Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Transcriptie

1 Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte van alle polynomen met coëfficienten in R zijn van graad ten hoogste n. Zij T : P n R 3 de lineaire afbeelding gegeven door T (f) = ( f( ), f(), f() ). Je hoeft niet te bewijzen dat T lineair is. Laat E de standaardbasis van R 3 zijn en B de basis (, x,..., x n ) van P n. (a) Bepaal [T ] B E in het geval dat n = 3. (b) Zij v = (4,, ), v = (,, ) en v 3 = (,, ). Laat zien dat C = (v, v, v 3 ) een basis is voor R 3 en bepaal [T ] B C in het geval dat n = 3. (c) Wat is de dimensie van de kern van T voor algemene n? ( ) (3) Gegeven is de matrix A =. (a) Geef een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodanig dat D = C AC. (b) Bereken A n voor elk positief geheel getal n. (4) Het vlak W R 3 is gegeven door x + x x 3 = en b is de vector ( 3,, ). (a) Bepaal een orthonormale basis voor W (met betrekking tot het standaard inproduct). (b) Bepaal b W en b W zodanig dat b = b + b. (c) Bewijs dat voor alle x W geldt b x b. (d) Bereken de afstand van het punt ( 3,, ) tot W. (5) Zij n een positief geheel getal en a, b R n vectoren zodanig dat a, a = b, b = en a, b = ( x, y staat voor het standaard inproduct op R n ). De afbeelding L: R n R n wordt gegeven door L(x) = a, x b. (a) Toon aan dat L een lineaire afbeelding is. (b) Laat zien dat L de nulafbeelding is. (c) Toon aan dat de enige eigenwaarde van L is. (d) Leg uit of L diagonaliseerbaar is.

2 (6) WAAR of NIET WAAR? (geen uitleg nodig) (a) Als A een m n matrix is van rang m, dan is de lineaire afbeelding L A : R n R m, x Ax injectief. (b) Als A een m n matrix is van rang n, dan is de lineaire afbeelding L A : R n R m, x Ax injectief. (c) Als A een m n matrix is van rang m, dan is de lineaire afbeelding L A : R n R m, x Ax surjectief. (d) Als A een m n matrix is van rang n, dan is de lineaire afbeelding L A : R n R m, x Ax surjectief. (e) Als V een eindig voortgebrachte vectorruimte is met basis B en f : V V en g : V V zijn lineaire afbeeldingen, dan geldt [f] B B [g] B B = [f g] B B. (f) Als V een vectorruimte is en v, v, v 3 V zijn eigenvectoren van een lineaire afbeelding T : V V, bijbehorende bij drie verschillende eigenwaarden, dan zijn v, v, v 3 lineair onafhankelijk. (g) Als T : V V een lineaire afbeelding is van een vectorruimte V naar zichzelf, dan is T (b) een lineaire deelruimte voor alle b V. (h) Als een vierkante matrix A diagonaliseerbaar is, dan is A inverteerbaar. (i) Als een vierkante matrix A inverteerbaar is, dan is A diagonaliseerbaar.

3 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA A maandag 6 december,.-.. Coördinaten zijn gegeven t.o.v. een standaardbasis in R n.. De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 4 3 A =, b = 3 3 a. Los de vergelijking Ax = b op voor x R b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A... Voor de lineaire afbeelding T : R 3 R 3 geldt: T (,, ) = (5,, 3), T (,, ) = (3, 5, ), T (,, ) = (, 3, 5). Ga na of T inverteerbaar is. (Het is niet nodig de matrix van T, indien deze bestaat, te berekenen.) 3. V R 4 is het -vlak door de punten A(,,, 3), B(,,, ) en C(, 4, 4, ), en W is de lineaire deelruimte die parallel is met V. a. Bepaal een parametervoorstelling voor V. b. Bepaal een minimaal stelsel vergelijkingen voor W. b. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van V met W. 4. Beschouw de afbeelding S : R R gegeven door S(x, x ) = (x, λx ) met λ R. Meetkundig stelt deze afbeelding een (lijn)vermenigvuldiging t.o.v. de lijn x = in R voor. a. Bewijs dat S een lineaire afbeelding is. Analoog kunnen we lijnvermenigvuldiging t.o.v. een andere lijn door de oorsprong definiëren. Zij l de lijn in R met vergelijking x + x = en S l, : R R de lijnvermenigvuldiging t.o.v. de lijn l met een factor. S l, is een lineaire afbeelding. b. Bepaal de matrix van S l, t.o.v. de standaardbasis. 5a. Ga na of er een 3 3-matrix A bestaat zodat rang(a) = en rang(a ) =. b. Ga na of er een 3 3-matrix A bestaat zodat rang(a) = en A =.

4 LINEAIRE ALGEBRA A; 6 december. Antwoorden. a. Een mogelijke rijtrapvorm is: De oplossingsverzameling is span{(,,,, ), (,,,, )} + (,,,, ). b. Een basis voor de rijruimte is {(,,,, ), (,, 3, 3, ), (,,,, )}. Een basis voor de kolomruimte wordt gegeven door de eerste drie kolomvectoren van A.. T is inverteerbaar precies indien de rang van T gelijk is aan 3. Het is dus voldoende om na te gaan dat de matrix van de beeldvectoren inverteerbaar is: Dit is in te zien door de matrix in rijtrapvorm te brengen. Uiteraard kan ook eerst de matrix van T worden bepaald en vervolgens kan hiervan de rang worden bepaald. De matrix van T t.o.v. de standaardbasis is: a. Een p.v. voor V is bijvoorbeeld span{(,,, ), (, 3, 4, 3)} + (,,, ). b. Een minimaal stelsel vergelijkingen voor W is dus: { x x + x 3 x 4 = x + 3x 4x 3 + 3x 4 = c. Het snijpunt vinden we door de p.v. van V in te { vullen in het stelsel vergelijkingen 3t 9u = 6 van W : dit geeft het stelsel vergelijkingen, waarvan de 9t + 35u = 6 oplossing is t = u =. Het snijpunt is (,,, ).

5 4a. Laten zien dat T (u + v) = T (u) + T (v) en T (λu) = λt (u) voor u, v R en λ R. b. S := S l, is bepaald door de beelden van twee basisvectoren: S (, ) = (, ) en S (, ) = ( 4, ). De matrix van S is dan ( ) 4 ( ) = ( ) 7/5 6/5. 6/5 /5 5a. Een voorbeeld van zo n matrix is A =. b. Zo n matrix bestaat niet: uit A = volgt dat A(R 3 ) Ker(A). Echter dim A(R 3 ) = rang(a) = en dim(ker(a))=3-rang(a)=, en dit geeft een tegenspraak (immers uit W V volgt dim(w ) dim(v ) voor lineaire deelruimten V, W ).

6 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA A dinsdag 8 januari 3, Coördinaten zijn gegeven t.o.v. een standaardbasis in R n.. De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door A =, b = 7 3. a. Los de vergelijking Ax = b op voor x R 5. b. Heeft de matrix A een links- of een rechtsinverse? Verklaar je antwoord.. V R 4 is het -vlak door de punten A(,,, 3), B(,,, ) en C(, 3,, ). a. Bepaal een parametervoorstelling van V. b. Bepaal een minimaal stelsel vergelijkingen voor V. 3a. Bepaal voor alle a R de rang van de matrix a 3 D a = a. b. Bereken de inverse matrix van D. 4. Gegeven zijn in R de lijnen l : 3x + x = en m : x x =. T : R R is de projectie op l langs m, m.a.w. het beeld T (P ) van een punt P wordt verkregen door de lijn m door P en evenwijdig aan m te snijden met l. T is een lineaire afbeelding. Bepaal de matrix van T t.o.v. de standaardbasis. 5. A is een m n-matrix en B een n n-matrix. a. Bewijs dat rang(ab) rang(a). b. Geef een voorbeeld van matrices A, B zodat B niet de nulmatrix is en rang(ab) < rang(a). c. Laat zien dat voor B inverteerbaar geldt: rang(ab) = rang(a).

7 Antwoorden van het tentamen van 8 januari 3: a. u(,,,, ) + (,,,, ). b. rang is 4 dus er is een rechtsinverse. a. s(,,, ) + t(,,, ) + (,,, ). b. x + x + x 3 =, x 4 x =. 3. rang(d a ) = 3, behalve voor a = ; dan is de rang. b. D = T = ( ) /5 /5. 6/5 3/5 5a. Als b,..., b n de kolomvectoren van B zijn dan is de rang van AB de dimensie van span{ab,..., Ab n }. Deze lineaire deelruimte ligt in A(R n ) dus de dimensie is kleiner dan de rang van A. Anders: B(R n ) R n dus A(B(R n )) A(R n ), en dus b. Bijvoorbeeld A = rang(ab) = dim A(B(R n )) dim A(R n ) = rang(a). ( ) en B = ( ). c. Volgens (a) geldt: rang(a) = rang(abb ) rang(ab) rang(a). Dus geldt in de bovenstaande regel overal gelijkheid.

8 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA B donderdag 3 april 3, Gegeven is de matrix A = 3 5 a. Laat zien dat het karakteristieke polynoom χ A (X) van A gelijk is aan X 3 + 9X 3X + 5. b. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = CDC. d. Toon aan, m.b.v. (c), dat χ A (A) = A 3 + 9A 3A + 5 =.. Beschouw de differentiaalvergelijking voor t R. y (t) + 6y (t) + 3y(t) = ( ) a. Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. Geef de oplossing als een lineaire combinatie van reële functies. b. Bepaal de oplossing y(t) van de differentiaalvergelijking ( ) waarvoor geldt: y() = en y () =. 3a. Bepaal de oplossing (y(t), z(t)) van het volgende stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen { y (t) = y(t) + z(t) zodat y() = z() =. z (t) = y(t) + z(t) 4. Bepaal in R 5 de afstand tussen { de lijn l = span{(,,,, )} en het 3-vlak V x x gegeven door de vergelijkingen 4 =. x x 5 = 5. Bewijs dat voor a, a,..., a n R geldt dat + a... + a... ( + a = a a a 3... a n ). a a a n a n

9 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA A donderdag 8 augustus 3,.-... Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op: x x +x 3 = x +x 3 x 4 = 7 x 6x 3 +3x 4 = 8 x + x 8x 3 +3x 4 = 3. Gegeven zijn de 4 4-matrices a b a b M a,b =. a b b a a. Bereken voor alle a, b R de rang van M a,b. b. Bereken de matrix (M,3 ) 8. { 3a. In R 3 x x zijn gegeven de lijn l : 3 = en het vlak V : x x 3x 3 = 5x + x 3 = 4. W is het vlak door de oorsprong dat evenwijdig is aan l en loodrecht staat op V. Bepaal een vergelijking voor W. b. Bepaal een vergelijking van het hypervlak in R 5 door de punten (,,,, ), (,,,, ), (,,,, ), (3,,,, ) en (,,,, 3). 4. S : R R is de (loodrechte) spiegeling in de lijn l : 4x + x = in R. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis.

10 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA B donderdag 8 augustus 3, Gegeven is de matrix A =. a. Laat zien dat het karakteristieke polynoom van A gelijk is aan X 3 +X +X. b. Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren van A. c. Bepaal een matrix F en een diagonaalmatrix D zodat F AF = D. d. Bereken A 5.. Bepaal de oplossing van het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: zodat y() =, z() = 5. { y (t) = 5y(t) z(t) z (t) = y(t) + 4z(t) 3. Gegeven zijn twee lineair onafhankelijke vectoren a, b R 3, en de afbeelding T : R 3 R 3 gegeven door T (x) = (x, b)a (x, a)b waarbij (, ) het standaardinwendig produkt is op R 3. a. Toon aan dat T een lineaire afbeelding is. b. Bepaal de nulruimte van T. c. Laat zien dat T geen andere (reële) eigenwaarden heeft dan. d. Is T diagonalizeerbaar? Verklaar je antwoord. 4. Gegeven is de n n determinant D n = (er staan enen op de diagonalen direkt onder en boven de hoofddiagonaal). Bewijs dat D n = ( ) n en D n = voor n N.

11 . De lineaire afbeelding T : R 3 R 3 is gegeven door T (,, ) = (3, 5, 4), T (,, ) = (,, 4) en T (,, 3) = (, 4, ). Bereken de matrix van T t.o.v. de standaardbasis in R 3.

12 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA B maandag 6 juni 3,.-... Gegeven is de matrix 4 A = a. Laat zien dat het karakteristieke polynoom χ A (X) van A gelijk is aan X 3 + 6X X + 6. b. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = CDC. d. Toon aan, m.b.v. (c), dat χ A (A) = A 3 + 6A A + 6 =.. Los m.b.v. de regel van Cramer het volgende stelsel vergelijkingen op: { 4x 9x = 8x + x = Bepaal de oplossing van het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: { y (t) = 3y(t) 4z(t) z (t) = 3y(t) z(t) zodat y() =, z() =. 4. In R 5 zijn de -vlakken V en W gegeven door x + x = x = V : x 3 + x 4 =, W : x + x 4 =. x 5 = x 3 + x 5 = a. Toon aan dat V en W geen gemeenschappelijke richtingsvector hebben. b. Bepaal de afstand tussen V en W. 5. Laat a en n vectoren in R 3 zijn met a = n = en < a, n >= / (hierbij stelt <, > het standaard-inproduct in R 3 voor). De lineaire afbeelding T : R 3 R 3 wordt gegeven door T (x) = x 4 < x, n > a. a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van T. b. Ga na of T diagonalizeerbaar is.

13 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 8 december 3,.-3.. Laat bij elke opgave duidelijk zien hoe je aan het antwoord komt. Het geven van alleen de uitkomst is niet voldoende Gegeven is de matrix A = en de vector b c =. c 3 5 a. Voor welke c R zit de vector b c in de kolomruimte van A? (7 pt) b. Los het stelsel Ax = b op. (4 pt). Bepaal in R 3 deafstand tussen het punt P (,, ) en het vlak V = span{, 4 } + 3. Beschouw de matrix A =. (7 pt) a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. (8 pt) b. Bepaal een inverteerbare matrix U en een diagonaalmatrix D zodat A = UDU. (3 pt) c. Bereken A 5. (5 pt) 4. In R 4 is de lineaire deelruimte W gegeven door W = span{, }. 3 a. Bepaal een basis van W. ( pt) b. Bepaal een orthonormale basis van W. (4 pt) 3 c. Laat v =. Schrijf v als v = w + w met w W en w W. (4 pt) Op de achterzijde van dit blad staat de rest van de opgaven.

14 5. De (lineaire) afbeelding S : R 3 R 3 is een (loodrechte) spiegeling in het vlak V : x + x =. a. Is S diagonalizeerbaar? Motiveer je antwoord. (3 pt) b. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. (9 pt) 6. Laat V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn met dim(v ) = dim(w ) = n en zij {b,..., b n } een lineair onafhankelijk stelsel in V. Zij verder T : V W een lineaire afbeelding. Bewijs dat {T (b ),..., T (b n )} een lineair onafhankelijk stelsel is in W dan en alleen dan als T inverteerbaar is. (7 pt)

15 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA. 8 december 3. ANTWOORDEN. Opgaven,,3 en 4 van het deeltentamen Lineaire Algebra b zijn gelijk aan opgaven 3,4,5 en 6 van het tentamen Lineaire Algebra. De aangehouden nummering is die van het volledige tentamen.. Gausz-eliminatie van de uitgebreide matrix (A b c ) geeft (bijvoorbeeld) c 5 Er is dus alleen een oplossing voor c =. ( pt) (5pt) 4 3 b. Terugsubstitutie geeft als oplossing van Ax = b : x span{ +. (4 pt) 3 4. Een vergelijking van V is 3x + 4x + 8x 3 =. (4 pt). Nu is d(p, V ) = = 4. (3pt) Het karakteristiek polynoom van A is X (X + 3). De eigenwaarden zijn dus (multipl. ) en -3. (Ook meteen in te zien door op te merken datde rang van A is en het spoor -3) (3 pt). Eigenvector bij e.w. -3 A is 3 ( pt); de eigenruimte bij is het orthogonaal complement van span (3 pt). 4 b. D = ( pt) en U is een matrix van eigenvectoren, bijv. 3 U = 3 ( pt). c. A 5 = UD 5 U ( pt), rest van de berekening 4 pt. Het antwoord is A 5 = ( 3) 4 A. Een snellere manier is de volgende: merk op dat A te schrijven is als A = ab T. Dan is A 5 = ab T ab T... ab T = a(b T a) 4 b T

16 en b T a = a b = 3 dus A 5 = ( 3) 4 A. 3 4a. Een basis van W is bijvoorbeeld {, } ( pt). b. Gram-Schmidt toepassen (op de bovenstaande basis) geeft {w = 3, w = }. (4pt) c. w = v w w w w + v w w w w =. Nu w = v w =. (4 pt) 5a. Ja, S heeft een basis van eigenvectoren, nl. V is eigenruimte van S bij e.w., en V is de eigenruimte bij e.w. - (3 pt) b. Laat SE E en SB B de matrices van S t.o.v. de standaardbasis, resp. een basis van eigenvectoren zijn, en laat MB E en M E B de basistransformatiematrices. (In het boek heet ME B: P E B.) Dan is SE E = M E BSB B M B E. Nu kies als basis van eigenvectoren bijvoorbeeld {,, } (3 pt). Dan ME B =, SB B = (3pt) en MB E is de inverse (en dus de getransponeerde) van de (orthogonale) matrix ME B. Uiteindelijk vinden we SE E = (3 pt). Een andere (en wsch. snellere) methode is direct de beelden van de standaardbasisvectoren te bepalen. 6. Merk op dat {b,..., b n } een basis is van V. Stel λ T (b )+...+λ n T (b n ) =. Dan is T (λ b λ n b n ) =, dus λ b λ n b n Ker(T ). Als T inverteerbaar, dan is Ker(T ) = {}, dus λ b +...+λ n b n = en uit de lineaire onafhankelijkheid van de b i s volgt dat alle λ i nul zijn (4 pt). Als T niet inverteerbaar, dan is er een a Ker(T ) met a. Daar de b i s een basis van V vormen is a een lineaire combinatie van de b i s (met niet alle λ i nul) (3 pt). (De laatste 3pt punten worden alleen toegekend als is opgemerkt dat {b,..., b n } een basis van V is.)

17 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA A 3 oktober 3,.-.. Laat bij elke opgave duidelijk zien hoe je aan het antwoord komt. Het geven van alleen de uitkomst is niet voldoende.. Bepaal zowel een parametervoorstelling als een vergelijking van het vlak W in R 3 door de punten A(,, ), B(,, ) en C(,, 4).. In R 3 is gegeven de lijn l met parametervoorstelling Bereken de afstand van het punt Q(6,, ) tot l. x y z = t De matrix A, de vector x en de vector b zijn gegeven door A =, x = 3 3 x y z w, b = a. Los het stelsel Ax = b op. b. Bepaal de rang van A en bepaal een basis van de kolomruimte en de rijruimte van A (leg uit hoe je aan het antwoord komt!). 4. Bereken de inverse van de matrix B =. 5. Beschouw voor a R de matrices C a = Bepaal voor elke a de rang van C a. a a a. 6. T : R R is een spiegeling in de lijn y = x gevolgd door een projectie op de lijn y = x. Bepaal de standaardmatrix A van T. Normering: : pt, : pt, 3a: pt, 3b: 8pt, 4: pt, 5: 6pt, 6: 5pt.

18 LINEAIRE ALGEBRA A, 3 oktober 3 ANTWOORDEN.. Een parametervoorstelling is bijvoorbeeld x y = t + u + z 5 Het uitwendig product van de richtingsvectoren geeft een normaalvector. Het uitproduct is 6 3 3, en een vergelijking is (dus) x y + z = 3.. Transleer l en Q over (,, 3) T. De beelden zijn l =span{(,, ) T } en Q (6,, ). Nu is d(q, l) = d(q, l ) = d(q, Q ) met Q de loodrechte projectie van Q op l : Deze is te bepalen d.m.v. q = q v v v v = 4. Nu d(q, Q ) = q q =. 3a. Een rijtrapvorm van de uitgebreide matrix [A b] is (bijvoorbeeld - de rijtrapvorm is niet uniek) de matrix Oplossen van A x = b geeft 3 [A b ] =. x 3 y = t +. z w b. Aan de rijtrapvorm van de matrix zien we dat rang(a)=rang(a ) = 3, een basis van de kolomruimte wordt gevormd door de eerste drie vectoren van A (nl. in de overeenkomstige ( de eerste drie) kolommen van A staat een pivotelement), en een basis van de rijruimte wordt gevormd door de niet-nul-rijen van A, d.w.z. de eerste drie. / / 4. B = / /. / /

19 5. De matrix C a is rij-equivalent met a a a. Als a = wordt de a a tweede rij nul, en de rang is dan. Als a kunnen we de tweede rij delen door a. De matrix is dan rij-equivalent met a. Deze matrix heeft a a rang als a + a =, en rang 3 anders. De rang van C a is dus als a =, of en 3 anders. 6. De lijnen y = x en y = x staan onderling loodrecht. T is dus een projectie op y = x, gevolgd door puntspiegeling in de oorsprong (de laatste afbeelding is gelijk aan id R ). Als we de formule voor projectie gebruiken vinden we dus T (x) = x + y 5 T (x) = x v v v v met x = ( ) x, v = y ( ). De standaardmatrix van T is dus Anders: de (standaard)matrix van spiegeling is S = ( 4/5 /5 van projectie is P = /5 /5 ( ) ( 3/5 4/5 4/5 3/5 ( 4/5 /5 /5 /5 ). ), de matrix ). De productmatrix P S is de gevraagde matrix.

20 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA augustus 4,.-3.. Studenten die alleen het deeltentamen Lineaire Algebra B willen afleggen maken alleen opgaven 3 t/m 6. De duur van het tentamen bedraagt in dit geval uur. Het volledige tentamen Lineaire Algebra bestaat uit opgaven t/m 6.. Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen: x + x + x 3 = x + x x 4 = 3. x 3x x 3 x 4 = 3x + 4x 3 + x 4 = 5 a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met A een matrix en x, b vectoren. (pt) b. Los het stelsel op. (8pt) c. Bepaal een basis van de kolomruimte van A. Motiveer je antwoord. (3pt). Bepaal voor alle a, b R de rang van de matrix M ab = a a b ab. a a (8pt) 3. Gegeven is de matrix A = 3. 3 a. Toon aan dat het karakteristieke polynoom van A gelijk is aan X 3 + 8X 9X +. ( pt) b. Bereken de eigenwaarden van A. (4 pt) c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = C DC. (Let op!) ( pt) De laatste drie opgaven staan op de ommezijde van het blad.

21 4. Laat de matrix A gegeven zijn door A =. Bepaal een QR-factorisatie van A, m.a.w. bepaal een orthogonale matrix Q en een rechterbovendriehoeksmatrix R zodat A = QR. ( pt) 5. Laat S : R 3 R 3 de (loodrechte) spiegeling zijn in het vlak V : x + x x 3 =. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. ( pt) 6. Laat V = M(, R) de vectorruimte van reële -matrices zijn en laat A V. Beschouw de afbeelding T A : V V gegeven door T A (X) = AX XA. a. Bewijs dat T A een lineaire afbeelding is. (3 pt) b. Toon aan dat T A voor geen enkele A V inverteerbaar is. (3 pt) ( ) Laat nu A =. c. Geef de matrix van T A t.o.v. een zelfgekozen basis in V en bepaal de rang van T A. (4 pt) d. Is T A diagonalizeerbaar? Motiveer je antwoord. (4 pt) 6. Laat P n de vectorruimte van reële polynomen van graad hoogstens n. De afbeelding T : P n P n is gegeven door T (p) = p + dp dx. a. Bewijs dat T een lineaire afbeelding is. (4 pt) b. Bepaal de matrix van T t.o.v. de basis {, x,..., x n }. (4 pt) c. Bepaal alle eigenwaarden en eigenvectoren van T. (4 pt) d. Is T diagonalizeerbaar? Verklaar je antwoord. (3 pt)

22 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA B 7 maart 4, Gegeven is de matrix A = 3. 3 a. Toon aan dat het karakteristieke polynoom van A gelijk is aan X 3 + 8X 9X +. ( pt) b. Bereken de eigenwaarden van A. (4 pt) c. Bepaal een inverteerbare matrix C en een diagonaalmatrix D zodat A = C DC. (Let op!) ( pt). Laat de matrix A gegeven zijn door A =. Bepaal een QR-factorisatie van A, m.a.w. bepaal een orthogonale matrix Q en een rechterbovendriehoeksmatrix R zodat A = QR. ( pt) 3. Laat S : R 3 R 3 de (loodrechte) spiegeling zijn in het vlak V : x + x x 3 =. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. ( pt) 4. Laat P n de vectorruimte van reële polynomen van graad hoogstens n. De afbeelding T : P n P n is gegeven door T (p) = p + dp dx. a. Bewijs dat T een lineaire afbeelding is. (4 pt) b. Bepaal de matrix van T t.o.v. de basis {, x,..., x n }. (4 pt) c. De eigenvectoren van T noemen we meestal eigenfuncties. Bepaal alle eigenwaarden en eigenfuncties van T. (4 pt) d. Is T surjectief? Verklaar je antwoord. (3 pt)

23 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 3 december 4,.-3. Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemiddelde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door het toetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspunten van de quiz opgeteld. a. Gegeven zijn in R 3 de lijnen m = span en n x = 5 + x Bepaal x R zodanig dat m en n x elkaar snijden. (5 pt) span voor x R. b. Bereken de cosinus van de hoek waaronder de lijnen m en n x in (a) elkaar snijden. ( pt) c. Zij v =. Bereken in R 3 een parametervoorstelling van de lijn l die door het punt (,, ) gaat en de lijn span(v) loodrecht snijdt. (8 pt). Los het volgende stelsel vergelijkingen op (geef ook de tussenstappen aan!): ( pt) x x +4x 3 = x x 3 x 4 = 4. x x 3 x 4 = 3. A is een m n-matrix met rang. a. Bewijs dat er vectoren a R m en b R n bestaan zodanig dat A = ab T. (5 pt) b. Neem nu aan dat m = n. Laat zien dat er dan een λ R bestaat zodanig dat A k = λ k A voor k =,, 3,.... (5 pt) Opgaven 4-7 staan op de andere zijde van dit blad.

24 4. Beschouw de matrix A = ( ). 6 5 a. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van A. (6 pt) b. Bereken A 4. (6 pt) 5. Bereken de volgende determinanten (geef duidelijk aan hoe je aan het antwoord komt):,,,. (8 pt) 6. S : R 3 R 3 is een lineaire afbeelding met eigenvectoren a = a 3 = bij eigenwaarden resp. λ =, λ =, λ 3 =., a =, 3 a. Ga na dat er een orthonormale basis van eigenvectoren bestaat en geef zo n orthonormale basis. (7 pt) b. Toon aan dat de standaardmatrix van S symmetrisch is. (6 pt) 7. In R zijn de vier punten (, 3), (, ), (, ) en (, 5) gegeven. Bepaal een parabool y = ax + bx die door de oorsprong gaat en die zo goed mogelijk bij deze punten past (in de zin van de kleinste-kwadratenbenadering.) (7 pt)

25 Antwoorden. a. u = 5 + t = t geeft het stelsel vergelijkingen u = t + 5. Oplossen x u = t + x levert (t =, u = 3 en) x = 4. b. De cosinus van de hoek is gelijk aan = 5. c. Projecteren van (,, ) op v geeft het punt (/6, /6, /3). Immers proj v = =. 6 l is nu de lijn door de punten (,, ) en (/6, /6, /3) dus een p.v. is x = t 5 +. Andere methode: het vlak V door (,, ) en loodrecht op v heeft vergelijking x x +x 3 =. V snijden met span(v) door x = t, x = t, x 3 = t in de vergelijking van V in te vullen levert t = /6, dus het snijpunt is (/6, /6, /3). Nu is l te bepalen als boven.. Gausz-Jordaneliminatie toepassen op de uitgebreide matrix 4 4 geeft de gereduceerde rijtrapvorm 3/ 6. De oplossing is dus / x = t x = 3 t 6 x 3 = t x 4 = t (t R) ofwel x x 3/ 6 = t +. x 3 / x 4 3a. Aangezien de rang van A gelijk is aan zijn alle kolomvectoren lineair afhankelijk (en niet alle nul), dus alle kolomvectoren zijn parallel met een vaste vector a R m : A = (λ a, λ a,..., λ n a). λ Deze uitdrukking is gelijk aan a(λ, λ,..., λ n ) = ab T met b =. R n. λ n

26 b. Als m = n dan is A k = ab T ab T... ab T = a(b T a) k b T = λ k ab T waarbij λ = b T a (b T a is een -matrix, dus een scalar!) 4a. Het karakteristieke polynoom is X 6 5 X = X 5X + 6, dus de eigenwaarden zijn en ( ) ( ) 3. Ax = x oplossen (d.w.z. ker bepalen) geeft de eigenvector ; de eigenvector ( ) 6 3 bij e.w. 3 is. 3 ( ) ( ) b. Nu is A = UDU met U = de matrix van eigenvectoren en D = de 3 3 diagonaalmatrix van eigenwaarden. Nu is voor n Z (en dus ook n = 4) A n = UD n U = ( ) ( n 3 3 n ) ( ) ( ) 3 3 = n 3 n 3 n n 6 n 6 3 n 3 3 n n. 5. De antwoorden zijn resp. -,, -3 en -5. De determinant van 6e orde is het eenvoudigst te berekenen door de e t/m 6e rij bij de eerste op te tellen; de eerste rij wordt dan een rij met 5-en. Trek vervolgens de eerste rij /5 keer van de e t/m 6e rij af. De determinant wordt dan = 5( ) 5 = 5.

27 6. Merk op dat a 3 orthogonaal is met a en a (dus a 3 a = a 3 a = ). Nu kunnen we m.b.v. de methode van Gram-Schmidt een orthonormale basis maken uit de eigenvectoren a, a en vervolgens (de eigenvector) a 3 normaliseren: laat a = a a a a a a =. Nu vormt {a, a, a 3 } een orthogonale basis van eigenvectoren (a en a bij e.w. ; a 3 bij e.w. -). Om een orthonormale basis te verkrijgen normalizeren we deze vectoren: b := a a =, b := a a = 6, b 3 := a 3 a 3 =. 3 b. Uit de spectraalstelling voor symmetrische afbeeldingen volgt dat een lineaire afbeelding symmetrisch is dan en slechts dan als er een orthonormale basis van eigenvectoren bestaat. In feite is de standaardmatrix van S gelijk aan λ b b T + λ b b T + λ 3 b 3 b T 3 (met de b i als boven gedefinieerd), dus ( )+ 6 ( )+ 3 Deze matrix hoeft echter niet expliciet te worden uitgerekend. ( ) =. 4a b = 3 a b = 7. We moeten in feite het stelsel vergelijkingen oplossen, ofwel Ax = b waarbij a + b = 4a + b = 5 4 ( ) 3 a A =, x = en b =. Dit stelsel is overbepaald en heeft i.h.a. geen b 4 5 oplossing. De kleinste-kwadratenmethode bestaat erin, een x te zoeken zodanig dat Ax b minimaal is (als de norm nul is dan is x een echte oplossing). Als de rang van A (zoals hier) maximaal is en gelijk is aan het aantal kolommen, dan is er een unieke oplossing x, nl. Ax is de orthogonale projectie van b op de kolomruimte van A: dan geldt ( x = (A) T A) A T b, ( ofwel ) 34 34, A T b =. 4 (A T A)x = A T b. We lossen deze laatste vergelijking op: A T A = ( ) ( a De oplossing is x = = b /5 ). De gezochte vergelijking is dus y = x + 5 x.

28 TOETS LINEAIRE ALGEBRA donderdag oktober 4,.-. Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. a. Het vlak V R 3 gaat door de punten (,, ), (,, 3) en (,, 4). Bepaal zowel een parametervoorstelling als een vergelijking van V. (pt) b. Bepaal in R 3 de afstand tussen het punt P met coördinaten (,, ) en de lijn k met parametervoorstelling x = λ 3 +, (λ R). (pt) c. Bepaal een parametervoorstelling van een lijn l in R 3 die evenwijdig is aan het vlak x x 3 = en de lijn m door de punten (,, ) en (,, ) loodrecht snijdt. (pt). Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen: x x x 3 +x 4 = x +x 4x 3 = x x 3 +x 4 = 6 x x 3 x 4 = 8. a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met A een matrix en x, b vectoren. Bepaal de oplossing van het stelsel. (pt) b. Bepaal bases van de rij- en kolomruimte van A (motiveer je keuze!) en geef de rang van A. (8pt) c. Is A inverteerbaar? (pt) 3. Zij {b, b, b 3, b 4, b 5, b 6 } een basis van R 6. Ga na of het stelsel {b + b, b + b 3, b 3 + b 4, b 4 + b 5, b 5 + b 6, b 6 + b } een basis van R 6 is. (pt) 4. Beschouw voor a R de matrices A a = a a a. a a. Bepaal voor alle a R de rang van A a. (pt) b. Bereken de inverse van A. (pt) 5. A en B zijn twee -matrices, beide ongelijk aan de nulmatrix O, zodanig dat AB = O. Laat zien dat zowel A als B niet-inverteerbaar is en geef een voorbeeld van zulke matrices A en B. (pt)

29 ANTWOORDEN. a. Richtingsvectoren zijn en 5. Een p.v. is dus x = λ 5 + µ +. Een normaalvector van V wordt gegeven door het uitwendig product van de richtingsvectoren, dit is ± 5 3. Een vergelijking is dus 5x 3x + x 3 =. b. Door translatie over de vector zien we dat de afstand gelijk is aan de afstand tussen b = 4 en de lijn span{a} met a = a b a a a = 3 3. De afstand hiervan tot b is a b =.. Projectie van b op deze lijn geeft de vector c. l staat loodrecht op de normaalvector van het vlak en eenrichtingsvector van m, dus voor de richtingsvector van l kunnen we het uitproduct nemen: = 3. Een p.v. is dus bijvoorbeeld x = λ steunvector van m nemen). 3 + (voor een steunvector kunnen we een willekeurige 4. A = en b =. Een rijtrapvorm van de uitgebreide matrix (A b) is en de gereduceerde rijtrapvorm is 4 4 (de laatste is uniek). De oplossing volgt nu meteen uit de gereduceerde rijtrapvorm: x = λ +. 4

30 b. Een basis van de rijruimte is gelijk aan een basis van de rijruimte van de (gered.) rijtrapvorm, dus {,, }. Uit de (gered.) rijtrapvorm zien we dat de e, e en 4e kolomvector lin. onafh. zijn, dus de e, e en 4e kolomvector van A vormen een basis van de kolomruimte. (Uit de gereduceerde rijtrapvorm zien we direct dat de 3e kolom van A gelijk is aan de e kolom plus de e kolom). De rang is uiteraard gelijk aan 3. c. A is niet inverteerbaar, want de rang is kleiner dan Zij λ (b + b ) + λ (b + b 3 ) + λ 3 (b 3 + b 4 ) + λ 4 (b 4 + b 5 ) + λ 5 (b 5 + b 6 ) + λ 6 (b 6 + b ) = Herschikking van termen levert: (λ + λ 6 )b + (λ + λ )b + (λ + λ 3 )b 3 + (λ 3 + λ 4 )b 4 + (λ 4 + λ 5 )b 5 + (λ 5 + λ 6 )b 6 = Omdat b,..., b 6 lineair onafhankelijk zijn, is λ + λ 6 = λ + λ =... = λ 5 + λ 6 =. Dit stelsel vergelijkingen heeft een oplossing λ = λ 3 = λ 5 =, λ = λ 4 = λ 6 =. De vectoren b + b,..., b 6 + b zijn dus lineair afhankelijk. 4a. De rang verandert niet als we elementaire rij-operatiesuitvoeren. Verwisselen van de e en e rij en vegen van de eerste kolom geeft de matrix A = a a. Als a a a dan kunnen we de tweede rij door a delen en vervolgens a keer aftrekken van de tweede en we krijgen dan a. Deze matrix heeft rang 3 als a. Als a a = dan is ook a =. De gevallen a = ± moeten we apart bekijken. Als a = dan worden de e en 3e rij van A nul en de rang is dan dus. Als a = dan wordt de tweede rij nul en de derde is lineair onafhankelijk van de eerste en de rang is dan. Samenvattend: de rang van A is als a =, de rang is als a = en de rang is 3 in de overige gevallen. b. De inverse van A = / is gelijk aan. / 5. Als AB = O en A inverteerbaar is, dan is O = A AB = B, maar B O gegeven, tegenspraak. Net zo volgt uit ( B inverteerbaar ) dat O ( = ABB ) = A. ( Twee ) dergelijke matrices zijn bijvoorbeeld A = B =. Of ook: A =, B =.

31 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag augustus 5,.-3. Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemiddelde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door het toetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspunten van de quiz opgeteld.. Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen : x +x = 4 x +x 3 =. 3x x +x 3 = x x 3 = a a. Bepaal a R zodanig dat het stelsel een oplossing heeft. ( pt) b. Los het stelsel voor de gevonden waarde van a op. (6 pt) a. Gegeven zijn in R 3 de lijn m = span en het vlak V : x x 3 =. De lijn n ligt in het vlak V en snijdt m onder een hoek θ (met θ 9 ). Bereken de kleinste en grootste waarde die θ kan aannemen. (5 pt) b. Zij v =. Bereken in R 3 een parametervoorstelling van de lijn l die door het punt (,, ) gaat en de lijn span(v) loodrecht snijdt. (7 pt) 3. Beschouw de matrices B a,b = a a a. b b a. Bepaal a, b R zodanig dat de rang van de matrix B a,b kleiner dan 3 is. (5 pt) b. Ga na, of er a, b R bestaan zodanig dat de rang van B a,b gelijk is aan. (3 pt) c. Bereken (B 3, ) (5 pt) Opgaven 4 t/m 7 staan op de achterzijde van de pagina.

32 4. Bereken m.b.v. de regel van Cramer de oplossing van het volgende stelsel vergelijkingen: (8 pt) x + y z = x + 3y = x y + z = 5. Gegeven is de matrix A =. 3 a. Bepaal de eigenwaarden van A. (4 pt) b. Is A diagonalizeerbaar? Motiveer je antwoord. (3 pt) c. Bestaat er een geheel getal n > zodat rang(a n )? (4 pt) 6. In R 4 is W de lineaire deelruimte opgespannen door de vectoren a. Bepaal een orthonormale basis van W. (4 pt) en b. Bepaal een basis van het orthogonaal complement W. (4 pt) c. Laat v =. Bepaal w W en w 3 W zodanig dat v = w + w. (4 pt) In deze opgave noteren we de determinant van de n n-matrix met kolomvectoren a,..., a n als det(a,..., a n ). Laat nu a, b, c drie vectoren in R 3 zijn met det(a, b, c) = 4. Bereken det(3a b, b + c, a 4c). (5 pt)

33 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 3 maart 6,.-3. Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemiddelde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door het toetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspunten van de quiz opgeteld. x +x +x 3 = x. Beschouw het stelsel vergelijkingen +x x 4 = c. x 3x x 3 x 4 = 3x +4x 3 +x 4 = 5 a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met A een matrix en x, b vectoren. ( pt) b. Ga na voor welke c R het stelsel een oplossing heeft. (7 pt) c. Bepaal een basis van de kolomruimte van A. Leg je werkwijze uit. (4 pt). V is het vlak in R 3 door de punten A(,, ), B(, 3, ) en C(,, ). a. Bepaal zowel een parametervoorstelling als een vergelijking van V. (7 pt) b. m is de lijn door A en B en l is de lijn door C die m loodrecht snijdt. Bepaal een parametervoorstelling van l. (7 pt) c. Bepaal de oppervlakte van driehoek ABC. (6 pt) 3. Beschouw voor a, b R de matrices C a,b = a a a a. a b a a. Bepaal voor alle a, b R de rang van C a,b. (7 pt) b. Bereken C,. (5 pt) 4. Gegeven is de matrix B = 6 7. Bereken B n voor n geheel. ( pt) De rest van de opgaven staat op de andere zijde van dit blad.

34 5. Zij n een positief geheel getal. De matrix D n is de n n-matrix zo, dat { als i = j ( ) (D n ) ij = als i + j = n +. Zo is D = en D =. anders. Bereken de determinant van D 7. (6 pt) 6. W is de lineaire deelruimte van R 4, bestaande uit de vectoren (x, x, x 3, x 4 ) T waarvoor geldt dat x x + x 4 =. a. Bepaal orthonormale bases van W en W. (8 pt) 4 b. Schrijf v = als v = w + z met w W en z W 3. (6 pt) 4 7. Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 3x x x + 3x. a. Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = x T Ax waarbij x = ( x x ). ( pt) b. Toon aan dat q(x) positief definiet is, d.w.z. q(x) > voor alle x R met x. (4 pt) Beschouw de ellips K R met vergelijking 3x x x + 3x + 4x + 4x =. c. Bepaal het middelpunt van de ellips en geef de richting van de lange as van de ellips aan. (8 pt)

35 ANTWOORDEN. c a. A =, b = b. Een rijtrapvorm is ; er is dus een oplossing als c = 3. 4 c 3 c. De eerste drie kolommen in de rijtrapvorm (onderdeel b) zijn lin.onafhankelijk; de eerste drie kolommen van A vormen dus een basis van col(a). a. Een p.v. is bijvoorbeeld x = λ + µ + (λ, µ R). Het uitproduct van de richtingsvectoren geeft een normaalvector van het vlak 3. Een vergelijking is dus 3x x x 3 =. b. Transleer over OA =. Projecteer nu c-a= op b-a= en transleer het resultaat 3 weer over OA =. Dit levert de vector OC op, waarbij C (4/3, 7/3, /3) de loodrechte projectie van C op AB is. De lijn l heeft richtingsvector CC en een p.v. is dus span{ 4 } + 5. c. Door translatie over OA gaat de driehoek over in driehoek ODE met D(,, ) en E(,, 3). De oppervlakte is de helft van de norm van het uitproduct 6 4 van OD met OE. Dit levert als antwoord 4. Een andere methode: opp(ode) = OD OE sin DOE. Nu is cos DOE = (OD OE)/( OD OE ) = 4/ 3 en dus is sin DOE = 4/ 3 en de oppervlakte is 4/ 3 = 4. Nog sneller is het om onderdeel b te gebuiken: immers is opp(abc) = AB CC. 3a. Als a = dan is de rang. Als a dan levert Gausz-eliminatie de matrix a b a a. De a rang is als b = a en 3 als b a. Anders: det(c a,b ) = a (a b) dus de rang is 3 als a en a b. De gevallen a = en a = b apart bekijken.

36 b. De inverse is. 4. Het karakteristieke polynoom van B is (X )(X 8)(X + ). Dus B = UDU waarbij U = 7 een matrix van eigenvectoren is en D = 8. Dan is B n = UD n U = 7 n 8 n /9 /9 = n n + ( ) n 7 8 n 7 ( ) n. ( ) n 9 /9 7/9 8 n ( ) n 8 n + 7 ( ) n 5. det D 7 = = ( 3)7 = 87. 6a. Een orthonormale basis van W is { 6 }; een orthonormale basis van W is (gebruik zo nodig Gram-Schmidt) {,, }. 3 4 b. z = is de orthogonale projectie van v op W ; verder is w=v-z=. Uiteraard is w 3 ook te vinden door v orthogonaal op W te projecteren. 7. A = ( ) 3. 3 b. De eigenwaarden van A zijn d = en d = ( 4; daar) A symmetrisch is, bestaat er een orthogonale matrix U zodanig dat A = UDU T met D =. Dan is x 4 T Ax = y T Dy = y + 4y waarbij y = U T x (en x = Uy). Het is duidelijk dat y T Dy en dat gelijkheid optreedt precies als y = dus x =. ( ) c. De matrix U van onderdeel b is een matrix van eigenvectoren: U =. De vergelijking ( ) 4 van K kan worden geschreven als x T Ax + b T x = met b =. Met x = Uy wordt dit 4 y T Dy + b T Uy = y + 4y + 4 y = dus (y + ) + y =. Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt in het y, y -vlak gelijk aan (, ) en de lange as is evenwijdig aan de y -as. Daar x = Uy is het middelpunt in het (x, x )-vlak (, ) en de lange as heeft richtingsvector U ( ) ( ).

37 TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 5,.-3. Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vier opgaven gaan over de stof van het tweede gedeelte van het college. Voor beide onderdelen wordt een cijfer gegeven. Het totaalcijfer is gelijk aan het gemiddelde van beide cijfers waarbij geldt dat het cijfer van het eerste gedeelte vervangen wordt door het toetscijfer indien dit laatste hoger uitvalt. Tenslotte worden bij het totaalcijfer de bonuspunten van de quiz opgeteld. x +x x 3 = x. Beschouw het stelsel vergelijkingen x +x 3 = c. 3x x +x 3 = 5 3x 4x +x 3 = a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met x = (x, x, x 3 ) T, A een matrix en b een vector. ( pt) b. Ga na voor welke c het stelsel een oplossing heeft en bepaal deze oplossing. (7 pt) c. Wat is de rang van de matrix A? (Motiveer je antwoord.) ( pt) a. V is het vlak in R 3 door de punten (,, ), (, 3, ) en (,, ). Bepaal zowel een vergelijking als een parametervoorstelling van V. (6 pt) b. Bereken de hoek die de lijn in R 3 door de punten (,, ) en (,, ) maakt met het vlak x + x =. (6 pt) c. Bepaal de coördinaten van het punt P in R 3 dat van alle punten op de lijn span{ } + de kleinste afstand heeft tot de oorsprong. (6 pt) 3. A is de matrix. I n staat voor de n n-eenheidsmatrix. a. Bestaat er een matrix X zodanig dat AX = I n voor zekere n? Zo ja, bepaal zo n matrix X en zo nee, leg uit waarom niet. (7 pt) b. Bestaat er een matrix Y zodanig dat Y A = I m voor zekere m? Zo ja, bepaal zo n matrix Y en zo nee, leg uit waarom niet. (7 pt) 4. Bepaal de eigenwaarden van de matrix B = met hun algebraïsche en meetkundige multipliciteit. Is B diagonaliseerbaar? (Verklaar je antwoord). (8 pt)

38 5. Beschouw in R 4 de lineaire deelruimte W = span{, }. Verder is v =. 3 a. Bepaal een orthonormale basis van W. (5 pt) b. Bepaal een basis van W. (6 pt) c. Bepaal w W en z W zo, dat v = w + z. (5 pt) 6. Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 6x 4x x + 9x. a. Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = x T Ax waarbij x = ( x x ). ( pt) b. Toon aan dat q(x) positief definiet is, d.w.z. q(x) > voor alle x R met x. (4 pt) Beschouw de tweedegraadskromme K R met vergelijking 6x 4x x + 9x + x + 5x =. c. Wat voor type kegelsnede is K? Geef een standaardvergelijking van K. (7 pt) d. Teken K in het (x, x )-vlak. (4 pt) Er zijn twee versies van opgave 7: 7A en 7B. Studenten die een propedeuse wiskunde doen - al dan niet in combinatie met andere studies (dit is de groep van dr. Redig) maken opgave 7A; studenten die geen wiskunde doen (groep van dr. Kooman) maken opgave 7B. 7A. P is een n n matrix die voldoet aan P k = P k voor zekere k > (bijv. P 5 = P 4 ). (4 pt) a. Wat zijn de mogelijke eigenwaarden van P? (4 pt) b. Indien P symmetrisch is, is P dan een orthogonale projectie? (4 pt) c. Indien P diagonaliseerbaar is, is P dan een projectie? (4 pt) 7B. Zij a een vector in R 3 met norm a =. Beschouw de afbeelding T : R 3 R 3 gegeven door T (x) = a x ( geeft het uitwendig of vectorproduct aan). a. Toon aan dat T een lineaire afbeelding is. (4 pt) b. Leg uit dat T niet-inverteerbaar is. (4 pt) c. Geef een basis van de nulruimte (of kern) van T. (4 pt)

39 a. A = 3 3 4, b = c 5. ANTWOORDEN. b. Er is een oplossing als c = 3: x =, x =, x 3 = 3. c. De rang van de matrix A is 3; in de rijtrapvorm zijn er drie pivots. a. Een p.v. is bijvoorbeeld x = λ vlak nu: x x x 3 =. + µ + (λ, µ R). De normaalvector van het kan bijv. worden bepaald door het uitwendig product te nemen. Een vergelijking is b. Bereken eerst de hoek φ tussen de richtingsvector r = n = van het vlak: cos φ = vlak zelf en de lijn is dan 6 o. van de lijn en de normaalvector n r n r = 3 6 = 3, dus φ = 3 o. De hoek tussen het c. Eerst transleren over zodat de lijn door de oorsprong gaat. Projectie van de vector op span{ } levert de vector /5. Translatie over de plaatsvector van de lijn geeft 4/5 het antwoord /5. Een andere methode bestaat er in, het vlak door de oorsprong en loodrecht /5 op de lijn te snijden met de lijn. 3a. De enige mogelijkheid voor n is 3. Als X = (x y z), dan is AX = (Ax Ay Az) = (e e e 3 ) = I 3, dus de kolomruimte col(a) van A is R 3. Anderzijds is de dimensie van col(a) gelijk aan de rang van A en die is. Er bestaat dus niet zo n matrix X.

40 ( ) y y b. De enige mogelijkheid voor m is. Om een matrix Y = y 3 te vinden, moeten we het y 4 y 5 y 6 stelsel vergelijkingen y + y + y 3 = y y 3 = y 4 + y 5 + y 6 = y 4 y 6 = ( ) / oplossen. Een mogelijke oplossing is Y =, maar er zijn meer mogelijkheden. / Opmerking: zonder te rekenen kunnen we als volgt inzien dat Y bestaat: A heeft rang en dus kunnen we A aanvullen tot een inverteerbare 3 3-matrix A (door een derde kolom toe te voegen). Dus bestaat er een matrix B zodat BA = I 3. Een matrix Y krijgen we nu door de bovenste twee rijen van B te nemen. 4. Het karakteristiek polynoom is (X ) (X ). De eigenwaarden zijn (met algebr. en meetk. mult. gelijk aan ) en met algebr. multipliciteit. De rang van B I = is dus er is maar één lin.onafh. eigenvector bij eigenwaarde en de meetkundige multipliciteit is. De matrix is dus niet diagonaliseerbaar (er is immers geen basis van eigenvectoren). 5a. Een orthonormale basis is (gebruik Gram-Schmidt) { 3, 3 }. b. Oplossen van { x + x + x 3 = x + x + x 4 = geeft W = span{, }. c. Orthogonale projectie van v op W geeft de vector Dan z = v w =. 6a. A = ( ) 6. 9 w = =. 3

41 ( ) ( ) 5 b. Diagonaliseren van A geeft A = UDU T met D = en U = 5. Dan is x T Ax = y T Dy met y = U T x, dus q(x) = q(y) = 5y + y. q is positief-definiet omdat q(y) > als y dus als x. c. De vergelijking van K in termen van y, y is 5y + y + 5 5y = ofwel 5(y + 5/) + y = 5/4. De normaalvergelijking is dan 5z + z = 5/4. Dit geeft een ellips weer. d. de ellips gaat door (, ), heeft als middelpunt (, /) (in y-coördinaten ( 5/, )) en heeft symmetrieassen in de richting van de eigenvectoren van A (, ) T (de lange as) en (, ) T. 7Aa. Als u een eigenvector is met eigenwaarde λ, dan is P k u = λ k u = P k u = λ k u dit geeft λ k = λ k of λ k (λ ) =. De enig mogelijke eigenwaarden zijn dus λ = of λ =. b. Indien P symmetrisch is, dan is P orthogonaal diagonaliseerbaar, d.w.z, P = Q T DQ met D een diagonaalmatrix met op de diagonaal enkel nullen of enen (dus D = D), en Q een orthogonale matrix. Bijgevolg is dan P = Q T DQQ T DQ = Q T D Q = Q T DQ = P, dus is P een projectie. Omdat gegeven is dat P symmetrisch is, is P een orthogonale projectie. c. Indien P diagonaliseerbaar is, dan is P = Q DQ met D een diagonaalmatrix met op de diagonaal enkel nullen of enen, en Q een orthogonale matrix. Bijgevolg is dan P = Q DQQ DQ = Q D Q = Q DQ = P dus is P een projectie. 7B.a. Uitschrijven dat T (x + y) = a (x + y) = a x + a y = T (x) + T (y) ent (λx) = a (λx) = λ(a x) = λt (x). Het is ook goed om T (x) als Bx te schrijven met B = a 3 a a 3 a a a de standaardmatrix van T. b. Omdat T (a) = a a = bestaat de kern van T niet alleen uit de nulvector en dus is T niet inverteerbaar. c. I.h.a. is het uitproduct van een vector x met a een vector orthogonaal met a en lengte gelijk aan x a sin θ met θ de hoek tussen x en a. Alleen als x en a parallel zijn, is θ = en dus a x =. De kern van T is dus span{a}. Anders, m.b.v. de matrix: De matrix B heeft rang (minstens) (immers als de rang was, dan zouden alle kolomvectoren parallel zijn), dus de dimensie van de nulruimte is maximaal. De dimensie is ook minstens vanwege (b) en de nulruimte wordt dus opgespannen door de vector a.

42 TOETS LINEAIRE ALGEBRA donderdag oktober 5,.-. Elk gegeven antwoord dient te worden gemotiveerd d.m.v. een berekening, redenering of verwijzing naar de theorie. a. V is het vlak in R 3 door de punten (,, ), (,, ) en (,, ). Bepaal zowel een vergelijking als een parametervoorstelling van V. (8 pt) b. W is het vlak in R 3 met vergelijking x x + x 3 =. P is het punt met coördinaten ( 3,, 3). Bepaal de afstand van P tot W en bepaal de coördinaten van het punt Q op W waarvan de afstand tot P zo klein mogelijk is. (9 pt) c. Laat l R 3 de lijn span{ } + zijn. P is het punt (,, ). Bepaal een parametervoorstelling van de lijn door P die l loodrecht snijdt. (8 pt) x +3x +x 4 = 4 x. Beschouw het stelsel vergelijkingen +x +4x 3 x 5 = 4. 4x +4x 3 x 4 5x 5 = x 3x 3 +x 4 +x 5 = a. Schrijf het stelsel in de vorm Ax = b met x = (x, x, x 3, x 4, x 5 ) T, A een matrix en b een vector. ( pt) b. Los het stelsel op. (9 pt) c. Bepaal de rang van A, de dimensie van de nulruimte van A en geef bases van de rijruimte en de kolomruimte. (9 pt) d. Heeft de vergelijking Ax = b voor elke b R 4 een oplossing? (Motiveer je antwoord!) (4 pt) 3. Bepaal voor alle a R de rang van de matrix M a = 4. Gegeven is de matrix B =. a a. (8 pt) Ga na dat B een inverteerbare matrix is en bereken B 5. (Opmerking: B n = (B ) n als n >.) (8 pt) 5. Zij {a, a,..., a k } een lineair onafhankelijk stel vectoren in R n en zij C een k k-matrix. Laat vectoren a,..., a k gedefinieerd zijn door a i = k j= C ija j voor i =,..., k. a. Bewijs dat a, a,..., a k lineair onafhankelijke vectoren zijn dan en slechts dan als de matrix C inverteerbaar is. (6 pt) b. Zij {a, a, a 3 } een lineair onafhankelijk stel vectoren in R 6. Ga na m.b.v. (a) of het stelsel {a + a, a + a 3, a 3 + a } lineair onafhankelijk is. (4 pt)

43 ANTWOORDEN. a. Een p.v. is x = λ + µ +. Het uitproduct van de richtingsvectoren is dit levert een normaalvector van V. Een vergelijking is dus x + x 3x 3 = 4. b. De afstand van P tot W is d(p, W ) = van de lijn span{ } , = / 6 = 6. Q(,, ) is het snijpunt door P loodrecht op W met W : x x + x 3 =. Een tweede manier is om een punt op W te nemen (zeg S(,, )); de vector SP = projecteren op de normaalvector levert de vector QP = Nu is OP QP = OQ = en dus is Q het punt (,, ). De afstand van P tot W is d(p, Q) = 6. c. De gevraagde lijn is de lijn door P en het snijpunt R van l met het vlak U door P loodrecht op l. Een vergelijking van Uis x x + x 3 = 3. Snijden met l geeft R(,, ). Een p.v. van de gevraagde lijn is nu span{ } a. A = en b = b. Een gereduceerde rijtrapvorm van de uitgebreide matrix is 3 3. De oplossing is dus x = t 3 3 x = t 3u + 3 x = u + t + + u + ofwel x 3 = u (t, u R). x 4 = t + x 5 = t

44 c. De rang van A is 3 (in de gereduceerde rijtrapvorm zijn er drie rijen), een p.v. van de nulruimte 3 is x = t + u (vergelijk b), dus de dimensie is. (Of zo: dim ker(a)=5-rang(a)=5-3=.) Een basis van de rijruimte wordt gegeven door de rijvectoren in de (gereduceerde) rijtrapvorm, dus { 3,, }. Een basis van de kolomruimte wordt (bijvoorbeeld) gegeven door de kolomvectoren van A waar in de (gereduceerde) rijtrapvorm een pivot staat (dus 3 de e, e en 4e kolom) {,, }. 4 d. De vergelijking Ax = b heeft een oplossing dan en slechts dan als b in de kolomruimte col(a) van A ligt. De dimensie van de kolomruimte nu is 3 en dus ligt niet elke b R 4 in col(a). Er is dus niet voor elke b een oplossing. 3. Een rijtrapvorm van M a is a. De rang is dus 3 als a,. Als a = dan is de a rang, als a = dan is de rijtrapvorm en de rang is dan ook. 4. Merk op dat B 4 = I dus B 5 = B en B 5 = B = B 3 =. 5a. Laat λ,..., λ k reële getallen zijn zodanig dat k i= λ ia i =. Dan is k i,j= λ ic ij a j =. Uit de lineaire onafhankelijkheid van a,..., a k volgt k i= λ ic ij = voor j =,..., k. Dit is een stelsel van k vergelijkingen met k onbekenden met coëfficiëntenmatrix C T en heeft alleen de nuloplossing precies indien C T rang k heeft, dus indien C T inverteerbaar is. Maar C T is inverteerbaar dan en slechts dan als C inverteerbaar is. b. De bijbehorende matrix is C =. Een rijtrapvorm hiervan is en C heeft dus rang 3 en is inverteerbaar. Het stelsel {a + a, a + a 3, a 3 + a } is dus lineair onafhankelijk.