Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een structuur die bestaat uit een commutatieve groep (V, +) samen met een scalaire vermenig vuldiging (dit is een afbeelding van F V V ) waarvoor voldaan is aan : (i) (rs) v = r(s v) voor alle r, s F en alle v V (ii) (r + s) v = r v + s v voor alle r, s F en alle v V (iii) r( v + w) = r v + r w voor alle r F en alle v, w V (iv) 1 v = v voor alle v V Een niet ledige verzameling V wordt dus gestructureerd tot een vectorruimte wanneer zij is voorzien van twee bewerkingen : een inwendige bewerking (optelling genoemd) die aan V de structuur geeft van een commutatieve groep 1 en een uitwendige bewerking (scalaire vermenigvuldiging genoemd) die aan een aantal voorwaarden moet voldoen. De elementen van V worden vectoren genoemd, terwijl de elementen van het veld F scalairen worden genoemd. In dit boek beperken we ons meestal tot het veld R van de reële getallen of tot het veld C van de complexe getallen. 1 Een groep (V, +) bestaat uit een niet ledige verzameling V voorzien van een bewerking + die inwendig ( v + w V voor elke v, w V ) en associatief is ( u + ( v + w) = ( u + v) + w) en waarin een nulelement bestaat ( o + v = v + o = v voor elke v) en waarin ieder element een tegengesteld element bezit : v + ( v) = ( v) + v = o. De groep (V, +) is commutatief of abels als v + w = w + v voor alle v, w V. 3 1

2 3 2 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Naargelang het veld waartoe de scalairen behoren het veld van de reële of de complexe getallen is, spreken we van een reële of een complexe vectorruimte. Wanneer geen verwarring mogelijk is, spreekt men meestal over de vectorruimte V zonder het veld van de scalairen expliciet te vermelden. Uit de definitie kan men onmiddellijk volgende eigenschappen afleiden : r o = o, v = o en ( r) v = (r v) = r ( v) voor elke r F en voor elke v V De eerste axiomatische definitie van een vectorruimte of lineaire ruimte werd gegeven door de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Figuur 3.1: Giuseppe Peano ( ) Beschouw de verzameling van de meetkundige 2 vectoren in het euclidisch vlak of in de driedimensionale euclidische ruimte. Deze vectoren kunnen worden opgeteld (parallellogramregel) en ze vormen een groep vormen voor de optelling. Daarnaast kunnen meetkundige vectoren worden vermenigvuldigd met reële getallen waarbij voldaan is aan de voorwaarden (i) t.e.m. (iv) uit de definitie hierboven. De verzameling van de meetkundige vectoren van het vlak of de ruimte kan dus worden gestructureerd tot een reële vectorruimte. (Abstracte) vectorruimten zijn eigenlijk een veralgemening van het modelvoorbeeld van de vectorruimte der meetkundige vectoren. De elementen van een abstracte vectorruimte hoeven echter geen meetkundige interpretatie meer te bezitten en kunnen allerhande objecten zijn (functies, veeltermen, n tallen, getallenrijen, matrices,...) die we echter ook vectoren blijven noemen in de context van vectorruimten. 2 Een meetkundige vector wordt meestal gedefinieerd als een georiënteerd lijnstuk Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 3 voorbeeld 1 : Is F n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i F} de verzameling van de geordende n tallen (met F = R of C) en definieert men een optelling en een vermenigvuldiging met scalairen componentsgewijze (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) en r (x 1, x 2,..., x n ) = (rx 1, rx 2,..., rx n ) Men gaat gemakkelijk na dat F n zo gestructureerd wordt tot een reële (resp. complexe) vectorruimte. voorbeeld 2 : Beschouw de verzameling Mat(m, n, F) van de m n matrices met elementen in F. Deze kan gestructureerd worden tot een reële of complexe vectorruimte (met de matrixoptelling en de vermenigvuldiging van een matrix met een reëel of complex getal zoals gedefinieerd in hoofdstuk 2). De vectoren van deze vectorruimte zijn dus matrices. voorbeeld 3 : Beschouw de verzameling F([a, b], R) van de reëelwaardige functies die gedefinieerd zijn over het gesloten interval [a, b]. Deze kan gestructureerd worden tot een reële vectorruimte als men een optelling en vermenigvulding met scalairen puntsgewijze definieert, d.i. (f + g)(x) = f(x) + g(x) en (rf)(x) = rf(x) De vectoren van deze vectorruimte zijn dus functies. voorbeeld 4 : Beschouw de verzameling R[x] (resp. C[x]) van de veeltermen met reële (resp. complexe) coëfficiënten. Voorzien van de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging met een scalair, vormt deze verzameling een reële (resp. complexe) vectorruimte. De vectoren zijn hier dus veeltermen. Op dezelfde wijze kan men de vectorruimten R n [x] (resp. C n [x]) van de veeltermen met reële (resp. complexe) coëfficiënten en met graad kleiner dan of gelijk aan n beschouwen. voorbeeld 5 : Beschouw de verzameling van de reële getallenrijen (u i ) i N voorzien van termsgewijze optelling (u i ) i N + (v i ) i N = (u i + v i ) i N en scalaire vermenigvuldiging r (u i ) i N = (r u i ) i N. Deze vormt een reële vectorruimte. De vectoren zijn hier dus getallenrijen. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

4 3 4 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3.2 Deelruimte van een vectorruimte Zij V een vectorruimte over F. Is W een deelverzameling van V en vormt W zelf een vectorruimte voor de restricties van de optelling van vectoren en de vermenigvuldiging met scalairen, dan noemt men W een deelruimte of deelvectorruimte van V. Voor elke vectorruimte V vormen in het bijzonder { o} en V zelf deelruimten van V. Men noemt { o} de nulruimte of de triviale deelruimte. Elke deelruimte van V verschillend van de nulruimte en verschillend van V noemt men een echte deelruimte van V. We noteren : W V als W deelruimte is van V (i.p.v. W V voor deelverzameling). Merk op dat een nodige voorwaarde opdat een deelverzameling W van V deelruimte zou kunnen zijn, is dat de nulvector o tot W behoort. Voorbeelden van deelruimten : 1. De ruimte Sym(n, R) van de symmetrische n n matrices vormt een deelruimte van de vectorruimte Mat(n, R) van de n n matrices. 2. De ruimte C ([a, b], R) van de continue functies gedefinieerd over het interval [a, b] vormt een deelruimte van de vectorruimte F([a, b], R) van alle reëelwaardige functies gedefinieerd over [a, b] 3. De ruimte R n [x] van reële veeltermen met graad hoogstens gelijk aan n vormt voor elk van nul verschillend natuurlijk getal n een deelruimte van de vectorruimte R[x] van de reële veeltermen van om het even welke graad. 4. De ruimte van de convergente reële getallenrijen is een deelruimte van de vectorruimte van de reële getallenrijen. Om na te gaan of een niet ledige deelverzameling W van een vectorruimte V een deelruimte vormt van V, is het niet nodig om al de axioma s van vectorruimte na te gaan voor W. Men beschikt immers over volgend criterium : STELLING 3.1 criterium voor deelruimte Een niet ledige deelverzameling W van V vormt een deelruimte van V als en slechts als r w 1 + w 2 W voor elke r F en elke w 1, w 2 W. De niet ledige deelverzamelingen van een vectorruimte die gesloten zijn onder de vectoroptelling en onder de vermenigvuldiging met scalairen, vormen dus de deelruimten van die vectorruimte. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

5 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 5 Opmerking : de voorwaarde van niet ledigheid kan worden vervangen door te eisen dat de nulvector o tot de verzameling behoort. voorbeeld 1 : oplossingsruimte van een homogeen lineair stelsel De verzameling van alle oplossingen van een homogeen lineair stelsel AX = met m vergelijkingen en n onbekenden is niet ledig vermits zo n stelsel steeds de nuloplossing bezit. Verder ziet men gemakkelijk in dat een som van twee oplossingen ook een oplossing is en dat elk reëel veelvoud van een oplossing ook een oplossing is (een gevolg van de lineariteit van de vergelijkingen in het stelsel). De oplossingsruimte van zo n stelsel vormt dus een deelruimte van de vectorruimte R n van de reële n tallen. voorbeeld 2 : oplossingsruimte van een homogene lineaire differentiaalvergelijking Beschouw een homogene (= gereduceerde) lineaire differentiaalvergelijking van de n de orde met constante coëfficiënten y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a y = met onbekende y = y(x). Uit de lineariteit van deze DV volgt dat de som van elke twee oplossingen over een interval I opnieuw een oplossing is en dat elk reëel veelvoud van een oplossing ook een oplossing is. De verzameling van alle oplossingen van deze differentiaalvergelijking over een interval I vormt dus een deelruimte (oplossingsruimte) van de vectorruimte van de continue I R functies. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

6 3 6 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3.3 Voortbrengende verzamelingen i=1 Zij V een vectorruimte en zij v 1, v 2,..., v k vectoren van V. Dan noemt men elke vector v = k r i v i = r 1 v 1 + r 2 v r k v k een lineaire combinatie van de vectoren v 1, v 2,..., v k. Is D een niet ledige deelverzameling van V, dan noteert men met span D de verzameling van alle mogelijke lineaire combinaties van vectoren uit D. STELLING 3.2 deelruimte voortgebracht door een verzameling De verzameling span D van alle lineaire combinaties van vectoren uit D V vormt een deelruimte van V. Bovendien is span D de kleinste deelruimte van V die de verzameling D omvat. bewijs : span D bevat de nulvector en voldoet aan het criterium voor deelruimte. Zij W een deelruimte van V die D omvat. We moeten aantonen dat span D W. Is v een vector van span D, dan is v een lineaire combinatie van vectoren uit D, dus van vectoren uit W (vermits D W ). Omdat W een deelruimte is, behoort v dus tot W waarmee de stelling is aangetoond. Men noemt span D de deelruimte voortgebracht door D of de deelruimte opgespannen door de vectoren van D. voorbeeld 1 : Beschouw de (meetkundige) vectoren v 1 = 1 x = (1,, ) en v 2 = 1 y = (, 1, ) in de driedimensionale euclidische ruimte. Dan is span { v 1, v 2 } = {x 1 x + y 1 y x, y R} = {(x, y, ) x, y R}. M.a.w. de deelruimte opgespannen door deze twee vectoren is een vectorvlak. voorbeeld 2 : Beschouw de veeltermen 1, x, x 1 en 1 x 2 uit de vectorruimte R 2 [x]. Dan is span {1, x, x 1, 1 x 2 } = {a + bx + c(x 1) + d(1 x 2 ) a, b, c, d R} = {a c + d + (b + c)x dx 2 a, b, c, d R} = R 2 [x]. M.a.w. deze vier veeltermen spannen de volledige vectorruimte op. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

7 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 7 R DEFINITIE 3.2 voortbrengende verzameling vectoren Een verzameling D van vectoren uit V heet een voortbrengende verzameling voor V a.s.a. span D = V. Een vectorruimte heet eindig dimensionaal als er een eindige voortbrengende verzameling voor V bestaat. Een vectorruimte die niet eindig dimensionaal is, heet oneindig dimensionaal. Is D een voortbrengende verzameling voor V dan is dus elke vector van V te schrijven (niet noodzakelijk op unieke wijze) als een lineaire combinatie van vectoren uit D. De vectorruimten R n [x], Mat(m, n, R) en R n zijn voorbeelden van eindig dimensionale reële vectorruimten. De vectorruimten R[x] en F([a, b], R) zijn voorbeelden van oneindig dimensionale vectorruimten. 3.4 Lineair onafhankelijke verzamelingen R DEFINITIE 3.3 lineair (on)afhankelijke verzameling vectoren Een eindig stel vectoren { v 1, v 2,..., v k } van V heet lineair onafhankelijk of vrij als en slechts als elke vergelijking r 1 v 1 + r 2 v r k v k = o impliceert dat r 1 = r 2 = = r k =. Een verzameling S V wordt lineair onafhankelijk of vrij genoemd als elk eindig stel vectoren uit S lineair onafhankelijk is. Een verzameling vectoren { v 1, v 2,..., v k } van V heet lineair afhankelijk als en slechts als er scalairen r 1, r 2,..., r k kunnen gevonden worden waarvan er minstens één verschillend is van nul, en waarvoor r 1 v 1 + r 2 v r k v k = o Eigenschappen : Een verzameling vectoren waartoe de nulvector behoort, is steeds lineair afhankelijk. Een verzameling die slechts één vector bevat, is lineair onafhankelijk als en slechts als die vector niet de nulvector is. Een verzameling vectoren is lineair afhankelijk indien minstens één vector ervan kan geschreven worden als lineaire combinatie van de overige vectoren. In het bijzonder is een verzameling met slechts twee vectoren lineair afhankelijk als en slechts als één van de vectoren een veelvoud is van de andere. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

8 3 8 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen voorbeeld 1 : Ga na of {(1, 1), (1, 2), (, 2)} een lineair onafhankelijke verzameling is van R 2. Stel r 1 (1, 1) + r 2 (1, 2) + r 3 (, 2) = (, ), dus (r 1 + r 2, r 1 + 2r 2 + 2r 3 ) = (, ). Dus moet r 1 + r 2 = en r 1 + 2r 2 + 2r 3 =. Aan beide voorwaarden is voldaan van zodra r 2 = r 1 en r 3 = 1 2 r 1 met r 1 vrij te kiezen. De verzameling is dus lineair afhankelijk. voorbeeld 2 : Ga na of {sin, cos} een lineair onafhankelijke verzameling is van F(R, R). Stel r 1 sin +r 2 cos = waarbij het rechterlid de R R nulfunctie voorstelt. Dus r 1 sin x + r 2 cos x = voor elke x R. In het bijzonder bekomt men hieruit voor x = dat r 2 = en voor x = π 2 dat r 1 =. De sinus en de cosinusfunctie zijn dus lineair onafhankelijke functies (lineair onafhankelijke vectoren van de functieruimte waartoe ze behoren). De volgende stelling toont dat men lineair onafhankelijke verzamelingen kan uitbreiden door het toevoegen van vectoren die geen lineaire combinatie zijn van de reeds aanwezige vectoren. STELLING 3.3 uitbreiding van een vrij deel Zij S een vrije deelverzameling van V en zij v V \ span S. Dan is S { v} ook een vrije deelverzameling van V bewijs : Kies een eindig aantal vectoren v 1, v 2,..., v k, v uit S { v} en stel dat er scalairen λ 1,..., λ k, λ k+1 bestaan waarvoor λ 1 v λ k v k + λ k+1 v = o. Als λ k+1 dan volgt daaruit dat v = 1 λ k+1 ( λ 1 v 1... λ k v k ) en dus v span S in strijd met het gegeven. Bijgevolg moet λ k+1 = en dan wordt de onderstelling uit het begin van het bewijs : λ 1 v λ k v k = o waaruit λ 1 =... = λ k = omdat S een vrij deel is. We hebben dus aangetoond dat alle λ s gelijk zijn aan nul wat betekent dat S { v} een vrije deelverzameling is van V. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

9 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 9 De nu volgende stelling is cruciaal om het begrip dimensie van een eindig dimensionale vectorruimte goed te kunnen definiëren. STELLING 3.4 hulpstelling voor invoeren van dimensie Zij T = { u 1, u 2,..., u m } een voortbrengende deelverzameling van V en zij S = { v 1, v 2,..., v k } een vrije deelverzameling van V. Dan is k m. M.a.w. een vrije deelverzameling van V bevat hoogstens evenveel elementen als een voortbrengende deelverzameling van V bewijs : Zij T = { u 1, u 2,..., u m } een voortbrengend deel van V, dus span T = V en zij S = { v 1, v 2,..., v k } een vrij deel V met k > m. Omdat T voortbrengend is, is v 1 = λ 1 u λ m u m waarbij minstens één van de scalairen λ i verschillend is van nul (anders zou v 1 = o, in strijd met S vrij). Zonder de algemeenheid te schaden kunnen we onderstellen dat λ 1. Bijgevolg is u 1 = 1 λ 1 ( v 1 λ 2 u 2... λ m u m ). Dan is ook de verzameling T (1) = { v 1, u 2,..., u m } voortbrengend. Herhalen we nu bovenstaande redenering met v 2 S en met T (1) dan bekomen we dat ook T (2) = { v 1, v 2, u 3,..., u m } voortbrengend is. Zo verder gaand bekomen we na een eindig aantal stappen dat de verzameling T (m) = { v 1, v 2,..., v m } voortbrengend is. Bijgevolg is de vector v m+1 uit S een lineaire combinatie van v 1 t.e.m. v m, in tegenspraak met de onderstelling dat S vrij is. Hieruit volgt het gestelde. 3.5 Basis en dimensie van een vectorruimte R DEFINITIE 3.4 basis van een vectorruimte Een deelverzameling B van V wordt een basis van V genoemd als geldt : (i) B is een lineair onafhankelijke deelverzameling (ii) V wordt voortgebracht door B, dus span B = V Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

10 3 1 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen De volgende stelling garandeert het bestaan van een basis van een eindig dimensionale vectorruimte. STELLING 3.5 bestaan basis eindig dimensionale vectorruimte Is S een vrij deel en T een eindig voortbrengend deel van V met S T, dan bestaat er een basis B voor V met S B T bewijs : Is T span S dan is S ook voortbrengend. Kies in dat geval B = S. Als echter T \ span S, kies dan v 1 T \ span S. Wegens stelling 3.3 is dan S 1 = S { v 1 } vrij en S 1 T. Is T span S 1 dan is S 1 ook voortbrengend en dan kiezen we B = S 1. Zoniet beschouwen we een vector v 2 in T \ span S 1 en we stellen S 2 = S 1 { v 2 }. Zo verdergaand bekomen we na een eindig aantal stappen een vrij deel S k S S k T dat ook voortbrengend is. We kiezen dan B = S k. met Opmerkingen : 1. De stelling geldt ook voor oneindig dimensionale vectorruimten (het bewijs steunt dan wel op het keuzeaxioma). 2. De procedure die in bovenstaand bewijs werd gevolgd om een basis te bekomen, staat gekend onder de benaming selectie van een maximaal S omvattend vrij deel uit het voortbrengend deel T. Gevolgen van stelling 3.4 en 3.5 : 1. Elk vrij deel van een eindig dimensionale vectorruimte kan uitgebreid worden tot een basis. (pas stelling 3.5 toe met S S T waarbij T een eindig voortbrengend deel is voor V ) 2. Uit elk voortbrengend deel van een eindig dimensionale vectorruimte kan een basis geselecteerd worden. (pas stelling 3.5 toe met S = T ) Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

11 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Elke eindig dimensionale vectorruimte V bezit steeds een basis. (per definitie bezit een eindig dimensionale vectorruimte een eindige voortbrengende verzameling waaruit met gevolg 2 een basis kan worden geselecteerd) 4. Is V een eindig dimensionale vectorruimte, dan bevat elke basis van V evenveel elementen. (immers : Zij B = { e 1, e 2,..., e n } een basis voor V en onderstel dat ook B = { e 1, e 2,..., e m} een basis is voor V. Dan is wegens stelling 3.4 m n want B is vrij en B is voortbrengend. Anderzijds is ook n m want B is vrij en B is voortbrengend. Bijgevolg is m = n.) Wegens gevolg 4 is het aantal elementen in een basis van een eindig dimensionale vectorruimte dus een welbepaald getal. Dat leidt tot volgende definitie : R DEFINITIE 3.5 dimensie van een vectorruimte Is V een eindig dimensionale vectorruimte met een basis B die n elementen telt, dan noemt men n de dimensie van V, notatie : dim V = n Opmerking : De nulruimte V = { o} wordt per definitie voortgebracht door de ledige verzameling en deze vectorruimte heeft dimensie. Wanneer de dimensie van een vectorruimte gekend is, dan wordt het vinden van een basis ervan vergemakkelijkt door stelling 3.6 die we hieronder formuleren en bewijzen. Deze stelling zegt dat het voor een verzameling die het gepast aantal vectoren bevat, volstaat om ofwel aan te tonen dat ze lineair onafhankelijk is ofwel dat ze voortbrengend is, om te mogen besluiten dat ze een basis vormt voor de vectorruimte. Over het algemeen is het gemakkelijker om de lineaire onafhankelijkheid na te gaan dan de voortbrengendheid. STELLING 3.6 basisstelling voor eindig dimensionale vectorruimten Zij V een eindig dimensionale vectorruimte met dim V = n (n 1) Elke lineair onafhankelijke verzameling met n elementen is een basis van V Elke voortbrengende verzameling met n elementen is een basis van V bewijs : Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

12 3 12 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Wegens gevolg 1 kan een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren steeds worden uitgebreid tot een basis van V. Deze basis moet dan precies n elementen bevatten omdat dim V = n. Dus de verzameling moet reeds een basis zijn. Wegens gevolg 2 kan uit een verzameling van voortbrengende vectoren steeds een basis van V geselecteerd worden. Deze moet dan precies n elementen bevatten omdat dim V = n. Dus de verzameling moet reeds een basis zijn. Deze stelling kan ook als volgt worden geformuleerd : in een n dimensionale vectorruimte is een verzameling van n vectoren vrij als en slechts als ze voortbrengend is. Opmerking : De dimensie van een vectorruimte V over een veld F kan verschillen naargelang de keuze van dat veld. Zo kan men een vectorruimte over C ook steeds zien als een vectorruimte over R. Is V n dimensionaal over C, dan is V 2n dimensionaal over R. Bvb. de ruimte C 2 van de koppels complexe getallen is 2 dimensionaal over C (met basis {(1, ), (, 1)}), maar 4 dimensionaal over R (met basis {(1, ), (j, ), (, 1), (, j)}). In wat volgt beschouwen we enkele voorbeelden van basissen voor belangrijke reële vectorruimten. voorbeeld 1 : Beschouw de vectorruimte V = R n van de geordende n tallen reële getallen. Dan is B = { e 1, e 2,..., e n } met e 1 = (1,,..., ), e 2 = (, 1,..., ) en e n = (,...,, 1) een basis voor V. Men noemt dit ook de standaardbasis of de natuurlijke basis van F n voorbeeld 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 De vectoren e 1 =, e 2 =, e 3 = en e 1 4 = vormen 1 een basis voor de vectorruimte Mat(2, 2, R) van de 2 2 matrices met elementen in R. Deze vectorruimte heeft dus dimensie 4. Het is duidelijk dat dit voorbeeld kan worden veralgemeend om een basis te vinden van de ruimte Mat(m, n, R) die dimensie m n bezit. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

13 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 13 voorbeeld 3 : De vectoren e 1 = 1, e 2 = x, e 3 = x 2,..., e n+1 = x n vormen een basis voor de vectorruimte R n [x] van de veeltermen met graad kleiner dan of gelijk aan n en met reële coëfficiënten. De dimensie van deze vectorruimte is dus n + 1 voorbeeld 4 : Verder in dit hoofdstuk (zie toepassing op p. 3 24) zullen we aantonen dat de dimensie van de oplossingsruimte van een lineair homogeen stelsel AX = O met m vergelijkingen en n onbekenden gelijk is aan n r met r de rang van de coëfficiëntenmatrix. Coördinatisering van een eindig dimensionale vectorruimte Stel dat B = { e 1, e 2,..., e n } een basis is van een n dimensionale vectorruimte V. Geven we de basisvectoren een ordening, dan spreken we van een geordende basis, notatie : B = ( e 1, e 2,..., e n ). Elke vector van V kan op unieke manier geschreven worden als een lineaire combinatie van de basisvectoren : v = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. De unieke scalairen x 1,..., x n worden de coördinaten van v t.o.v. de geordende basis B genoemd. T.o.v. een gekozen geordende basis, correspondeert dus met iedere vector van V een geordend n tal (x 1,..., x n ). Omgekeerd komt met ieder gegeven n tal van F n precies één vector van V (waarin een geordende basis werd gekozen) overeen. Er is dus een bijectief verband tussen de vectoren van een n dimensionale vectorruimte V over F en de geordende n tallen (= vectoren) van de vectorruimte F n na keuze van een geordende basis in V. Bovendien ziet men gemakkelijk in dat de vectoroptelling en de vermenigvuldiging met scalairen in V in één-éénduidig verband staat met de optelling en vermenigvuldiging met scalairen in F n. Men zegt daarom dat V en F n isomorfe vectorruimten zijn. Concreet wil dit zeggen dat de vectorruimte F n als modelruimte kan fungeren voor alle n dimensionale vectorruimten over het veld F. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

14 3 14 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Zo fungeert bijvoorbeeld de vectorruimte R 4 als model voor de 4 dimensionale vectorruimten over R waarvan o.a. Mat(2, R) (2 2 matrices over R) en R 3 [x] (veeltermen met graad 3 en reële coëfficiënten) voorbeelden zijn. Vermelden we tenslotte nog een stelling die informatie verschaft over de dimensie van deelruimten van een n dimensionale vectorruimte. STELLING 3.7 dimensie van deelruimte van een vectorruimte Zij W een deelruimte van een n dimensionale vectorruimte V. Dan is dim W n en als dim W = n, dan is W = V 3.6 Rijen en kolommenruimte van een matrix Met iedere m n matrix A over R kan men op verschillende wijze vectorruimten associëren. Zij A = (K 1 K 2... K n ) de matrix A herschreven als blokmatrix met de kolommen van A als blokken. Ieder blok (= iedere kolom van A) kan worden gezien als een vector van de vectorruimte Mat(m, 1, R) (zelf isomorf met R m ). De deelruimte opgespannen door deze kolomvectoren noemt men de kolommenruimte van A, notatie : Col A. Dus : Col A = span {K 1, K 2,..., K n } De dimensie van de kolommenruimte van A noemt men de kolommenrang van A. Analoog kan men de matrix A herschrijven als blokmatrix met de rijen van A als blokken. R 1 R 2 Dus A =. R m Ieder blok (= iedere rij van A) kan gezien worden als een vector van de vectorruimte R n. De deelruimte opgespannen door deze rijvectoren noemt men de rijenruimte van A, notatie : Row A. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

15 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 15 Dus : Row A = span {R 1, R 2,..., R m } De dimensie van de rijenruimte van A noemt men de rijenrang van A. Een fundamentele stelling die we hier formuleren zonder bewijs legt het verband tussen de rijenrang, de kolommenrang en de in hoofdstuk 2 ingevoerde determinantenrang van een matrix. STELLING 3.8 rijenrang, kolommenrang, determinantenrang Zij A een m n matrix Dan geldt : rijenrang van A = kolommenrang van A = determinantenrang van A Met deze stelling krijgt de rang van een matrix die we in hoofdstuk 2 hebben gedefinieerd als determinantenrang (orde van de grootst mogelijke vierkante deelmatrix van A met determinant verschillend van nul) een andere betekenis. De rang van een matrix is voortaan ook gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke kolommen van A, resp. het aantal lineair onafhankelijke rijen van A. voorbeeld : 1 2 De (determinanten)rang van de matrix A = 2 1 is gelijk aan 2 (immers det A = en A bevat een deelmatrix van de orde 2 met determinant verschillend van nul). De rijenrang van A is dus ook 2 en dit klopt wanneer we bemerken dat de derde rijvector een lineaire combinatie is van de eerste twee lineair onafhankelijke rijvectoren is (R 3 = R 1 + R 2 ). De kolommenrang van A is ook 2 en dit klopt eveneens wanneer we bemerken dat de derde kolomvector een lineaire combinatie is van de eerste twee lineair onafhankelijke kolomvectoren (K 3 = 2 K K 2). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

16 3 16 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3.7 Som en directe som van deelruimten Met behulp van twee deelruimten van een zelfde vectorruimte kunnen nieuwe deelruimten worden gevormd. Zijn W 1 en W 2 twee deelruimten van V, dan verifieert men gemakkelijk dat ook de doorsnede W 1 W 2 een deelruimte is van V. Zijn W 1 en W 2 twee deelruimten van een vectorruimte V, dan definieert men de som W 1 + W 2 als de verzameling { w 1 + w 2 w 1 W 1 en w 2 W 2 }. Men toont gemakkelijk aan dat W 1 + W 2 eveneens een deelruimte is van V (met behulp van het criterium voor deelruimte). Men zegt dat de vectorruimte V de directe som is van de deelruimten W 1 en W 2 als iedere vector van V op unieke manier kan geschreven worden als de som van een vector w 1 W 1 en een vector w 2 W 2 In dat geval noteert men : V = W 1 W 2 De vectorruimte V is de directe som van W 1 en W 2 als V = W 1 + W 2 en als W 1 W 2 = { o} voorbeeld 1 : Beschouw de reële vectorruimte V = R 3 met als deelruimten W 1 = {(x, y, ) x, y R} en W 2 {(,, z) z R} Klaarblijkelijk is V = W 1 + W 2. Omdat W 1 W 2 = {(,, } is deze som een directe som, dus V = W 1 W 2. Elke vector van R 3 kan bijgevolg op unieke manier geschreven worden als som van een vector uit W 1 en een vector uit W 2 : (x, y, z) = (x, y, ) + (,, z) voorbeeld 2 : Beschouw de reële vectorruimte V = Mat(2, R) met als deelruimten W 1 en W 2 resp. de verzameling van de boven en de benedendriehoeksmatrices. ( ) a b Klaarblijkelijk geldt dat V = W 1 + W 2. Immers elke 2 2 matrix is te ( ) ( ) c d a b schrijven als de som +. d c Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

17 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 17 Deze som is evenwel geen directe som, omdat ( W 1 ) W 2 a bevat, maar ook alle matrices van de vorm. d niet alleen de nulmatrix Dat betekent ook dat de ontbinding van een matrix als som van een boven en een benedendriehoeksmatrix ( ) ( niet uniek is. Naast de reeds vermelde ontbinding is a b a ) ( b a ) bvb. ook = c d c d 2 d 2 Dimensiestelling voor deelruimten Zijn W 1 en W 2 twee deelruimten van een eindig dimensionale vectorruimte V, dan bestaat er een verband tussen de dimensies van de deelruimten W 1 + W 2 en W 1 W 2 van V. Dit verband staat gekend als de (eerste) dimensiestelling of de dimensiestelling van Grassmann : STELLING 3.9 eerste dimensiestelling Zijn W 1 en W 2 deelruimten van een vectorruimte V dan geldt : dim(w 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 dim(w 1 W 2 ) bewijs : Zij { e 1,..., e p } een basis voor W 1 W 2. We kunnen deze aanvullen tot een basis { e 1,..., e p, a p+1,..., a r } voor W 1, resp. tot een basis { e 1,..., e p, b p+1,..., b s } voor W 2. Het volstaat om aan te tonen dat { e 1,..., e p, a p+1,..., a r, b p+1,..., b s } een basis is voor W 1 + W 2. De voortbrengendheid is klaarblijkelijk vervuld. We tonen nog de lineaire onafhankelijkheid aan. Stel dat Dan is p α i e i + i=1 p α i e i + i=1 r i=p+1 r i=p+1 β i a i + β i a i = s i=p+1 s i=p+1 γ i bi = o. (I) rechterlid tot W 2 (en dus beide behoren tot W 1 W 2 ). γ i bi waarbij het linkerlid behoort tot W 1 en het Omdat het rechterlid behoort tot W 1 W 2 bestaan er scalairen λ i waarvoor p λ i e i. Daaruit volgt dat i=1 s i=p+1 γ i bi s i=p+1 γ i bi = p λ i e i = o en dus λ i = voor alle i = 1 tot i=1 Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

18 3 18 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen en met p en γ i = voor alle i van p + 1 tot en met s (omdat { e 1,..., e p, b p+1,..., b s } een basis is voor W 2 ). Een analoge redenering (linkerlid behoort tot W 1 W 2 ) leidt tot β i = voor alle i van p + 1 tot en met r. Uit (I) volgt dan verder dat alle α i =, waarmee de lineaire onafhankelijkheid is bewezen. Is V in het bijzonder de directe som van W 1 en W 2 dan volgt met bovenstaande stelling : dim(w 1 W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 voorbeeld : Beschouw het xy vlak en het yz vlak als deelruimten van R 3 Dus W 1 = {(x, y, ) x, y R} en W 2 = {(, y, z) y, z R} Dan is dim W 1 = 2 en dim W 2 = 2 terwijl dim(w 1 + W 2 ) = dim R 3 = 3 Uit de dimensiestelling volgt dan dat dim(w 1 W 2 ) = = 1 wat klopt vermits W 1 W 2 = {(, y, ) y R} (de y as). Figuur 3.2: Hermann Grassmann ( ) Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

19 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Lineaire afbeeldingen Definitie van lineaire afbeelding en voorbeelden R DEFINITIE 3.5 lineaire afbeelding tussen vectorruimten Zij V en W vectorruimten over hetzelfde veld F. Een afbeelding T van V naar W wordt een lineaire afbeelding genoemd als en slechts als T voldoet aan de volgende twee voorwaarden : (i) T ( v 1 + v 2 ) = T ( v 1 ) + T ( v 2 ) voor alle v 1, v 2 V (ii) T (r v) = r T ( v) voor alle v V en alle r F M.a.w. een lineaire afbeelding bewaart de vectoroptelling en de vermenigvuldiging met scalairen. Het beeld van een som van vectoren is hetzelfde als de som van de beelden van de termen en het beeld van een getal maal een vector maal is hetzelfde als dat getal maal het beeld van die vector. Uit voorwaarde (ii) volgt in het bijzonder dat T ( o V ) = o W (men noteert meestal T ( o) = o). Een afbeelding die de nulvector van V dus niet afbeeldt op de nulvector van W, kan onmogelijk een lineaire afbeelding zijn. Een lineaire afbeelding van een vectorruimte V naar zichzelf noemt men ook een lineaire transformatie. De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van V naar W noteren we als Lin(V, W ) en de verzameling van alle lineaire transformaties van V als Lin(V ). Algemene voorbeelden van lineaire afbeeldingen voorbeeld 1 : de nulafbeelding en de identieke afbeelding Definieert men de afbeelding T : V W door T ( v) = o voor elke v V, dan is dit een lineaire afbeelding. Men noemt deze de nulafbeelding van V naar W. Definieert men de afbeelding T : V V door T ( v) = v voor elke v V, dan is dit een lineaire transformatie. Men noemt deze de identieke transformatie van V, notatie I V. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

20 3 2 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen voorbeeld 2 : projectie afbeeldingen Onderstel dat de vectorruimte V de directe som is van W en W, dus V = W W zodat elke vector v van V op unieke manier te schrijven is als de som w + w van vectoren uit W en W. Definieer de afbeelding T : V V door T ( v) = w. Men gaat na dat T een lineaire transformatie is van V. Men noemt deze de projectie afbeelding van V op W evenwijdig met W, notatie P W. Is in het bijzonder V = R n en beschouwen we de directe somontbinding waarbij (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) = (x 1, x 2,..., x n 1, ) + (,,...,, x n ) dan is in dit geval P W (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) = (x 1, x 2,..., x n 1, ). In het geval n = 3 komt dit neer op de evenwijdige projectie volgens de z as van de vectoren van de ruimte R 3 op het xy vlak. Projectie afbeeldingen bezitten de eigenschap P W P W = P W (dus de afbeelding tweemaal na elkaar toepassen geeft het zelfde resultaat als ze eenmaal toepassen). Dergelijke lineaire afbeeldingen noemt men ook idempotent. Het is merkwaardig dat deze eigenschap de projectie afbeeldingen volledig karakteriseert. Er kan namelijk bewezen worden dat elke idempotente lineaire transformatie van V naar zichzelf steeds een projectie afbeelding is. voorbeeld 3 : spiegelingen Zij opnieuw V de directe som van W en W en zij v = w + w. Definieer de afbeelding T : V V door T ( v) = w w. Men gaat na dat T een lineaire transformatie is van V. Men noemt deze de spiegeling van V t.o.v. W volgens W, notatie S W. Is in het bijzonder V = R n en beschouwen we de directe somontbinding waarbij (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) = (x 1, x 2,..., x n 1, ) + (,,...,, x n ) dan is in dit geval S W (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) = (x 1, x 2,..., x n 1, x n ). In het geval n = 3 komt dit neer op de spiegeling van de vectoren van de ruimte R 3 om het xy vlak volgens de z as. voorbeeld 4 : homothetieën Zij V een vectorruimte over F en zij c F met c. De afbeelding T : V V, v c v voor elke v V is een lineaire transformatie van V. Men noemt deze een homothetie met factor c. Is F het veld van de reële getallen en is < c < 1 dan heet de homothetie met factor c ook een contractie. Is c > 1 dan spreekt men van een dilatie. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

21 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 21 Voorbeelden van lineaire afbeeldingen in specifieke vectorruimten voorbeeld 5 : Beschouw de vectorruimte (functieruimte) C k (]a, b[, R) van de reëelwaardige functies die gedefinieerd zijn over het interval ]a, b[ en die k maal afleidbaar zijn over ]a, b[. en zij D : C k (]a, b[, R) C k 1 (]a, b[, R) gedefinieerd door D(f) = f (de afgeleide functie van f). Men gaat na dat D een lineaire afbeelding is. Immers, D(f + g) = D(f) + D(g) en D(k f) = k D(f) Een afbeelding tussen functieruimten wordt ook een operator genoemd en de hierboven gedefinieerde afleidingsoperator is dus een lineaire operator. Beschouw nu de vectorruimte (functieruimte) C ([a, b], R) van de reëelwaardige functies die gedefinieerd en continu zijn over [a, b] en definieer de afbeelding (operator) x T van deze ruimte naar R door : T (f) = f(t) dt. Men gaat na dat deze integraaloperator een lineaire operator is van C ([a, b], R). voorbeeld 6 : a Beschouw de vectorruimten Mat(n, 1, F) en Mat(m, 1, F) van de kolommatrices over F (met n resp. m rijen) en beschouw een vaste m n matrix A. We definiëren nu een afbeelding T van Mat(n, 1, F) naar Mat(m, 1, F) als volgt : T (X) = A X voor elke X Mat(n, 1, F) Men gaat na dat deze afbeelding een lineaire afbeelding is. Met iedere matrix kan dus op deze wijze een lineaire afbeelding worden geassocieerd en men noemt dit de op natuurlijke wijze aan A geassocieerde lineaire afbeelding, notatie : T A. voorbeeld 7 : Beschouw de vectorruimte V = R[x] van de reële veeltermen. De afbeelding T van R[x] naar zichzelf die de veelterm p(x) afbeeldt op p(x 1) is een lineaire transformatie van R[x]. voorbeeld 8 : Beschouw de vectorruimte Mat(n, F) van de n n matrices over F en zij A een vaste n n matrix. De afbeelding T gedefinieerd door T (X) = A X X A is een lineaire transformatie van Mat(n, F). Deze staat ook gekend als de commutatorafbeelding van M at(n, F). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

22 3 22 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Kernruimte en beeldruimte van een lineaire afbeelding Met elke lineaire afbeelding T van V naar W kan men een deelruimte van V en een deelruimte van W associëren. Onder het beeld of de beeldruimte van T verstaan we de verzameling van alle beeldvectoren : Im T = {T ( v) v V } W De kern of kernruimte van T is de verzameling van alle vectoren die door T op de nulvector van W worden afgebeeld : Ker T = { v v V en T ( v) = o} V Beide verzamelingen vormen deelvectorruimten van V resp. W zoals blijkt uit volgende stelling, wat de benamingen beeldruimte en kernruimte rechtvaardigt. STELLING 3.1 kern en beeldruimte van lineaire afbeelding Is T een lineaire afbeelding van V naar W dan is Ker T een deelruimte van V en Im T een deelruimte van W bewijs : Als v 1 en v 2 beide tot Ker T behoren, dan is T (r v 1 + v 2 ) = r T ( v 1 )+T ( v 2 ) = r o+ o = o waaruit met het criterium voor deelruimten volgt dat Ker T een deelruimte is van V. Zijn w 1 en w 2 beide vectoren van Im T, dan bestaan er vectoren v 1 en v 2 van V waarvoor T ( v 1 ) = w 1 en T ( v 2 ) = w 2. Dan is T (r v 1 + v 2 ) = r w 1 + w 2 zodat r w 1 + w 2 ook tot Im T behoort. Met het criterium voor deelruimten volgt nu het gestelde. Het is duidelijk dat als B = { e 1, e 2,..., e n } een basis is voor V, dan Im T wordt voortgebracht door de verzameling {T ( e 1 ), T ( e 2 ),..., T ( e n )} van de beelden van deze basisvectoren. De dimensie van de beeldruimte Im T noemt men de rang van T, notatie ρ(t ) De dimensie van de kernruimte Ker T noemt men ook de nulliteit van T, notatie ν(t ) Zijn V en W eindig dimensionaal dan bestaat er een verband tussen de dimensie van V en de dimensies van de kern en beeldruimte van een lineaire afbeelding T van V naar W. We formuleren deze tweede dimensiestelling zonder bewijs : Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

23 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 23 STELLING 3.1 tweede dimensiestelling Is T een lineaire afbeelding van V naar W met V en W eindig dimensionaal. Dan is dim V = dim(ker T )+ dim(im T ) Voorbeelden : In voorbeeld 5 van beschouwden we de afleidingsoperator D als lineaire afbeelding. De kern van deze afbeelding bevat alle functies waarvan de afgeleide functie de nulfunctie is, m.a.w. alle constante functies. De nulliteit van deze afbeelding is gelijk aan 1 (de kern wordt voortgebracht door één functie, namelijk de constante functie die alles op 1 afbeeldt). De rang van deze afbeelding is oneindig. Beschouw de afbeelding T : R 1 [x] R 1 [x] gedefinieerd door T (a + bx) = b + ax Men gaat na dat T een lineaire transformatie is van R 1 [x]. De kern van T bevat enkel de nulveelterm + x en heeft dus dimensie nul. Met de dimensiestelling volgt dan dat dim(im T )=2-=2. Bijgevolg is Im T = R 1 [x] (elke veelterm van R 1 [x] kan optreden als beeld van een veelterm voor de transformatie T ). Beschouw de projectie afbeelding P van R 3 op het xy vlak volgens de z as, dus P (x, y, z) = (x, y, ). De kern van P bestaat uit alle drietallen (,, z) met z willekeurig in R. De kernruimte is bijgevolg gelijk aan span {(,, 1)} en dus is de nulliteit van P gelijk aan 1. De beeldruimte van P wordt gevormd door alle drietallen (x, y, ) met x en y willekeurig in R. Dus Im P = span {(1,, ), (, 1, )} zodat de rang van P gelijk is aan 2. Men verifieert dat de dimensiestelling vervuld is. Bijzonder geval : Beschouwen we in het bijzonder de lineaire afbeelding T A van Mat(n, 1, F) naar Mat(m, 1, F) die op natuurlijke wijze geassocieerd is met de m n matrix A. De beeldruimte van deze afbeelding wordt voortgebracht door de beelden van een stel vectoren die een basis vormen voor Mat(n, 1, F). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

24 3 24 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen. Kies daarvoor in het bijzonder de natuurlijke basis, dit is e i = 1. de i de plaats. met een 1 op Het is duidelijk dat de beelden van deze basisvectoren onder T A precies de kolomvectoren van de matrix A zijn. Bijgevolg is Im T A niets anders dan de kolommenruimte Col A van A die we gedefinieerd hebben in 3.6. De dimensie van Im T A, dus de rang ρ(t A ) van de afbeelding T A, is bijgevolg ook de dimensie van de ruimte Col A, dit is de kolommenrang van A (en dus ook de (determinanten)rang van A). De rang van de met A geassocieerde lineaire afbeelding T A is dus niets anders dan de rang r van A. Uit de dimensiestelling volgt nu ook dat ν(t A ) = dim(ker T A ) = n r met r de rang van A. Toepassing : oplossingsruimte van een homogeen lineair stelsel We hebben reeds vroeger aangetoond met het criterium voor deelruimten dat de verzameling van alle oplossingen van een homogeen lineair stelsel met m vergelijkingen en n onbekenden een deelruimte vormt van R n. Dit resultaat volgt ook nog op een andere wijze. Immers, is A de coëfficiëntenmatrix van het stelsel, dan kan de oplossingsruimte gezien worden als de kernruimte van de lineaire afbeelding T A die op natuurlijke wijze geassocieerd is aan A en deze kernruimte is een deelruimte van R n wegens stelling 3.9. Gelet op het voorgaande is de dimensie van die oplossingsruimte gelijk aan n r met r de rang van A. We besluiten dus : de dimensie van de oplossingsruimte van een homogeen lineair stelsel is gelijk aan n r met n het aantal onbekenden en r de rang van de coëfficiëntenmatrix. voorbeeld : Bepaal een basis (en dimensie) van de oplossingsruimte van het stelsel { 2x 3y z u = x + y 4z + 5u = Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

25 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 25 Klaarblijkelijk is rang A = 2 (een hoofddeterminant is bvb. De dimensie van de oplossingsruimte is bijgevolg 4 2 = ) We zoeken nu nog een basis voor de oplossingsruimte. We lossen het stelsel op naar de hoofdonbekenden (in functie van de vrije onbekenden) : x = en y = 13z 14u 7z 11u 5 5 Stellen we z = 5k en u = 5l dan kan de oplossingsruimte dus voorgesteld worden door : {(13k 14l, 7k 11l, 5k, 5l) k, l R} = {k (13, 7, 5, ) + l ( 14, 11,, 5) k, l R} = span {(13, 7, 5, ), ( 14, 11,, 5)} Injectieve, surjectieve en bijectieve afbeeldingen R DEFINITIE 3.5 injectieve, surjectieve, bijectieve afbeelding Zij T een lineaire afbeelding van V naar W. T heet injectief als en slechts als T ( v 1 ) = T ( v 2 ) v 1 = v 2 (verschillende vectoren van V hebben dus een verschillend beeld onder T ) T heet surjectief als en slechts als Im T = W (dus elke vector van W is beeld onder T van minstens één vector van V ) T heet bijectief als en slechts als T zowel injectief als surjectief is. Is de lineaire afbeelding T : V W bijectief, dan is de inverse afbeelding T 1 : W V eveneens een lineaire afbeelding. Immers, kies w 1 en w 2 willekeurig in W en stel v 1 = T 1 ( w 1 ) en v 2 = T 1 ( w 2 ) ( v 1 en v 2 bestaan wegens de surjectiviteit van T en zijn uniek wegens de injectiviteit van T ). Dan is T 1 (r w 1 + w 2 ) = T 1 (r T ( v 1 ) + T ( v 2 )) = T 1 (T (r v 1 + v 2 )) = r v 1 + v 2 = r T 1 ( w 1 ) + T 1 ( w 2 ) waarmee het gestelde is aangetoond. Een bijectieve lineaire afbeelding tussen de vectorruimten V en W wordt ook een isomorfisme genoemd tussen V en W. Een niet injectieve lineaire transformatie van een vectorruimte V wordt ook een singuliere transformatie van V genoemd. naar zichzelf We geven nu nog twee criteria om de injectiviteit van een lineaire afbeelding na te gaan. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

26 3 26 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen STELLING 3.11 eerste kenmerk voor injectieve lineaire afbeelding Is T een lineaire afbeelding van V naar W, dan is T injectief a.s.a. Ker T = { o} bewijs : Stel dat Ker T = { o} en dat T ( v 1 ) = T ( v 2 ) of dus T ( v 1 ) T ( v 2 ) = T ( v 1 v 2 ) = o. Dan behoort v 1 v 2 tot Ker T en dus moet v 1 v 2 = o of dus v 1 = v 2. Dus T is injectief. Omgekeerd, onderstel dat T injectief is en dat T ( v) = o. Vermits T ( v) = T ( o) = o moet dus v = o, wat betekent dat Ker T = { o}. STELLING 3.12 tweede kenmerk voor injectieve lineaire afbeelding Is T een lineaire afbeelding van V naar W, dan is T injectief a.s.a. voor elk vrij deel S van V geldt dat T (S) een vrij deel is van W bewijs : Zij T injectief en zij S = { v 1,..., v k } een vrij deel van V. Beschouw dan T (S) = {T ( v 1 ),..., T ( v k } en onderstel dat r 1 T ( v 1 ) r k T ( v k ) = o. Dan is ook T (r 1 v r k v k ) = o zodat wegens stelling 3.11 geldt : r 1 v r k v k = o. Omdat S vrij is volgt hieruit dat r 1 =... = r k = waarmee ook is aangetoond dat T (S) vrij is. Omgekeerd, veronderstel dat de lineaire afbeelding T elk vrij deel van V omzet in een vrij deel van W. Vermits { v} een vrij deel is van V voor iedere keuze van v verschillend van o, is ook {T ( v)} een vrij deel van W zodat T ( v) o. Bijgevolg is Ker T = { o} waaruit de injectiviteit van T volgt met stelling Gevolg : Uit bovenstaande stelling volgt dat in het geval van eindig dimensionale vectorruimten met gelijke dimensie een injectieve afbeelding automatisch een bijectieve afbeelding, dus een isomorfisme is. Immers, zijn V en W eindig dimensionaal met dimensie n en zij T : V W een injectieve lineaire afbeelding. Beschouw een basis B = { e 1,..., e n } van V. Dan is wegens stelling 3.12, T (B) = {T ( e 1 ),..., T ( e n )} een vrij deel van W bestaande uit n elementen. Omdat dim W = n volgt hieruit (zie stelling 3.6) dat T (B) een basis is voor W. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

27 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 27 Is nu w W dan bestaan er scalairen r 1,..., r n waarvoor w = r 1 T ( e 1 )+...+r n T ( e n ) = T (r 1 e r n e n ). Als dus v = r 1 e r n e n wordt gesteld, dan is T ( v) = w zodat T surjectief is. De afbeelding T is dus injectief en surjectief en bijgevolg een isomorfisme. Overigens geldt ook dat, steeds in het geval van eindig dimensionale vectorruimten met gelijke dimensie, een surjectieve afbeelding automatisch een bijectieve afbeelding, dus een isomorfisme is. Dat is een gevolg van de tweede dimensiestelling. Is immers T surjectief, dan is dim(im T ) = dim(w ) = n waaruit dim(ker T )= en dus Ker T = { o} zodat T ook injectief is. We kunnen het voorgaande samenvatten in de volgende stelling : STELLING 3.13 kenmerk voor bijectieve lineaire afbeelding Is T een lineaire afbeelding van V naar W, met dim V = dim W = n eindig Dan zijn volgende uitspraken gelijkwaardig : (i) T is injectief (ii) T is surjectief (iii) T is bijectief 3.9 Matrixrepresentatie van een lineaire afbeelding Matrix van een lineaire afbeelding t.o.v. gekozen basissen In voorbeeld 6 van hebben we getoond hoe met iedere m n matrix A op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding T A kan worden geassocieerd. In deze paragraaf behandelen we het omgekeerde vraagstuk. We tonen aan dat met elke lineaire afbeelding tussen een n dimensionale vectorruimte V en een m dimensionale vectorruimte W steeds een m n matrix kan worden geassocieerd. Onderstel dat B = ( e 1, e 2,..., e n ) resp. B = ( e 1, e 2..., e m) geordende basissen zijn voor V resp. W. Is T een lineaire afbeelding van V naar W dan is T volledig bepaald als men weet hoe T inwerkt op de basisvectoren van V. Immers Im T wordt voortgebracht door de beelden van die basisvectoren. De beelden van de basisvectoren e i (i = 1,..., n) onder T kunnen geschreven worden als lineaire combinaties van de basisvectoren e j (j = 1,..., m). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

28 3 28 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Dus : T ( e 1 ) = a 11 e 1 + a 12 e a 1m e m T ( e 2 ) = a 21 e 1 + a 22 e a 2m e m. T ( e n ) = a n1 e 1 + a n2 e a nm e m of dus T ( e i ) = m a ij e j voor i = 1,..., n j=1 a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 Beschouwen we nu de matrix [T ] BB = die de getransponeerde matrix is van de coëfficiëntenmatrix die men kan vormen uit bovenstaande... a 1m a 2m a nm gelijkheden. Dus [T ] BB = (a ji ). We noemen [T ] BB de matrix van T t.o.v. de gekozen basissen B en B. De kolommen van deze matrix corresponderen dus met de beelden van de basisvectoren van V. In het bijzonder is de matrix van een lineaire afbeelding van V naar zichzelf t.o.v. een basis B van V een vierkante matrix [T ] B. We bekijken nu hoe de werking van een lineaire afbeelding kan gerepresenteerd worden d.m.v. haar matrix (steeds t.o.v. gekozen geordende basissen) : Stellen we de vectoren van V en W voor als kolommatrices (waarvan de elementen de coördinaten zijn t.o.v. de gekozen geordende basissen). Zij v een willekeurige vector van V met v = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. T ( v) = x 1 T ( e 1 ) + x 2 T ( e 2 ) x n T ( e n ) = n x i T ( e i ) i=1 = n x i ( m i=1 = m ( n j=1 i=1 j=1 a ij e j ) a ij x i ) e j Dus T ( v) = x 1 e 1 +x 2 e x m e m waarbij x j = n We kunnen dit ook uitdrukken door te schrijven : i=1 a ij x i voor iedere j {1, 2,..., m} Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

29 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 29 x 1 x 2. x m a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 =... a 1m a 2m a nm x 1 x 2. x n of met verkorte notaties : [T ( v)] B = [T ] BB [ v] B Hebben we in het bijzonder een lineaire transformatie van V naar V en werd een geordende basis B in V gekozen, dan is : [T ( v)] B = [T ] B [ v] B voorbeelden : Beschouw de lineaire afbeelding T van V = R 4 naar W = R 2 waarvoor T (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 2, x 3 x 4 ). Kiezen we de standaardbasis B = {(1,,, ), (, 1,, ), (,, 1, ), (,,, 1)} van R 4 en de standaardbasis B = {(1, ), (, 1)} van R 2. De beelden van de basisvectoren van V zijn resp. (1, ), (1, ), (, 1) en (, 1) De matrix [T ] BB is dan de 2 4 matrix ( en de afbeelding T kan worden voorgesteld door : ( x 1 x 2 ) = ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 Merk op dat de kernruimte van deze afbeelding bestaat uit alle vectoren van de vorm (x, x, y, y), dus span {(1, 1,, ), (,, 1, 1)} (T is dus niet injectief) terwijl de beeldruimte gelijk is aan Im T = R 2 (T is wel surjectief). ) Beschouw ( de lineaire ) transformatie T van M at(2, ( R) naar ) zichzelf waarvoor de a b b d matrix wordt afgebeeld op de matrix (kwartdraai links) c d a c De beelden van de standaardbasisvectoren van M at(2, R) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 {,,, } zijn, ( ) en ( 1 ) (, 1 De coördinaten van deze beeldvectoren t.o.v. de gekozen basis zijn (,, 1, ), (1,,, ), (,,, 1) en (, 1,, ). ) Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

30 3 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen De matrix [T ] B is dan de 4 4 matrix en de transformatie T kan worden voorgesteld door : a b c d = a b c d Beschouw de lineaire transformatie T van R 2 [x] naar zichzelf gedefinieerd door T (a + bx + cx 2 ) = a + b(x 1) + c(x 1) 2. De beelden van de standaardbasisvectoren 1, x en x 2 zijn resp. 1, x 1 en (x 1) 2 = x 2 2x + 1. De coördinaten daarvan t.o.v. de gekozen standaardbasis zijn (1,, ), ( 1, 1, ) en (1, 2, 1) De matrix [T ] B is dan de 3 3 matrix en T kan worden voorgesteld door : a b c = a b c Beschouw de lineaire transformatie T van R 3 naar zichzelf die meetkundig neerkomt op een rotatie in het xy vlak rond de z as over een hoek ϑ. De beelden van de standaardbasisvectoren (1,, ), (, 1, ) en (,, 1) zijn dan (cos ϑ, sin ϑ, ), ( sin ϑ, cos ϑ, ) en (,, 1) De matrix [T ] B is dus de 3 3 matrix en T kan worden voorgesteld door x cos ϑ sin ϑ x y = sin ϑ cos ϑ y z 1 z cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ 1 Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

31 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Verandering van basis Hierboven hebben we uiteengezet hoe men aan een lineaire afbeelding tussen vectorruimten een matrix kan associëren t.o.v. gekozen geordende basissen. We vragen ons nu af hoe deze matrixrepresentatie zal veranderen wanneer we andere basissen kiezen. Onderstel dat twee geordende basissen B = ( e 1, e 2,..., e n ) en B = ( u 1, u 2,..., u n ) in V werden gekozen. De nieuwe basisvectoren (vectoren van basis B) kunnen geschreven worden als lineaire combinaties van de oude basisvectoren (vectoren van basis B). Zo hebben we : u 1 = p 11 e 1 + p 12 e p 1n e n u 2 = p 21 e 1 + p 22 e p 2n e n. u n = p n1 e 1 + p n2 e p nn e n of dus u j = n p ji e i voor j = 1,..., n i=1 De matrix P = [p ji ] = [p ij ] T noemt men de overgangsmatrix bij de overgang van de basis B = { e 1, e 2,..., e n } naar de basis B = { u 1, u 2,..., u n }. Deze matrix is inverteerbaar en de inverse P 1 is de overgangsmatrix bij de overgang van basis B naar basis B. Zij nu v = x 1 e 1 + x 2 e x n e n = x 1 u 1 + x 2 u x n u n en zij [ v] B resp. [ v] e B de kolommatrixvoorstelling van v t.o.v. B resp. B (dus de coördinaten van v t.o.v. B resp. B, geschreven als kolommatrices) Dan is dus : v = n x i e i i=1 = n x j u j j=1 = n x j( n p ji e i ) j=1 i=1 = n ( n x jp ji ) e i i=1 j=1 Hieruit volgt dat x i = n x jp ji voor elke i = 1,..., n. j=1 Deze n gelijkheden kunnen tegelijkertijd voorgesteld worden d.m.v. een matrixgelijkheid : Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

32 3 32 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen x 1. x i. x n = p 11. p 21. p n1. p 1i p 2i p ni... p 1n p 2n p nn x 1. x j. x n of kort genoteerd : [ v] B = P [ v] e B Op volledig analoge wijze kan men twee basissen B en B in de vectorruimte W beschouwen en een overgangsmatrix Q voor de overgang van B naar B. Is T ( v) het beeld van v onder een lineaire afbeelding T van V naar W, dan geldt : [T ( v)] B = Q [T ( v)] e B Met betrekking tot de matrixrepresentatie van een lineaire afbeelding T van V naar W kunnen we nu de volgende stelling aantonen. STELLING 3.14 matrix van lineaire afbeelding bij basisverandering Zij T een lineaire afbeelding van V naar W met V en W eindig dimensionaal Zij verder B en B, resp. B en B geordende basissen in V resp. in W en zij P resp. Q de overgangsmatrix van B naar B, resp. van B naar B Dan geldt : zijn [T ] BB resp. [T ] e B e B de met T geassocieerde matrices t.o.v. de gekozen basissen, dan is [T ] e B e B = Q 1 [T ] BB P bewijs : De matrixvoorstelling van de lineaire afbeelding T t.o.v. de basis B in V en de basis B in W wordt gegeven door [T ( v)] B = [T ] BB [ v] B. Maken we gebruik van [ v] B = P [ v] e B en [T ( v)] B = Q [T ( v)] e B dan bekomen we : [T ( v)] B = [T ] BB [ v] B Q [T ( v)] e B = [T ] BB P [ v] e B [T ( v)] e B = Q 1 [T ] BB P }{{} [ v] e B Anderzijds is ook [T ( v)] e B = [T ] e B e B [ v] e B (matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B van V en B van W ). We besluiten dus dat [T ] e B e B = Q 1 [T ] BB P. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

33 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 33 Bijzonder geval : Is T een lineaire transformatie van V naar V en zijn basissen B en B in V gekozen waarbij P de overgangsmatrix is bij overgang van B naar B, dan geldt : [T ] e B = P 1 [T ] B P voorbeeld : Beschouw de lineaire transformatie van de vectorruimte R 2 gedefinieerd door T : (x, y) (x + y, 2x y). De ( matrix) van T t.o.v. de standaardbasis B = { e 1 = (1, ), e 2 = (, 1)}. is gelijk aan Wat wordt de matrix van T t.o.v. de nieuwe basis B = { u 1 = (1, 1), u 2 = ( 1, )}? We bepalen eerst de overgangsmatrix P voor de overgang van B naar B. Daartoe drukken we de nieuwe basisvectoren uit t.o.v. de oude basis : u 1 = (1, 1) = (1, ) + (, 1) = e 1 + e 2 en u 2 = ( 1, ) = (1, ) + (, 1) = e 1 + e 2 ( ) 1 1 Bijgevolg is P = 1 De matrix van T t.o.v. de basis B luidt dus : ( ) ( ) ( ) ( = ) ( ) ( ) ( 1 2 = 1 1 ) Zijn ( x, ỹ) de coördinaten van een willekeurige vector t.o.v. de nieuwe basis B, dan wordt T dus gegeven door : ( x, ỹ) ( x 2ỹ, x ỹ) R DEFINITIE 3.6 gelijkvormige matrices Twee vierkante matrices A en B worden gelijkvormig genoemd als en slechts als er een inverteerbare matrix C bestaat waarvoor B = C 1 A C Met het bijzonder geval van bovenstaande stelling hebben we dus : twee matrices zijn geassocieerd met dezelfde lineaire transformatie (t.o.v. verschillende basissen) als en slechts als ze gelijkvormig zijn. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

34 3 34 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Men kan zich afvragen of er criteria bestaan om gemakkelijk na te gaan of twee matrices al dan niet gelijkvormig zijn. Het antwoord op deze vraag is niet eenvoudig, maar we kunnen wel al een nodige voorwaarde vinden door het begrip spoor van een matrix in te voeren. R DEFINITIE 3.7 spoor van een matrix Het spoor (ook trace) van een vierkante matrix A = (a ij ) is per definitie gelijk aan de som van de elementen op de hoofddiagonaal. n Dus tr(a) = a 11 + a a nn = i=1 a ii We tonen nu aan dat gelijkvormige matrices hetzelfde spoor hebben. Anders gezegd : het spoor is een gelijkvormigheidsinvariant. STELLING 3.15 spoor is gelijkvormigheidsinvariant Zij A en B vierkante matrices Dan geldt : tr(a B) = tr(b A) en als A en B gelijkvormig zijn, dan is tr(a) = tr(b) bewijs : n Stel A = (a ij ) en B = (b ij ), dan is A B = (c ij ) met c ij = a ik b kj. n n n Bijgevolg is tr(a B) = c ll = a lk b kl l=1 l=1 k=1 Anderzijds is B A = (d ij ) met d ij = Hiermee is bewezen dat tr(a B) = tr(b A). k=1 n b il a lj zodat tr(b A) = l=1 k=1 n d kk = n n b kl a lk k=1 l=1 Als A en B gelijkvormig zijn, dan bestaat er een inverteerbare matrix C waarvoor B = C 1 A C. Gebruikmakend van het eerste deel van de stelling is dan tr(b) = tr(c 1 A C) = tr(a C C 1 ) = tr(a). Naast het spoor is ook de determinant een gelijkvormigheidsinvariant : als A en B gelijkvormig zijn, dan is det(a) = det(b). Dit volgt onmiddellijk uit B = C 1 A C, de multiplicatieve eigenschap van determinanten en het feit dat det C 1 = 1 det C Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

35 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Bewerkingen met lineaire afbeeldingen Beschouw de verzameling Lin(V, W ) van alle lineaire afbeeldingen van een vectorruimte V naar een vectorruimte W (over hetzelfde veld F). In deze verzameling kan men een optelling en een vermenigvuldiging met scalairen definiëren. Immers de afbeelding T 1 + T 2 kan puntsgewijze gedefinieerd worden door : (T 1 + T 2 )( v) = T 1 ( v) + T 2 ( v) voor elke v V. T 1 + T 2 is terug een lineaire afbeelding van V naar W en er kan worden aangetoond dat Lin(V, W ) voorzien van deze optelling gestructureerd wordt tot een commutatieve groep (met als nulelement de nulafbeelding die elke vector van V afbeeldt op o W ). Men kan ook de vermenigvuldiging van een lineaire afbeelding met een scalair definiëren door : (kt )( v) = k T ( v) voor elke v V en elke k F. De afbeelding kt is opnieuw lineair. Men toont aan dat deze scalaire vermenigvuldiging voldoet aan alle voorwaarden om Lin(V, W ) samen met de optelling te structureren tot een vectorruimte. Lin(V, W ) kan dus zelf beschouwd worden als een vectorruimte over F (de vectoren van deze ruimte zijn lineaire afbeeldingen). Is dim V = n en dim W = m en kiezen we een basis B in V en een basis B in W, dan kan elk element van Lin(V, W ) worden gerepresenteerd door een m n matrix [T ] BB. Men kan aantonen dat [T 1 + T 2 ] BB = [T 1 ] BB + [T 2 ] BB en dat [kt ] BB = k [T ] BB. De bijectieve afbeelding Φ : Lin(V, W ) Mat(m, n, F), T [T ] BB is bijgevolg een isomorfisme van de vectorruimte Lin(V, W ) naar de vectorruimte Mat(m, n, F). Is in het bijzonder V = W, dan kan ook de samenstelling van elementen van Lin(V, V ) beschouwd worden. T 2 T 1 wordt gedefinieerd door : (T 2 T 1 )( v) = T 2 (T 1 ( v)) voor elke v V. Deze samenstelling is opnieuw een lineaire transformatie van V waarvan de matrix gelijk is aan het product van de matrices van de samenstellende transformaties, dus [T 2 T 1 ] B = [T 2 ] B [T 1 ] B. De identieke transformatie I van V fungeert als neutraal element voor deze samenstelling : T I = I T = T voor iedere T Lin(V ). Met I correspondeert de eenheidsmatrix I t.o.v. elke gekozen basis B van V. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

36 3 36 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3.11 Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie van eigenvector, eigenwaarde en eigenruimte R DEFINITIE 3.8 eigenvector en eigenwaarde Is T Lin(V ) dan noemt men een vector v verschillend van de nulvector, een eigenvector (of karakteristieke vector) van T behorende bij de eigenwaarde λ F als en slechts als T ( v) = λ v Eigenvectoren van een lineaire transformatie zijn dus niet nulvectoren die worden afgebeeld op een veelvoud van zichzelf. De verzameling van alle eigenwaarden van een lineaire transformatie T, noemt men ook het spectrum van T. De voorwaarde T ( v) = λ v kan ook nog geschreven worden als : T ( v) λ v = o of dus (T λi)( v) = o Vermits een eigenvector per definitie niet de nulvector is, betekent dit dat T eigenvectoren bezit als en slechts als Ker (T λi) { o}, m.a.w. als T λi een niet injectieve lineaire transformatie is. voorbeelden : Zij T de lineaire afleidingsoperator D inwerkend op de vectorruimte van de afleidbare R R functies. Een functie f verschillend van de nulfunctie is een eigenvector (hier ook eigenfunctie genoemd) als en slechts als Df = λ f voor zeker reëel getal λ. Deze voorwaarde komt neer op het bepalen van de algemene oplossing van de lineaire 1ste orde differentiaalvergelijking y λ y =. Deze is y = C e λ x. Alle functies met voorschrift van de gedaante f(x) = C e λ x met λ willekeurig maar vast, zijn dus eigenfuncties horende bij eigenwaarde λ. De afleidingsoperator bezit dus oneindig veel eigenwaarden en bij elke eigenwaarde horen oneindig veel eigenvectoren. Zij T de lineaire transformatie van R 2 gedefinieerd door T (x, y) = (x, y) (spiegeling om de x as). Klaarblijkelijk zijn alle vectoren (x, ) eigenvectoren van T horende bij eigenwaarde λ = 1 (vectoren van de spiegelas worden op zichzelf afgebeeld) terwijl alle vectoren (, y) eigenvectoren van T zijn horende bij eigenwaarde λ = 1 (deze vectoren worden bij spiegeling afgebeeld op hun tegengestelde). Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

37 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 37 Zij T A de lineaire ( transformatie ) die op natuurlijke wijze geassocieerd is met de 1 matrix A = (meetkundig correspondeert T 1 A met een rotatie over een hoek π in tegenwijzerzin). 2 ( ) x T A werkt op de kolomvectoren van Mat(2, 1, R) en het beeld van zulk y ( ) y een vector onder T A is de kolomvector x De eigenvectoren { van T A bij eigenwaarde λ zijn de oplossingen (x, y) van het y = λx stelsel x = λy Dit leidt tot (λ 2 + 1)x = waaruit x = en dan ook y = zodat T A geen eigenvectoren bezit (bij roteren over π zijn er geen vectoren die een veelvoud 2 van zichzelf als beeld hebben). Laat men evenwel T A inwerken op kolomvectoren van Mat(2, 1, C), dan bezit T A wél eigenvectoren (horende bij de complexe eigenwaarden j en j)! Het is dus van belangrijk om vooraf expliciet af te spreken over welk veld er wordt gewerkt. Doorgaans zal men stilzwijgend veronderstellen dat T A inwerkt op kolomvectoren met reële elementen wanneer de elementen van de matrix A ook alle reëel zijn. STELLING 3.16 eigenruimte van een lineaire transformatie Zij T een lineaire transformatie van V en zij λ een eigenwaarde van T. Dan vormt de verzameling van alle eigenvectoren horende bij λ, aangevuld met de nulvector, een deelruimte van V, die men een eigenruimte noemt. bewijs : Onderstel dat v 1 en v 2 eigenvectoren zijn horende bij eigenwaarde λ. Dan is T (r v 1 + v 2 )) = r T ( v 1 ) + T ( v 2 ) = r λ v 1 + λ v 2 = λ (r v 1 + v 2 ). Met het criterium voor deelruimte volgt nu het gestelde (na toevoeging van de nulvector). Overigens volgt het resultaat ook uit het feit dat de eigenvectoren horende bij λ de niet nulvectoren zijn van Ker (T λi) en deze is een deelruimte van V als kernruimte (stelling 3.1). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

38 3 38 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Men noemt Ker (T λi) de eigenruimte of karakteristieke ruimte geassocieerd met de eigenwaarde λ, notatie E λ. De eigenruimte E λ is dus de verzameling van alle eigenvectoren horende bij eigenwaarde λ, aangevuld met de nulvector De karakteristieke veelterm en vergelijking Onderstel dat T een lineaire transformatie is van een eindig dimensionale vectorruimte V en dat een geordende basis B in V werd gekozen. Als λ een eigenwaarde is van T met bijhorende eigenvector v, dan is (T λi)( v) = o. Maken we nu gebruik van de matrixrepresentatie van de optredende lineaire transformatie T λi t.o.v. de gekozen basis B dan betekent dit : ([T ] B λ[i] B ) [ v] B = [ o] B waarbij de matrix [I] B van de identieke transformatie de n n eenheidsmatrix I is. We kunnen het bovenstaande ook nog schrijven als : x 1 x 2 ([T ] B λi). x n = Vermits v o betekent dit noodzakelijk dat det([t ] B λi) = We besluiten dus : λ is een eigenwaarde van T als en slechts als det ([T ] B λi) =. Dit resultaat volgt ook uit het feit dat T λ I een niet injectieve (= singuliere) transformatie moet zijn. We gaan nu na in hoeverre dit besluit afhangt van de keuze van de basis B. Kies een tweede basis B en noem P de overgangsmatrix bij overgang van B naar B, dus [T ] e B = P 1 [T ] B P Bijgevolg geldt : λ is een eigenwaarde van T als en slechts als det([t ] e B λi) = det (P 1 [T ] B P λi) = det (P 1 [T ] B P P 1 P λi) = det (P 1 [T ] B P P 1 λi P ) = det (P 1 ([T ] B λi) P ) = det(p 1 ) det([t ] B λi) det(p ) = det([t ] B λi) = Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3..

39 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 39 We kunnen dus besluiten : λ is een eigenwaarde van T als en slechts als det([t ] B λi) = waarbij [T ] B de matrix is die geassocieerd is met T t.o.v. een willekeurig gekozen basis B. Bovenstaand resultaat suggereert de invoering van het begrip eigenwaarde van een matrix. Is A een vierkante matrix van de orde n, dan wordt λ een eigenwaarde van A genoemd als en slechts als det(a λi) =. Voluit geschreven betekent dit : a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ = Het is duidelijk dat men na uitwerking van de determinant in het linkerlid van deze vergelijking een veelterm bekomt van de graad n in λ. Deze veelterm p(λ) = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 (tr A) λ n det A wordt de karakteristieke veelterm van A genoemd. De constante term van deze veelterm is gelijk aan det A wat men inziet door λ nul te stellen in p(λ) = det(a λ I). De vergelijking p(λ) = det(a λi) = wordt de karakteristieke vergelijking van A genoemd. Het bepalen van de eigenwaarden van een n n matrix A komt dus neer op het oplossen van een n de graadsvergelijking. Wegens de hoofdstelling van de algebra bezit zo n vergelijking precies n oplossingen (rekening houdend met de multipliciteiten) in het veld C van de complexe getallen. Een reële matrix bezit dus steeds minstens één complexe eigenwaarde, maar niet noodzakelijk reële eigenwaarden. Zijn λ 1,..., λ n de (niet noodzakelijk verschillende) oplossingen van de karakteristieke vergelijking dan is p(λ) = (λ λ 1 )... (λ λ n ) = λ n (λ λ n ) λ n ( 1) n λ 1... λ n terwijl anderzijds ook p(λ) = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 (tr A) λ n det A Hieruit besluiten we dat tr A = λ λ n (het spoor van A is de som van de eigenwaarden) en det A = λ 1... λ n (de determinant van A is het product van de eigenwaarden). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

40 3 4 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Keren we nu terug naar lineaire transformaties van een eindig dimensionale vectorruimte V. Omdat voor basissen B en B van V geldt dat det([t ] e B λ I) = det([t ] B λ I) (zie hoger) is de veelterm p T (λ) = det([t ] B λ I) onafhankelijk van de keuze van de basis. Men noemt deze de karakteristieke veelterm van de lineaire transformatie T en de vergelijking p T (λ) = heet de karakteristieke vergelijking van T. Vermits de matrices geassocieerd met T t.o.v. verschillende basissen gelijkvormig zijn, kunnen we het bovenstaande ook nog anders formuleren : gelijkvormige matrices hebben dezelfde karakteristieke veelterm (en bijgevolg dezelfde eigenwaarden) of nog de karakteristieke veelterm is een gelijkvormigheidsinvariant. We tonen nu eerst enkele algemene eigenschappen aan m.b.t. eigenwaarden van een matrix (of van een lineaire transformatie). STELLING 3.17 eigenwaarden van verwante matrices Zij A een n n matrix, dan geldt : (i) λ = is een eigenwaarde van A a.s.a. det A = (ii) A en A T bezitten dezelfde karakteristieke veelterm en dezelfde eigenwaarden (iii) Is A inverteerbaar en is λ een eigenwaarde van A, dan is 1 eigenwaarde van A 1 λ (iv) Is A een boven of benedendriehoeksmatrix, dan zijn de eigenwaarden van A de elementen op de hoofddiagonaal (v) Is λ een eigenwaarde van A en is w(x) een veeltermfunctie, dan is w(λ) een eigenwaarde van w(a) (vi) Als A en B gelijkvormig zijn, dan bezitten ze dezelfde karakteristieke veelterm en dezelfde eigenwaarden bewijs : (i) is eigenwaarde a.s.a. det(a I) = (ii) det(a T λ I) = det(a T (λ I) T ) = det(a λ I) T = det(a λ I) (iii) det(a 1 1 λ I) = det A det(a 1 1 λ I) = det(i 1 λ A 1 ) = det(λ I A 1 ) = (iv) Als A driehoeksmatrix is, dan ook A λ I zodat de determinant van die laatste gelijk is aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal, dus p(λ) = (a 11 λ)... (a nn λ) (v) We tonen eerst aan door volledige inductie dat λ k eigenwaarde is van A k voor elke k N. Voor k = en k = 1 geldt deze eigenschap. Stel dat bewezen is dat Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

41 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 41 λ k 1 eigenwaarde is van A k 1 en zij v een bijhorende eigenvector. Dan is A k v = A (A k 1 v) = A (λ k 1 v) = λ k 1 A v = λ k 1 (λ v) = λ k v waarmee is aangetoond dat v een eigenvector is van A k horende bij eigenwaarde λ k. Is nu w(a) = b +b 1 A+...+b s A s dan volgt met het voorgaande dat w(a) v = s i=1 b ia i v = s i=1 b i λ i v = w(λ) v zodat w(λ) eigenwaarde is van w(a) (vi) werd reeds aangetoond op vorige pagina Algebraïsche en meetkundige multipliciteit We hebben reeds opgemerkt dat de karakteristieke vergelijking van een matrix of een lineaire transformatie een n de graadsvergelijking is die dus n oplossingen in C bezit wanneer men rekening houdt met de multipliciteit van deze oplossingen. R DEFINITIE 3.9 multipliciteit van een eigenwaarde Is λ een eigenwaarde van de matrix A of van de lineaire transformatie T, dan noemt men de multipliciteit van λ als oplossing van de karakteristieke vergelijking, de algebraïsche multipliciteit van λ. Is E λ de eigenruimte horende bij λ dan noemt men de dimensie van E λ de meetkundige multipliciteit van λ. We noteren de algebraïsche multipliciteit van λ met q λ en de meetkundige multipliciteit met r λ. De volgende stelling toont het verband tussen beide multipliciteiten. STELLING 3.18 multipliciteitenstelling Zij λ een eigenwaarde van een lineaire transformatie T van V met dim V = n waarbij λ algebraïsche multipliciteit q en meetkundige multipliciteit r bezit. Dan geldt : r q. bewijs : Kies in de eigenruimte E λ een basis { e 1,..., e r } en vul deze aan tot een basis B = { e 1,..., e n } van V. ( ) D B T.o.v. deze basis bezit T een blokmatrix [T ] B = waarbij D = diag (λ,..., λ) O C Mat(r, F) en O de (n r) r nulmatrix. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

42 3 42 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen De karakteristieke vergelijking p T (µ) = is bijgevolg (uitwerking determinant van blokmatrix) gelijk aan (λ µ) r det(c µ I) = zodat µ = λ een eigenwaarde is met algebraïsche multipliciteit minstens gelijk aan r. We besluiten dat q r. voorbeeld : Bepaal eigenvectoren, eigenwaarden en eigenruimten van de lineaire transformatie T van R 3 gedefinieerd door T (x, y, z) = (2x + y, y z, 2y + 4z) 2 1 T.o.v. de standaardbasis van R 3 is de matrix van T gegeven door : A = We bepalen de karakteristieke vergelijking : 2 λ 1 det(a λi) = 1 λ λ = (λ 3) (λ 2)2 = De eigenwaarden zijn dus λ 1 = 3 en λ 2 = 2 resp. met algebraïsche multipliciteit q λ1 = 1 en q λ2 = 2. We bepalen nu de eigenruimte horende bij eigenwaarde λ 1 = 3, dus Ker (T 3 I) x y z = of x + y = 2y z = 2y + z = Dit is een homogeen lineair stelsel met rang 2 en met 3 onbekenden. De oplossingsruimte heeft dus dimensie 1 (één vrije onbekende). Het { stelsel is gelijkwaardig met het stelsel gevormd door de hoofdvergelijkingen : x + y = 2y + z = en de oplossingsruimte is {(y, y, 2y) y R} = span {(1, 1, 2)} De eigenruimte E λ1 wordt dus voortgebracht door de vector (1, 1, 2) en heeft dimensie 1. De meetkundige multipliciteit van λ 1 is dus r λ1 = 1. Analoog bepaalt men de eigenruimte E λ2 behorende bij λ 2 = 2, dus Ker (T A 2I) x y z = of y = y z = 2y + 2z = Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

43 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 43 waaruit E λ2 (1,, ). = {(x,, ) x R} = span {(1,, )} voortgebracht door de eigenvector Vermits de dimensie van die eigenruimte 1 is, heeft λ 2 meetkundige multipliciteit 1, dus r λ2 = 1 Merk op dat r λ1 = q λ1 terwijl r λ2 < q λ Minimaalveelterm en de stelling van Cayley Hamilton In deze paragraaf formuleren we, zonder bewijs, één van de mooiste stellingen uit de lineaire algebra : de stelling van Cayley Hamilton. Is A een vierkante matrix van de orde n over F, dan zeggen we dat de veelterm w(x) = b + b 1 x b s x s met coëfficiënten in F en met graad 1 de matrix A annuleert als w(a) = b + b 1 A b s A s = O. De verzameling van alle annulerende veeltermen van een matrix A bevat steeds een unieke veelterm met leidende coëfficiënt 1 van laagste graad. Immers, vermits dim Mat(n, F) = n 2 is de verzameling van de veeltermen die A annuleren niet leeg : elk n tal matrices I n, A, A 2,..., A n2 is lineair afhankelijk. Er bestaan dus scalairen r i (niet alle ) waarvoor r I n +r 1 A+r 2 A r n 2 A n2 = O, n 2 zodat de veelterm r(x) = r i x i de matrix A annuleert. i= Er bestaan dus annulerende veeltermen van laagste graad (waarvan de leidende coëfficiënt steeds gelijk aan één kan worden gemaakt). Zij nu w 1 (x) en w 2 (x) twee dergelijke veeltermen. Uit w 1 (A) = O en w 2 (A) = O volgt dan ook dat w 1 (x) w 2 (x) een annulerende veelterm is, waarvan de graad echter kleiner is dan deze van w 1 en w 2, in strijd met de onderstelling dat we veeltermen van laagste graad beschouwden. Hiermee is de uniciteit aangetoond. De unieke monische (= met leidende coëfficiënt 1) veelterm die A annuleert, waarvan het bestaan is gewaarborgd door bovenstaande stelling, noemt men de minimaalveelterm van A, notatie m A (x). voorbeelden : De nulmatrix wordt geannuleerd door elke veelterm met constante term gelijk aan nul. Dus is de minimaalveelterm m O (x) = x. Is A een idempotente matrix, dan is A 2 = A zodat A geannuleerd wordt door de kwadratische veelterm x 2 x = x(x 1). Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

44 3 44 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Indien er een veelterm van lagere graad (dus van de eerste graad) zou bestaan die A annuleert, bvb. x k en dus A = k I zodat A 2 = A betekent dat k 2 I = k I of dus k = of k = 1 wat correspondeert met A = O of A = I. Een niet triviale idempotente matrix heeft dus als minimaalveelterm m(x) = x 2 x. Is A een nilpotente matrix met index k, d.w.z. dat A k = O terwijl A j O voor j < k, dan wordt A geannuleerd door de veelterm x k. Als gevolg van het resultaat dat we onmiddellijk hieronder vermelden, is dan m A (x) = x l met l k. Geen enkele veelterm x l met l < k kan echter annulerend zijn, want dan zou A k 1 = O. Bijgevolg is de minimaalveelterm van een nilpotente matrix met index k gelijk aan m(x) = x k Een belangrijk resultaat is het volgende : is w(x) een annulerende veelterm van A dan is de minimaalveelterm m A (x) een deler van w(x). Immers, de graad van w(x) is groter of gelijk aan de graad van m A (x) zodat met het delingsalgoritme van Euclides veeltermen q(x) en r(x) kunnen gevonden worden waarvoor w(x) = q(x) m A (x) + r(x) en waarbij de graad van r(x) kleiner is dan de graad van m A (x). Dan is echter r(a) = w(a) q(a) m A (A) = O O = O zodat r(x) ook A annuleert, in strijd met het feit dat m A minimale graad heeft. Dus moet r(x) = zodat m A (x) een deler is van w(x). We formuleren nu de beroemde stelling van Cayley Hamilton. STELLING 3.19 stelling van Cayley Hamilton Zij A een vierkante matrix van de orde n met karakteristieke veelterm p(x). Dan wordt A geannuleerd door p(x), dus p(a) = O Gevolg 1 : De minimaalveelterm van A is een deler van de karakteristieke veelterm van A. Men kan zelfs meer bewijzen : Is de karakteristieke veelterm van A gegeven door p(x) = minimaalveelterm van A gelijk aan m A (x) = s (x λ i ) q i, dan is de i=1 s (x λ i ) l i met 1 l i q i, i = 1,..., s. De karakteristieke veelterm en de minimaalveelterm bezitten dus dezelfde irreduciebele factoren. i=1 Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

45 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 45 De minimaalveelterm speelt een belangrijke rol bij het bepalen van een bijzondere gereduceerde vorm van een complexe matrix : de Jordan normaalvorm. Dit is een bijna diagonaalmatrix, met op de hoofddiagonaal eigenwaarden, maar ook nog ketens van 1 tjes net boven de hoofddiagonaal. We gaan in deze elementaire tekst niet verder in op de Jordan normaalvorm, maar we vermelden enkel dat deze samenhangt met veralgemeningen van eigenruimten en met nilpotente transformaties. Gevolg 2 : De inverse van een n n matrix kan geschreven worden als een veelterm in A met graad kleiner dan of gelijk aan n 1 Zij A een inverteerbare matrix. Omdat A voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking, is dan ( 1) n A n + ( 1) n 1 (tr A) A n det A = O Daaruit volgt, na vermenigvuldiging met A 1 : ( 1) n A n 1 + ( 1) n 1 (tr A) A n det A A 1 = O waaruit A 1 = 1 det A [( 1)n A n 1 + ( 1) n 1 (tr A) A n ] De inverse matrix A 1 kan dus berekend worden als een veelterm in A met graad n 1! Opmerking : De hierboven ingevoerde begrippen kunnen eveneens worden ingevoerd voor lineaire transformaties i.p.v. voor matrices. De minimale veelterm m T van een lineaire transformatie is de minimale veelterm van de matrix [T ] B van T t.o.v. een willekeurig gekozen basis. Deze is onafhankelijk van de keuze van B, m.a.w. de minimaalveelterm is een gelijkvormigheidsinvariant. Figuur 3.3: William Rowan Hamilton ( ) Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs

46 3 46 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen De stelling van Gershgorin Het bepalen van de eigenwaarden van een matrix van de orde n komt neer op het oplossen van een n de graadsvergelijking, de karakteristieke vergelijking, in C. Wegens de stelling van Abel Ruffini is er geen algemene formule om deze vergelijking op te lossen door middel van louter algebraïsche bewerkingen in het geval n > 4. Daarom zal men in die gevallen een beroep moeten doen op numerieke methoden om de eigenwaarden bij benadering te vinden. De meest gebruikte methode daarbij is de QR factorisatie (zie ook hoofdstuk 4). De Wit Russische wiskundige Semyon Aranovich Gershgorin toonde in 1931 een stelling aan die toelaat om de ligging van de eigenwaarden in het complexe vlak min of meer te bepalen. Dankzij de naar de Verenigde Staten uitgeweken Tsjechische wiskundige Olga Taussky Todd ( ) raakte deze stelling beter bekend. STELLING 3.2 stelling van Gershgorin Zij A een vierkante matrix van de orde n met complexe elementen Stel R i = a ij voor i {1,..., n} en beschouw de schijven S i met middelpunt a ii j i en straal R i Dan geldt : elke eigenwaarde van A ligt in minstens één schijf S i bewijs : Zij λ een eigenwaarde van A met bijhorende eigenvector v = (x 1, x 2,..., x n ). Zij x i de component van v met grootste modulus (in het complex geval) of met grootste absolute waarde (in het reëel geval). Omdat v o is x i >. Uit A (x 1... x n ) T = λ (x 1... x n ) T volgt voor de i de component : n a ij x j = λ x i of nog (λ a ii ) x i = a ij x j. j=1 j i Hieruit volgt : λ a ii x i = a ij x j en dus λ a ii = j i a ij x j x i a ij. j i j i Gevolg : Als de elementen van A die niet behoren tot de hoofddiagonaal een kleine modulus hebben, dan verschillende de eigenwaarden van A niet zo veel van de elementen op de hoofddiagonaal. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 3

47 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen 3 47 Figuur 3.4: Semyon Gershgorin ( ) en Olga Taussky Todd ( ) Diagonaliseerbaarheid Eén van de voornaamste toepassingen van de theorie van eigenwaarden en eigenvectoren is ongetwijfeld het vraagstuk van diagonaliseerbaarheid van een vierkante matrix of van een lineaire transformatie. R DEFINITIE 3.1 diagonaliseerbaarheid Zij T een lineaire transformatie van een vectorruimte V met dim V = n. T heet diagonaliseerbaar als een basis B = { e 1, e 2,..., e n } in V kan gevonden worden waarvoor de matrix [T ] B een diagonaalmatrix is. Een matrix A wordt diagonaliseerbaar genoemd indien de met A geassocieerde lineaire transformatie T A diagonaliseerbaar is. Een matrix A is dus diagonaliseerbaar wanneer A gelijkvormig is met een diagonaalmatrix D of dus wanneer er een inverteerbare matrix P bestaat waarvoor P 1 A P = D een diagonaalmatrix is. Opmerking : Is A Mat(n, R), dan kan de met A geassocieerde lineaire transformatie T A opgevat worden als een transformatie van Mat(n, 1, R) of als een transformatie van Mat(n, 1, C). Voor reële matrices moet men bijgevolg een onderscheid maken tussen diagonaliseerbaarheid over R en diagonaliseerbaarheid over C. Het is mogelijk dat een matrix niet diagonaliseerbaar is over R maar wel over C. Wanneer het veld niet expliciet wordt vermeld, dan zal men steeds stilzwijgend diagonaliseerbaarheid over C bedoelen. Hoofdstuk 3 Algebra voor ingenieurs