis) respectievelijk eigenvectoren in C n. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte. De karakteristieke veelterm f A van A splitst volledig in lineaire factoren over C; dit betekent dat de eigenwaarden van A samenvallen met alle wortels van f A. (Over R waren de complexe niet-reële wortels van de karakteristieke veelterm geen eigenwaarden.) Hieruit volgt ook dat er over C steeds een eigenwaarde (en dus eigenvector) is. De formuleringen van de Stellingen 8.8 en 8.9 zijn over C dan iets eenvoudiger. Voor de duidelijkheid geven we deze formuleringen expliciet. Stelling 8.8. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte V en λ 1... λ r alle verschillende eigenwaarden van A. Dan zijn volgende uitspraken equivalent : (1) A is diagonaliseerbaar (2) V = r E λ i (3) V = r E λ i (4) dim E λi = mult λ i voor elke i = 1... r. Stelling 8.9. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte V. Dan bestaat er een basis E van V zodat de matrix van A ten opzichte van E een bovendriehoeksmatrix is. Gevolg. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte. Dan : (1) det(a) is het product van alle eigenwaarden van A 8

9 (2) Sp(A) is de som van alle eigenwaarden van A waarbij de eigenwaarden geteld moeten worden met hun multipliciteit. We vermelden tenslotte expliciet als gevolg van de complexe versie van Stelling 6.4 : Een complexe (p p)-matrix A is diagonaliseerbaar als en slechts als er een inverteerbare complexe (p p)-matrix B bestaat zodat B 1 AB een (complexe) diagonaalmatrix is. (C) Zij A een reële (p p)-matrix. Naargelang we A beschouwen als reële of als complexe matrix geldt er een andere notie van diagonaliseerbaarheid. Voor de duidelijkheid is het hier beter om altijd expliciet diagonaliseerbaar over R of diagonaliseerbaar over C te zeggen. Even herhalen : A is diagonaliseerbaar over R R p heeft een basis van (reële) eigenvectoren van A f A splitst volledig in lineaire factoren over R en voor elke (reële) eigenwaarde λ van A is dim E λ = mult λ A is diagonaliseerbaar over C C p heeft een basis van (complexe) eigenvectoren van A voor elke complexe eigenwaarde λ van A is dim E λ = mult λ. Merk op dat in het eerste geval E λ een reële vectorruimte is en in het tweede geval een complexe vectorruimte. Bijvoorbeeld is de matrix in Voorbeeld 8.9 diagonaliseerbaar over C maar niet over R. Opgave 8.9. Zij λ een complexe niet-reële eigenwaarde van een reële vierkante matrix. Dan heeft λ geen reële eigenvectoren. Opmerking. Zelfs als we enkel geïnteresseerd zijn in reële eigenschappen van een reële vierkante matrix kan het nuttig zijn om complexe eigenwaarden en eigenvectoren te kennen en te gebruiken. We zullen hiervan voorbeelden zien bij een toepassing van lineaire algebra en bij de hoofdstelling over symmetrische matrices in Hoofdstuk 9. Een eenvoudig voorbeeldje van dit principe zagen we al bij de berekening van de determinant en het spoor van een reële vierkante matrix A. Deze zijn natuurlijk beide reëel maar kunnen berekend worden als respectievelijk het product en de som van alle complexe eigenwaarden van A. Merk op dat wanneer de karakteristieke veelterm van A niet volledig in lineaire factoren splitst over R det(a) en Sp(A) in het algemeen niet gelijk zijn aan respectievelijk product en som van alle reële eigenwaarden van A. 9