ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3."

Transcriptie

1 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8

2 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding De redactie Lineaire Algebra heeft een aantal voorbeeldtoetsen vervaardigd over de onderwerpen 1. Vectoren in de R 2 en R 3 2. Rekenen met matrices 3. Stelsels lineaire vergelijkingen 4. Vectorruimten 5. Determinanten 6. Eigenwaarden 7. Inproducten 8. Lineaire afbeeldingen Het betreft hier een verzameling van meer dan 80 opgaven, zowel open als multiple choice. Daarnaast is een groot aantal reeds bestaande interactieve opgaven verzameld. Momenteel is het reviewproces van deze opgaven aan de gang. De toetsen en overige opgaven zijn beschikbaar via onder de sectie Lineaire algebra en zijn als bijlage aan dit document toegevoegd. ONBETWIST Deliverable 3.8

3 Lineaire Algebra, Vectoren in R 2 en R 3 Opgave 1. Bepaal Opgave 2. Geef een vergelijking in de vorm ax + by = c voor de lijn door de punten A(1, 2) en B(3, 4). Opgave 3. Wat is de afstand tussen de twee punten A(1, 3, 2) en B( 2, 1, 1)? Opgave 4. Bepaal de oppervlakte van de driehoek ABC als A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 1) en C = (0, 1, 1). Opgave 5. De lijn l in R 2 wordt gegeven door de vergelijking 6x + 5y = 3. ( ( ( x a c Geef een vectorvergelijking voor l in de vorm = + λ. y) b) d) 1

4 Opgave 6. Bepaal het snijpunt P van het vlak V gegeven door de vergelijking x+4y+z = 36 en de lijn l door de punten (2, 4, 0) en ( 1, 2, 4). Opgave 7. Bepaal de afstand van het punt P (3, 3) tot de lijn l door de twee punten A(1, 1) en B(3, 1). Opgave 8. Het vlak V gaat door de drie punten A(1, 1, 1), B(2, 3, 1) en C(5, 1, 2). Geef een vergelijking van het vlak in de vorm ax + by + cz = d. Opgave 9. Wat zijn de coördinaten van het spiegelbeeld van het punt P (3, 3, 1) in het vlak V gegeven door de vergelijking 2x + y z = 2? Opgave 10. Wat is de afstand tussen de twee lijnen l en m gegeven door de vectorvergelijkingen x 5 1 x 1 2 l : y = 1 + λ 1 en m : y = 2 + µ 0. z 1 1 z 1 1 2

5 Lineaire Algebra, Rekenen met matrices Opgave 1. Bepaal 3 ( ) ( ) ( ) Opgave 2. Bepaal ( ) Opgave ( ) Bereken Opgave 4. Als A een 7 3 matrix is en B een 3 5 matrix. Wat is dan het aantal kolommen van (AB)? Opgave 5. Bereken ( ) ( 5 4 ) ( )

6 Opgave 6. Geef een 3 3 matrix A met A 0, maar A 3 = 0. Opgave 7. Als A een 3 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 3 matrices B, wat is dan de sterkste uitspraak over A. a. A = I b. A is een scalair veelvoud van I. c. A is een bovendriehoeksmatrix. d. A kan elke 3 3 matrix zijn. Opgave 8. Welke uitspraak is waar? a. Voor alle n n matrices A en B geldt AB BA = 0. b. Voor alle n n matrices A en B geldt AB B A = 0. c. Voor alle n n matrices A en B geldt (AB) B A = 0. d. Geen van bovenstaande beweringen is waar. Opgave 9. Als A een 3 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 3 matrices B, wat is dan de sterkste uitspraak over A. a. A = I b. A is een scalair veelvoud van I. c. A is een bovendriehoeksmatrix. d. A kan elke 3 3 matrix zijn. 2

7 Opgave 10. ( ( ( ( Bepaal een 2 2 matrix A met A = en A =. 1) 5) 1) 1) 3

8 Lineaire Algebra, Oplossen van lineaire stelsels Opgave 1. Beschouw het volgend stelsel lieaire vergelijkingen: 4x 7z = 8 8y 3x + 2z = 0 3z 2y = 6 Wat is de uitgebriede coefficiëntenmatrix voor dit stelsel? Opgave 2. Zin A een 3 3-matrix en b een vector in R 3. De vergelijking Ax = b heeft als uitgebreide coëfficiëntenmatrix de 3 4-matrix A b. prcies één van de volgende beweringen is fout. Welke? a. Vermenigvuldiging van de tweede regel uit A b met 3 zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. b. Vermenigvuldiging van de tweede kolom uit A b met 3 zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. c. Optellen van de tweede rij bij de derde uit A b zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. d. Verwisselen van de tweede en derde regel uit A b zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. Opgave 3. 1

9 De rij-gereduceerde matrix van 0 a 0 a b c c b c c waarbij a 0 is gelijk aan Opgave 4. De vergelijking Ax = b, met en heeft een unieke oplossing. Deze oplossing is gelijk aan A = b = 0 6 Opgave 5. Voor p R is gegeven A = 1 p 2 en b = p p 0 De vergelijking Ax = b heeft geen oplossingen voor precies één waarde van p. Voor welke p is dat zo? Opgave 6. Stel u A = en b = u w 2

10 De vergelijking Ax = b heeft alleen oplossingen als u, v en w aan een vergelijking voldoen. Wat is deze vergelijking? Opgave 7. Stel A = p 0 p p 1 De vergelijking Ax = 0 heeft oneindig veel oplossingen voor twee waarden voor p. Welke? 3

11 Lineaire Algebra, Vectorruimten Opgave 1. De eigenschap dat in een vectorruimte V geldt dat (u + v) + w = u + (v + w) voor alle u, v, w V heet: a. Commutativiteit. b. Associativiteit. c. Geslotenheid onder optelling. Opgave 2. Wat is de dimensie van de reële vectorruimte van reële n n matrices? a. n. b. 2n. c. n 2. Opgave 3. Laat V de verzameling zijn van alle functies f op [ 1, 1] waarvoor geldt dat f( x) = f(x) voor alle x [ 1, 1]. Voor f, g V definiëren we f + g op de gebruikelijke wijze, en zo ook αf voor α R. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? a. V is een vectorruimte. b. V is geen vectorruimte want V is niet gesloten onder de gegeven optelling. c. V is geen vectorruimte want V wordt niet opgespannen door eindig veel vectoren uit V. Opgave 4. Welke van de volgende is geen axioma voor een vectorruimte V? 1

12 a. 0u = 0 voor alle u V b. 1u = u voor alle u V. c. c(du) = (cd)u voor alle c, d R en u V. Opgave 5. Welke van de volgende deelverzamelingen H van de verzameling V van 2 2 matrices is geen deelruimte? a. De deelverzameling H van bovendriehoeksmatrices. b. De deelverzameling van symmetrische matrices. c. De deelverzameling van matrices die niet symmetrisch zijn. Opgave 6. Laat V de verzameling zijn van alle horizontale vectoren van lengte twee, tezamen met alle verticale vectoren van lengte twee, oftewel, {( ) } b1 V = {(a 1, a 2 ), a 1, a 2 R}, b b 1, b 2 R. 2 Definieer de volgende optelling op V. Als v, w V beide horizontaal of beide verticaal zijn, definieer hun som v + w dan als gebruikelijk. Is dit niet het geval, definieer dan ( ) v1 + w v + w = 1. v 2 + w 2 Dus, de som is in dat geval altijd verticaal. Definieer de vermenigvuldiging met een scalair c R zoals gebruikelijk, ( ) ( ) v1 cv1 c =, c(w v 2 cv 1, w 2 ) = (cw 1, cw 2 ). 2 Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? De verzameling V met de gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met een scalair is geen vectorruimte omdat: a. De optelling niet associatief is. b. Er geen nulvector in v bestaat. c. Niet iedere v V heeft een tegengestelde v. Opgave 7. Welke van de volgende is geen vectorruimte? 2

13 a. De verzameling van polynomen van graad ten hoogste twee gedefinieerd op het interval [0, 1], met de gebruikelijke optelling van functies, en de gebruikelijke vermenigvuldiging van een functie met een scalair. b. De verzameling van alle inverteerbare 2 2 matrices, met de matrix-optelling, en de vermenigvuldiging van een matrix met een scalair. c. De verzameling van alle rijtjes getallen (a n ) n=1 met de gebruikelijke elementsgewijze optelling, en de gebruikelijke vermenigvuldiging met een scalair. Opgave 8. Beschouw de complexe vectorruimte V van complexe 3 3 matrices. Laat H de deelverzameling zijn van Hermitische matrices, oftewel, matrices A waarvoor A = A. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? a. H is aan deelruimte van V van dimensie 6. b. H is aan deelruimte van V van dimensie 12. c. H is niet gesloten onder de gebruikelijke scalaire vermenigvuldiging. Opgave 9. Wat is de dimensie van de vectorruimte van symmetrische 3 3 matrices? 3

14 Lineaire Algebra, Determinanten Exercise 1. Bepaal het oppervlak van de driehoek in R 2 met hoekpunten ( 1, 4), (3, 2), (0, 1). Exercise 2. Bepaal het oppervlak van de driehoek in R 2 met hoekpunten (6, 1), (1, 2), ( 3, 1). Exercise 3. Bepaal het volume van het viervlak in R 3 met hoekpunten (1, 0, 0), (2, 3, 4), ( 1, 0, 2), (3, 2, 1). Exercise 4. Bereken Exercise 5. 1

15 Bereken Exercise 6. Bereken Exercise 7. Bereken a b 0 0 a b a 0 b. a. (a + b) 3 b. a 3 + b 3 c. ab(a + b) Exercise 8. Bereken 0 a 0 b c d 0 e 0. 2

16 a. 0 b. bd + ae c. ab + de Exercise 9. Gegeven is dat a b c d e f g h i = 4. Bepaal de determinant van a b c 2d 3g 2e 3h 2f 3i g h i. Exercise 10. Gegeven is dat Bepaal de determinant van a b c d e f g h i = 4. a b a + b c d e d + e f g h g + h i. Exercise 11. Gegeven is dat a b c d e f g h i = 4. 3

17 Bepaal de determinant van a d g b + 2a e + 2d h + 2g c f i. Exercise 12. Zij A een n n-matrix en λ R. Dan is det(λa) gelijk aan a. λ det(a) b. nλ det(a) c. λ n det(a) Exercise ( 13. ) 2 1 Zij A = 1 5. Bepaal de determinant van A. 1 2 Exercise 14. Beschouw het stelsel vergelijkingen x 1 + 3x 2 = 4 x 1 x 2 = 0. Is de volgende bewering waar: de regel van Cramer geeft ons als oplossing x 1 = 1 3 x 2 =

18 a. Waar b. Niet waar Exercise 15. Los met de regel van Cramer het stelsel op en geef de waarde van x 1. x 1 2x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 3 = 3 x 1 2x 2 = 0 Exercise 16. Welk van de volgende determinanten is nul voor willekeurige keuze van a, b, c? (1) 0 a a 0, (2) 0 a 0 0 a 0 0 a 0 b 0 b 0, (3) a 0 b 0 0 b 0 c 0 0 c 0 a. determinant (1) b. determinant (2) c. determinant (3) Exercise 17. Welk van de volgende determinanten is niet altijd nul voor willekeurige keuze van a, b, c? (1) a b c b + c a + c a + b, (2) a 2 b 2 c 2 b 2 + c 2 a 2 + c 2 a 2 + b 2, (3) a b c bc ac ab 5

19 a. determinant (1) b. determinant (2) c. determinant (3) 6

20 Lineaire Algebra, Eigenwaarden Opgave 1. Bepaal de karakteristieke vergelijking van de matrix M = variabele. ( ) 0 1 met λ als 3 2 Opgave 2. Bepaal de eigenwaarden van de matrix M = ( ) Opgave Beschouw de matrix A = Bepaal de eigenwaarden van A 2. Opgave 4. Een inverteerbare vierkante matrix M heeft eigenwaarden λ en µ met bijbehorende eigenvectoren s u, respectievelijk, v. Welk van de volgende beweringen is in het algemeen waar? a. λ + µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u + v. b. λ µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u v. c. λ 1 is an eigenwaarde voor M met eigenvector u 1. d. λ 1 is an eigenwaarde voor M 1 met eigenvector u. 1

21 Opgave 5. De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector u. Welk van de volgende beweringen is waar, welke onwaar en welke mogelijk waar of onwaar, afhankelijk van de waarden van A, λ en u? Hierbij is I de identiteitsmatrix. (a) det(a λi) = 0. (b) det(a λi) 0. (c) A is invertible. (d) A λi is invertible. (e) The system (A λi)x= 0 has exactly one solution. (f) The system (A λi)x= 0 has a nonzero solution. Opgave 6. De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector u. Dan is v is ook een eigenvector voor 3I + 2A. eigenwaarde? Hierbij is I de identiteitsmatrix. Wat is de corresponderende Opgave 7. ( ) 1 2 De matrix A= heeft eigenwaarden λ = 1 and λ 2 = 5. Bepaal een ( ) v1 eigenvector v = corresponderend met de eigenwaarde 5. v 2 Opgave De matrix A= heeft drie verschillende eigenwaarden, waaronder λ 1 = 4. Bepaal de andere twee eigenwaarden. Opgave 9. Definitie: Een vierkante matrix heet een transitiematrix als de entries van elke kolom optellen tot 1. 2

22 Beschouw de transitiematrix M = met de eigenwaarden λ 1 = 1, λ 2 = 0.85 and λ 3 = Er bestaan een diagonaalmatrix D en inverteerbare matrix P met M = P DP 1. Bepaal D en P. Opgave 10. Beschouw de symmetrische matrices A en B van de zelfde grootte. A heeft een eigenwaarde λ met eigenvector v and B een eigenwaarde µ met eigenvector v. Welk bewering is in het algemeen waar? a. AB heeft eigenwaarde λµ b. A T heeft eigenwaarde λ c. A T B heeft eigenwaarde λµ d. B T has eigenvector v 3

23 Lineaire Algebra, Inproducten Opgave 1. Wat is de waarde van het inproduct x, y tussen twee loodrecht op elkaar staande vectoren x, y uit een vectorruimte V? a. 90, b. 0, c. π/2 Opgave 2. Veronderstel dat, en (, ) inproducten zijn op een vectorruimte V. Slechts één van de volgende uitspraken is correct voor iedere keuze van de twee genoemde inproducten. Welke? a. [, ] :=, + (, ) is een inproduct op V, b. [, ] :=, (, ) is een inproduct op V. c. [, ] :=, (, ) is een inproduct op V. Opgave 3. Welke twee functies op [0, 1] staan loodrecht op elkaar in het standaardinproduct (f, g) = 1 0 f(x)g(x)dx a. f : [0, 1] R : x x en g : [0, 1] R : x 1 x, b. f : [0, 1] R : x x en g : [0, 1] R : x x, c. f : [0, 1] R : x x 1 2 en g : [0, 1] R : x 1, Opgave 4. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? 1

24 a. Er bestaan inproductruimtes waarin loodrecht op elkaar staande vectoren (beide ongelijk aan nul) linear afhankelijk kunnen zijn. b. Er bestaat een inproduct, op R 2 zodanig dat de standaard basisvectoren van R 2 niet loodrecht op elkaar staan. c. Als twee vectoren v, w in een inproductruimte V loodrecht op elkaar staan, en L : V V is een lineaire afbeelding, dan staan ook L(v) en L(w) loodrecht op elkaar. Opgave 5. Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [ 1, 1]. We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct: p, q = 1 1 Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat p : I R : x 1. Bereken p. p (x)q (x)dx + p(0)q(0). Opgave 6. Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [ 1, 1]. We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct: p, q = 1 1 Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat p : I R : x 1. p (x)q (x)dx + p(0)q(0). Voor welke a, b R heeft de functie q : I R : x a + bx de volgende twee eigenschappen? q = 1, q staat loodrecht op p. Opgave 7. 2

25 Schrijf M voor de vectorruimte van 2 2 matrices, en definieer op M het volgende inproduct, A, B = sp(a t B), waarbij sp(a) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn diagonaal-entries is, en A t de getransponeerde van A is. Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat Bereken A. A = ( ) Opgave 8. Schrijf M voor de vectorruimte van 2 2 matrices, en definieer op M het volgende inproduct, A, B = sp(a t B), waarbij sp(a) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn diagonaal-entries is, en A t de getransponeerde van A is. Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat en Bereken A, B. A = B = ( ( ) ) 3

26 Lineaire Algebra, Lineaire afbeedlingen Introductie. Toets Lineaire Algebra over Lineaire afbeeldingen. Opgave 1. Welk van de volgende afbeeldingen is lineair? a. De afbeelding A : R 3 R met (x, y, z) met x y z b. De afbeelding A : M 2 2 M 2 2 met A(M) = M M voor alle matrices M M 2 2 c. De afbeelding op de verzameling oneindig differentieerbare functies van R naar R die aan elke functie f de functie f f toekent Opgave 2. Zij P n de vectoruimte van reële polynomen in de variabele x van graad < n. Beschouw voor n 2 de volgende afbeeldingen: f : P n P 2n gegeven door f(p)(x) = p(x 2 ); g : P n P n gegeven door g(p)(x) = xp (x); h : P n P n gegeven door f(p)(x) = x + p(x). Welk van deze afbeeldingen is linear? a. Alleen f en g. b. Alleen f en h. c. Alleen g en h. d. Alle drie Opgave 3. De lineaire afbeelding A : R 2 R 2 beeldt de vectoren (1, 3) en (3, 8) af op respectievelijk (12, 12) en (33, 33). 1

27 Bepaal de matrix van A t.o.v. de standaard basis. Opgave 4. De lineaire afbeelding P : R 3 R 3 is de orthogonale projectie op het vlak V gegeven door de vergelijking x 2y 2z = 0. Bepaal de matrix van P ten opzichte van de standaard basis. Opgave 5. De lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven door de matrix Is A injectief? Zo ja, antwoord met ja, zo nee geef een vector 0 in de kern van de afbeedling. Opgave 6. De matrix van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is Bepaal het volledig origineel onder A van de vector ( 12, 14, 20) Opgave 7. Zij V de deelruimte van de vectorruimte van oneindig vaak differentieerbare functies van R naar R opgespannen door de drie onafhankelijke functies f, g en h met f(x) = e x, g(x) = cos(x) en h(x) = sin(x). De afgeleide nemen is een lienare afbeelding van V naar V. Wat is de matrix voor deze lineaire afbeelding t.o.v. de basis (f, g, h) van V? Opgave 8. De drie vectoren (2, 4, 5), (8, 18, 24) en (2, 0, 5) vormen een basis B voor R 3. Vind de overgangsmatrix T die coördinaten van een vector t.o.v. van de standaardbasis overvoert naar coördinaten t.o.v. B. 2

28 Opgave 9. De drie functies f, g en h vormen een basis B voor een deelruimte V van de vectorruimte van alle differentieerbare functies van R naar R. De deelruimte V is invariant onder het nemen van de afgeleide. De matrix voor het nemen van de afgeleide tov de basis B is Is de functie die constant 1 is in V? Zo nee, antwoord met nee, zo ja, wat zijn dan de coördinaten van de functie die constant 1 is t.o.v. de basis B, als verder gegeven is dat f(0) = 1, g(0) = 2 en h(0) = 3? Opgave 10. Stel A en B zijn twee lineaire afbeeldingen van een vectorruimte V naar zichzelf. Welk van de volgende beweringen is altijd waar? (1) Ker(A B) is een deelruimte van Ker(A); (2) Ker(A B) is een deelruimte van Ker(B); a. Bewering (1) b. Bewering (2) c. Bewering (1) en (2) d. Geen van beide. 3

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven: Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( ) Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie