Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Transcriptie

1 Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale doelen Veel verschijnselen kunnen met behulp van een stelsel lineaire vergelijkingen of van een stelsel lineaire differentiaal vergelijkingen beschreven worden. In de elektrotechniek is dit bijvoorbeeld het geval bij netwerken van weerstanden, condensatoren en spoelen. In de wiskunde worden de abstracte eigenschappen van zulke stelsels systematisch bestudeerd in de vakken Lineaire Algebra en Lineaire Analyse. Dit college beperkt zich tot de lineaire algebra. Vrijwel alle problemen in de lineaire algebra worden vertaald in een stelsel lineaire vergelijkingen. Zo n stelsel wordt omgezet in een uitgebreide matrix, deze wordt vervolgens geveegd (Gauss eliminatie) tot een standaard vorm waaruit alle oplossingen, indien ze bestaan, afgelezen kunnen worden. Van studenten wordt verwacht de verschillende begrippen, definities en stellingen te kunnen toepassen in concrete voorbeelden en deze met de hand te kunnen doorrekenen. De voorkomende matrices zullen veelal niet groter zijn dan 4 4 of 3 5. Faculteit Wiskunde en Informatica, Capaciteitsgroep Wiskunde, Leerstoelgebied Coderingstheorie en Cryptologie 1

2 3 Eindtermen Het college bestaat uit 5 weken van 2 uur, met een begeleidende instructie eveneens van 8 weken van 2 uur. Het studiemateriaal bestaat uit het boek: B. Kolman en D. R. Hill, Elementary Linear Algebra, Prentice Hall, 8th edition, ISBN paperback, ISBN hard cover. 2

3 3.1 Week 1: Determinanten Boek: 6.1, 6.2, 6.3 definitie en eigenschappen van determinanten cofactor en het ontwikkelen van een determinant permutatie, inversie, (on)even determinant minor, cofactor Regel van Sarrus voor de determinant van een 3 3 matrix det(a) = det(a T ) Regels hoe de determinant van een matrix zich gedraagt onder de 3 elementaire operaties det(a) = 0, als twee rijen of kolommen hetzelfde zijn als A een bovendriehoeks matrix, dan det(a) = a 11 a nn berekenen van een determinant door het vegen tot een bovendriehoeks matrix det(ea) = det(e) det(a), voor een elementaire matrix E det(ab) = det(a) det(b), voor alle n n matrices A en B A is niet singulier dan en slechts dan als det(a) 0 als A niet singulier dan geldt det(a 1 ) = (det(a)) 1 ontwikkelen van een determinant naar een rij (kolom) m.b.v. cofactoren berekenen van een oppervlak van een driehoek of parallellogram 3

4 3.2 Week 2: Toepassingen van determinanten Boek: 6.4, 6.5 geadjungeerde en inverse van een matrix toepassingen van determinanten regel van Cramer geadjungeerde matrix Voor een n n matrix A zijn de volgende beweringen equivalent det(a) 0 A is niet singulier de rijen (kolommen) van A zijn onafhankelijk x = 0 is de enige oplossing van Ax = 0 de rang van A is n 4

5 3.3 Week 3: Lineaire afbeeldingen, eigenwaarden en eigenvectoren Boek: 5.1, 7.1, 7.2 lineaire afbeeldingen eigenwaarden en eigenvectoren karakteristieke polynoom diagonaliseren van matrices en gelijkvormige matrices lineaire afbeelding of operator spiegeling, projectie, uitrekking en inkrimping, rotatie lineaire afbeelding van een matrix matrix van een lineaire afbeelding t.o.v. een basis eigenvector van een lineaire afbeelding met geassocieerde eigenwaarde karakteristieke polynoom en vergelijking gelijkvormige en diagonaliseerbare matrices voor een lineaire afbeelding L geldt L(0) = 0 en L(u v) = L(u) L(v) de eigenwaarden zijn de nulpunten van het karakteristieke polynoom gelijkvormige matrices hebben dezelfde eigenwaarden en karakteristieke polynoom een lineaire afbeelding L is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als L een basis van eigenvectoren heeft een matrix A is gelijkvormig met een diagonaal matrix D dan en slechts dan als A een basis van eigenvectoren heeft. Bovendien staan dan de eigenwaarden van A op de diagonaal van D een n n matrix is diagonaliseerbaar als deze n vershillende eigenwaarden heeft 5

6 3.4 Week 4: Differentiaalvergelijkingen, lengte en hoeken Boek: 8.1, 4.1 differentiaalvergelijkingen lente en richtingen in het valk en de ruimte standaard inprodukt differentiaalvergelijking, (homogeen) stelsel differentiaalvergelijkingen algemene oplossing van een differentiaalvergelijking m.b.v. eigenvectoren lengte, afstand, hoeken, cosinus regel standaard inprodukt, dot produkt orhtogonale (loodrechte) vectoren, eenheids vector De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking x = Ax is van de vorm x(t) = b 1 p 1 e λ 1t + +b n p n e λnt met b 1,..., b n willekeurig te kiezen reële getallen, als A een n n diagonaliseerbare matrix is met p 1,..., p n een basis van eigenvectoren met bijbehorende eigenwaarden λ 1,..., λ n cosinus regel de eigenschappen van het standaard inprodukt: positief definiet, symmetrie en lineariteit 6

7 3.5 Week 5: Vectorruimten met inproduct Boek: 4.3, 4.4 en 4.5 (met uitzondering van QR factorizatie, projecties en toepassingen, Fourier reeksen) vectorruimten met inproduct procedure van Gram-Schmidt orthogonale complement axiomatische definitie van een inprodukt: positief definiet, symmetrie en lineariteit invoering van een inprodukt op R n door (u, v) = u T Av waarbij A een symmetrische positief definiete n n matrix is lengte van een vector, afstand en hoek tussen twee vectoren orthogonale en orthonormale stelsels procedure van Gram-Schmidt voor het vinden van een orthonormale basis orthogonale complement W van W in een inproduktruimte V de symmetrische matrix C met c ij = (v i, v j ) ten opzichte van basis v 1,..., v n is symmetrisch en bepaalt het inprodukt volledig Cauchy-Schwarz ongelijkheid cosinus regel en driehoeks ongelijkheid een orthogonaal stelsel vectoren (ongelijk aan de nulvectoren) is onafhankelijk de i-e coördinaat van vector v ten opzichte van een orthonormale basis v 1,..., v n is gelijk aan (v, v i ) W is een deelruimte, W W = {0} en (W ) = W als V eindig dimensionaal is de nulruimte van A T is het orthogonale complement van de kolommenruimte van A x in de nulruimte van een matrix A dan en slechts dan als x T in het orthogonale complement van de rijenruimte van A 7