(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

Transcriptie

1 Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie, die deze objecten een voorkeurpositie laat innemen tov het coördinatenstelsel Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie 3 Gebruik de door u bepaalde coördinatentransformatie om een parametervoorstelling op te stellen van de doorsnijdingskromme van de originele sfeer en cilinder 4 Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is? Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie, die deze objecten een voorkeurpositie laat innemen tov het coördinatenstelsel Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie 3 Gebruik de door u bepaalde coördinatentransformatie om een parametervoorstelling op te stellen van de doorsnijdingskromme van de originele sfeer en cilinder 4 Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is? Vraag op 5 punten het omwentelingskegeloppervlak K dat bepaald wordt door de rechte door de oorsprong met richtingsvector, 0, te wentelen om de X-as; het vlak α met vergelijking x 3y + z = Bepaal de cartesiaanse vergelijking van de orthogonale projectie C op het grondvlak van K van de doorsnijdingskromme C van K en α Reduceer deze tot standaardgedaante

2 3 Bepaal nu een parametervoorstelling van zowel C als C Vraag op 5 punten het omwentelingskegeloppervlak K dat bepaald wordt door de rechte door de oorsprong met richtingsvector,, 0 te wentelen om de Y -as; het vlak α met vergelijking x + y 3z = Bepaal de cartesiaanse vergelijking van de orthogonale projectie C op het grondvlak van K van de doorsnijdingskromme C van K en α Reduceer deze tot standaardgedaante 3 Bepaal nu een parametervoorstelling van zowel C als C Vraag op 5 punten Een ellips E met brandpunten Q, 4, en Q 3, 8, 3 en halve grote as 6 Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen tov het coördinatenstelsel Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling op te stellen van het omwentelingsoppervlak Σ, dat ontstaat door rotatie van de gegeven ellips om haar grote as 3 Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is? Vraag op 5 punten Een hyperbool H met brandpunten Q 0,, 0 en Q 4, 0, 4 en halve grote as 6 Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen tov het coördinatenstelsel Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling op te stellen van het omwentelingsoppervlak Σ, dat ontstaat door rotatie van de gegeven hyperbool om haar grote as 3 Hoe zou u kunnen controleren of deze parametervoorstelling correct is? Vraag op 5 punten de rechte r door P 5, 5,, met richtingsvector u,, ; de rechte s door Q0, 0,, met richtingsvector v,, 4

3 Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen tov het coördinatenstelsel Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s 3 Ga na dat dit oppervlak twee stellen beschrijvenden bezit; welk oppervlak is het? Vraag op 5 punten de rechte s door P 5, 5,, met richtingsvector u,, ; de rechte r door Q0, 0,, met richtingsvector v,, 4 Bepaal een affiene of een coördinatentransformatie die de gegevens een voorkeurpositie laat innemen tov het coördinatenstelsel Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking op te stellen van het oppervlak dat ontstaat door rotatie van r om s 3 Ga na dat dit oppervlak twee stellen beschrijvenden bezit; welk oppervlak is het? Vraag a op 5 punten Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur De vectorvergelijking x a = b b 0 heeft x = a b als unieke oplossing a Als O de 3 3 matrix is corresponderend met een orthogonale projectie op een rechte en S de 3 3 matrix corresponderend met een orthogonale spiegeling tov dezelfde rechte, dan geldt er dat O S = I, waarbij I de eenheidsmatrix van orde 3 voorstelt 3 Een niet-singuliere kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is een hyperbolische paraboloïde 4 Het schroefoppervlak heeft geen singuliere punten 5 Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y = xz is een regeloppervlak met twee onderling orthogonale richtvlakken De vector x = a b is oplossing van de vectorvergelijking x a = b b 0 a Als O de 3 3 matrix is corresponderend met een orthogonale projectie op een rechte en S de 3 3 matrix corresponderend met een orthogonale spiegeling tov dezelfde rechte, dan geldt er dat S O = I, waarbij I de eenheidsmatrix van orde 3 voorstelt 3 Een niet-reduciebele, singuliere kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is een hyperbolische cilinder 4 Het schroefoppervlak heeft oneindig veel singuliere punten

4 5 Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y = xz is een regeloppervlak dat kan worden opgebouwd aan de hand van een richtvlak en twee richtrechten Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt er steeds dat het dubbel vectorieel product a b c a een scalair veelvoud is van a Een isometrie wordt in genormaliseerde homogene coördinaten voorgesteld door een orthogonale matrix 3 Een niet-singuliere kwadriek met twee gelijke eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is een omwentelingsparaboloïde 4 Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een vlakke gladde boog heeft enkel singuliere punten in de snijpunten met de omwentelingsas 5 Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking y = xz is een regeloppervlak dat een richtvlak bezit Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt er steeds dat het dubbel vectorieel product a c c b een scalair veelvoud is van c Een orthogonale transformatie in de ruimte der vrije vectoren wordt gerepresenteerd door een orthogonale matrix 3 Een singuliere kwadriek met twee gelijke eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is een omwentelingscilinder 4 Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een vlakke gladde boog die de omwentelingsas niet snijdt, heeft geen singuliere punten 5 Het oppervlak met cartesiaanse vergelijking x = y 3 z is een regeloppervlak dat een richtvlak bezit Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt steeds dat a b c + b c a + c a b = 0 Er bestaan oneindig veel 4 4 matrices waarvoor geldt dat A k = I voor alle k N 3 Onder een orthogonale projectie worden de brandpunten van een ellips steeds afgebeeld op de brandpunten van de geprojecteerde ellips 4 Een niet-reduciebele kwadriek met twee eigenwaarden gelijk aan 0, is een parabolische cilinder 5 Het oppervlak dat ontstaat door rotatie van een rechte om een as waarmee ze kruisend is, is een eenbladige hyperboloïde Voor drie willekeurige vectoren a, b en c geldt steeds dat b a c + a c b + c b a = 0 Er bestaan oneindig veel 4 4 matrices waarvoor geldt dat A k+ = A voor alle k N 3 Onder een orthogonale projectie worden de assen van een ellips steeds afgebeeld op de assen van de geprojecteerde ellips 4 Een kwadriek met twee eigenwaarden gelijk aan 0, is een parabolische cilinder

5 5 Het oppervlak dat ontstaat door rotatie van een rechte om een as waarmee ze kruisend is, is een regeloppervlak met twee stellen beschrijvenden Het scalair product van twee niet-projecterende vectoren blijft behouden onder orthogonale projectie zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale projectie op een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten Dan is A I met I de eenheidsmatrix een nuldeler 3 De samenstelling van twee spiegelingen tov elkaar snijdende rechten is een rotatie 4 Een niet-singuliere kwadriek met één eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische paraboloïde of een elliptische paraboloïde 5 Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as niet snijdt, heeft geen singuliere punten Het scalair product van twee niet-projecterende vectoren blijft behouden onder orthogonale projectie zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale projectie op een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten Dan is A I met I de eenheidsmatrix een nuldeler 3 De samenstelling van twee spiegelingen tov elkaar snijdende rechten is een rotatie 4 Een niet-singuliere kwadriek met één eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische paraboloïde of een elliptische paraboloïde 5 Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as niet snijdt, heeft geen singuliere punten Een rechte hoek tussen twee niet-projecterende vectoren blijft behouden onder orthogonale projectie zodra minstens één van beide evenwijdig is met het projectievlak Er bestaan oneindig veel 3 3 singuliere matrices A waarvoor ook A I met I de eenheidsmatrix singulier is 3 De samenstelling van twee puntspiegelingen is een translatie 4 Een singuliere kwadriek met één eigenwaarde gelijk aan 0, is een hyperbolische paraboloïde of een elliptische paraboloïde 5 Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as snijdt, heeft steeds singuliere punten Vraag b op 5 punten Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur Zij V, V, V 3 deelruimten van een vectorruimte V met V V, dan geldt er dat V V + V 3 = V + V V 3 Als A, B R en er geldt zowel deta + B = deta + detb als deta + ib = deta detb, dan is detxa + yb = x deta + y detb voor alle x, y R 3 Als een inverteerbare matrix kan worden geschreven als het product van een ondertriangulaire en een boventriangulaire matrix, dan is die ontbinding uniek 4 Voor elke u R n is de matrix uu T diagonaliseerbaar over R 5 Er bestaat een unitaire matrix in C n n die λ = + 3i tot eigenwaarde heeft

6 Opdat de unie van twee deelruimten van een gegeven lineaire ruimte opnieuw een lineaire ruimte zou zijn, is het nodig en voldoende dat een van beide een deelverzameling is van de andere Als A, B R 3 3 en deta = detb = deta + B = deta B = 0, dan geldt er dat detxa + yb = 0 voor alle x, y R 3 Als een inverteerbare matrix een LU-decompositie bezit, dan zijn L en U uniek 4 Voor elke u R n is de matrix I + uu T diagonaliseerbaar over R 5 Er bestaat een unitaire matrix in C n n die λ = 3 + i tot eigenwaarde heeft Als W en W eindigdimensionale deelruimten zijn van een vectorruimte V, dan is W + W = W W Zij A R n n een matrix met het getal a op de hoofddiagonaal en het getal b op alle andere posities, dan is deta = a b n a + n b 3 Voor elke ondertriangulaire matrix L bestaat er een ondertriangulaire matrix L zodat het product L L een diagonaalmatrix is 4 Voor elke u 0 R n is dimkeruu T = n 5 Een projectiematrix van de orde n is steeds diagonaliseerbaar Als W en W eindigdimensionale deelruimten zijn van een vectorruimte V, dan is W + W = W W Zij A R n n een matrix met het getal a op de hoofddiagonaal en het getal b op alle andere posities, dan is A inverteerbaar als en slechts dan als a b en a nb 3 Voor elke boventriangulaire matrix U bestaat er een boventriangulaire matrix U zodat het product U U een diagonaalmatrix is 4 Voor elke u 0 R n is dimimuu T = 5 Er bestaan nilpotente matrices die diagonaliseerbaar zijn over R De verzameling der reëelsymmetrische n n matrices is een vectorruimte van dimensie nn+ Zij A n de reële n n matrix met elementen a ij = α maxi,j, waarbij α,, α n gegeven getallen zijn, dan is A inverteerbaar zodra α k α k+, k =,, n 3 Als voor het homomorfisme T : R 3 R 4 geldt dat imt = {a+b, a b, c a, a a, b, c R 3 }, dan is T injectief 4 Zij T het endomorfisme op R n gegeven door T x, x,, x n = 0, 0, x 3,, x n, dan is σt, met meetkundige multipliciteit n 5 Zij A C n n en Q GLn; C, dan geldt er dat expq AQ = Q expaq De verzameling der spoorvrije reëelsymmetrische n n matrices is een vectorruimte van dimensie n +n Zij A n de reële n n matrix met elementen a ij = α maxi,j, waarbij α,, α n gegeven getallen zijn, dan is deta = α α α α 3 α n α n α n

7 3 Als voor het homomorfisme T : R R 3 geldt dat imt = {a + b, a b, a a, b R }, dan is T injectief 4 Zij T het endomorfisme op R n gegeven door T x, x,, x n = 0, 0, x 3,, x n, dan is 0 σt, met meetkundige multipliciteit 5 Zij A C n n diagonaliseerbaar, dan geldt er dat detexpa = exptra De verzameling der complexe symmetrische 3 3 matrices waarvoor de som van de elementen op elke rij gelijk aan 0 is, vormt een achtdimensionale vectorruimte over R Zij A en B twee antisymmetrische 7 7 matrices, dan is deta B = deta detb 3 Er bestaat een homomorfisme T : R 3 R dat injectief is 4 De lineaire transformatie T : R n [x] R n [x], met T px = xp x is diagonaliseerbaar 5 Zij A een diagonaliseerbare n n matrix met eigenwaarde 0 met algebraïsche multipliciteit n, dan is deta + I n = + tra De verzameling der reëelsymmetrische 3 3 matrices waarvoor de som van de elementen op elke rij gelijk aan 0 is, vormt een driedimensionale vectorruimte over R Zij A en B twee antisymmetrische 5 5 matrices, dan is deta + B = deta + detb 3 Er bestaat een homomorfisme T : R 3 R dat injectief is 4 Het minimaalpolynoom van de lineaire transformatie T : R n [x] R n [x], met T px = xp x is zz z n 5 Zij A een diagonaliseerbare n n matrix met σa = {λ}, dan is deta + I n = + λ n Het endomorfisme T : R 3 R 3, bepaald door T x, y, z = x + y + z, x + y + z, x + y + z Geef de matrixvoorstelling van T tov de basis B = {,, 0,,, 0,,, } Ga na of T diagonaliseerbaar is over R 3 Geef desgevallend de diagonaalvorm van T, de diagonaliserende matrix en de basis van R 3 tov dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen 4 Bepaal dett en trt en controleer deze waarden adhv een theoretisch resultaat; is T inverteerbaar? Het endomorfisme T : R 3 R 3, bepaald door T x, y, z = x y + z, x + y + z, x + y + z

8 Geef de matrixvoorstelling van T tov de basis B = {,, 0,,, 0,,, } Ga na of T diagonaliseerbaar is over R 3 Geef desgevallend de diagonaalvorm van T, de diagonaliserende matrix en de basis van R 3 tov dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen 4 Bepaal dett en trt en controleer deze waarden adhv een theoretisch resultaat; is T inverteerbaar? Het endomorfisme T : C C, bepaald door a b d a T = c d b c Geef de matrixvoorstelling van T tov de basis B = {E + E, E E, E + E + E, E + E E } Ga na of T diagonaliseerbaar is over C 3 Geef desgevallend de diagonaalvorm van T, de diagonaliserende matrix en de basis van C tov dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen 4 Bepaal dett en trt en controleer deze waarden adhv een theoretisch resultaat; is T inverteerbaar? Het endomorfisme T : C C, bepaald door a b d a T = c d b c Geef de matrixvoorstelling van T tov de basis B = {E + E, E E, E + E + E, E + E E } Ga na of T diagonaliseerbaar is over C 3 Geef desgevallend de diagonaalvorm van T, de diagonaliserende matrix en de basis van C tov dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen 4 Bepaal dett en trt en controleer deze waarden adhv een theoretisch resultaat; is T inverteerbaar?

9 De reële n n matrix A = n n n n n n n n 3 n n n n Neem n = 5 en geef de eigenwaarden en eigenvectoren van A als functie van ω = exp πi 5 Is deze matrix diagonaliseerbaar over R? Verklaar 3 Geef desgevallend de reële diagonaalvorm en de basis van R 5 tov de welke deze diagonaalvorm wordt aangenomen; geef het verband met De reële n n matrix A = n n n n n n n n 3 n n n n Neem n = 6 en geef de eigenwaarden en eigenvectoren van A als functie van ω = exp πi 6 Is deze matrix diagonaliseerbaar over R? Verklaar 3 Geef desgevallend de reële diagonaalvorm en de basis van R 6 tov de welke deze diagonaalvorm wordt aangenomen; geef het verband met Het stelsel Ax = y, met A =, x = x x x 3, y = Bepaal de beste benadering y in ima van y met de methode van orthogonale projectie

10 Los nu het stelsel Ax = y op dwv het transponeringsalgoritme; leg de werkwijze uit, tussenstappen mogen met Maple 3 Hoe zou u kunnen controleren dat x een kleinste kwadratenoplossing van het gegeven stelsel is? Het stelsel Ax = y, met A =, x = x x x 3, y = Bepaal de beste benadering y in ima van y met de methode van orthogonale projectie Los nu het stelsel Ax = y op dwv het transponeringsalgoritme 3 Hoe zou u kunnen controleren dat x een kleinste kwadratenoplossing van het gegeven stelsel is? Leg telkens de werkwijze uit, berekeningen mogen met Maple