Lineaire afbeeldingen
|
|
- Valentijn de Veen
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn dat de lineaire afbeeldingen Definities 4 Een L-lineaire afbeelding tussen L-vectorruimten V en W is een afbeelding f: V W die voldoet aan [A] f(v + v 2 = f(v + f(v 2 voor alle v,v 2 V ; [A2] f(λv = λf(v voor alle v V en λ L Als V = W dan heet een L-lineaire afbeelding ook wel een (lineaire transformatie of een endomorfisme Als W = L = L (de L-vectorruimte van dimensie dan heet een L-lineaire afbeelding ook wel een lineaire functionaal Opmerkingen 42 Veel belangrijke eigenschappen van L-lineaire afbeeldingen f volgen uit de definities net zo als in het reële geval: (i f(0 = 0; (ii f( v = f(v voor elke v V ; (iii f(v + λ v 2 = f(v + λ f(v 2 voor elke λ L en alle v,v 2, V ; (iv f(λ v + λ v λ k v k = λ f(v +λ 2 f(v λ k f(v k voor alle natuurlijke getallen k, alle λ i L en alle v i V Het is niet moeilijk in te zien dat (iii en (iv elk equivalent zijn met eigenschap [A] en [A2] samen Dat verklaart de naam lineaire afbeelding Na verloop van tijd laten we de L in L-lineaire afbeelding vaak weg; bedenk wel dat f : V W alleen een lineaire afbeelding kan zijn als V en W vectorruimten over hetzelfde lichaam L zijn Voorbeelden 4 (i De afbeelding 0 : V W die aan alle v V het nulelement 0 W van W toevoegt is altijd een L-lineaire afbeelding als V en W beide L-vectorruimten zijn Dit heet natuurlijk de nulafbeelding (ii De afbeelding id : V W die aan elk element v V zichzelf toevoegt, id(v = v, is een L-lineaire afbeelding als V een lineaire deelruimte van W is, bijvoorbeeld wanneer W = V Dit heet de identieke afbeelding (iii De afbeelding a die aan een polynoom g L[x] zijn afgeleide a(g = g toevoegt, is een L-lineaire afbeelding op L[x], die natuurlijk de afgeleide heet (iv De afbeelding p die aan een polynoom g L[x] zijn primitieve a(g = h = g dx toevoegt met h(0 = 0, is een L-lineaire afbeelding op L[x], die de primitieve heet 7
2 8 HOOFDSTUK 4 LINEAIRE AFBEELDINGEN (v De afbeelding b(g = v u g(xdx is een R-lineaire functionaal op de vectorruimte van alle continue, reëelwaardige functies op R, voor elk vast paar reële getallen u,v met u < v Zo n functie heet een bepaalde integraal van g Definities 44 Laat f een L-lineaire afbeelding van V naar W De kern van f, notatie Kerf, is de deelverzameling Kerf = {v : v V f(v = 0} van V Het beeld van f, notatie Imf, is de deelverzameling Imf = {f(v : v V } van W Opmerkingen 45 Er bestaat wel eens misverstand over de naam beeld ; het beeld moet niet verward worden met het bereik van de afbeelding, want dat is de vectorruimte W waarheen f afbeeldt Het beeld is een deelverzameling (in feite: deelruimte, zoals we zullen zien van het bereik Het domein van f is de vectorruimte V waarop f gedefinieerd is Stelling 46 De kern Kerf van een lineaire afbeelding f : V W is een lineaire deelruimte van het domein V, en het beeld Imf is een lineaire deelruimte van het bereik W Als bovendien geldt dat V eindig-dimensionaal is, dan zijn ook Kerf en Imf dat, en dan geldt dim Kerf + dim Imf = dim V Bewijs De beweringen over lineaire deelruimten volgen direct uit de definities Als V eindig-dimensionaal is, kunnen we een basis b,b 2,,b n kiezen Omdat elke vector van V een unieke lineaire combinatie van de b i is, is elke vector in Imf een lineaire combinatie van de beelden f(b i : het beeld is opspansel van deze vectoren en dus is de dimensie ten hoogste n Voor de kern is dat ook duidelijk omdat het een deelruimte van V zelf is Als de dimensie van Kerf gelijk aan k is, kunnen we er een basis u,,u k voor kiezen; vul deze basis aan met vectoren v,,v m van V tot een basis u,,u k,v,,v m van V Dan moet k + m = n Vanwege de zojuist gemaakte opmerking wordt Imf opgespannen door de beelden f(u,,f(u k,f(v,,f(v m Maar f(u = = f(u k = 0, dus Imf wordt opgespannen door de beelden f(v,,f(v m Veronderstel nu eens dat µ f(v + + µ m f(v m = 0, oftewel, vanwege lineariteit, f(µ v + + µ m v m = 0, dat wil zeggen, µ v + + µ m v m zit in de kern van f, en is dus uniek te schrijven als λ u + +λ k u k Maar dan is λ u + + λ k u k µ v µ m v m = 0 Dat kan alleen als alle λ i en µ j gelijk aan 0 zijn, want de u i en v j vormen een basis voor V Dus de vectoren f(v,,f(v m zijn lineair onafhankelijk: ze vormen een basis voor Imf Maar dan hebben we k = dim Kerf en m = dimimf, terwijl k + m = n = dim V, hetgeen te bewijzen was Opmerkingen 47 Het is belangrijk vast te stellen dat het beeld van een lineaire afbeelding volledig vastligt door het beeld van de basisvectoren van het domein Definities 48 Een afbeelding h heet injectief (of ook wel als geldt dat h(x h(y als x y (en dus h(x = h(y alleen wanneer x = y De afbeelding heet surjectief (of ook wel op als bij elke z uit het bereik van h er een x in het domein is met h(x = z; het beeld valt dus samen met het bereik Een bijectie is een afbeelding die injectief en surjectief is
3 9 Een L-isomorfisme (van L-vectorruimten is een L-lineaire afbeelding die tevens bijectie is; als er een isomorfisme tussen V en W bestaat heten ze isomorf: V = W (precieser: L-isomorf, notatie V = L W In het speciale geval dat W = V heet zo n isomorfisme een automorfisme Opmerkingen 49 Onder isomorfismen worden belangrijke lineaire eigenschappen behouden, zoals (onafhankelijkheid Als twee L-vectorruimten dezelfde eindige dimensie n hebben, dan zijn ze daarom isomorf: een isomorfisme wordt gegeven door de elementen van de basis van de één naar die van de ander af te beelden Beide zijn dus isomorf met L n Stelling 4 Laat f : V W een lineaire afbeelding van vectorruimten zijn Dan zijn equivalent: (i f is injectief; (ii Kerf = {0} Is V eindig-dimensionaal, dan zijn deze twee bovendien equivalent met (iii dim Imf = dimv Als, tenslotte, ook nog dimw = dim V, dan zijn deze drie equivalent met (iv f is surjectief; Bewijs Omdat 0 in de kern van elke lineaire afbeelding zit, moet Kerf = {0} als f injectief is Als, omgekeerd, Kerf = {0}, volgt uit f(v = f(v 2, dat 0 = f(v f(v 2 = f(v v 2 en dus v v 2 Kerf = {0}, zodat v = v 2 en f injectief is Als V eindig-dimensionaal is, dan volgt uit Stelling 46 dat dimkerf = 0 dan en slechts dan als dim Imf = dim V In dit geval is Imf een lineaire deelruimte van W van dimensie dim V, en de laatste bewering volgt Matrices Net als in het reële geval kunnen we een L-lineaire afbeelding f : V W tussen eindig-dimensionale L-vectorruimten representeren met behulp van matrices; kiezen we een basis B = b,,b n voor V kiezen en een basis C = c,,c m voor W, dan kunnen we f: V W geven door middel van de matrix m m 2 m n M f = C Mf B = m 2 m 22 m 2n M m n(l, m m m m2 m mn die aangeeft wat het beeld w = f(v als coördinatenvector ten opzichte van de basis C is van een vector v, gegeven als coördinatenvector ten opzichte van de basis B, namelijk m m 2 m n m 2 m 22 m 2n M f (v = m m m m2 m mn v v 2 v n = w w 2 w m = w
4 20 HOOFDSTUK 4 LINEAIRE AFBEELDINGEN De kolommen van de matrix C Mf B bestaan uit beelden f(b,,f(b n van de basisvectoren, uitgedrukt op de basis C Zoals we eerder zagen wordt het Imf opgespannen door de beeldvectoren f(b i Voorbeeld 4 Dat de kolommen van C Mf B bestaan uit de beelden van de basisvectoren zorgt ervoor dat we in sommige gevallen de matrix van een lineaire afbeelding heel eenvoudig kunnen bepalen Als voorbeeld nemen we de matrix M φ van een rotatie in de R 2 over een hoek φ (met de klok mee ten opzichte van de standaardbasis Het beeld van het punt met coördinaten (, 0 heeft coördinaten (cos φ, sin φ, en het beeld van (0, zal het punt (sin φ,cos φ zijn Vatten we als gebruikelijk de vectoren met deze eindpunten op als kolomvectoren, dan zien we dat ( cos φ sin φ M φ = sin φ cos φ In het algemeen is de matrix M f = C Mf B is sterk afhankelijk van de keuze van de bases B en C Een lineaire afbeelding f van L n naar L m met daarop keuze voor bases B en C bepaalt een unieke matrix C Mf B M m n (L Omgekeerd bepaalt zo n matrix een lineaire afbeelding van L n naar L m bij basiskeuze Het samenstellen van lineaire afbeeldingen h = g f waar f: V W en g: W X, correspondeert met het vermenigvuldigen van de bijbehorende matrices: M h = M g M f, waarbij we dan wel moeten zorgen dat f en g gegeven worden ten opzichte van dezelfde basis C voor W: D M B h = D M C g CM B f Definities 42 Een lineaire afbeelding f van V naar W is inverteerbaar als er een inverse lineaire afbeelding f van W naar V bestaat met de eigenschap dat f f = id V en f f = id W, de identieke afbeeldingen op V en W Opmerkingen 4 Als een lineaire afbeelding inverteerbaar is, dan moet f injectief zijn, en dan is de inverse f uniek bepaald Voor een lineaire afbeelding f : V W tussen eindig-dimensionale vectorruimten van dezelfde dimensie n is inverteerbaarheid van f dan equivalent met de eis dat de vierkante matrix M f inverteerbaar is, dat wil zeggen, er is een vierkante matrix A met dezelfde afmetingen zodat A M f = M f A = I n, de n n eenheidsmatrix Deze inverse A is natuurlijk de matrix M f van de afbeelding f, en er geldt dus dat A = M f = M f Merk nogmaals op dat we eigenlijk moeten schrijven M f = C Mf B, omdat deze van basiskeuzen afhangt, en dat dan M f = B Mf C Laat V nu eindig-dimensionaal met basis B = {b,b 2,,b n } zijn, en f een lineaire transformatie van V die inverteerbaar is Dan geeft f een automorfisme van V, en vormen de beelden {f(b,,f(b n } ook weer een basis van V De matrix B M B f heeft in de i-de kolom de coördinatenvector van het beeld f(b i ten opzichte van de basis B Nemen we als nieuwe basis C voor V de vectoren c i = f(b i, dan kunnen we de matrix met in de i-de kolom de coördinaten van f(b i = c i op basis B natuurlijk ook interpreteren als de matrix van de afbeelding die c i geschreven op basis C stuurt naar c i geschreven op basis B Met andere woorden, B M C id = B M B f
5 2 Maar dan is de matrix die de b i op basis C schrijft ook gemakkelijk te vinden: C Mid B = (B Mid C ( = B Mf B De matrices B Mid C en C Mid B zijn van groot belang; ze geven coördinatentransformaties Als een vector v gegeven is op basis B, dan is C Mid B (v dezelfde vector maar dan uitgeschreven op de basis C Meestal is de matrix B Mid C gemakkelijk te vinden (omdat de kolommen de coördinaten van de nieuwe basisvectoren op de oorspronkelijke basis B zijn terwijl je de inverse matrix C Mid B wilt gebruiken om een vector op de nieuwe basis te schrijven Voorbeeld 44 We bekijken een eenvoudig voorbeeld in R Laat B een gekozen basis zijn (bijvoorbeeld de standaardbasis ten opzichte waarvan de vector v gegeven is: 5 v = 2 Gevraagd wordt om de vector v uit te drukken op een nieuwe basis C, als bijvoorbeeld 2 C = 0,, 0 0 Merk op dat we de vectoren c i hier in coördinaten ten opzichte van B gegeven hebben! Omdat de vectoren c,c 2,c een mooie diagonaalvorm hebben, kun je het juiste antwoord direct aflezen: v = c c 2 4c, dus v = 4 In het algemeen is dat niet zo eenvoudig, maar volgt het antwoord uit B C M B id (v = (B M C id (v, waar B Mid C als kolommen c,c 2,c op basis B heeft Hier dus: = 0 2 = hetgeen overeenkomt met wat we al zagen Laat Φ nu de matrix B Mid C zijn Dan zijn we in staat om van een lineaire transformatie g van V gegeven ten opzichte van de basis B, ook de matrix van g ten opzichte van de nieuwe basis C te bepalen Immers, om g ten opzichte van C te bepalen kunnen we eerst vectoren herschrijven van C naar B, dan de g ten opzichte van B nemen en tenslotte weer teruggaan naar de basis C Dus: C M C g = Φ BM B g Φ Matrices A,B M n n (L waarvoor een inverteerbare C M n n (L bestaat zodat A = C B C heten geconjugeerd (met elkaar, in M n n (L Een belangrijk thema in volgende hoofdstukken zal zijn om een met A geconjugeerde matrix te vinden die prettigere eigenschappen heeft dan A zelf, met andere woorden, om door overgang op een andere basis een mooiere matrix voor een gegeven afbeelding te vinden C 4,
6 22 HOOFDSTUK 4 LINEAIRE AFBEELDINGEN Voorbeeld 45 We geven een toepassing in V = R 2, namelijk om de matrix M l te bepalen, ten opzichte van de standaardbasis, van de lineaire afbeelding l die een gegeven vector spiegelt in de lijn y = x We maken hier gebruik van de keuzemogelijkheid van een basis, en wel om een basis te kiezen ten opzichte waarvan de matrix eenvoudig op te schrijven valt Daarna doen we een coördinatentransformatie om terug te gaan naar de standaardbasis Laat de speciale basis B = {b,b 2 } voor R 2 zo zijn dat de eerste basisvector b op l ligt, en de tweede er loodrecht op staat Dus, bijvoorbeeld, b = (, b 2 = ( De matrix B M B l voor spiegeling in de lijn y = x ten opzichte van de basis B voor R 2 is eenvoudig, immers het beeld van b (die op l ligt is b zelf, en van b 2 (die loodrecht op l staat wordt het spiegelbeeld b 2 ; met andere woorden: Volgens het bovenstaande is B M B l = ( 0 0 E M E l = Φ BM B l Φ, waar Φ = B Mid E aangeeft hoe e i in B uit te drukken Nu is ( e = = ( + ( = 0 b + b 2, dus zodat e 2 = ( 0 = E M E l = ( B M E ( + ( id = Φ = ( E M B id = Φ = ( 0 0 ( ( = b + b 2,,, = ( 8 6 In dit geval was het gemakkelijk om Φ op te schrijven, en moesten we moeite doen om Φ te vinden 6 8
Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieBilineaire Vormen. Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieLineaire Algebra SUPPLEMENT I
Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieHet karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieAnton-Rorres Anton-Rorres
Anton-Rorres 8.4. In[]:= A, 3,,, 0,, 6,, 4; a. Dit is makkelijk: de coordinaten van T(v) ten opzichte van B staan in de eerste kolom van A, dus het antwoord de kolomvector [,,6]^T. (^T staat voor getransponeerd.)
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatie2. Transformaties en matrices
Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type
Nadere informatieLineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Nadere informatieVectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieWiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (WB33B Bernd Souvignier voorjaar 24 Deel I Lineaire Algebra Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieSYLLABUS LINEAIRE ALGEBRA 2
SYLLABUS LINEAIRE ALGEBRA 2 ******** RJKooman Universiteit Leiden najaar 2007 0 INHOUDSOPGAVE I Algemene begrippen Vectorruimten 1 Lineaire deelruimte, lineaire onafhankelijkheid, basis 2 Lineaire afbeeldingen
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieVrije Universiteit Brussel Faculteit Ingenieurswetenschappen T ENE BRA S. Lineaire Algebra. Volume I. Philippe Cara
VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSEL Vrije Universiteit Brussel Faculteit Ingenieurswetenschappen SCI EN T I A V INCERE T ENE BRA S Lineaire Algebra Volume I Philippe Cara Syllabus voor het college Lineaire algebra:
Nadere informatieWiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )
Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatiex cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Nadere informatieLineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin
Lineaire Algebra Samenvatting De Roover Robin 21-211 Deze samenvatting is een overzicht van alle definities, stellingen, lemma's en proposities met hun bijhorende bewijzen. Deze samenvatting is gebaseerd
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieWiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Bernd Souvignier voorjaar 2003 Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar
Nadere informatie1 Symmetrieën van figuren
1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieAanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):
Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieModule 10 Lineaire Algebra
L Vak 57.5 Les 36. Module Lineaire Algebra Afbeeldingen (vervolg (b)) In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld. Inhoud van de leskern Basistransformatie *:;*
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieGelijkvormigheid en de Jordan normaalvorm Aanvullende leerstof Lineaire Algebra C (2WF09)
Gelijkvormigheid en de Jordan normaalvorm Aanvullende leerstof Lineaire Algebra C (2WF09) LCGJM Habets Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Abstract In de syllabus bij het
Nadere informatie