Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Transcriptie

1 Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren in algemenere vectorruimten (anders dan R n Er geldt : Stelling Stel dat B = {b,, b n } een basis is van een vectorruimte V Dan geldt voor iedere vector v V : v = b + + b n,,, R Deze schrijfwijze is bovendien uniek Bewijs Er geldt dat V = Span{b,, b n }, want B is een basis van V Dat betekent dat elke vector v V geschreven kan worden als lineaire combinatie van de vectoren in B : v = b + + b n Om in te zien dat deze schrijfwijze uniek is nemen we aan dat ook v = y b + + y n b n Dan geldt : o = v v = ( y b + + ( y n b n Nu is {b,, b n } lineair onafhankelijk, want B is een basis van V Hieruit volgt : y =,, y n = = y,, = y n Dit toont aan dat de schrijfwijze v = b + + b n uniek is Dit geeft de mogelijkheid om coördinaten in te voeren : Definitie Stel dat B = {b,, b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V Dan noemen we de gewichten van de lineaire combinatie v = b + + b n de coördinaten van v ten opzichte van de basis B Notatie : [v] B = De vector x = R n heet de coördinaatvector van v ten opzichte van de basis B De (lineaire afbeelding F : V R n met F(v = [v] B heet de coördinaatafbeelding bepaald door de basis B Voorbeeld We hebben gezien dat ( B = { (, (, } een basis is van ( S, de deelruimte van alle symmetrische ( -matrices Stel dat M =, dan geldt : M S 3 Verder geldt : ( ( ( ( M = = + 3 3

2 Dit betekent dat [M] B = 3 De matrix M kunnen we dus representeren door een vector in R 3 Voorbeeld Ook hebben we gezien dat C = {, t, t } een basis is van de vectorruimte P van alle polynomen van de graad Stel p(t = + t 3t, dan geldt : p P Nu is : [p(t] C = 3 We kunnen dus ook het polynoom p(t representeren door een vector in R 3 Bij een gegeven basis wordt door een coördinaatvector ten opzichte van die basis dus precies één vector uit de betreffende vectorruimte gerepresenteerd De coördinaatafbeelding F : V R n is een isomorfisme Dit betekent dat bij elke vector v in V precies één coördinaatvector x in R n hoort en omgekeerd dat elke vector x in R n precies één vector v in V beschrijft : Als B = {b,, b n } een basis van V is, dan geldt : [v] B = x = v = b + + b n De vectorruimten V en R n heten dan wel isomorf Ze hebben min of meer dezelfde ( iso vorm, gedaante of structuur ( morf We kunnen dit nu alsvolgt gebruiken : Voorbeeld 3 Om uit te zoeken of { + t, t, t( + t} in P lineair (onafhankelijk is gebruiken we de coördinaatvectoren ten opzichte van de standaardbasis E = {, t, t } van P : [ + t] E =, [ t ] E = Dan volgt door vegen : Dus : {,, en [t( + t] E = } is lineair afhankelijk en = Dit betekent dat {+t, t, t(+t} ook lineair afhankelijk is en dat t(+t = (+t ( t

3 Een vector x = standaardbasis E = {e, e,, e n } met Dat wil zeggen : e = Coördinaten in R n in R n wordt aangeduid met de coördinaten ten opzichte van de, e = [x] E =,, e n = = x We kunnen echter ook een andere basis B kiezen en vervolgens coördinaatvectoren ten opzichte van die basis B gebruiken Voorbeeld 4 Stel dat b = ( basis van R, want : ( (, b = en x = ( 3 ( 4 Dan is B = {b, b } een Omdat er in elke kolom een pivot ontstaat is {b, b } lineair onafhankelijk En omdat er ook in elke rij een pivot ontstaat geldt ook dat R = Span{b, b } Dus : B is een basis van R Vraag : Wat is nu [x] B, de coördinaatvector van x ten opzichte van basis B? ( c Oplossing : [x] B = x = c b + c b Dus : c ( c + c ( = ( 4 ( ( c c = ( 4 Vegen geeft nu : ( 4 ( ( 4 3 ( 3 = [x] B = ( 3 In het algemeen geldt : als B = {b,, b n } een basis van R n is en P B = b b n, 3

4 dan geldt x = c b + + c n b n = b b n c = P B [x] B c n De matrix P B heet de overgangsmatrix of coördinatentransformatiematrix bij de overgang van basis B naar de standaardbasis E van R n Deze matrix P B is vierkant en de kolommen zijn lineair onafhankelijk (die vormen immers een basis van R n De matrix P B heeft dus in elke kolom en in elke rij een pivotpositie en is dus inverteerbaar Er geldt dus : [x] B = P B x De dimensie van een vectorruimte Hoewel het mogelijk is om verschillende bases van een vectorruimte te kiezen, is het aantal vectoren in zo n basis altijd gelijk Dit aantal noemen we de dimensie van de vectorruimte Stelling Als B = {b,, b n } een basis is van een vectorruimte V, dan is elke verzameling in V met meer dan n vectoren lineair afhankelijk Bewijs Stel dat {u,, u p } zo n verzameling in V is met meer dan n vectoren (p > n Dan vormen de coördinaatvectoren [u ] B,, [u p ] B een lineair afhankelijke verzameling in R n omdat de matrix [u ] B [ ] u p meer kolommen (p dan rijen (n heeft Er kan dus niet in elke kolom een pivotpositie bestaan Dus is {[u ] B,, [u p ] B } lineair afhankelijk Maar dan is ook {u,, u p } lineair afhankelijk B Stelling 3 Als B = {b,, b n } een basis is van een vectorruimte V, dan heeft elke basis van V precies n vectoren Bewijs Stel dat C = {c,, c p } een andere basis van V is met p vectoren Volgens de vorige stelling kan deze basis niet meer vectoren bevatten dan basis B Dus : p n Omgekeerd kan basis B ook niet meer vectoren bevatten dan basis C Dus ook : n p Hieruit volgt dat p = n Basis C bevat dus evenveel vectoren als basis B Dit leidt tot de volgende definitie : Definitie Als een vectorruimte V wordt opgespannen door eindig veel vectoren, dan heet V eindig-dimensionaal Het aantal vectoren van een basis heet dan de dimensie van V Notatie : dim V Hierbij spreken we af dat dim {o} = Als V niet wordt opgespannen door eindig veel vetoren, dan heet V oneindig-dimensionaal (dim V = 4

5 Enkele voorbeelden : dim R n = n, want de standaardbasis {e,, e n } bevat n vectoren dim P n = n +, want de standaardbasis {, t, t,, t n } bevat n + vectoren ( ( ( 3 dim S = 3, want de basis {,, } bevat 3 vectoren 4 dim C[, ] = Een lijn door O in R 3 is een -dimensionale deelruimte van R 3 6 Een vlak door O in R 3 is een -dimensionale deelruimte van R 3 Er geldt nu : Stelling 4 Als V een vectorruimte is met dim V = n, dan is elke lineair onafhankelijke verzameling met precies n vectoren een basis van V Het bewijs van deze stelling laten we buiten beschouwing De rang van een matrix Definitie 3 De rang van een matrix A is de dimensie van de kolomruimte Notatie : rank A = dim(col A Aangezien de pivotkolommen van A een basis vormen van de kolomruimte van A geldt dat de rang van A gelijk is aan het aantal pivotposities Verder is eenvoudig in te zien dat dim(nul A gelijk is aan het aantal vrije variabelen in het stelsel vergelijkingen voorgesteld door Ax = o Dit leidt tot de volgende dimensiestelling : Stelling Als A een (m n-matrix is, dan geldt : rank A + dim(nul A = n We weten dat Row A = Col A T Omdat bij het vegen van een matrix het opspansel van de rijen (de rijruimte niet verandert, geldt dus ook dat dim(row A = rank A, het aantal pivotposities Stelling toegepast op A T in plaats van A levert dan : Stelling 6 Als A een (m n-matrix is, dan geldt : rank A + dim(nul A T = m Voor de vier fundamentele deelruimten behorende bij een matrix A geldt dus : Stelling 7 Als A een (m n-matrix is, dan zijn Row A en Nul A deelruimten van R n en zijn Col A en Nul A T deelruimten van R m Verder is (Row A = Nul A en (Col A = Nul A T en geldt dat dim(row A + dim(nul A = n en dim(col A + dim(nul A T = m

6 Overgangsmatrices Stel dat B = {b,, b n } en C = {c,, c n } twee verschillende bases zijn van een vectorruimte V Als v een vector in V is, wat is dan het verband tussen de coördinaatvectoren [v] B en [v] C? Dat er een verband tussen deze vectoren moet bestaan is duidelijk, want beide coördinaatvectoren stellen immers dezelfde vector v in V voor Stel dat [v] B =, dan geldt : v = b + + b n Nu volgt : [v] C = [ b + + b n ] C = [b ] C + + [b n ] C, aangezien de coördinaatafbeelding een lineaire afbeelding is Definieer nu de matrix P = [b ] C [b n ] C, dan volgt [v] C = [b ] C + + [b n ] C = [b ] C [b n ] C = P [v] B Dit is het gezochte verband tussen [v] B en [v] C De matrix P heet de overgangsmatrix of basistransformatiematrix bij de overgang van basis B naar basis C De kolommen van P zijn de coördinaatvectoren van de basisvectoren van B ten opzichte van de basis C Als we de rol van de bases B en C verwisselen vinden we dat [v] B = P P [v] C B C Zo n overgangsmatrix is vierkant en heeft lineair onafhankelijke kolommen De kolommen zijn immers de coördinaatvectoren van een basis Dit betekent dat een overgangsmatrix altijd inverteerbaar is Verder geldt dat ( = P B C Voorbeeld Ga na dat E = {, t, t } en B = {, + t, + t + t } beide bases zijn van P Merk op, dat [] E =, [ + t] E = en [ + t + t ] E = Hieruit volgt dat P = E B en (na vegen P B E = = 6