De dimensie van een deelruimte
|
|
- Martha van den Berg
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van R n als :. o H. u + v H voor alle u, v H 3. λu H voor alle u H en λ R. De optelling en de scalaire vermenigvuldiging moet dus binnen de deelverzameling H mogelijk zijn. Speciale gevallen zijn : Stelling. Als A een (m n)-matrix is, dan is Col A een deelruimte van R m en Nul A een deelruimte van R n. Verder hebben we nog het begrip basis van een deelruimte gedefinieerd : Definitie. Een verzameling vectoren {a,..., a p } in R n heet een basis van H als :. H = Span{a,..., a p }. {a,..., a p } is lineair onafhankelijk. Zo n basis van een deelruimte is in het algemeen niet uniek. Het is meestal mogelijk om verschillende lineair onafhankelijke verzamelingen te kiezen die zo n deelruimte opspannen. Er geldt : Stelling. Als A een (m n)-matrix is, dan vormen de pivotkolommen van A een basis van Col A. Door de kolommen in een andere volgorde te zetten krijgen we een andere matrix waarvan de kolomruimte echter gelijk is aan Col A. De pivotkolommen kunnen dan gemakkelijk anders zijn. Voorbeeld. De verzamelingen { }, { vormen elk een basis van de kolomruimte van de matrix } en { Als B = {b,..., b p } een basis van een deelruimte H van R n is, dan kan elke vector in H op precies één manier geschreven worden als lineaire combinatie van de vectoren in de basis B.. }
2 Immers : stel dat x = c b c p b p en x = d b d p b p voor een vector x H, dan volgt : o = x x = (c d )b (c p d p )b p. Aangezien B lineair onafhankelijk (zie : Lay, pag. 59 voor de definitie) is moeten alle gewichten in deze lineaire combinatie nul zijn, dat wil zeggen : c d =,..., c p d p = oftewel c = d,..., c p = d p. Dit betekent dat de twee representaties x = c b c p b p en x = d b d p b p aan elkaar gelijk zijn. Dit geeft aanleiding tot de volgende definitie : Definitie 3. Stel dat B = {b,..., b p } een basis is van een deelruimte H van R n, dan kan elke vector x H dus op precies één manier geschreven worden als lineaire combinatie x = c b c p b p van de basisvectoren {b,..., b p }. De gewichten c,..., c p van deze lineaire combinatie worden de coördinaten van x ten opzichte van de basis B genoemd. De vector c [x] B =. R p heet de coördinaatvector van x ten opzichte van de basis B. c p Omdat de coördinaten c,..., c p afhankelijk zijn van de keuze van de basis B gebruiken we dus de notatie [x] B. Er geldt dus : c [x] B =. x = c b c p b p met B = {b,..., b p }. c p Voorbeeld. Stel H = Span{ van H. Maar C = { Voor de vector x = 3 [x] B = } en D = { }, dan is B = { H geldt dan (ga na) : ( 3 ) (, [x] C = ) en [x] D = } dus een basis } zijn dan ook bases van H. ( 3 ). Een basis van een deelruimte H van R n is dus niet uniek. Het aantal vectoren in zo n basis is echter wel altijd gelijk (zie : Lay, opgaven 43 en 44 voor een bewijs). Dit aantal noemt men de dimensie van de deelruimte H.
3 Definitie 4. De dimensie van een deelruimte H {o} van R n (notatie : dim H) is het aantal vectoren van een (willekeurige) basis van H. De dimensie van de deelruimte {o} die alleen de nulvector bevat is. Deze triviale deelruimte heeft geen basis. De dimensie van de kolomruimte van een matrix is dus het aantal pivotposities in die matrix. Men noemt dat ook wel de rang van die matrix : Definitie 5. De rang van een matrix A (notatie : rank A) is de dimensie van de kolomruimte van A, dus : rank A = dim(col A). Nu is eenvoudig in te zien dat : Stelling 3. Als A een (m n)-matrix is, dan geldt : dim(col A) + dim(nul A) = n. Immers : dim(nul A) is het aantal vrije variabelen in Ax = o en dat is precies gelijk aan het aantal niet-pivotkolommen van A. Verder is dim(col A) = rank A gelijk aan het aantal pivotkolommen van A. Samen is dit dus gelijk aan het totaal aantal kolommen van A. Markov-ketens We beginnen met de introductie van enkele nieuwe begrippen. Definitie 6. Een vector x = x. x n R n heet een kansvector als x i voor i =,,..., n en x x n =. Zo n kansvector wordt ook wel een stochastische vector of een waarschijnlijkheidsvector genoemd. Een stochastische matrix of Markov-matrix is een vierkante matrix waarvan alle kolommen kansvectoren zijn. Een Markov-keten is een rij vectoren {x k } k= zodat x k+ = P x k, k =,,,..., waarbij P zo n Markov-matrix is. Een vector x k in zo n Markov-keten wordt ook wel een toestandsvector genoemd. Het proces zelf wordt wel een Markov-proces genoemd. Voorbeelden van kansvectoren zijn : ( /4 3/4 ),,, 5, 35, 5 en, 63,, 3,, 3
4 Voorbeelden van Markov-matrices zijn : ( ) /3 / /4 /, /3 /4 3/4 / /3 3/4 / en, 45, 7, 3,, 5, 66, 33, 3, Als een Markov-keten x k+ = P x k, k =,,,... convergeert, dat wil zeggen als lim x k = q k bestaat, dan geldt : q = P q oftewel (P I)q = o. Zo n vector q heet wel een evenwichtstoestand(svector). Men kan aantonen dat er voor elke Markov-matrix P een evenwichtstoestandsvector q bestaat zodat P q = q. Het is nog wel de vraag of het Markov-proces (afhankelijk van de startvector x ) behorende bij zo n Markov-matrix convergeert. Als dat zo is, dan is de limiet dus gelijk aan zo n evenwichtstoestand q. Voorbeeld 3. Vergelijk met Lay, 4.9 opgave 6. We beschouwen een autoverhuurbedrijf met drie vestigingen : één vestiging in de binnenstad, één op het industrieterrein en één bij de luchthaven. De auto s die gehuurd kunnen worden bij dit bedrijf kunnen bij elk van drie vestigingen worden teruggebracht. Onderzoek heeft aangetoond dat 85% van de auto s teruggebracht wordt bij de vestiging waar ze vandaan komen. Verder weet men dat 5% van de auto s die gehuurd worden in de binnenstad bij de vestiging op het industrieterrein worden teruggebracht, terwijl % teruggebracht wordt bij de vestiging bij het vliegveld. Verder komt 5% van de auto s die gehuurd worden op het industrieterrein terug bij de vestiging in de binnenstad, terwijl % van deze auto s bij het vliegveld wordt ingeleverd. Van de gehuurde auto s op het vliegveld komt % terug bij de vestiging in de binnenstad en 5% bij de vestiging op het industrieterrein. Dit leidt tot de volgende Markov-matrix : P =, 85, 5,, 5, 85, 5,,, 85 Om een toestand op een bepaald moment k te beschrijven gebruiken we een vector met drie coördinaten : percentage van de auto s in de binnenstad x k = percentage van de auto s op het industrieterrein percentage van de auto s bij de luchthaven Merk op dat x k een kansvector is, omdat alle auto s zich bij één van de drie vestigingen bevinden. Om de volgende toestand x k+ (bijvoorbeeld één dag of één week later) te berekenen, wordt de vector x k met de Markov-matrix P hierboven vermenigvuldigd : x k+ = P x k. Startend met een zekere vector x ontstaat op deze manier een Markov-keten : x k+ = P x k, k =,,,.... Laten we aannemen dat op zeker moment (de begintoestand) 5% van het wagenpark zich bij de vestiging op de luchthaven bevindt, terwijl de andere 5% netjes verdeeld is over de andere vestigingen. Dan geldt dus : x =, 5, 5, 5 4
5 Voor x vinden we dan : Evenzo : x = P x = x = P x =, 85, 5,, 5, 85, 5,,, 85, 85, 5,, 5, 85, 5,,, 85 Zo doorgaand vinden we eventueel nog :, 3785, x 3 =, 5, x 4 =, 5, 44875, , 5, 5, 5, 75, 5, 475, x 5 =, 75, 5, 475, 9375, 5, 4565, , 5, Opvallend is dat de tweede coördinaat niet veranderd. Het percentage (en dus ook het aantal) auto s bij de vestiging op het industrieterrein lijkt dus constant te blijven. De eerste en de derde coördinaat veranderen wel steeds (een klein beetje). Laten we eens aannemen dat de limiet voor k van dit proces bestaat (we zullen later zien dat dit inderdaad het geval is). Voor die limiet moet dan gelden : q = P q oftewel (P I)q = o, dat wil zeggen : q is een evenwichtstoestand. Dus : P I =, 5, 5,, 5, 5, 5,,, q = c met c R. De evenwichtstoestandsvector q moet echter ook weer een kansvector zijn, dat wil zeggen dat c = /( ) = /. Dus : q = / 5/ 8/ 7/ /4 /5, 35, 5, 4 Merk op, dat de tweede coördinaat weer /4 =, 5 is en dat in het proces hierboven de eerste en de derde coördinaat inderdaad lijken te convergeren naar, 35 en, 4 respectievelijk. De verwachting is dan ook dat op den duur 35% van het wagenpark bij de vestiging in de binnenstad zal staan, 5% daarvan op het industrieterrein en 4% bij de luchthaven. In plaats van het werken met kansvectoren, waarbij dus percentages van een geheel worden beschouwd, kan men ook werken met werkelijke aantallen. In het proces worden dan alle vectoren x k in de Markov-keten met het totaal aantal (auto s bijvoorbeeld) vermenigvuldigd. De vectoren in de keten zijn dan geen kansvectoren meer, maar de som van de coördinaten is dan steeds gelijk aan het totaal aantal (auto s bijvoorbeeld). Als het totaal aantal auto s van 5
6 het verhuurbedrijf in voorbeeld 3 bijvoorbeeld zou zijn, dan ziet de Markov-keten (bij dezelfde beginsituatie er zo uit) : x = 5 5 5, x = , x = 93, 75 5, 456, 5, x 3 = 37, 85 5, 44, 875 Het totaal aantal auto s (de som van de drie coördinaten blijft steeds gelijk aan ). De evenwichtstoestand wordt dan : 35 q = 5, 4 waarbij de verwachting is dat er op den duur 35 auto s bij de vestiging in de binnenstad zullen staan en dat de vestigingen op het industrieterrein en bij de luchthaven de beschikking hebben over respectievelijk 5 en 4 auto s. Wat zou er gebeuren als we uitgaan van een andere beginverdeling over de drie verschillende vestigingen? We bekijken twee voorbeelden, waarbij we uitgaan van dezelfde situatie als in voorbeeld 3 met dezelfde Markov-matrix P. Alleen de begintoestand x kiezen we anders. Als we uitgaan van een gelijkmatige verdeling van het wagenpark over de drie verschillende vestigingen dan vinden we : /3 /3 4/ x = /3, x = P x = 9/6, x = P x = 9/3,... /3 7/ 9/8 oftewel (afgerond op twee decimalen) x =, 33, 33, 33 x 3 =, x =, 34, 9, 37, 33, 3, 35, x 4 =, x =, 34, 8, 38, 33, 3, 36, x 5 =,, 34, 8, 38 Hoewel er bij deze nauwkeurigheid (twee decimalen) geen verandering meer lijkt op te treden is hiermee de evenwichtstoestand nog niet bereikt. Ook in dit geval is de evenwichtstoestand gelijk aan q = 7/ 5/ 8/ 7/ /4 /5, 35, 5, 4 Als we het proces verder doorvoeren, dan vinden we bij deze nauwkerigheid (twee decimalen) uiteindelijk :, 35 x =, 6,, 35 x 3 =, 5,, 35 x 4 =, 5, 4, 4, 4 6
7 Als we uitgaan van de verdeling x = x = P x =, 35, 5, 4, 35, 5, 4, x = P x =, dan vinden we (uiteraard) :, 35, 5, 4, x 3 = P x =, 35, 5, 4 Bij deze verdeling blijft het aantal auto s bij elke vestiging dus constant (evenwichtstoestand). Als de resultaten van het onderzoek (dat de genoemde percentages heeft opgeleverd) betrouwbaar is, dan lijkt het dus handig om de auto s op deze manier over de drie verschillende vestigingen te verdelen. Als het bedrijf beschikt over auto s, dan zet men er dus 35 bij de vestiging in de binnenstad, 5 bij de vestiging op het industrieterrein en 4 bij de vestiging op het vliegveld. Er is nog een andere manier om tegen zo n Markov-keten aan te kijken. Als x k+ = P x k voor k =,,,..., dan geldt dus x = P x, x = P x = P (P x ) = P x, x 3 = P x = P (P x ) = P 3 x,... oftewel x k = P k x voor k =,,,.... Definitie 7. Een stochastische matrix (of Markov-matrix) P heet regulier als P k voor zekere k {,, 3,...} alleen positieve elementen (dus geen nullen) heeft. Dan geldt : Stelling 4. Als P een reguliere stochastische (of Markov-matrix) is, dan heeft P een unieke evenwichtstoestandsvector q (dus q = P q). Verder geldt dat de Markov-keten {x k } k= gedefinieerd door x k+ = P x k met k =,,,... voor iedere startvector x convergeert naar die (unieke) evenwichtstoestandsvector q. Het bewijs van deze stelling laten we buiten beschouwing. In voorbeeld 3 is de matrix P duidelijk regulier, want P = P heeft alleen positieve elementen. De Markov-keten in voorbeeld 3 convergeert dus naar de unieke evenwichtstoestandsvector q. Voorbeeld 4. De stochastische matrix P = P = / /4 /4 / /4 3/4 / / /4 /4 / /4 3/4 / / /4 /4 / /4 3/4 / is regulier, want : 3/8 5/6 5/6 /4 5/6 /4 3/8 3/8 7/6 In de matrix P zijn twee elementen gelijk aan nul, maar in de matrix P zijn alle elementen positief. De matrix P is dus regulier. 7
Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieToepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieToepassingen op discrete dynamische systemen
Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieBlokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieVoorwaardelijke optimalisatie
Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieMARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN?
MARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN? KARMA DAJANI In deze lezing gaan we over een bijzonder model in kansrekening spreken Maar eerst een paar woorden vooraf Wat doen we
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieStudiehandleiding. Lineaire Algebra 2. voor. Werktuigbouwkunde. wi1314wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst.
Studiehandleiding Lineaire Algebra 2 voor Werktuigbouwkunde wi1314wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieLIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS
LIMIETGEDRAG VAN CONTINUE-TIJD MARKOV KETENS Hoofdstelling over limietgedrag van continue-tijd Markov ketens. Stelling: Een irreducibele, continue-tijd Markov keten met toestandsruimte S = {1, 2,..., N}
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieINLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:
Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieZoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.
LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieP = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:
LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieModellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens
Utrecht, 6 april 3 Modellen en Simulatie Lesliematrices Markovketens Program Meerdere leeftijdsklassen Leslie matrices Eigenwaarden en eigenvectoren Dominante eigenvector Irreducibele, a-periodieke matrices
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatie