Werkbladen vergelijking van een rechte

Transcriptie

1 In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong (0,0) en punt B = (x 2,y 2 ) Voorbeeld 1 Open een nieuw GeoGebra bestand en activeer de assen en het rooster. Teken een punt A de oorsprong (0,0) en kies een punt B niet gaande door de oorsprong met als coördinaten (2,4). Teken een rechte a door deze 2 punten A en B. Ga nu na onder welke voorwaarde een bepaald punt op deze rechte gelegen is? Typ in het invoerveld de volgende punten C, D, E, F, G en H Zijn deze punten op deze rechte a gelegen? Invoerveld C=(3,5) D=(1,2) E=(3,6) F=(-3,-6) G=(-4,5) H=(3/2, 3) Gelegen op rechte a? Zoek nu een verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die wel op de rechte gelegen zijn. Plaats nu een willekeurig punt P op de rechte a. Lees de coördinaten af van dit punt. Versleep dit punt P en zoek een algemeen verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten. Laat ook de helling m van deze rechte weergeven met de knop Noteer jouw besluit: Het verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die op de rechte a gaande door de oorsprong en het punt B=(2,4) wordt gegeven door: Y =. Ivan De Winne 1

2 Voorbeeld 2 Open een nieuw GeoGebra bestand en activeer de assen en het rooster. Teken een punt A de oorsprong (0,0) en kies een punt B niet gaande door de oorsprong met als coördinaten (3,4) Teken een rechte a door deze 2 punten A en B Typ in het invoerveld de volgende punten C, D, E, F, G en H Zijn deze punten op deze rechte a gelegen? Invoerveld C=(2,3) D=(3,4) E=(8,6) F=(5,6) G=(-4,-3) H=(2/3,1/2) Gelegen op rechte a? Zoek nu een verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die op de rechte gelegen zijn. Plaats nu een willekeurig punt P op de rechte a. Versleep dit punt P en zoek een algemeen verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van P. Laat ook de helling m van deze rechte weergeven met de knop Noteer jouw besluit: Het verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die op de rechte a gaande door de oorsprong en het punt B=(4,3) wordt gegeven door: Y =. Ivan De Winne 2

3 Algemeen besluit: De vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong A= (0,0) en een punt B =(x 2,y 2 ) is altijd van de vorm y = m. x m stelt de helling (richtingscoëfficiënt) van de rechte voor. Opmerking: de rechte is NIET evenwijdig met de y-as. Hoe kan men de waarde van de helling m (rico) van de rechte door de oorsprong vinden? In voorbeeld 1 was m = Vergelijk dit getal met de coördinaten van D, E, F, H en P Is er een verband tussen m en die coördinaten? In voorbeeld 2 was m = Vind je datzelfde verband terug met de coördinaten van B, E, H en P? Besluit: Een rechte die door de oorsprong (0,0) en door een punt B = (x 2,y 2 ) gaat heeft als vergelijking y = De helling (richtingscoëfficiënt) wordt gegeven door m = y =.x indien Oefening: Stel de vergelijkingen op van de volgende rechten door de oorsprong en controleer jouw antwoord met GeoGebra. Rechte door oorsprong en punt Helling (rico) Vergelijking y = m.x a (0,0) (2,8) b (0,0) (-2,4) c (0,0) (5,2) d (0,0) (-3,6) Ivan De Winne 3

4 2. Richtingscoëfficiënt van evenwijdige rechten Teken vooreerst een rechte a met als vergelijking y = 3x Typ de vergelijking van deze rechte in het invoerveld Teken vervolgens een aantal rechten evenwijdig aan a gaande door een aantal andere punt met de knop voor evenwijdige rechte Lees telkens de vergelijking van deze rechten af in de vorm y = m.x + q (In GeoGebra is de notatie y = ax + b) Rechte Met rico m =3 Door punt Vergelijking rechte aflezen m = 3 m = 3 m = 3 m = 3 Besluit: Evenwijdige rechten aan y = mx hebben dezelfde richtingscoëfficiënt m en hebben als vergelijking van de vorm y = m.x + q Ivan De Winne 4

5 Vergelijking rechte b Stap 1: Richtingscoëfficiënt van de rechte is m = de rechte heeft als vergelijking y = mx + q in dit geval y =.. Stap 2: rechte gaat door punt B=(, ) dus is. = + q waaruit q =. Stap 3: y = 3x 1 Analoog voor c en d Algemeen besluit: Rechte met richtingscoëfficiënt m en gaande door punt A=(x 1,y 1 ) Stap 1: de rechte heeft als algemene vergelijking y = mx + q Stap 2: rechte gaat door punt A=(x 1,y 1 ) dus is y 1 = m x 1 + q. waaruit q = y 1 - m x 1 Oefening Stap 3: y = mx + q wordt y = mx + y 1 - m x 1 anders geschreven y - y 1 = m.(x - x 1 ) Stel de vergelijking op van de volgende rechten en controleer met GeoGebra rechte door punt met rico m vergelijking a A= (-2,4) -3 b B= (-1,7) 2 c C=(-3,2) -1 d D=(6,-2) Ivan De Winne 6

6 4. Richtingscoëfficiënt van een rechte door 2 punten A=(x 1,y 1 ) en B=(x 2,y 2 ) Teken de volgende rechte, telkens bepaald door 2 punten en bepaal de richtingscoëfficiënten van deze rechten. Zoek het verband met de coördinaten van de twee gegeven punten. A=(x 1,y 1 ) B=(x 2,y 2 ) (2,2) (6,4) (1,-3) (2,2) (7,2) (2,7) (-4,5) (2,0) Verschil in hoogten y 2 - y 1 Verschil in abscissen x 2 - x 1 Quotiënt Rico m Controleer achteraf de waarde van de richtingscoëfficiënten met GeoGebra met de knop 5. Opstellen van de vergelijking van een willekeurige rechte niet door de oorsprong (en niet evenwijdig met de y-as) gaande door 2 punten Algemeen besluit: Rechte gaande door 2 punten A=(x 1,y 1 ) en B=(x 2,y 2 ) Stap 1: de rechte heeft als richtingscoëfficiënt Stap 2: rechte heeft als vergelijking rico m en gaat door punt A=(x 1,y 1 ) y - y 1 = m.(x - x 1 ) wordt na vervanging m y - y 1 =.(x - x 1 ) indien Ivan De Winne 7

7 Oefening Stel de vergelijking op van de volgende rechten bepaald door 2 punten en controleer jouw antwoord met GeoGebra. rechte door punt A en B vergelijking a (-2,4) (4,1) b (-1,7) (3,9) c (3,2) (4,9) d (6,-2) (5,2) 6. Rechte evenwijdig met de x-as Teken met GeoGebra een aantal rechten evenwijdig met de x-as Plaats een punt P op zo n rechte en versleep dit punt. Wat valt er op indien een punt P op zo n rechte gelegen is? Noteer jouw besluit in verband met de gevonden vergelijkingen 7. Rechte evenwijdig met de y-as Teken met GeoGebra een aantal rechten evenwijdig met de y-as Plaats een punt P op zo n rechte en versleep dit punt. Wat valt er op indien een punt P op zo n rechte gelegen is? Noteer jouw besluit in verband met de gevonden vergelijkingen Oefening: noteer de vergelijkingen van de getekende rechten Ivan De Winne 8

8 8. SAMENVATTING vergelijkingen van rechten Rechte bepaald door Rechte door oorsprong en punt B=(x 2,y 2 ) Opstellen vergelijking met formule y =.x NIET evenwijdig met y-as indien Rechte met rico m en door punt A=(x 1,y 1 ) y - y 1 = m.(x - x 1 ) Rechte door 2 punten A=(x 1,y 1 ) en B=(x 2,y 2 ) y - y 1 = (x - x 1 ) NIET evenwijdig met y-as Rechte evenwijdig met de x-as Rechte evenwijdig met de y-as indien y = x = Ivan De Winne 9