Lineaire Algebra voor ST

Transcriptie

1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 / 29

2 Inhoud Rang van een matrix 2 Coördinaten 3 Isomorfie 4 Overgangsmatrices J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 2 / 29

3 Rang van een matrix Definitie De rijen van een m n matrix A spannen een deelruimte op van R n, de zogenaamde rij-ruimte van A. De kolommen van een m n matrix A spannen een deelruimte op van R m, de zogenaamde kolom-ruimte van A. NB: R n is de ruimte van alle n matrices, of rij-vectoren. Stelling Als A en B rij-equivalente matrices zijn, dan zijn de rij-ruimtes van A en B gelijk. Bewijs: na een rij-operatie bestaan de rijen van de nieuwe matrix uit lineaire combinaties van rijen van de oude matrix, en andersom. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 3 / 29

4 Gevolg: als A rij-equivalent is met de matrix R in (gereduceerde) rij-echelon vorm, dan vormen de rijen van R met leidende enen (dwz de niet-nulrijen) een basis voor de rij-ruimte van A. Bekend: de kolommen van A die corresponderen met kolommen in R met leidende enen vormen een basis voor de kolom-ruimte van A. A = is rij-equivalent met R = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 4 / 29

5 dus een basis van de rijruimte van A is {r, r 2, r 3 }, met r = [ ] r 2 = [ ] r 3 = [ ]. Deze basis bestaat i.h.a. niet uit rijen van A! Leidende enen staan in kolommen, 3 en 5 van R dus een basis voor de kolom-ruimte van A is {a, a 3, a 5 }, met a i de i-de kolom van A. a = 2 2, a 3 = , a 5 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 5 / 29

6 NB: Een basis voor de rij-ruimte van A die uit rijen van A bestaat vinden we door A T te vegen. De kolom-ruimte van A T komt namelijk overeen met de rij-ruimte van A. A T = equivalent met S = Leidende enen staan in kolommen, 2, 3 dus de eerste drie rijen v, v 2, v 3 van de matrix A vormen een basis van de rij-ruimte. v = [ ] v 2 = [ ] v 3 = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 6 / 29

7 Definitie De dimensie van de rij-ruimte (kolom-ruimte) van een matrix A heet de rij-rang (kolom-rang) van A. A = heeft rij-rang gelijk aan de rij-rang van de rij-equivalente matrix in trapvorm R = en is dus gelijk aan 3 (= het aantal rijen met leidende enen). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 7 / 29

8 [vervolg] A = heeft kolom-rang gelijk aan het aantal kolommen met leidende enen in R = en is dus ook gelijk aan 3. Dit is niet toevallig! J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 8 / 29

9 Stelling Voor elke m n matrix A geldt dat de rij-rang en de kolom-rang van A gelijk zijn. Bewijs: het aantal rijen met leidende enen is gelijk aan het totale aantal leidende enen en het aantal kolommen met leidende enen ook! Definitie De rang van een matrix A is per definitie zijn rij-rang (of kolom-rang). Notatie: rang A NB: er geldt voor een m n matrix A: rang A m en ook rang A n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 9 / 29

10 Stelling Als A een m n matrix is en we duiden met nulheid A de dimensie aan van de nulruimte van A dan geldt: rang A + nulheid A = n Bewijs: eerder gezien dat nulheid A = n r met r het aantal leidende enen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 0 / 29

11 A = Rij-equivalente matrix in gereduceerde trapvorm: Leidende enen in kolommen,3,4. Dus de (kolom-) rang van A is 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 / 29

12 [vervolg] De gegeven 4 5 matrix A is rij-equivalent met de matrix in gereduceerde trapvorm Bij oplossen van Ax = 0 kies je dus vrije variabelen x 2 = s en x 5 = t met s, t R (dan volgt x = s t, x 2 = s, x 3 = t, x 4 = 0, x 5 = t). Dus heeft de nulruimte van A dimensie 2 = 5 3 = n rang A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 2 / 29

13 Stelling Als A een n n matrix is dan is rang A = n dan en slechts dan als A rij-equivalent is met I n Bewijs: A heeft rang n, dus is rij-equivalent met een matrix R in gereduceerde trapvorm die n leidende enen heeft. Dan heeft R in elke rij en kolom een leidende. Dus R = I n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 3 / 29

14 Stelling Het lineaire stelsel Ax = b heeft een oplossing dan en slechts dan als rang A =rang [A b]. Bewijs: Ax = b heeft een oplossing dan en slechts dan als b een lineaire combinatie is (met coëficiënten x,..., x n ) van de kolommen van A en dus tot de kolom-ruimte van A behoort. Maar dit is het geval dan en slechts dan als rang A =rang [A b] x x 2 x 3 = heeft geen oplossing omdat rang A = 2 en rang [A b] = 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 4 / 29

15 Stelling De volgende uitspraken zijn equivalent voor een n n matrix A:. A is niet-singulier (inverteerbaar) 2. A is rij-equivalent met I n. 3. Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing x = 0 4. Ax = b heeft voor elke b R n een unieke oplossing 5. det(a) 0 6. rang A = n 7. de dimensie van de nulruimte van A is nul 8. de rijen van A zijn lineair onafhankelijk in R n 9. de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk in R n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 5 / 29

16 Coördinaten Definitie Als S = {v, v 2,..., v n } een geordende basis is van een vectorruimte V, dan is elke v in V op eenduidige wijze te schrijven als v = a v + a 2 v a n v n en we noemen [v] S = a a 2. de coördinaatvector van v ten opzichte van de geordende basis S. De elementen van [v] S heten de coördinaten van v ten opzichte van S. a n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 6 / 29

17 S = {t, } is een geordende basis voor P en v = p(t) = 5t 2 heeft coördinaatvector [ [v] S = 5 2 ] ten opzichte van S. NB: de coördinaatvector is afhankelijk van de volgorde van de vectoren in de geordende basis: als S = {, t} dan [ ] 2 [v] S = 5 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 7 / 29

18 Neem de geordende basis S = {v, v 2, v 3 }, met v = 0, v 2 = 2 0 We vinden de coördinaatvector [v] S = v =, en v 3 = 5 a a 2 a van de vector door te stellen a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 8 / 29

19 Dit geeft aanleiding tot het stelsel met oplossing dus Inderdaad is 5 a = 3, a 2 =, a 3 = 2 = 3 [v] S = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 9 / 29

20 Isomorfie Als V een vectorruimte van dimensie n is met basis S, dan kan men met elke vector v in V een vector in R n associëren, namelijk zijn coördinaatvector [v] S. De vector v in V en de vector [v] S in R n gedragen zich precies hetzelfde mbt de gedefinieerde optelling en scalaire vermenigvuldiging: [u + v] S = [u] S + [v] S V en R n zijn isomorf. [cv] S = c[v] S J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 20 / 29

21 P 2 heeft basis {t 2, t, } dus dimensie 3, dus is isomorf met R 3 en kan bestudeerd worden door in plaats van een polynoom 3t 2 4t in P 2 zijn coördinaatvector 4 in R 3 te beschouwen. 6 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 2 / 29

22 Overgangsmatrices Laat S = {v, v 2,..., v n } en T = {w, w 2,..., w n } twee geordende bases zijn van een vectorruimte V. Dan is voor v V : c 2 v = c w + c 2 w c n w n, ofwel [v] T =. c c n [v] S = [c w + c 2 w c n w n ] S = [c w ] S + [c 2 w 2 ] S + + [c n w n ] S = c [w ] S + c 2 [w 2 ] S + + c n [w n ] S Definitie De overgangsmatrix of transitiematrix van de basis T naar de basis S is de matrix P S T met als j-de kolom de vector [w j ] S. NB: dan dus [v] S = P S T [v] T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 22 / 29

23 S = {e, e 2 } en T = {w, w 2 } met e = [ 0 ] [ 0, e 2 = ] [, w = ] [ 2, w 2 = ] dan P S T = [[w ] S [w 2 ] S ] = [ 2 ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 23 / 29

24 [vervolg] Laat nu [v] T = [ 3 5 ] Dan is [v] S = P S T [v] T dus Inderdaad geldt [v] S = [ 3 [ 2 ] [ ] [ 3 5 ] [ = 7 0 ] = [ 7 2 ] ] [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 24 / 29

25 Stelling Laat V een vectorruimte zijn, met bases S = {s, s 2,..., s n } en T. De overgangsmatrix P S T van T naar S is inverteerbaar, en de inverse is gelijk aan de overgangsmatrix Q T S van S naar T : Bewijs: er geldt voor v V dat P S T = Q T S [v] S = P[v] T en [v] T = Q[v] S dus [v] S = PQ[v] S Door v resp. gelijk te nemen aan s, s 2,..., s n volgt PQ = I n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 25 / 29

26 S = {e, e 2 } en T = {w, w 2 } met dan e = [ 0 Q T S = [[e ] T [e 2 ] T ] = ] [ 0, e 2 = [ 2 ] [, w = ] [ 2, w 2 = ] [ 2, P S T = [[w ] S [w 2 ] S ] = ] ] zodat P S T Q T S = [ 2 ] [ 2 ] = [ 0 0 ] = I 2 dus P en Q zijn elkaarse inverse. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 26 / 29

27 Bepaal P S T voor S = {v, v 2, v 3 } en T = {w, w 2, w 3 } met v = w = , v 2 =, w 2 = de j-de kolom van P is [w j ] S, dus los op:, v 3 =, w 3 =, a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 = w b v + b 2 v 2 + b 3 v 3 = w 2 c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 = w 3 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 27 / 29

28 Dit geeft drie stelsels met dezelfde coëfficiëntenmatrix, ofwel equivalent met Conclusie: P S T = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 28 / 29

29 De matrix Q T S kan op twee manieren bepaald worden: Q = P dus veeg [P I ] = j-de kolom van Q T S is [v j ] T dus veeg We vinden in beide gevallen: Q T S = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 29 / 29