Matrices en Grafen (wi1110ee)

Transcriptie

1 Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010

2 Inleiding Mekelweg 4, kamer tel : (015 27) I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn of http: //aw.twi.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak September 3,

3 Studiemateriaal Studiehandleiding Boek David Poole : Linear Algebra (A Modern Introduction) Second Edition ISBN-13 : ISBN-10 : September 3,

4 Vectoren (meetkundig) Een vector is een lijnstuk met een grootte en een richting. Voorbeelden Snelheid ([m/s]) Versnelling ([m/s 2 ]) Kracht ([N]) Een vector kan worden opgevat als een verplaatsing van een beginpunt (staart) A naar een eindpunt B (kop). Notaties AB u, v, w, September 3,

5 Vectoren Gelijkvormig of gelijk Twee vectoren heten gelijkvormig (gelijk) als ze een gelijke richting hebben en een gelijke grootte. Ze kunnen door een translatie (verplaatsing) in elkaar worden overgevoerd. Notatie Als AB gelijkvormig is met CD dan gebruiken we: CD = AB Kiezen we een oorsprong O dan is elke vector gelijkvormig met een vector die O als beginpunt heeft. Is OC = AB dan heet OC de standaardpositie van AB. September 3,

6 Vectoren Speciale vectoren De vector met hetzelfde begin- en eindpunt heet de nulvector. Notatie 0 De vector die even groot is maar tegengesteld gericht aan een vector u heet de tegengestelde van de vector u. Notatie u September 3,

7 Vectoren Het optellen van twee vectoren Er zijn twee technieken om vectoren bij elkaar op te tellen: De kop aan staartmethode De parallellogramconstructie Notatie De som van twee vectoren u en v wordt genoteerd als: u + v September 3,

8 Vectoren De scalaire vermenigvuldiging Als c > 0 en v is de vector met dezelfde richting als een vector u maar c maal zo lang of c < 0 en v is de vector tegengesteld aan een vector u en c zo lang of c = 0 en v = 0 dan heet v de scalaire vermenigvuldiging van u met c. Notatie De vermenigvuldiging van een vector u met een scalar c R wordt genoteerd als: c u. September 3,

9 Vectoren Eigenschappen Laten u, v en w vectoren zijn en c, d R. Dan geldt: a. u + v = v + u (Commutatieve eigenschap) b. (u + v) + w = u + (v + w) (Associatieve eigenschap) c. u + 0 = u d. u + ( u) = 0 e. c (u + v) = c u + c v (Distributieve eigenschap) f. (c + d) u = c u + d u (Distributieve eigenschap) g. c(du) = (c d) u h. 1 u = u September 3,

10 Vectoren u + ( v) heet het verschil van de vectoren u en v. Notatie u v September 3,

11 Vectoren De R n bestaat uit alle geordende n-tallen reële getallen. Notatie Als u R n dan u = [u 1, u 2,, u n ] of u 1 u 2 u =. u n u 1, u 2,, u n heten de kentallen of componenten van u. Opmerking Voor n = 1, 2 en 3 heeft R n een meetkundige interpretatie. September 3,

12 Vectoren Als u, v R n en u = [u 1, u 2,, u n ], v = [v 1, v 2,, v n ] dan wordt de som van u en v gedefinieerd door: [u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n ] Notatie u + v September 3,

13 Vectoren Als u R n en c R is een scalar dan wordt de scalaire vermenigvuldiging van u met c gedefinieerd door: [c u 1, c u 2,, c u n ]. Notatie c u September 3,

14 Vectoren Een vector v heet een lineaire combinatie van de vectoren v 1, v 2,, v n als er scalairen c 1, c 2,, c n bestaan zodat: v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n. c 1, c 2,, c n heten de coëfficiënten van de lineaire combinatie. September 3,

15 Stelsels lineaire vergelijkingen Als a 1, a 2, a n, b constanten zijn dan heet a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b (1) een lineaire vergelijking in de onbekenden x 1, x 2, x n. a 1, a 2, a n heten de coëfficiënten van de vergelijking en b de constante term. Een oplossing van (1) is een vector s = [s 1, s 2,, s n ] waarvan de componenten voldoen aan (1). September 3,

16 Stelsels lineaire vergelijkingen Substitueren we dus x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n in (1) dan vinden we de gelijkheid a 1 s 1 + a 2 s a n s n = b. De oplossingserzameling van een lineaire vergelijking is de verzameling van alle oplossingen van deze vergelijking. September 3,

17 Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel lineaire vergelijkingen is een eindig aantal lineaire vergelijkingen in dezelfde onbekenden. Een oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen is een vector die oplossing is van alle vergelijkingen uit het stelsel. De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire vergelijkingen is de verzameling van alle oplossingen van dit stelsel. September 3,

18 Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft (a.) een unieke oplossing of (b.) oneindig veel oplossingen of (c.) géén oplossingen. Een stelsel vergelijkingen met tenminste één oplossing heet consistent anders inconsistent. Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossingsverzameling hebben. September 3,

19 Stelsels lineaire vergelijkingen Als we in een lineair stelsel vergelijkingen 1. twee vergelijkingen verwisselen, 2. een vergelijking met een constante ongelijk nul vermenigvuldigen, 3. een veelvoud van één vergelijking bij een andere optellen dan krijgen we een equivalent stelsel vergelijkingen. Deze operaties willen we natuurlijk zo inzetten dat we de oplossingsverzameling van ons oorspronkelijke stelsel eenvoudig kunnen bepalen. September 3,

20 Stelsels lineaire vergelijkingen Bij elk stelsel lineaire vergelijkingen hoort een aangevulde matrix en omgekeerd. De aangevulde matrix bij is a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (2)... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m September 3,

21 Stelsels lineaire vergelijkingen Ook hoort bij een stelsel lineaire vergelijkingen een coëfficiëntenmatrix. De coëfficiëntenmatrix bij (2) is a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn Notaties A voor de coëfficiëntenmatrix en [A b] voor de aangevulde matrix bij (2). September 3,

22 Stelsels lineaire vergelijkingen De drie operaties die een stelsel lineaire vergelijkingen omzetten in een equivalent stelsel corresponderen met drie elementaire rijoperaties toegepast op de bijbehorende aangevulde matrix. Laat (S) een stelsel van m vergelijkingen zijn en 1 i, j m. We geven de i-de en j-de rij van de aangevulde matrix [A b] bij (S) aan met R i en R j. September 3,

23 Stelsels lineaire vergelijkingen 1. Het verwisselen van de i-de en j-de vergelijking correspondeert met het verwisselen van R i en R j. 2. Het vermenigvuldigen van de i-de vergelijking met een factor k 0 correspondeert met het vermenigvuldigen van R i met een factor k Het optellen van k maal de j-de vergelijking bij de i-de vergelijking correspondeert met het optellen van k R j bij R i. September 3,

24 Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte van het eerste niet nul element in de volgende rijen. Het eerste niet-nul van een rij heet het leidende element van die rij, pivot of hoofdelement. September 3,

25 Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een gereduceerde rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Het is in rij-echelon vorm. 2. Het leidende element in een rij is gelijk aan De kolom waarin een leidend element staat bevat verder alleen nullen. September 3,

26 Stelsels lineaire vergelijkingen De volgende elementaire rijoperaties mogen op een matrix worden toegepast. 1. Twee rijen mogen worden verwisseld. 2. Een rij mag met een constante ongelijk nul worden vermenigvuldigd. 3. Een veelvoud van een rij mag bij een andere rij worden opgeteld. September 3,