Lineaire Algebra Een Samenvatting
|
|
- Guido Mulder
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle u V en v V, (2) u + (v + w) = (u + v) + w voor alle u V, v V en w V, (3) er bestaat 0 V, zodat u + 0 = u voor alle u V, (4) voor alle u V bestaat u V, zodat u + ( u) = 0, (b) u V en c R cu V, (5) c(u + v) = cu + cv voor alle u V, v V en c R, (6) (c + d)u = cu + du voor alle u V, c R en d R, (7) c(du) = (cd)u voor alle u V, c R en d R, (8) 1u = u voor alle u V. Definitie: Zij V een vectorruimte en W V. W is een deelruimte van V als W een vectorruimte is m.b.t. de operaties in V. Stelling: Zij V een vectorruimte en W V met W niet leeg. Als (a) u W en v W u + v W, (b) u W en c R cu W, dan is W een deelruimte van V. Definitie: Zij V een vectorruimte en v 1, v 2,..., v n V. Een vector v is een lineaire combinatie van v 1, v 2,..., v n als v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n voor zekere a 1, a 2,..., a n R. Definitie: Zij V een vectorruimte, v 1, v 2,..., v n V en S = {v 1, v 2,..., v n }, dan is span S het opspansel van S, d.w.z. span S = {a 1 v 1 + a 2 v a n v n a 1, a 2,..., a n R}. 1
2 Definitie: Zij V een vectorruimte en v 1, v 2,..., v n V. De vectoren v 1, v 2,..., v n zijn lineair onafhankelijk als a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 a 1 = a 2 =... = a n = 0. Stelling: Zij V een vectorruimte en S en T eindige deelverzamelingen van V met S T, dan geldt T is lineair onafhankelijk S is lineair onafhankelijk. Definitie: Zij V een vectorruimte. Een basis van V is een verzameling {v 1, v 2,..., v n } met v 1, v 2,..., v n V, zodat (a) V = span{v 1, v 2,..., v n }, (b) v 1, v 2,..., v n zijn lineair onafhankelijk. Stelling: Zij V een vectorruimte en S een basis van V, dan kan iedere vector v in V geschreven worden als een unieke lineaire combinatie van vectoren in S. Nota Bene: We beschouwen louter vectorruimten V die een basis hebben, of V = {0}. Stelling: Zij V een vectorruimte en S een eindige deelverzameling van V met span S = V, dan is een zekere deelverzameling van S een basis van V. Stelling: Zij V een vectorruimte. Als {v 1, v 2,..., v n } en {w 1, w 2,..., w m } bases van V zijn, dan geldt n = m. Definitie: Zij V een vectorruimte met V {0}, dan is de dimensie van V met notatie dim V het aantal vectoren van een basis van V. We definiëren dim {0} = 0. Definitie: Zij V een vectorruimte en S = {v 1, v 2,..., v n } een geordende basis van V. Zij v V, dan is a 1 a 2 [v] S =. a n met v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n de coördinaatvector van v m.b.t. de geordende basis S. De elementen van [v] S zijn de coördinaten van v m.b.t. de geordende basis S. Definitie: Een m n-matrix A is een rechthoekige ordening van reële getallen in m rijen en n kolommen, d.w.z. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =.... a m1 a m2... a mn 2
3 Voor j = 1, 2,..., n is de j-de kolom van A gelijk aan a 1j a 2j a j =.. a mj Stelling: De verzameling van m n-matrices voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn c + b 11 b b 1n b 21 b b 2n... b m1 b m2... b mn a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n... a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn a 11 a a 1n a 21 a a 2n... = a m1 a m2... a mn, ca 11 ca ca 1n ca 21 ca ca 2n... ca m1 ca m2... ca mn is een vectorruimte. De notatie van deze vectorruimte is R m n. Ook noteren we R m = R m 1. Definitie: Zij A = (a ij ) een m k-matrix en B = (b ij ) een k n-matrix, dan is het matrixproduct AB de m n-matrix C = (c ij ) met elementen c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj voor i = 1, 2,..., m en j = 1, 2,..., n., Definitie: Zij A = ( ) a 1 a 2... a n een m n-matrix, dan is het bereik van A gelijk aan range A = span {a 1, a 2,..., a n }, en de rang van A gelijk aan rank A = dim range A. Definitie: Zij A een m n-matrix, dan is de kern van A gelijk aan ker A = {x R n Ax = 0}, en het defect (de nulliteit) van A gelijk aan null A = dim ker A. 3
4 Stelling: Zij A een m n-matrix, dan geldt rank A + null A = n. Definitie: Een n n-matrix A is inverteerbaar (niet singulier) als Ax = 0 x = 0 voor alle x R n. De inverse matrix A 1 wordt gegeven door x = A 1 y y = Ax. Definitie: Zij V een vectorruimte met geordende bases S en T, dan wordt de transitiematrix P S T van T naar S gegeven door [v] S = P S T [v] T voor alle v V. Stelling: Zij V een vectorruimte met geordende bases S = {v 1, v 2,..., v n } en T = {w 1, w 2,..., w n }, dan P S T = ( [w 1 ] S [w 2 ] S... [w n ] S ). De matrix P S T is inverteerbaar met P 1 S T = P T S. Definitie: Zij V een vectorruimte. Een functie : V R is een norm op V als (a) u 0 voor alle u V ; u = 0 u = 0, (b) u + v u + v voor alle u V en v V, (c) cu = c u voor alle u V en c R. Een genormeerde vectorruimte is een vectorruimte voorzien van een norm. Definitie: Zij V een vectorruimte. Een functie (, ) : V V R is een inproduct op V als (a) (u, u) 0 voor alle u V ; (u, u) = 0 u = 0, (b) (v, u) = (u, v) voor alle u V en v V, (c) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) voor alle u V, v V en w V, (d) (cu, v) = c(u, v) voor alle u V, v V en c R. 4
5 Een inproductruimte is een vectorruimte voorzien van een inproduct. Stelling: Zij V een inproductruimte, dan geldt de Cauchy-Schwarz ongelijkheid (u, v) (u, u)(v, v) voor alle u V en v V. Stelling: Zij V een inproductruimte en u = (u, u) voor alle u V, dan is V een genormeerde vectorruimte. Definitie: Zij V een inproductruimte met een geordende basis S = {v 1, v 2,..., v n }, dan wordt de inproductmatrix A = (a ij ) m.b.t. S gegeven door a ij = (v j, v i ) voor i, j = 1, 2,..., n. Definitie: Zij A = (a ij ) een m n-matrix, dan is de getransponeerde matrix de n m-matrix A T = (a ji ). Definitie: Een vierkante matrix A is symmetrisch als A T = A. Stelling: Zij V een inproductruimte met een geordende basis S en A de inproductmatrix m.b.t. S, dan geldt (a) A is symmetrisch, (b) (v, w) = [v] T S A[w] S voor alle v V en w V. Definitie: Zij V een inproductruimte, dan zijn de vectoren u en v in V orthogonaal als (u, v) = 0. Definitie: Zij V een inproductruimte met een basis S = {v 1, v 2,..., v n }, dan is S orthonormaal als (u j, u i ) = δ ij voor i, j = 1, 2,..., n. Stelling: Zij V een inproductruimte met een geordende orthonormale basis S, dan geldt (u, v) = [u] T S [v] S voor alle u V en v V. Definitie: Zij V een inproductruimte met een basis {u 1, u 2,..., u n }, dan wordt het gemodificeerde Gram-Schmidt proces gegeven door v 1 = u 1 / u 1 en v k = u k (u k, v 1 )v 1 (u k, v 2 )v 2... (u k, v k 1 )v k 1 u k (u k, v 1 )v 1 (u k, v 2 )v 2... (u k, v k 1 )v k 1 5
6 voor k = 2,..., n. Stelling: Zij V een inproductruimte met een basis {u 1, u 2,..., u n }, dan levert het gemodificeerde Gram-Schmidt proces een orthonormale basis {v 1, v 2,..., v n }. Definitie: Zij V een inproductruimte en W een deelruimte van V. Het orthogonale complement W van W wordt gegeven door u W (u, v) = 0 voor alle v W. Definitie: Zij V een vectorruimte en W 1 en W 2 deelruimten van V met W 1 W 2 = {0}, dan wordt de directe som van W 1 en W 2 gegeven door W 1 W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1 en w 2 W 2 }. Stelling: Zij V een inproductruimte en W een deelruimte van V, dan V = W W. Stelling: Zij A een m n-matrix, dan (a) ker A T = (range A), (b) range A T = (ker A). Definitie: Zij A R m n en b R m, dan is Ax = b met onbekende vector x R n een stelsel lineaire vergelijkingen. Het stelsel is consistent als Ax = b voor zekere vector x R n. De oplossing van het stelsel is de verzameling {x R n Ax = b}. Stelling: Zij A R m n en b R m, dan geldt Ax = b is consistent b range A. Definitie: Een matrix is in de gereduceerde rij-echelonvorm als: (a) Er zijn louter nulrijen onderaan in de matrix. (b) Het eerste element ongelijk aan 0 van een niet-nulrij heet de spil van de rij. (c) Alle elementen linksonder een spil zijn gelijk aan 0. Definitie: Een elementaire rij-operatie van een matrix is een van de volgende operaties: (a) Verwissel twee rijen. 6
7 (b) Vermenigvuldig een rij met een getal ongelijk aan 0. (c) Tel een veelvoud van een rij op bij een andere rij. Definitie: Een matrix A is rij-equivalent met een matrix B als B m.b.v. elementaire rijoperaties uit A verkregen kan worden. Stelling: Een m n-matrix A is rij-equivalent met een matrix B als B = P A voor zekere inverteerbare m m-matrix P. Stelling: Als de matrices A en B rij-equivalent zijn, dan (a) ker A = ker B, (b) rank A = rank B. Stelling: Zij A een matrix in gereduceerde rij-echelonvorm, dan is de rang van A gelijk aan het aantal spillen. Definitie: Zij A R m n en b R m, dan is het stelsel Ax = b rij-equivalent met het stelsel Bx = c als de matrix ( B c ) rij-equivalent is met ( A x ). Stelling: Rij-equivalente stelsels lineaire vergelijkingen hebben dezelfde oplossing. Definitie: Zij S = [ n ], dan is een permutatie van S een herordening van de elementen van S. Stelling: Zij S = [ n ], dan kan iedere permutatie van S uit S verkregen worden door opeenvolgende verwisselingen van elementen. Definitie: Zij S = [ n ] en een permutatie van S verkregen door n opeenvolgende rijverwisselingen, dan is de permutatie even of oneven als n even resp. oneven is. Definitie: Zij A = (a ij ) een n n-matrix, dan wordt de determinant van A gegeven door det A = (±)a 1j1 a 2j2... a njn, waarbij wordt gesommeerd over alle permutaties [ j 1 j 2... j n ] van de verzameling [ n ]. Het teken is + of als de permutatie [ j1 j 2... j n ] even resp. oneven is. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan det A T = det A. Definitie: Een n n-matrix A = (a ij ) is een bovendriehoeksmatrix als i > j a ij = 0. 7
8 Stelling: Zij de n n-matrix A = (a ij ) een bovendriehoeksmatrix, dan det A = a 11 a a nn. Stelling: Zij de n n-matrix A rij-equivalent met een matrix B, waarbij B uit A verkregen kan worden m.b.v. elementaire rij-operaties zonder rijvermenigvuldigingen en k rijverwisselingen, dan geldt det A = ( 1) k det B. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan geldt A is singulier det A = 0. Definitie: Een n n-matrix A = (a ij ) is een diagionaalmatrix als i j a ij = 0. Stelling: Iedere inverteerbare matrix is rij-equivalent met een diagonaalmatrix met diagonaalelementen ongelijk aan 0. Stelling Zij A en B n n-matrices, dan det (AB) = det A det B. Stelling: Zij A een inverteerbare matrix, dan det A 1 = 1 det A. Definitie: De Euclidische norm op R n wordt gegeven door x 2 = x T x voor alle x R n. Definitie: Zij A R m n en b R m, dan is de vector x een kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b als b A x 2 b Ax 2 voor alle x R n. Stelling: Zij A R m n en b R m, dan geldt x is een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b A T A x = A T b. Stelling: Zij A R m n en b R m. Als rank A = n, dan is A T A inverteerbaar en heeft Ax = b een unieke kleinste-kwadratenoplossing x = (A T A) 1 A T b. 8
9 Definitie: Zij A een n n-matrix, dan is het getal λ een eigenwaarde van A behorende bij een eigenvector x met x 0 als Ax = λx. Definitie: Een identiteitsmatrix is een n n-matrix I = (δ ij ). Definitie: Zij A een n n-matrix, dan wordt het karakterisktieke polynoom van A gegeven door p(λ) = det (λi A) voor alle λ R. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan zijn de eigenwaarden van A de wortels van het karakteristieke polynoom van A. Definitie: Zij A en B n n-matrices, dan is B similair met A als B = P 1 AP voor zekere inverteerbare n n-matrix P. Stelling: Similaire matrices hebben dezelfde eigenwaarden. Definitie: Een n n-matrix A is diagonaliseerbaar als A similair is met een diagonaalmatrix. Stelling: Zij A een n n-matrix, dan geldt A is diagonaliseerbaar A heeft n lineair onafhankelijke eigenvectoren. Stelling: Als het karakteristieke polynoom van een n n-matrix n verschillende wortels heeft, dan is A diagonaliseerbaar. Stelling: Een symmetrische n n-matrix heeft n orthogonale eigenvectoren. Definitie: Een n n-matrix is orthogonaal als A T A = I. Stelling: Zij A een symmetrische matrix, dan is er een diagonaalmatrix D en een orthogonale matrix P, zo dat AP = P D. 9
Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatie1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.
LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieVoorbeeld theorie examen
Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieSamenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer
Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieLineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieWiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )
Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieLineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin
Lineaire Algebra Samenvatting De Roover Robin 21-211 Deze samenvatting is een overzicht van alle definities, stellingen, lemma's en proposities met hun bijhorende bewijzen. Deze samenvatting is gebaseerd
Nadere informatiePraktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatiePraktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatieWeek 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht
Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatie