ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
|
|
- Margaretha Bosmans
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8
2 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding De redactie Lineaire Algebra heeft een aantal voorbeeldtoetsen vervaardigd over de onderwerpen 1. Vectoren in de R 2 en R 3 2. Rekenen met matrices 3. Stelsels lineaire vergelijkingen 4. Vectorruimten 5. Determinanten 6. Eigenwaarden 7. Inproducten 8. Lineaire afbeeldingen Het betreft hier een verzameling van meer dan 80 opgaven, zowel open als multiple choice. Daarnaast is een groot aantal reeds bestaande interactieve opgaven verzameld. Momenteel is het reviewproces van deze opgaven aan de gang. De toetsen en overige opgaven zijn beschikbaar via onder de sectie Lineaire algebra en zijn als bijlage aan dit document toegevoegd. ONBETWIST Deliverable 3.8
3 Lineaire Algebra, Vectoren in R 2 en R 3 Opgave 1. Bepaal Opgave 2. Geef een vergelijking in de vorm ax + by = c voor de lijn door de punten A(1, 2) en B(3, 4). Opgave 3. Wat is de afstand tussen de twee punten A(1, 3, 2) en B( 2, 1, 1)? Opgave 4. Bepaal de oppervlakte van de driehoek ABC als A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 1) en C = (0, 1, 1). Opgave 5. De lijn l in R 2 wordt gegeven door de vergelijking 6x + 5y = 3. ( ( ( x a c Geef een vectorvergelijking voor l in de vorm = + λ. y) b) d) 1
4 Opgave 6. Bepaal het snijpunt P van het vlak V gegeven door de vergelijking x+4y+z = 36 en de lijn l door de punten (2, 4, 0) en ( 1, 2, 4). Opgave 7. Bepaal de afstand van het punt P (3, 3) tot de lijn l door de twee punten A(1, 1) en B(3, 1). Opgave 8. Het vlak V gaat door de drie punten A(1, 1, 1), B(2, 3, 1) en C(5, 1, 2). Geef een vergelijking van het vlak in de vorm ax + by + cz = d. Opgave 9. Wat zijn de coördinaten van het spiegelbeeld van het punt P (3, 3, 1) in het vlak V gegeven door de vergelijking 2x + y z = 2? Opgave 10. Wat is de afstand tussen de twee lijnen l en m gegeven door de vectorvergelijkingen x 5 1 x 1 2 l : y = 1 + λ 1 en m : y = 2 + µ 0. z 1 1 z 1 1 2
5 Lineaire Algebra, Rekenen met matrices Opgave 1. Bepaal 3 ( ) ( ) ( ) Opgave 2. Bepaal ( ) Opgave ( ) Bereken Opgave 4. Als A een 7 3 matrix is en B een 3 5 matrix. Wat is dan het aantal kolommen van (AB)? Opgave 5. Bereken ( ) ( 5 4 ) ( )
6 Opgave 6. Geef een 3 3 matrix A met A 0, maar A 3 = 0. Opgave 7. Als A een 3 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 3 matrices B, wat is dan de sterkste uitspraak over A. a. A = I b. A is een scalair veelvoud van I. c. A is een bovendriehoeksmatrix. d. A kan elke 3 3 matrix zijn. Opgave 8. Welke uitspraak is waar? a. Voor alle n n matrices A en B geldt AB BA = 0. b. Voor alle n n matrices A en B geldt AB B A = 0. c. Voor alle n n matrices A en B geldt (AB) B A = 0. d. Geen van bovenstaande beweringen is waar. Opgave 9. Als A een 3 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 3 matrices B, wat is dan de sterkste uitspraak over A. a. A = I b. A is een scalair veelvoud van I. c. A is een bovendriehoeksmatrix. d. A kan elke 3 3 matrix zijn. 2
7 Opgave 10. ( ( ( ( Bepaal een 2 2 matrix A met A = en A =. 1) 5) 1) 1) 3
8 Lineaire Algebra, Oplossen van lineaire stelsels Opgave 1. Beschouw het volgend stelsel lieaire vergelijkingen: 4x 7z = 8 8y 3x + 2z = 0 3z 2y = 6 Wat is de uitgebriede coefficiëntenmatrix voor dit stelsel? Opgave 2. Zin A een 3 3-matrix en b een vector in R 3. De vergelijking Ax = b heeft als uitgebreide coëfficiëntenmatrix de 3 4-matrix A b. prcies één van de volgende beweringen is fout. Welke? a. Vermenigvuldiging van de tweede regel uit A b met 3 zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. b. Vermenigvuldiging van de tweede kolom uit A b met 3 zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. c. Optellen van de tweede rij bij de derde uit A b zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. d. Verwisselen van de tweede en derde regel uit A b zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. Opgave 3. 1
9 De rij-gereduceerde matrix van 0 a 0 a b c c b c c waarbij a 0 is gelijk aan Opgave 4. De vergelijking Ax = b, met en heeft een unieke oplossing. Deze oplossing is gelijk aan A = b = 0 6 Opgave 5. Voor p R is gegeven A = 1 p 2 en b = p p 0 De vergelijking Ax = b heeft geen oplossingen voor precies één waarde van p. Voor welke p is dat zo? Opgave 6. Stel u A = en b = u w 2
10 De vergelijking Ax = b heeft alleen oplossingen als u, v en w aan een vergelijking voldoen. Wat is deze vergelijking? Opgave 7. Stel A = p 0 p p 1 De vergelijking Ax = 0 heeft oneindig veel oplossingen voor twee waarden voor p. Welke? 3
11 Lineaire Algebra, Vectorruimten Opgave 1. De eigenschap dat in een vectorruimte V geldt dat (u + v) + w = u + (v + w) voor alle u, v, w V heet: a. Commutativiteit. b. Associativiteit. c. Geslotenheid onder optelling. Opgave 2. Wat is de dimensie van de reële vectorruimte van reële n n matrices? a. n. b. 2n. c. n 2. Opgave 3. Laat V de verzameling zijn van alle functies f op [ 1, 1] waarvoor geldt dat f( x) = f(x) voor alle x [ 1, 1]. Voor f, g V definiëren we f + g op de gebruikelijke wijze, en zo ook αf voor α R. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? a. V is een vectorruimte. b. V is geen vectorruimte want V is niet gesloten onder de gegeven optelling. c. V is geen vectorruimte want V wordt niet opgespannen door eindig veel vectoren uit V. Opgave 4. Welke van de volgende is geen axioma voor een vectorruimte V? 1
12 a. 0u = 0 voor alle u V b. 1u = u voor alle u V. c. c(du) = (cd)u voor alle c, d R en u V. Opgave 5. Welke van de volgende deelverzamelingen H van de verzameling V van 2 2 matrices is geen deelruimte? a. De deelverzameling H van bovendriehoeksmatrices. b. De deelverzameling van symmetrische matrices. c. De deelverzameling van matrices die niet symmetrisch zijn. Opgave 6. Laat V de verzameling zijn van alle horizontale vectoren van lengte twee, tezamen met alle verticale vectoren van lengte twee, oftewel, {( ) } b1 V = {(a 1, a 2 ), a 1, a 2 R}, b b 1, b 2 R. 2 Definieer de volgende optelling op V. Als v, w V beide horizontaal of beide verticaal zijn, definieer hun som v + w dan als gebruikelijk. Is dit niet het geval, definieer dan ( ) v1 + w v + w = 1. v 2 + w 2 Dus, de som is in dat geval altijd verticaal. Definieer de vermenigvuldiging met een scalair c R zoals gebruikelijk, ( ) ( ) v1 cv1 c =, c(w v 2 cv 1, w 2 ) = (cw 1, cw 2 ). 2 Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? De verzameling V met de gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met een scalair is geen vectorruimte omdat: a. De optelling niet associatief is. b. Er geen nulvector in v bestaat. c. Niet iedere v V heeft een tegengestelde v. Opgave 7. Welke van de volgende is geen vectorruimte? 2
13 a. De verzameling van polynomen van graad ten hoogste twee gedefinieerd op het interval [0, 1], met de gebruikelijke optelling van functies, en de gebruikelijke vermenigvuldiging van een functie met een scalair. b. De verzameling van alle inverteerbare 2 2 matrices, met de matrix-optelling, en de vermenigvuldiging van een matrix met een scalair. c. De verzameling van alle rijtjes getallen (a n ) n=1 met de gebruikelijke elementsgewijze optelling, en de gebruikelijke vermenigvuldiging met een scalair. Opgave 8. Beschouw de complexe vectorruimte V van complexe 3 3 matrices. Laat H de deelverzameling zijn van Hermitische matrices, oftewel, matrices A waarvoor A = A. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? a. H is aan deelruimte van V van dimensie 6. b. H is aan deelruimte van V van dimensie 12. c. H is niet gesloten onder de gebruikelijke scalaire vermenigvuldiging. Opgave 9. Wat is de dimensie van de vectorruimte van symmetrische 3 3 matrices? 3
14 Lineaire Algebra, Determinanten Exercise 1. Bepaal het oppervlak van de driehoek in R 2 met hoekpunten ( 1, 4), (3, 2), (0, 1). Exercise 2. Bepaal het oppervlak van de driehoek in R 2 met hoekpunten (6, 1), (1, 2), ( 3, 1). Exercise 3. Bepaal het volume van het viervlak in R 3 met hoekpunten (1, 0, 0), (2, 3, 4), ( 1, 0, 2), (3, 2, 1). Exercise 4. Bereken Exercise 5. 1
15 Bereken Exercise 6. Bereken Exercise 7. Bereken a b 0 0 a b a 0 b. a. (a + b) 3 b. a 3 + b 3 c. ab(a + b) Exercise 8. Bereken 0 a 0 b c d 0 e 0. 2
16 a. 0 b. bd + ae c. ab + de Exercise 9. Gegeven is dat a b c d e f g h i = 4. Bepaal de determinant van a b c 2d 3g 2e 3h 2f 3i g h i. Exercise 10. Gegeven is dat Bepaal de determinant van a b c d e f g h i = 4. a b a + b c d e d + e f g h g + h i. Exercise 11. Gegeven is dat a b c d e f g h i = 4. 3
17 Bepaal de determinant van a d g b + 2a e + 2d h + 2g c f i. Exercise 12. Zij A een n n-matrix en λ R. Dan is det(λa) gelijk aan a. λ det(a) b. nλ det(a) c. λ n det(a) Exercise ( 13. ) 2 1 Zij A = 1 5. Bepaal de determinant van A. 1 2 Exercise 14. Beschouw het stelsel vergelijkingen x 1 + 3x 2 = 4 x 1 x 2 = 0. Is de volgende bewering waar: de regel van Cramer geeft ons als oplossing x 1 = 1 3 x 2 =
18 a. Waar b. Niet waar Exercise 15. Los met de regel van Cramer het stelsel op en geef de waarde van x 1. x 1 2x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 3 = 3 x 1 2x 2 = 0 Exercise 16. Welk van de volgende determinanten is nul voor willekeurige keuze van a, b, c? (1) 0 a a 0, (2) 0 a 0 0 a 0 0 a 0 b 0 b 0, (3) a 0 b 0 0 b 0 c 0 0 c 0 a. determinant (1) b. determinant (2) c. determinant (3) Exercise 17. Welk van de volgende determinanten is niet altijd nul voor willekeurige keuze van a, b, c? (1) a b c b + c a + c a + b, (2) a 2 b 2 c 2 b 2 + c 2 a 2 + c 2 a 2 + b 2, (3) a b c bc ac ab 5
19 a. determinant (1) b. determinant (2) c. determinant (3) 6
20 Lineaire Algebra, Eigenwaarden Opgave 1. Bepaal de karakteristieke vergelijking van de matrix M = variabele. ( ) 0 1 met λ als 3 2 Opgave 2. Bepaal de eigenwaarden van de matrix M = ( ) Opgave Beschouw de matrix A = Bepaal de eigenwaarden van A 2. Opgave 4. Een inverteerbare vierkante matrix M heeft eigenwaarden λ en µ met bijbehorende eigenvectoren s u, respectievelijk, v. Welk van de volgende beweringen is in het algemeen waar? a. λ + µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u + v. b. λ µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u v. c. λ 1 is an eigenwaarde voor M met eigenvector u 1. d. λ 1 is an eigenwaarde voor M 1 met eigenvector u. 1
21 Opgave 5. De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector u. Welk van de volgende beweringen is waar, welke onwaar en welke mogelijk waar of onwaar, afhankelijk van de waarden van A, λ en u? Hierbij is I de identiteitsmatrix. (a) det(a λi) = 0. (b) det(a λi) 0. (c) A is invertible. (d) A λi is invertible. (e) The system (A λi)x= 0 has exactly one solution. (f) The system (A λi)x= 0 has a nonzero solution. Opgave 6. De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector u. Dan is v is ook een eigenvector voor 3I + 2A. eigenwaarde? Hierbij is I de identiteitsmatrix. Wat is de corresponderende Opgave 7. ( ) 1 2 De matrix A= heeft eigenwaarden λ = 1 and λ 2 = 5. Bepaal een ( ) v1 eigenvector v = corresponderend met de eigenwaarde 5. v 2 Opgave De matrix A= heeft drie verschillende eigenwaarden, waaronder λ 1 = 4. Bepaal de andere twee eigenwaarden. Opgave 9. Definitie: Een vierkante matrix heet een transitiematrix als de entries van elke kolom optellen tot 1. 2
22 Beschouw de transitiematrix M = met de eigenwaarden λ 1 = 1, λ 2 = 0.85 and λ 3 = Er bestaan een diagonaalmatrix D en inverteerbare matrix P met M = P DP 1. Bepaal D en P. Opgave 10. Beschouw de symmetrische matrices A en B van de zelfde grootte. A heeft een eigenwaarde λ met eigenvector v and B een eigenwaarde µ met eigenvector v. Welk bewering is in het algemeen waar? a. AB heeft eigenwaarde λµ b. A T heeft eigenwaarde λ c. A T B heeft eigenwaarde λµ d. B T has eigenvector v 3
23 Lineaire Algebra, Inproducten Opgave 1. Wat is de waarde van het inproduct x, y tussen twee loodrecht op elkaar staande vectoren x, y uit een vectorruimte V? a. 90, b. 0, c. π/2 Opgave 2. Veronderstel dat, en (, ) inproducten zijn op een vectorruimte V. Slechts één van de volgende uitspraken is correct voor iedere keuze van de twee genoemde inproducten. Welke? a. [, ] :=, + (, ) is een inproduct op V, b. [, ] :=, (, ) is een inproduct op V. c. [, ] :=, (, ) is een inproduct op V. Opgave 3. Welke twee functies op [0, 1] staan loodrecht op elkaar in het standaardinproduct (f, g) = 1 0 f(x)g(x)dx a. f : [0, 1] R : x x en g : [0, 1] R : x 1 x, b. f : [0, 1] R : x x en g : [0, 1] R : x x, c. f : [0, 1] R : x x 1 2 en g : [0, 1] R : x 1, Opgave 4. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? 1
24 a. Er bestaan inproductruimtes waarin loodrecht op elkaar staande vectoren (beide ongelijk aan nul) linear afhankelijk kunnen zijn. b. Er bestaat een inproduct, op R 2 zodanig dat de standaard basisvectoren van R 2 niet loodrecht op elkaar staan. c. Als twee vectoren v, w in een inproductruimte V loodrecht op elkaar staan, en L : V V is een lineaire afbeelding, dan staan ook L(v) en L(w) loodrecht op elkaar. Opgave 5. Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [ 1, 1]. We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct: p, q = 1 1 Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat p : I R : x 1. Bereken p. p (x)q (x)dx + p(0)q(0). Opgave 6. Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [ 1, 1]. We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct: p, q = 1 1 Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat p : I R : x 1. p (x)q (x)dx + p(0)q(0). Voor welke a, b R heeft de functie q : I R : x a + bx de volgende twee eigenschappen? q = 1, q staat loodrecht op p. Opgave 7. 2
25 Schrijf M voor de vectorruimte van 2 2 matrices, en definieer op M het volgende inproduct, A, B = sp(a t B), waarbij sp(a) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn diagonaal-entries is, en A t de getransponeerde van A is. Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat Bereken A. A = ( ) Opgave 8. Schrijf M voor de vectorruimte van 2 2 matrices, en definieer op M het volgende inproduct, A, B = sp(a t B), waarbij sp(a) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn diagonaal-entries is, en A t de getransponeerde van A is. Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat en Bereken A, B. A = B = ( ( ) ) 3
26 Lineaire Algebra, Lineaire afbeedlingen Introductie. Toets Lineaire Algebra over Lineaire afbeeldingen. Opgave 1. Welk van de volgende afbeeldingen is lineair? a. De afbeelding A : R 3 R met (x, y, z) met x y z b. De afbeelding A : M 2 2 M 2 2 met A(M) = M M voor alle matrices M M 2 2 c. De afbeelding op de verzameling oneindig differentieerbare functies van R naar R die aan elke functie f de functie f f toekent Opgave 2. Zij P n de vectoruimte van reële polynomen in de variabele x van graad < n. Beschouw voor n 2 de volgende afbeeldingen: f : P n P 2n gegeven door f(p)(x) = p(x 2 ); g : P n P n gegeven door g(p)(x) = xp (x); h : P n P n gegeven door f(p)(x) = x + p(x). Welk van deze afbeeldingen is linear? a. Alleen f en g. b. Alleen f en h. c. Alleen g en h. d. Alle drie Opgave 3. De lineaire afbeelding A : R 2 R 2 beeldt de vectoren (1, 3) en (3, 8) af op respectievelijk (12, 12) en (33, 33). 1
27 Bepaal de matrix van A t.o.v. de standaard basis. Opgave 4. De lineaire afbeelding P : R 3 R 3 is de orthogonale projectie op het vlak V gegeven door de vergelijking x 2y 2z = 0. Bepaal de matrix van P ten opzichte van de standaard basis. Opgave 5. De lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven door de matrix Is A injectief? Zo ja, antwoord met ja, zo nee geef een vector 0 in de kern van de afbeedling. Opgave 6. De matrix van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is Bepaal het volledig origineel onder A van de vector ( 12, 14, 20) Opgave 7. Zij V de deelruimte van de vectorruimte van oneindig vaak differentieerbare functies van R naar R opgespannen door de drie onafhankelijke functies f, g en h met f(x) = e x, g(x) = cos(x) en h(x) = sin(x). De afgeleide nemen is een lienare afbeelding van V naar V. Wat is de matrix voor deze lineaire afbeelding t.o.v. de basis (f, g, h) van V? Opgave 8. De drie vectoren (2, 4, 5), (8, 18, 24) en (2, 0, 5) vormen een basis B voor R 3. Vind de overgangsmatrix T die coördinaten van een vector t.o.v. van de standaardbasis overvoert naar coördinaten t.o.v. B. 2
28 Opgave 9. De drie functies f, g en h vormen een basis B voor een deelruimte V van de vectorruimte van alle differentieerbare functies van R naar R. De deelruimte V is invariant onder het nemen van de afgeleide. De matrix voor het nemen van de afgeleide tov de basis B is Is de functie die constant 1 is in V? Zo nee, antwoord met nee, zo ja, wat zijn dan de coördinaten van de functie die constant 1 is t.o.v. de basis B, als verder gegeven is dat f(0) = 1, g(0) = 2 en h(0) = 3? Opgave 10. Stel A en B zijn twee lineaire afbeeldingen van een vectorruimte V naar zichzelf. Welk van de volgende beweringen is altijd waar? (1) Ker(A B) is een deelruimte van Ker(A); (2) Ker(A B) is een deelruimte van Ker(B); a. Bewering (1) b. Bewering (2) c. Bewering (1) en (2) d. Geen van beide. 3
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieVincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith
Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieLineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven
Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieExamenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:
Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatie2. Transformaties en matrices
Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieWiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )
Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatie