WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN

Transcriptie

1 WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN DOOR LEDEN VAN MET WISKUNDIG GENOOTSCMAP TER SPREUKE VOERENDE LEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TB BOVEN Ia~~;o_ IO~~4 NEGENTIENDE DEEL

2 BOEKBINDERrJ K I ~ V I T ST R.15 TELEF HENGEL.C Di Be volgende vroeger versehenen uitgaven van het Cenootschap zijn tegen de daaxbij aangegeven prijzen te ontbieden bij den uitgever P. Noordhoff te Croningen of bij den secretaris Dr..1. P. van R.ooyen, Amsterdam, p/a Heerengracht 475 bij wien men zich ook ala lid kan opgeven ) en bij wien men ldachten kan inbrengen over eventueele onregelmatigheden in de toezending der uitgaven: Feestgave van het Wiskundig Cenootsehap ter gelegenheid van zijn honderdjarig bestaan, bevattende de herdruk van twee zeldzame, mark waardige Hoflandsche werken: Cone onderriclitinghe dienende tot hat maecken van de recluctien van de jaercustingen tot gereedd penningen (1598) en Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten, ge teekend Johan cia Win, 1871 in den handel 1 6,3*... voor do leden 13,15. Register naar cone wetenschappelijke verdeeling op de waken van hot Wiskundig Genootachap, Amsterdam, 1885 in den handel 13, voor de loden 11,55. Register op do Wiskundige Opgaven uitgegeven door het Wiskundig Genootschap gedurende het tijdsverloop Amsterdam 1911 in den handel voor do loden 13,15. Systematisehe Catalogus van de boekerij van het Wiskundig Genoot schap, tevens bevattende de wiskundige waken, toebehoorende aan de Universiteitsbjbliotheejc der Cemeente Amsterdam, uitgave 197, geb. 16,3. Nieuw Archief voor Wiskunde, aerate reeks, twintig deelen, tweede reeks, een en twintig deelen. in den handel f 8,4.... voor de leden 14,2. Wlskundlge Opgaven met de oplossingen, nieuwe reeks, per deel in de handel 16,3.... veer de leden 13,15. Revue semestrielle des publications mathématiques, per dccl van elk twee stu]dcen a f 6,3 ea bij overcomplete stuicken per stuk f 3,15. Tables des matleres des volumes I V /5,25. VI X /5,25 XI XV /5,25. XVI XX /5,25. XXI XXV 1 5,25. 9 Be jaarlljkse contributte bedraagt 17,5 (entree f 1,). Voor bijzonderheden aver do werkzaamheden van hot Genoatachap worth men verwezen naar Dr. M. TEN RAAFTEN. Ret Wiskundig Genootsohap, z~n ondste geschledenjs, $jn werkzaamheden en ZUn betcekenis nor bet verkeerawezen, P. Noordhoff, Gtonlngen Prija 1 2,g. De opbrengst streict ten bate van het Genootsohap.

3 WISKUNDIGE OPGA VEN. DEEL XIX. Vraagstuk I. Bepaal de onderste grens van 3 ff(x) dx, als f(x) aile mogelijke functies doorloopt, die in het interval ;;;;;; x ;;;;;; 3 positief en 3 keer continu differentieerbaar zijn, terwijl I /"'(x) I < 6, f(o) = 14, f'(o) = 14, f"(o) = 4. De functie (Mevr. Dr. T. van Aardenne-Ehrenfest). p 1 o s sin g. ) {xa + 2x2-14x + 14 voor ;;;;;; x ;;;;;; 1 tp(x = - (x 2)3 2(x 2) 2 voor I ;;;;;; x ;;;;;; 3 is in het interval ;;;;;; x ;;;;;; 3 niet negatief en 2 keer continu differentieerbaar, terwijl "'(x) = {+ 6 voor ;;;;;; x < 1 'P - 6 voor l < x ;;;;;; 3, tp(o) 14, tp'(o) - 14, tp"(o) = 4. tp(x) kan benaderd worden door functies f(x) met de vereiste eigenschappen, zodat de gevraagde onderste grens in elk geval niet grater is dan 3 /tp(x) dx We zullen bewijzen dat 3 3 f f(x) dx > f q;(x) dx, 37 en dat dus die onderste grens gelijk is aan 4. Stel 37 4 <5(x) f(x) q;(x).

4 2 WISKUNDIGE Dan is b(o) d'(o) b"(o) =, <)'"(x) { < voor ~ x < I > voor 1 < x ~ 3, d(2) >, (I) (2) {3} want <p(2) = en /(2) > (van het gegeven, dat f(x) positief is, gebruiken we slechts /(2) > ). Te bewijzen is 3 Wegt'ms (I) is f d(x) dx > ] o(x) dx terwijl (3) te schrijven is als Uit (5) en (6) volgt: f (3- x) 3 o'" dx, 2 J (2- xr~ o'" dx > J b(x) dx > J (3 - x) 3 o'" dx / (2- x) dx = f {(3- x) 3-8(2- x) 2 } o"' dx + f (3- x) 3 l/" dx {7) 2 Nu is (3 x) 3 8 ( 2 _ x) 2 { < voor < x < 1 > voor 1 < x < 2. Uit (7) en (2) volgt dus (4). No. 2. Vraagstuk II. Bewijs dat de rationale syrnmetrische functies van a,_, a:a,... am (en evenzo die van f/1> {1 2, {1.,) rationaal uit te drukken zijn in ul> u 2, Um+n als gesteld is. m n uk = E a~ - E {I~ i=l i~l (Mevr. Dr. T. van Aardenne-Ehrenfest). (4) (5) (6)

5 OPGAVEN. N. 1 EN 2. 3 p g e 1 o s t door Mevr. Dr. T. VAN AARDE:NNE-EHRENFEST en C. VAN DER LI~WEN. Oplossing van C. VANDER LINDEN. R is een symbool voor rationale functie. m Gegeven is : I: a~ i=l Het is mogelijk m + n getallen Yi (i = I, 2,... m + n) m+n te vinden, waarvoor geldt: I: y~ = P,~c (k =I, 2,..., m n}, 1 immers de elementaire symmetrische functies der y i zijn te bepalen als R(.u~c), er is dus een (m + n)de graadsvergelijking op te stellen, waarvan 'Yi (i = 1, 2,..., m 1~) de wortels zijn. Zij deze xm+n Wij definieren nu : Cm+n-txm+n-1 ci = R(p,k) am+i = (i = 1,2,... 2n),f1n+i De gegeven gelijkheden gaan dan over in : m+2n m+2n Yi (i = I,2,... m +n). I: a~= I: {J~ (k = I, 2,... m + n}. i=l i=l Daaruit volgt, dat de eerste m + n elementaire symmetrische functies der ai gelijk zijn aan de overeenkomstige der Pi Maken we de eerste coefficient en gelijk aan I, dan zullen de eerste m + n l coefficienten in de vergelijking der ai gelijk zijn aan de overeenkomstige in die der Pi In de vergelijking der ai zijn de coefficienten van x en alle lagere machten van x gelijk aan, er zijn immers 2n der ai gelijk aan. Daar in de vergelijking der pi de coefficienten tot aan die van xn- 1 met die in de vergelijking der ai overeenkomen, zijn dus de coefficienten van x 2 n-l, x 2 n- 2 X 11 gelijk aan. De vergelijking der {Ji kan geschreven worden in de vorm (xn Bn-lxn-1 + Bn-2xn B 1 x + B ) (xm+n + Cm+n-txm+n C 1 x +Co)=, waarin B 11 _ 1, B 11 _ 2, B de elementaire symmetrische

6 4 WISKUNDIGE functies der {3; (i = 1, 2,... n) zijn. Het wegvallen der termen met x 2 "- 1, x~' levert de volgende vergelijkingen op: CnBn-1 Cn+1Bn-2 Cn-lBn-1 CnBn-2 + C2n-1B =, '' + C2n-2BO =, (Voor m < n komen hierin C' s met index hoger dan m n I voor, we moeten dan stellen Cm+n = 1, en Cm+n+i, i > ). Dit zijn n lineaire vergelijkingen voor de n onbekenden B. Door ze op te lassen vinden we B; = R(C C 2 n_ 1 ) = = R(uk) Hieruit volgt, dat ook een willekeurige rationale symmetrische functie der p, R(uk) is. Op dezelfde manier gaat het bewijs voor de ai. Vraagstuk III. Bewijs dat de commutatorgroep van een discrete groep niet holoedrisch isomorph kan ZlJn met de symmetrische permuatiegroep van 3 objecten. (Mevr. Dr. T. van Aardenne-Ehrenfest). p g e 1 o s t door Mevr. Dr. T. VAN AARDENNE-EHREN FEST en Dr. L. LIPS. p l o s s i n g van Dr. L. LIPS. \Vas de symmetrische permutatiegroep Sa isomorf met de commutatorgroep K van een discrete groep G, dan zouden de volgende 4 beweringen tot een tegenspraak leiden : 1) De commutatorgroep van Sa is de alternerende groep A 3, dus een echte ondergroep van S 3. 2) S 3 is afgesloten, dus een daarmee isomorfe groep ook. 3) Van twee isomorfe groepen zijn de commutatorgroepen isomorf. 4) Als de commutatorgroep K van een discrete groep G afgesloten is, is de commutatorgroep K' van K identiek met K.

7 OPGAVEN. N. 2 EN 3. 5 We zullen deze beweringen bewijzen. De elementen van Sa zullen we voorstellen door e, a, a 2, b, ab, en a 2 b, waarbij geldt: ab = ba 2, a 2 b = ba, terwijl a en a 2 de orde 3 en b, ab en a 2 b de orde 2 hebben. I) Bewijs: A 3 (e, a, a 2 ) is normaaldeler van S 3 met index 2, dus is de factorgroep Sa: As Abels, zodat As de commutatorgroep C van S 3 bevat. Maar C bevat behalve e, ook aba- 1 b- 1 = = ba 2 a- 1 b-1 = bab- 1 = a 2 bb- 1 =a 2, dus ook de door a 2 voortgebrachte groep A 3 Dus is C A 3 2) Sa is afgesloten betekent: ieder automorfisme van Sa is een inwendig automorfisme van S 3 en het centrum van Sa bestaat uit het eenheidselement alleen. Bewijs: (uit collegedictaat Prof. KLOOSTERMAN). Zij a een automorfisme van Sa. Daar Sa door a isomorf op zichzelf wordt afgebeeld, kan a een element van Sa aileen in een element van dezelfde orde overvoeren. a is volkomen bepaald, als men weet, waarin a de elementen a en b overvoert. Dus a a a of a a a 2 Neem eerst het eerste geval. We hebben dan verder 3 mogelijkheden: I) ab = b, II) ab = ab, III) ab = a2b. I) dan is a het identieke automorfisme, dus a= i. II) aa =a= a 2.aa-2, ab=ab = eab aa. ab=a 2 a 2 b= a 2 ba=a 2 ba- 2, zodat a=ia 2 III) aa =a= aaa- 1, ab = a 2 b = a.ab aba2 aba-1, zodat a ia. In het eerste geval is a dus steeds een inwendig automorfisme. In het tweede geval, dus als aa a 2, beschouwen we (Ja = (iaa)a = ib(aa) = ba 2 b-1 abb- 1 a. Dan is dus f3 een inwendig automorfisme iu (zo juist bewezen), dus is ook a= il/iu = ib-lu een inwendig automorfisme. Alle automorfismen van S 3 zijn dus inderdaad inwendig. Verder is het eenvoudig na te gaan, dat geen enkel element, behalve e, met aile elementen van Sa verwisselbaar is (daar.ab # ba), zoodat het centrum van Sa uit e aileen bestaat. Het tweede deel van bewering 2 is triviaal, evenals bewering 3.

8 6 WISKUNDIGE 4) a) We bewijzen eerst, dat G = K X Z (direct product), waarbij Z de centralisator van K in G is. Bewijs: daar K normaaldeler in G is, is voor elke g E G de toevoeging h-+ ghg- 1, voor alle h E Keen automorfisme van K, dus een inwendig; er is dus een k in K zodanig, dat ghg-1 = khk- 1 voor alle h uit K, dus k- 1 gh h. k- 1 g,,,,,. k- 1 g is dus met alle elementen van K verwisselbaar, dus is k- 1 g een element z van de centralisator Z van K in G, dus k- 1 g = z, dus g = k.z. Daarmee is bewezen, dat G K.Z. Dat dit product direct is, volgt uit het feit, dat de doorsnede van Ken Z het centrum van K is, dus het eenheidselement (K afgesloten), terwijl verder K en Z normaaldelers van G zijn. b) We bewijzen nu, dat de commutatorgroep K' van K met K samenvalt. Bewijs: Daar G = K X Z, is G : K (f) Z en daar G : K Abels is, is Z dat ook. Van elk tweetal elementen van Z is de commutator dus het eenheidselement e. Neem nu twee willekeurige elementen uit G, nl. k 1 z 1 en k~ 2 ; hun commutator c is dan.k 2z 2 (k 1.z 1 )- 1 (k 2 z 2 )- 1. Daar elk element van Z met elk element van K verwisselbaar is, is c=k 1 k 2 k1 1 k2 1.z 1 Z#1 1 Z2 1 = k 1 k 2 k1 1 k2\ dus een element van K'. Dus K E K' en daar natuurlijk K' E K, is K = K'. Vraagstuk IV. Bewijs, dat A geen oneven volmaakt getal is, indien: 1. A=p 1 2o. A Pi!P~ 3o. A Pi 1 P~ 2 P1. p, Pv P2. Ps priem. (Een volmaakt getal A heeft de eigenschap, dated= 2A). a/a (L. D. Boomsma). p g e 1 o s t door L. D. BOOMSMA, H. J. A. DUPARC, Dr. L. DE jong, Dr. L. KUIPERS, C. VAN DER LINDEN en Dr. J. G. VAN DE PUTTE.

9 OPGAVEN. N''. 3 EN 4. 7 p 1 o s sing van H. J. A. DUPARC. 1. Gegeven: A= p 1 ; A oneven. Te bewijzen: A is geen volmaakt getal. pt+l_j Bewijs: 1: d dlpl p pt, indien p 1 een volmaakt getal was. Dus p~+i I = 2pt+l_ 2p1, waaruit volgt pt(p 2) -I. Daar het rechterlid negatief is en p 1 > zou p < 2 zijn, wat uitgesloten is. In dit geval is A derhalve geen volmaakt getal. 2. Gegeven: A= ptqm; A oneven. Te bewijzen: A is geen volmaakt getal. Bewijs : Was A een volmaakt getal, dan gold pt+l_ 1 qm+l_j 1: d = = 2ptqm, a[plqm p I q I dus dus ~) pt (q -~-) qm 2(p ~ l) (q 1)' pq>2(p l)(q I) ofwel (1 -})(t-~)<t. Wij mogen veronderstellen p < q. Daar A oneven is, is p ;;;;;; 3; q ;;;;;; 5, waaruit volgt (t ;)(~-~);;;;;;~.~>~ in strijd met ( 1 -- ; ) ( 1- ~) < t. Ook in dit geval is A dus geen volmaakt getal. 3. Gegeven: A ptqmrn;. A oneven. Te bewijzen: A is geen volmaakt getal. Bewijs: Was A wel vomaakt, dan gold

10 8 WISKUNDIGE Dus (P ;,)(q q~)(r r~) 2(p-l) (q-1) (r-1), waaruit volgt pqr> 2(p-1) (q-1) (r 1). Stel P ( 1- ~ ) ( 1- ~ ) ( 1- ~ ). Dan gold dus P < t. Onderstel weer p < q < r. A is oneven, dus p ~ 3; q ~ 5; r ~ 7. Is r ~ 17, dan is: P 2 "' ~ IV5 17 = 255 > 2 in strijd met P < t. Dus r = 7, 11 of 13. Is r = 13 en q ~ 7, dan is P --.._ ,;;; >z wederom in strijd tnet P < {-. Dus als r = 13 dient aileen het geval q = 5 en p 3 nader te worden onderzocht. Is r 11 en q = 7, dan is P ~ ~ ~ M = ~> t. hetgeen alweer in strijd is met P < t. Dus als r 11, dient te worden onderzocht q -5; p 3. De nader te onderzoeken gevallen zijn derhalve p = 3, q = 5, r = 7, I I of 13. We gebruiken nu verder de relatie (p~+l-1) (qm+l-1) (rn+l-1) 2plqmrn (p-1) (q-l) (r-1). (1) a) Beschouwen wij eerst het geval p 3; q 5; r 7. Het linkerlid L van (I) is dan deelbaar door 7. Was 7 deelbaar op de eerste factor 3Hl 1, dan was 6/l 1, dus 3 6 ~-1 /3Hl 1, dus 13/ L, maar 13 is niet deelbaar op het rechterlid R van (I), zodat dit geval buitengesloten is. Was 7 deelbaar op de tweede factor Sm+l_ 1 van L, dan was 6/ m + 1, dus 56 I /Sm+I_J, dus 31/ L, maar 31 %R, zodat dit geval eveneens buitengesloten is.

11 OPGA VEN. N. 4 EN 5. 9 b) Beschouwen wij thans het geval p = 3; q 5; r = 11. Was ll! sm+ 1 -l,danwas5\ m 1,dus5 5 - l\5m+l_l, dus 7IIL,maar71 /1/R,zodathetonmogelijkis, dat ll\5m+ 1 -I. Was I, dan was 5!l + 1, dus 3!+ 1-1 deelbaar door Derhalve n ;;;;; 2. Ware n = 2, dan was L, dus 7 1 L, wat buitengesloten is, want 7 /1/R. Dus n ;;;;; 3. We vinden dus 11 8 I R. Wegens II /v 5m-l_J is dus 11 3 I Dns 55 ll + l. Dus I L, dus 23 I L, wat eveneens buitengesloten is. c) p = 3; q 5; r 13. Is 5 deelbaar op de factor 13"+1- I van L, dan is n + I een 4-voud, dus het linkerlid deelbaar door 13 4 I, dus door 7, wat echter met R niet het geval is. Is 5 deelbaar op de factor van L, dan is l + l een 4-voud, dus deelbaar door = 8, dus Daar 4j5m+l_J en4113"+ 1-1, was \L, dus 2561 R. Echter bevat in dit geval R = slechts 6 factoren 2. Ook het geval c) is dus buitengesloten. Hiermee is het gestelde aangetoond Sm13"' p m e r k i n g van Dr. L. DE ] ONG. Uit (1 +P1+P~ +... P~) (l +P2+ P~... P~ 2 )... 2P? P~... volgt, als men op de deelbaarheid door 2 let, dat alle l op I na even moeten zijn en dat de enige oneven exponent voorkomt bij een priemfactor van de vorm 4k + I. Een eventueel bestaan? oneven volmaakt getal is dus nimmer kwadraatvrij en ook nimmer een kwadraat. V erder vindt men: een oneven volmaakt getal, deelbaar door 4, 5 of 6 verschillende priemgetallen, is steeds deelbaar door 3. Vraagstuk V. Ontwikkel ~ in een reeks van FouRIER (c> 1). (c cos x) 2 (Dr.. Bottema).

12 1 WISKUNDIGE p g e 1 o s t door Dr.. BoTTEMA, Dr. L. DE ]ONG, Dr. L. KuiPERs en C. VAN DER LINDEN. p 1 o s sing van Dr. L. DE jong. Ik onhvikkel algemener --.. ~-- ; n ;;;;;; 1 ; c > l. (c +cos x)n Daartoe beginnen wij bij n 1. I "" Men heeft --- I: A~c cos kx, waarin C COS X k=o 2! 71' cos kxdx en Ak = -- voor k ;;;;;;!. n c cosx N u verifieert men gemakkelijk:! 71' cos k!!_ dx = f zkdz ~ C +COS X z2 + 2cz 1 over de eenheidscirkel om. De laatste integraal is te berekenen, door te bedenken, dat er een pool, nl-c+vc 2 -t 7T cos kx dx binnen de contour ligt. Men heeft dus = 2n X / c + cosx het residu (j. ~)k c==:--- en ten slotte : 1 De reeks convergeert. 1 Daar = (c cos x)n (c cos x)n , geldt dus voor COS X en (-1)n-1 (!n Ak = ===---- (n -1)! ocn k;;;;;;i. In het bijzonder voor: 1 c c+kvc:lj : A= ; Ak=2 (-c+vc2_!)k; k;;;;;; 1. (c+cosx) 2

13 OPGAVEN. N. 5 EN p mer k in g. Uitgaande van de reeks van FouRIER voor kan men ook In (c +cos x) ontwikkelen. C +COS X Men heeft: In (c+cos x) -Inc=-{(-~~_! -_!_)de = w C +COS X C c. -}~{~- _I_+--= 2 = E (-c+v'~2+l)"'coskx-_l_}dc. = v'c2-l k=t c c oo (-c+v'c2 1)"' 1 = { In (c-vc2_j)+ Inc } I, 2 f k cos kx = c oo (-'c+v'c2=.1)"' =-ln 2---.:ln c -In (c -v' c 2 -l )-2 E cos kx 1 k en dus voor In (c +cos x): In c v'c2-1 (-c A ; Ak = -2 2 Bewijs Vraagstuk VI. sin sin a sin a 1 sin a 1 sin (a 1 + a 2 ) sin a 1 sin a 1 sin a 2 sin a. 2 -~ aa) sin a 2 sin a 2 sin a 3... "... * c sin sin a,._ 1 sin a,. sin a, (Dr.. Bottema). p g e 1 o s t door Dr.. BoTTEMA, H. J. A. DUPARC, Dr. C. ]. VAN GRUTING, DR. L. DE JoNG, Dr. L KuiPERS, C. VANDER LINDEN, H. W. LEMSTRA, H. PLEYSIER, Dr. j. G. VAN DE PUTTE, Dr. L. SWEERTS en Dr. E. TROST.

14 12 WISKUNDIGE p 1 o s sin g. Wordt de determinant met A, aangeduid, dan volgt door ontwikkeling naar b.v. de laatste kolom sin (an-i a,) A,=.. An-I Sill an-i Sill a, In de veronderstelling, dat de betrekking geldt voor indices kleiner dan tt vinden wij A = sin... a,_ 1 ) n. sm an-l sm an sin a sin a 1 sin an-i... an-2). I I... ~.~ -- {sin(an_ 1 +a,) sin (a +a a,)- Sln a s1n a 1 Slll an Sln an-i -sin a,. sin (a + a an_ 2 )} Voor de laatste factor vindt men t cos (a + a an_2-a.. ) t cos (a +a an a.. _1 + a.. ) t cos (a + a1... a,._ 2 an) + +t COS (ao+al+... an_ 2 + a,)= Sin (ao+at+... an) Sin an-1 Dus sin (a + a a,.) sin a sin a 1 sin a,. Daar de formule juist is voor n = l, geldt zij algemeen. Vraagstuk VII. Als de wisselwerkingsenergie van twee eenheidsmassapunten (onderlinge afstand r) gegeven is door de functie V(r), bewijs dan dat de wisselwerkingsenergie van twee homogene cirkelvormige schijven, in eenzelfde vlak gelegen en beide met een massa l, gegeven wordt door U(a, b; c)= 4 I' jg(a, b; c; r) V(r) r dr, ab., ()

15 OPGA VEN. N. 6 EN waarbij de gewichtsfunctie G gedefinieerd is door ~. dt G(a, b; c; r) = j ] 1 (at)j 1 (bt)j (ct)] (rt) t.. J is het gewone symbool voor de Besselfunctie van de eerste soort, a en b de stralen der schijven, en c de afstand der middelpunten. (Dr. C. ]. BMtwkamp). p 1 o s sin g. De potentiaalfunctie V (r) = J (rt) heeft de bijzondere eigenschap dat voor deze de energie der schijven gegeven is door rp(a, b) V (c), waarin rp een symmetrische functie van de stralen a en b is welke niet van c afhangt. Dat wil zeggen, onder deze speciale potentiaalwet is de wisselwerking der schijven juist, alsof er in de middelpunten zekere gereduceerde massa's, onafhankelijk van de afstand der middelpunten, geconcentreerd waren. Het bewijs van deze stelling is eenvoudig. Zij R de afstand van een eenheidsmassapunt tot het middelpunt der schijf a. De wederzijdse energie is dan gelijk aan a 2,. ;;~ 2 Js ds J J (tvs 2-2sR cos rp R2) dgy a 2 2 a 2 J (Rt) j J (st) s ds =at ] 1 (at) J (Rt). Inderdaad is het alsof een massa rp(a, ) = 2] 1 (at)jat geconcentreerd is in het middelpunt. Door dit reductieproces twee keer achter elkaar toe te passen, vindt men voor de energie der schijven bij de speciale wet V (r) J (rt) : 4 U (a, b; c) ""ib ] 1 (at)] 1 (bt)j (ct) t~ 2 Verder kan, onder zekere voorwaarden, de gegeven functie V(r) geschreven worden als een Fourier-Besselintegraal: V(r) = J f(t) J (rt) t dt,

16 14 WISKUNDIGE waarbij, omgekeerd, de beleggingsfunctie f(t) gegeven is door f(t) (v(r) J (rt) r dr. "o Daar energie additief is, volgt direct 4 /~ dt U(a, b; c) = ~ f(t) ] 1 (at)] 1 (bt)] (ct)- ab.; t 4 I' ( dt = ~j V(r)rdr.Mat)] 1 (bt)j (ct)j (rt) ab., t 4. = b j G(a, b; c; r) V(r) rdr. a. p m e r k i n g e n. 1. Om physische redenen is het duidelijk, dat de bovenste grens in de integraal ( 1) vervangen kan worden door c + a b; de functie G is dus zeker nul voor r > c + a + b (iedere parameter positief of nul verondersteld). 2. De eindformule (I) geldt ook voor elkaar overdekkende schijven. Liggen ze buiten elkaar (c > a + b) dan is de onderste integratiegrens in (I) steeds vervangbaar door c-a-b. Formule (1) geldt in dit geval voor alle functies V(r) die Riemann-integreerbaar zijn op elk segment van de positieve r-as. (I) Vraagstuk VIII. Als a, b, c de zijden zijn van een driehoek met hoeken A, B, C en oppervlakte S, dan geldt J ]1(at)]1(bt)] (ct) ~t = 2 ~ (~A : B ~~ ); deze integraal is nul voor c ~ a + b, en gelijk aan. (a b) t mm b, --;;, voor ::s;; c ::s;; Ia- b!. Bewijs dit. (Dr. C. ]. Bouwkamp).

17 OPGAVEN. N. 7 EN 8. IS p g e 1 o s t door Dr. C. ]. BoUWKAMP efb C. VAN DER LINDEN. p 1 S sing van C. VAN DER LINDEN. We gaan uit van een formule van SoNINE, o.a. voorkom:nde in WATSON: Besselfunctions:. Als W m J m(at)j.,.(bt)j m(ct) p.-m dt (a, b, c :2:) Dan is: W m, als a, b, c geen driehoek vormen 52.m-l2m-l r.(m+i) We definieren nu f(c) als volgt: c :2: a f b, f(c) = j ] 1 (at)] 1 (bt)j (ct) -i "' dt Ja-b\,$. c,$.a+b, f(c)= ] 1 (at)j 1 (bt)j (ct) t - ja-bj :2;c :2:, f f(c)= J, als 5 opp. L1 ABC. (1) dt _l_ (!!_A+ ~B- 25) 2:n: a b ab ]1(at)J 1 (bt)j (ct) ~t -tmin (:, ~ ). Men overtuigt zich gemakkelijk dat de zo gedefinieerde functie continu is. Voor c>a+ b} la-bl >c>o geldt: I" f'(c) ='-j ] 1 (at)j 1 (bt)j 1 (ct)dt, volgens (1). Voor [a- bl < c <a b geldt: 'f(c) f 1 ( b oa a ob 2 3S) ] 1 (at)] 1 (bt)] 1 (ct) dt n aoc boc aboc

18 16 WISKUNDIGE Nu is: boa a ob --+aoc boc 2 as a cos c aboc a bcosc + ccos BoB 2 o(t ab sin C) - b oc ab oc oa ob) c o sin A c a sin B = cos c (- + -;:; a sin c ~-- oc oc a oc b oc oc a b. 8-sinC o smc ac c c cc =-cosc +- --~ oc a b a sin C c [ a a a sin CJ sinc de a c 2 c oc a sin c oc c [--!! sin b osincj _ 3sinC=-~sinC=-- 4S. b c 2 c oc oc c abc Volgens (1) is: I ]1(at)J 1 (bt)j 1 (ct) dt = o Dus is I'( c) = ~~be-~ (- :~) =. 2S ~abc Dus f'(c) is overal gelijk aan nul; aangezien f(c) continu is, is f(c) voor alle waarden van c constant. Om deze constante te bepalen, laten we c over alle grenzen groeien. Dan is c > a b, dus want lim ] (ct) = en j JJ 1 at)(j 1 (bt)l c,..oo Dus is f(c) /' dt t convergeert., waaruit 't gestelde onmiddellijk volgt. 2 I Gevraagd te bewijzen: Vraagstuk IX. ( ) ( ()) dt 1 1. ] 1 (t)j tv'2sm- J h/2cos- - -=-- E(smO), 2 2 t 4 ~ 2

19 OPGAVEN. N. 8 EN waarin E de complete elliptische integraal van de tweede soort, en ;;;;;; () ;;;;;; n. (Dr. C. ]. Bouwkamp). p g e 1 o s t door Dr. C. J. BouwKAMP en C. VAN DER LINDEN. p 1 S sing van C. VAN DER LINDEN. I N eem voorlopig ;;;;;; {} ;;;;;;!n. A. & I = j Ji(t)J (ty'2 sin??/2)j (ty'2 cos fj/2) t 1T l. f'f dt = -;;} Ji(t)J (tv2(1- sin{} coso/) t dfp. Immers J (ty'2 sin fj/2)j (ty2 cos fj/2) 'lr ~ f J o(tv2 ( 1-sin{} cos r:p) dr:p en de integratievolgorde mag verwisseld worden. Volgens vraagstuk VIII is deze integraal gelijk aan; 1T -~~f(~a +~B- 2. S)drp, 2n;2 a b ab waarin b =a= I, c = v2(1- sin cos A, B, S hoeken en oppervlak van 6 ABC. # We voeren nu als nieuwe integratieveranderlijke in A=B=tp Dan is: S = tab sin C =! sin 2tp 2( 1-sin{} cos rp) =c 2 =4 cos 2 'P dus dq;= ----:====== dtp. 2v> Vullen we dit in, dan komt er: i'll'+it?- 1 = ~2 J(2VJ- sin 2tp). ----;:::===== t'~'~'-td 2

20 18 WISKUNDIGE + tw gaat dit over in: {} coswdw 1 j'" If cosru)... = +- = Vsin 2 t?-sin 2 ru 2n 2 2n 2 -{} cos w dw w- cos w) ----;::===== + sin 2 w {} 1 f coswdw t?- sin 2 w +,.,_ 2 (in- w -cos w) --;::=====,e;,;;~ {} 1 f coswdw 2,.. (n - 2 cos w) ---r====--== 2 t?- sin 2 w Met sin w = sin t? sin g gaat dit over in: f 11/2 = t - If 1 2 VI- sin 2 t? sin 2 $ d,; = t - 2 E (sin t?). n n Vervangen we nu aan beide zijden t? door n- t?, dan vinden we dezelfde formule voor tn :;:;;; D :;:;;; n. Bewijs dat geldt J 1 (t)j (xt) t 2 2 dt als Vraagstuk X. 1 [ 1 +x J t-- x+t(j-x2) log- +2.i.(x), n 2 1-x 1 (O:;:;;;x:;:;;;l) 2 [x+ t(l-x2 ) log x+ 1-2il(l/x)J, (x:;:;;; 1) :n: x-1 x2n+l il.(x) = I --- :;:;;; x :;:;;; I. n-o (2n 1) 2 ' (Dr. C. f. Bouwkamp). p g e J s t door Dr. C, ]. BOUWKAMP en C. VAN DER LINDEN.

21 OPGAVEN. N. 9 EN p 1 s S i n g van C. VAN DER LINDEN. dt Voor x ~ I geldt: R(x) = Ji(t)]~(xt) t, R'(x) 'TTOO R(x) = ~~ Ji(t)] (2xtsintq;) ~dq;. '" ~ J f J~ (t)] 1 (2 x t sin trp) 2 sin tip dt dq; '" 1 f 2x sin tip x 2 sin 2 tq;. d sm tq; q; = n n.2x sm trp ' volgens de formule van SoNINE = -- 2!'" smtq; n2 We voeren de nieuwe variabele t = X. -x2 ~- 2 f -~ -- 2Vl- x 2 R'(x)=- VI- x2 + t2(i- x2).- dt n 2 X X v'l-x' co:; i q; m I (l-x 2 I+ x ) =- --lg +2 n 2 x 1-x L(x) = t -- x 1[ t(i- x 1+x J 2 ) lg ~ - + 2J.(x) n 2 1-x, I { I+x ( I 1 ) L (x)=- l-xlg.-+t(i-x 2 ) -+ ~- n2 1-x l+x 1-x

22 2 WISKUNDIGE 1 [ 1 =- 1-xlg n 2 1 X X +I ~E x2n+l J x 2n+I = x 2 lg-1 _x]. X 1 X Dus R'(x) = L'(x), R(x) L(x) + C. J 2 dt J(' dt L(O) = t, R(O) = J 1 (t) t = } 1 (t)jt(t). J o(o. t) t - -1 [n-+ n + J volgens de fonnule van vraagstu kviii. -n L(O) R(O) dus C =, R(x) = L(x). Voor x ~ l krijgen we: R'(x) = 1T 1 ( ( Ji(t)J1 (2xt sin Jcp) 2 sin tcp dt dcp :Jf;.;,) 1T - ~ J K.2sin dcp. Volgens de formule van So NINE is: 1 K=O, als 2x sin,j,m > 2, dus sin ~m > -, ~'~' -'~' X K Hieruit volgt: n. 2x sin tcp 1 sm!cp < 2 arc sin!. a; 2 (' R'(x) = - 2 / sin t cp n.. Nieuwe variabele t = --- -cost cp, ~ R'(x) =- j n2 X X n xz sin 2 Jcp, als

23 OPGAVEN. N xl-1 [ - -t lg (t :n;2 X v't2-l)+i tv't 2 -=i]:x'~l I (. x 2 1 X+ I) -- 2 lg --. :n;2 X X 1, 1 [" x+ 1 x-2n-2] L (x) =- 1-xlg-- 1+2E- :n;2 x-1 2n+ I 2 x-2n-1] 1 [ x+l =- 2 X lg. E- :n: 2 x-1 x 2n+l L'(x) = R'(x) dus L(x) R(x) + C. dt I :n; :n; dt R(1)= Ji(t)Jg(t)- = Ji(t)J (ty'2.sin -) J (ty'2 cos-) t. 4 4 t f 1 i --E(l) :n;2 volgens vraagstuk IX. 1Ti2 I ~'.. ~-~i j sin 2 ~ d~ = i :n;2 L(l) = 1[. x+i oo 1 J I+ hmt(l-x 2 ) lg 2E --- n2 :x--?1 x I o (2n + 1) 2 ~ -~{I 2 [ E ~ E - 1 J} = n 2 1 n 2 1 4n 2 I { l-2- (:n;2 :n;2 6 :n;2)} I 24 =-:n:2 L(I) R(I) dus C, L(x) = R(x). Dit laatste gaat ook gemakkelijk door L( oo) en R( oo) uit te rekenen. X p 1 s sin g van Dr. C. j. BOUWKAMP. De gevraagde integraal is gelijk aan G( I, 1 ; x; x) (zie vraagstuk VII), en de berekening hiervan is geheel analoog aan

24 22,WISKUNDIGE die van de G-functie uit vraagstuk VII. We kunnen dus kort zijn. In het onderhavige geval is en dus u 2x sin tp, 2 G(l,l;u;O) ~[arccos(xsin ~)-xsin~ v'l-x 2 sin 2 {rli)]. Bij de integratie over tp is het algebraisch gedeelte van de integrand handelbaar, daar toch <p -/sin ~ v' I x 2 sin 2 (tp/2) dtp = cos ~ x 2 sin 2 {tp/2) 1- x2 { tp } ---log x cos- v' 1- x 2 sin 2 (tp/2). X 2 De arccosinus functie is niet elementair integrabel, doch na een kleine omvorming komt men gemakkelijk tot het in de opgave aangegeven resultaat. Vraagstuk XI. Te bewijzen voor p =1= E (-I)k (/:) {P(k -1) +a} {p(k Tc. 2; a}... (p +a) a k- p.k. (pn-a){p(n-1)-a}... (p-a) - pn.n! (Dr. H. Bremekamp). p g e I o s t door Dr. H. BREMEKAMP, H. ]. A. DUPARC. Dr. C.]. VAN GRUTING, Dr. L. DEjONG en C. VANDER LINDEN, p 1 o s singe n van Dr. L. DE JoNG. I. Het eerste lid is de coefficient van xn in de ontwikkea ling (lxl < 1) van (1 + x)n. (I + xf P en die is =~\(n-;)(n-1-;)... ( ;).

25 OPGAVEN. N. 1 E:N l r. 23 II. Voor het linkerlid is t? schrijven: r(.:.:+k) i (-!)'(~) () ~-( 1 -) E (-l)k(~)~e- ~, dt = k~o r.:.:. k 1 r.:.: o o p p oo 1 ~+k-1 ~ 1 f ~ -1 n tk I ( ~ -1 ~ r (~)',_.. t:p ~ (-1 l.! ~,, dt~ r(~)(. t:p L.(t) dt L..(t) is de veelterm van LAGUERRE van de orde, of van ABEL, en dus: tu L..(t) is de coefficient van u" in e u 1 u Men vindt dus: ~-1 -~- _-t ~-1 l ~e-t f:p e u 1 fel-'u f:p r(~t, 1-u dt~ ;(~r-, 1-u dt a (.:.:-1) c=-2 )... (.:.:--n+l)- =Cun.(l--u)P-l (~1)". p p p - n! (p - a) (2p 1) p - a} - n! III. Het eerste lid is de hypergeometrische functie: u.. F (-n,;, 1, 1 ). Uit een door GAuss voor de functie F(a, p, y, x) afgeleide identeit: {y 2a-(fJ-a)x}F+a(I-x)F(a+!,... ) -(y-a)f(a-1,... )= volgt voor a a n;p=-:p;r a n+! p ----.u... n+i l;x=l:

26 24 WlSKUNDIGE Daar u = 1, heeft men: (n- ;)(n-1-~)... (t-~ ) Un = n! Men kan, als men in de identeit van GAuss, voor y i.p.v. de waarde {3 neemt, de iets algemenere betrekking bep Te bewijzen: 2) + a}... (p a). a ~ ~ ~ ) + {3}.. (P + {3). f3 -a) Vraagstuk XII. 2n-(n~I) 2n-2+ (n-;-2) 2n-4 {3 ( n-3) 3 2n-6+.. (De laatste term van de veelterm in het linkerlid is, voor n n-1 even n, (-1) 2 en, voor oneven n, (- 1)- 2 -(n 1). (Dr. H. Bremekamp). p g e 1 o s t door Dr. H. BREMEKAMP, H. J. A. DUPARC, Dr. C. J. VAN GRUTING, Dr. L. DE JONG, H. W. LEMSTRA, C. VAN DER LINDEN en Dr. E. TROST. Men heeft pi o s sing van Dr. L. DE JoNG. (1 x) 2 x). Voor < x < 1, is ook < x(2 x) < I en kan men beide leden in convergente reeksen ontwikkelen. Stelt men de coefficienten van xn in de reeksontwikkelingen l E xk (2 x)k (! lc=o gelijk, dan vindt men n 1 = 2n ( n 1 l) 2n+2 ( n -;- 2 ) 2n-4

27 OPGAVEN. N. 11, 12 EN p 1 o s s i n g van Dr. H. BREMEKAMP en Dr. E. TRosT. Noemen wij het eerste lid der te bewijzen identiteit a.,, dan is a.,+l = 2"+1_(7) 2n-l +(n ;- 1 ) 2n+3 _ (n 3 2 ) 2n-6 a.,_l = 2n-l_ (n ~ 2) 2n-3 + ( n--;- 3) 2n a + a = 2"+1 - (n- 1 ) 2n-l (n 2 ) 2n-a _ n+l n (n~3) 2n-5... = 2a... (Men overtuigt zich gemakkelijk, dat ook de laatste term in het linkerlid zowel bij even als bij oneven n met de laatste term in 2a.. overeenkomt). De getallen a., vormen dus een rekenkundige reeks en daar a 1 = 2, a 2 = 3, blijkt an= n I. Bereken: Vraagstuk XIII. oo ( 2k)! oo I E ---~ E ~--.~---~--. k=i 2 2 k (k!) 2 n=l n(n k + I) (Dr. H. Bremekamp). p g e 1 s t door Dr. H. BREMEKAMP, Dr. C. ]. VAN GRUTING, Dr. L. DE ]ONG, C. VAN DER LINDEN en Dr. L. SWEERTS. Opossing van Dr. L. SWEERTS. De gegeven vorm is te schrijven als :!+ k}-d 1 1 ( 1) ( 1 l) ( 1 I I) 2' :--4' '4' _ Beschouw de reeks:. 1 x 2 ( I ) I.3 xa ( S=-.- y+-y y+-y2+-ya I 1 ) I.3.5 x!i ( 1 1 I ) y+- y2+-y3+- y'

28 26 WISKUNDIGE 3 2 S ( l - x)-! y( 1 - xy)-! --=----~--1- ' OXOy l-y 1-y as - 2v1-=-'; 2v1-=~-y. ~ = -~-=;,--X +-l-=y + F(y). as Voor x = wordt =, zodat F(y) =. oy {VI--xy+VI x} 2 S=--xy-4V1-xy+2Vl-xlog --+G(x). - X Stel y =, dan is S =, waaruit volgt: {V1-xy+V1 x} 2 S=-xy-4 V1-xy+4+2 Vl-x log Vl-x Door x = y = 1 te stellen, verkrijgen we de waarde van de gegeven vorm. S ( 1,1) = 3. p 1 o s sing van Dr. L. DE JoNG. Voor de som laat zich schrijven : s =.E t.3... (2k-1).--~-- k k k + I I 2 k + 1 Nu heeft men: ;--- "" (2k- 1) xk+ 1-2 v l - x + 2- x = E k k +I waaruit, voor x 1: 1 = 1! en dus, door aftrekking: 2v1-=-x-1 en, door deling door 1 - x: (~+ t +... _L-). -1) (2k l) l +X+... xk ~=== - 1 = E X k k l Dus is: 1 S =/{-- 2 -l}dx = 3. Vl-x

29 OPGAVEN. N p mer kin g. In de onderstelling, dat aile reeksen convergeren, volgt in het algemeen uit U(x) = 1.: a~le en dus U(I) = 1.: a~e: V(I) = fa~c( ~ ~): U(l)- U(x) = 1.: a~e (1 xk) 1 1 U(l)- U(x) en dus V(1) = { dx. 1-x Zo, bijvoorbeeld, uit: e = E 1 k ""l (l I 1) 1 1 ; e-ere ~'I-e-t. I = dx=ej --dt=e {C-h(e- 1 )}. 1 k! 1 2 k 1-x t p 1 o s sing van Dr. H. BREMEKAMP. Dus: =! = E _!_j'" xn+le dx X _x_n+_k dx. 1.: n=l n(n + k l) n=l n n=l n Om de omzetting van sommatie en integratie te recht~ vaardigen, merken we op, dat voor - I < h < l h ( xn+k dx =; _I_ {xn+k dx, " n=l n n=l n " daar de reeks onder het integraalteken in het gehele inte~ gratievak uniform convergeert. Dus: 1 h f :f ~-n;t-~ dx=lim ~-j" xn+k dx =lim X- hn_:'"k+1 -- n=l n h-+1 n=l n h-+1 n=1 n(n + k + I) h (I)