Complexe eigenwaarden

Transcriptie

1 Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie is dan wel dat de bijbehorende eigenvectoren ook complexe coördinaten hebben In plaats van vectoren in R n beschouwen we dan vectoren in C n Definitie Een vector x C n met x o heet een eigenvector van een (n n-matrix A als Ax λx voor zekere λ C Zo n (complex getal λ C heet dan een eigenwaarde van A Een vector x o met Ax λx noemen we een eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde λ NB We zullen alleen reële matrices (met reële elementen beschouwen Dit betekent dat het karakteristieke polynoom alleen reële coefficienten heeft en dat niet-reële nulpunten (eigenwaarden dus alleen in complex geconjugeerde paren kunnen voorkomen ( Voorbeeld Stel dat A, dan volgt : A λi λ λ λ2 + De (complexe eigenwaarden van A zijn dus λ i en λ 2 i Voor de bijbehorende eigenvectoren vinden we nu : λ i : ( ( ( i i i E i i Span{ } en λ 2 i : ( i i ( i ( i E i Span{ Omdat A geen reële eigenwaarden heeft, is A niet diagonaliseerbaar Het is in principe mogelijk ook het begrip diagonaliseerbaarheid uit te breiden tot complexe diagonaliseerbaarheid, maar dat zullen we in deze cursus buiten beschouwing laten Als we het hebben over diagonaliseerbaarheid, dan bedoelen we dus reële diagonaliseerbaarheid, dus : een (n n-matrix A is diagonaliseerbaar als er een basis van R n bestaat geheel bestaande uit eigenvectoren van A } Vectoren in C n Voor vectoren in C n voeren we wat voor de hand liggende terminologie in : Definitie 2 Als x C n, dan is x C n, de complexe geconjugeerde van x, de vector waarvan alle coördinaten de complex geconjugeerden zijn van de overeenkomstige coördinaten van x Elke vector x C n kunnen we schrijven in de vorm x Re x + iim x, waarbij Re x en Im x vectoren in R n zijn ; respectievelijk het reële en imaginaire deel van de vector x Als A een willekeurige (m n-matrix is met complexe elementen, dan is A de matrix die uit A ontstaat door elk element te vervangen door z n complex geconjugeerde

2 Als A nu een reële (n n-matrix is, dan geldt natuurlijk dat A A en dus : Ax Ax Ax Dus : als Ax λx, dan volgt dat Ax Ax λx λx Dus : als x C n een eigenvector is van A behorende bij de eigenwaarde λ C, dan is de complex geconjugeerde x C n van x ook een eigenvector van A en wel behorende bij de eigenwaarde λ C Bij reële matrices komen niet-reële eigenwaarden dus alleen in complex geconjugeerde paren voor en de bijbehorende eigenvectoren zijn ook elkaars complex geconjugeerden Zie ook voorbeeld Hiervan maken we bij het rekenwerk natuurlijk dankbaar gebruik Bij het bepalen van de eigenvectoren proberen we dat rekenwerk tot een minimum te beperken ( 5 2 Voorbeeld 2 Stel dat A, dan volgt : 3 A λi 5 λ 2 3 λ λ2 8λ + 7 (λ De (complexe eigenwaarden zijn dus λ 4 ± i Voor de berekening van de eigenvectoren kiezen we één van de twee complex geconjugeerde eigenwaarden : ( i 2 λ 4 + i : i Omdat λ 4 + i een eigenwaarde is, weten we dat deze matrix slechts één pivotpositie heeft We hoeven dat niet te controleren door te vegen (dat is lastig rekenwerk met complexe getallen, maar bepalen een oplossing door naar de eerste of de tweede rij te kijken Alle andere eigenvectoren zijn dan immers veelvouden van die ene oplossing Dus : ( 2 E 4+i Span{ i } of E 4+i Span{ ( + i De eigenvectoren van A behorende bij de eigenwaarde λ 4 i volgen nu eenvoudig door de complex geconjugeerden te nemen (overal i vervangen door i : ( ( 2 i E 4 i Span{ } of E + i 4 i Span{ } } Uiteraard gaat het niet altijd zo eenvoudig Toch proberen we het rekenwerk te minimaliseren Veel rekenwerk met complexe getallen is immers vragen om moeilijkheden (rekenfouten 2 2 Voorbeeld 3 Als A 3 3, dan volgt : 2 A λi λ λ 3 ( λ 3 λ 3 2 λ 2 λ λ ( λ(λ 2 2λ λ + 4 λ 3 + 3λ 2 7λ + 5 Nu moeten we proberen dit karakteristieke polynoom in (complexe factoren te ontbinden Een derdegraads polynoom (met reële coëfficiënten kan hooguit twee niet-reële nulpunten 2

3 hebben, omdat die alleen in complex geconjugeerde paren kunnen voorkomen Er moet dus minstens één reëel nulpunt zijn Door proberen vinden we dat λ een eigenwaarde is Dus : A λi (λ 3 3λ 2 + 7λ 5 (λ (λ 2 2λ + 5 (λ [ (λ ] De andere twee (complexe eigenwaarden zijn dus : λ ± 2i Het loont soms de moeite om de determinant A λi uit te rekenen door handig te vegen, waardoor het karakteristieke polynoom min of meer automatisch in factoren wordt ontbonden Het is daarbij echter niet altijd eenvoudig om de handigste veegstappen te vinden : A λi λ λ 3 2 λ λ 3 λ 4 2 λ λ λ 3 λ 3 2 λ ( λ(λ2 2λ + 5 ( λ [ (λ ] Het bepalen van de eigenruimte E bij de eigenwaarde λ gaat als voorheen : 2 2 λ : 2 3 E Span{ 2 2 Voor de eigenruimten behorende bij λ ± 2i gaan we alsvolgt te werk Eerst kiezen we één van de twee eigenwaarden en proberen met zo min mogelijk rekenwerk een bijbehorende eigenvector te bepalen Alle andere eigenvectoren zijn dan immers veelvouden daarvan De eigenvectoren behorende bij de andere eigenwaarde zijn dan de complex geconjugeerden Dus : λ + 2i : 2i i i i 2 2i 3 + i Met slechts een paar kleine vereenvoudigingen (en soms een enkele eenvoudige veegstap kunnen we hieruit de eigenvectoren bepalen Kijk hiervoor naar de eerste en de laatste rij : ix + x 2 + x 3 x 2 + i, x 3, ix x 2 + x 3 i x x 2 + ( + ix 3 Zo vinden we dus vrij eenvoudig : E +2i Span{ + i } en dus E 2i Span{ i } } Voor complexe getallen z x + iy met x, y R kennen we ook de schrijfwijze z re iϕ met r z x 2 + y 2 en ϕ arg z In matrixnotatie kunnen we dit schrijven als : ( ( ( ( x y x/r y/r r cos ϕ sin ϕ C r y x y/r x/r r sin ϕ cos ϕ De eigenwaarden van de matrix C zijn λ x ± iy Ga na! 3

4 ( cos ϕ sin ϕ De matrix heeft de volgende eigenschap Als we een vector x R sin ϕ cos ϕ 2 vermenigvuldigen met deze matrix, dan levert dit de vector in R 2 die uit x wordt verkregen door deze te draaien om de oorsprong O over de hoek ϕ in positieve richting (tegen de wijzers ( van de klok in Zie : Lay, pag 333 Omdat een vermenigvuldiging met de matrix r eenvoudig een scalaire vermenigvuldiging is met het getal r λ geldt dus dat de r lineaire afbeelding C : R 2 R 2 met C(x Cx een rotatie (draaiing over de hoek ϕ (in positieve richting voorstelt, gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging (schaling met het getal r λ Iets algemener geldt : Stelling Als A een (2 2-matrix is met een (complexe eigenwaarde λ x iy met x, y R en y, dan geldt : ( A P CP x y met C en P Re v Im v, y x waarbij v C 2 een eigenvector is van A behorende bij de eigenwaarde λ x iy Het bewijs van deze stelling laten we achterwege In plaats daarvan een voorbeeld : ( 5 2 Voorbeeld 4 In voorbeeld 2 hebben we gezien dat de eigenwaarden van A 3 gelijk zijn aan λ 4 ± i Ook( hebben we gezien ( dat een ( bij λ 4 i behorende eigenvector i bijvoorbeeld gelijk is aan v + i Dus : ( ( ( ( Re v en Im v P en P Nu geldt inderdaad (ga na! : ( P CP ( 4 4 ( ( A Toepassingen op stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen We beschouwen stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm x (t a x (t + + a n x n (t x 2 (t a 2x (t + + a 2n x n (t x n(t a n x (t + + a nn x n (t Hierbij zijn x (t,, x n (t functies van één variabele t en zijn de coëfficiënten a,, a nn reële constanten 4

5 Een dergelijk stelsel van eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen kan geschreven worden in de vorm x (t x x 2 (t a a n (t Ax(t met x(t en A a x n (t n a nn Aan zo n stelsel kan eventueel nog een beginvoorwaarde in de vorm van x( x R n worden toegevoegd In dat geval spreekt men over een beginwaardeprobleem : x (t Ax(t met x( x R n Als A een diagonaalmatrix is, dan spreken we van een niet-gekoppeld stelsel differentiaalvergelijkingen (of een stelsel niet-gekoppelde differentiaalvergelijkingen : λ x x λ 2 (t λ x (t (t x(t x 2 (t λ 2x 2 (t λ n x n(t λ n x n (t De oplossing hiervan is wel erg eenvoudig : x i (t c i e λit voor i, 2,, n Hierbij zijn de constanten c i R met i, 2,, n willekeurig In vectorvorm kan de oplossing geschreven worden als : x(t c e λt + c 2 e λ2t + + c n e λnt Als A geen diagonaalmatrix is, dan spreekt men van een gekoppeld stelsel differentiaalvergelijkingen (of een stelsel gekopppelde differentiaalvergelijkingen We zouden nu ook een oplossing van de vorm x(t ve λt van zo n gekoppeld stelsel x (t Ax(t kunnen zoeken We vinden dan : x (t λve λt en Ax(t Ave λt Ave λt λve λt en dus : Av λv Dus : als x(t ve λt een niet-triviale oplossing (v o is van x (t Ax(t, dan is λ een eigenwaarde van A en v een eigenvector van A behorende bij die eigenwaarde λ Men kan aantonen (in de theorie van differentiaalvergelijkingen dat elk stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm x (t Ax(t met A een (n n-matrix n lineair onafhankelijke oplossingen x (t,, x n (t heeft De algemene oplossing kan dan geschreven worden in de vorm x(t c x (t + + c n x n (t met c,, c n R willekeurig Deze coëfficiënten kunnen vervolgens vastgelegd worden door een beginvoorwaarde van de vorm x( x R n, zodat de oplossing van zo n beginwaardeprobleem x (t Ax(t met x( x uniek is 5

6 Voor een stelsel van de vorm x (t Ax(t met A een (n n-matrix dient men dus n lineair onafhankelijke oplossingen te vinden Aangezien er oplossingen bestaan van de vorm x(t ve λt met v een eigenvector van A, lukt dit steeds als A diagonaliseerbaar is Dan bestaat er immers een basis van R n geheel bestaande uit eigenvectoren van A We hebben dan dus n lineair onafhankelijke oplossingen van de vorm x(t ve λt Als A niet diagonaliseerbaar is, dan lukt dit niet Er zullen dan ook nog andere oplossingen gevonden moeten worden Die gevallen laten we hier buiten beschouwing Dit probleem zal later opgelost worden bij het vak Differentiaalvergelijkingen Voorbeeld 5 Beschouw x (t Ax(t met A Verder volgt : en ( Dan volgt : A λi 2 λ 5 4 λ λ2 2λ 3 (λ 3(λ + λ 3 : λ 2 : De oplossing is dus : ( 5 5 ( 5 5 ( ( 5 x(t c v e λ t + c 2 v 2 e λ 2t c ( Uitgeschreven betekent dit dus : x (t 2x (t 5x 2 (t x 2 (t x (t + 4x 2 (t v v 2 e 3t + c 2 ( 5 ( ( 5 e t x (t c e 3t + 5c 2 e t x 2 (t c e 3t c 2 e t Hierbij zijn c en c 2 willekeurig Met bijvoorbeeld de beginvoorwaarde x( we : c ( + c 2 ( 5 ( 7 : ( 5 7 Dus : de (unieke oplossing van het beginwaardeprobleem x (t ( ( 7 x(t met x( ( ( vinden is ( x(t 3 ( e 3t ( e t 3e 3t + e t 3e 3t 2e t 6

7 Voor een diagonaliseerbare matrix A geldt : A P DP voor zekere inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D Bovendien geldt dan : P v v n en D diag(λ,, λ n met Av i λ i v i, i, 2,, n Stel nu x(t P y(t dan volgt : x (t Ax(t P y (t AP y(t (P DP P y(t P Dy(t, want P hangt niet van t af Omdat P inverteerbaar is, volgt hieruit dat y (t Dy(t (een niet-gekoppeld stelsel Dit noemt men het ontkoppelen van het stelsel differentiaalvergelijkingen We vinden vervolgens dat : y(t c e λ t c n e λnt x(t P y(t c v e λ t + + c n v n e λnt Als A nu complexe eigenwaarden λ a ± ib met a, b R heeft, dan geldt : e λt e (a±ibt e at e ±ibt e at (cos bt ± i sin bt De bijbehorende eigenvectoren zijn dan elkaars complex geconjugeerden Dus : Av λv en Av λv We kunnen dan lineaire combinaties van de vorm c ve λt + c 2 ve λt met c, c 2 C kiezen die reëel zijn zodat we twee lineair onafhankelijke (reële oplossingen vinden bij de eigenwaarden λ a ± ib Hiervoor kunnen we dan het reële en het imaginaire deel van ve λt kiezen Voorbeeld 6 Beschouw x (t Ax(t met A ( λ 4 + i is een eigenwaarde met bijbehorende eigenvector v ve λt ( + i ( e 4t cos t sin t (cos t + i sin t cos t, dan geldt (zie voorbeeld 2 : ( + i Dan volgt : ( e 4t cos t + sin t + i sin t e 4t Hieruit volgt dat : x(t c ( cos t sin t cos t e 4t + c 2 ( cos t + sin t sin t e 4t Als A een (2 2-matrix is, dan kunnen we de oplossingen van x (t Ax(t tekenen in het platte vlak R 2 De grafiek van zo n oplossing {x(t t } noemt men een baan van het dynamische systeem x (t Ax(t De baan hangt daarbij steeds af van het startpunt x( x R 2 7

8 Als de eigenwaarden λ en λ 2 van A beide negatief zijn, dan gaan alle oplossingen x(t c v e λ t + c 2 v 2 e λ 2t voor t naar de oorsprong O Men zegt dan dat de oorsprong O een aantrekker (attractor of put is van het dynamische systeem x (t Ax(t Als de eigenwaarden λ en λ 2 van A beide positief zijn, dan gaan alle oplossingen x(t c v e λ t + c 2 v 2 e λ 2t voor t naar het oneindige (weg van de oorsprong O Men zegt dan dat de oorsprong O een afstoter of bron is van het dynamische systeem x (t Ax(t Als A zowel een positieve als een negatieve eigenwaarde heeft, dan noemt men de oorsprong wel een zadelpunt van het dynamische systeem x (t Ax(t In het geval van niet-reële eigenwaarden noemt men de oorsprong O wel een spiraalpunt van het dynamische systeem x (t Ax(t In dat geval zijn de banen van x (t Ax(t spiralen rond de oorsprong O Deze spiralen worden naar de oorsprong toe getrokken als het reële deel van de (twee complex geconjugeerde eigenwaarden negatief is (dan is O een put Als het reële deel van de eigenwaarden positief is, dan is de oorsprong een bron of afstoter In voorbeeld 5 is de oorsprong O een zadelpunt, want : λ 3 > en λ 2 < In voorbeeld 6 is de oorsprong O een spiraalpunt en tevens een afstoter of bron, omdat Re λ 4 > Voorbeeld 7 Beschouw x (t Ax(t met A In voorbeeld 3 hebben we gezien dat A de eigenwaarden λ en λ ± 2i heeft De bijbehorende eigenruimten zijn (zie voorbeeld 3 : E Span{ }, E +2i Span{ Nu volgt met e (+2it e t (cos 2t + i sin 2t : + i e t (cos 2t + i sin 2t + i cos 2t cos 2t sin 2t cos 2t De algemene oplossing van x (t Ax(t is dus : x(t c e t + c 2 cos 2t cos 2t sin 2t cos 2t } en E 2i Span{ e t + i e t + c 3 sin 2t cos 2t + sin 2t sin 2t sin 2t cos 2t + sin 2t sin 2t i e t e t } 8