Dag van GeoGebra 2013 Workshop creatieve toepassingen

Transcriptie

1 GeoGebra is een uitstekend gereedschap om zowat alle onderwerpen uit het leerplan wiskunde te exploreren, te demonstreren en te illustreren. Eén keer men het basisgebruik van GeoGebra beheerst kan men ook op een erg creatieve manier leerlingen wiskunde laten ontdekken in diverse en vaak verrassende toepassingen. In deze werkbundel krijgt u, n.a.v. de dag van GeoGebra op 19 oktober 2013 aan de VUB in Brussel, een selectie aangeboden van een aantal creatieve toepassingen uit het uitgebreid online nascholingsaanbod van 1 Funny faces 1.1 Inleiding GeoGebra biedt verschillende opties voor het weergeven van grafieken van reële functies, krommen in een vlak en ook ongelijkheden. Men kan deze grafieken ook beperken tot een interval om bijvoorbeeld stuksgewijs gedefinieerde functies grafisch voor te stellen. Start GeoGebra, Assen en Rooster geactiveerd. Typ in het invoerveld van GeoGebra het voorschrift van een veeltermfunctie f met f(x)=x^3-3x+1 Veronderstel dat een ellips wordt gegeven door een impliciete vergelijking. Typ in het invoerveld x^2/16+y^2/9=1 Indien men het domein van een functie wil beperken tot een bepaald interval, dan kan met gebruik maken van enerzijds het commando Functie[ <Functievoorschrift>, <Beginwaarde>, <Eindwaarde> ] of anderzijds het commando Als[ <Voorwaarde>, <dan>, <anders> ] Functie[x^2-7x+12,1,5] Als[-1 x 3, -2x + 3, x - 1] De eerste werkwijze met het commando Functie[ ] tekent enkel en alleen de grafiek van f in het gegeven interval. De functie is wel door GeoGebra in zijn geheel gekend. De tweede werkwijze Als[ ] beperkt de functie werkelijk tot dit interval. Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 1/19

2 Het intypen van de ongelijkheid x^2+y^2<9 geeft een inkleuring van het gebied binnen de cirkel met middelpunt de oorsprong en straal Linkergezichtshelft (op scherm rechts) Met behulp van een aantal functievoorschriften, impliciete vergelijkingen van krommen en ongelijkheden kan men de volgende gezichtshelft tekenen. Een prima startpunt om aan leerlingen het verschil duidelijk te maken tussen de grafiek van een functie, een relatie, kromme en de invloed van parameters. (x - 2)² / 1 + (y - 3)² / 9 = 1 (x - 2)² / (y - 1)² / Functie[-0.5 x² + 1, 0, 0.5] Hou rekening met dat de decimale Functie[4cos(0.5x - 1.2) + 4, 1, 8] schrijfwijze van getallen! Functie[2sin(0.3 (x - 2)) - 2, 0, 11] Puntnotatie i.p.v. kommanotatie Functie[-0.2 x² - 2, 0, 1.37] 1.37 i.p.v 1,37 Functie[0.02x⁶ - 8, 0, 2.41] Functie[-sqrt(10 - x²) - 2, 0, 2.41] Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 2/19

3 1.3 Rechtergezichtshelft (op scherm links) Vervolledig het gezicht met het tekenen van de andere gezichtshelft door aanpassing van de voorschriften van de functies en ook de vergelijkingen van de krommen. Hou rekening met een aantal transformaties zoals: f(x) en f(-x), f(x) en f(x), f(x) en f(x+a) en de verbanden tussen deze grafieken. Denk hierbij aan spiegelingen, verschuivingen naar links of rechts enz. 1.4 Bijhorende bestanden 1_Linkergezichtshelft.ggb en 1_FunnyFace.ggb Ivan De Winne online nascholingen GeoGebra 3/19

4 2 De Gulden Snede Gegeven is een lijnstuk AB Wij construeren een punt S gelegen tussen A en B zodanig dat het lijnstuk AB volgens de gulden snede is verdeeld. Hierbij verhoudt het grootste lijnstuk zich tot het kleinste lijnstuk zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste lijnstuk (1). AS BS AB (1) of AS AS 2 AB. BS (2) Met andere woorden: het grootste lijnstuk is het meetkundig gemiddelde tussen het gehele lijnstuk en het kleinste lijnstuk (2) Teken een lijnstuk AB en bepaal het midden M van dit lijnstuk AB. Teken in het eindpunt B de loodlijn op dit lijnstuk. Teken een cirkel met middelpunt B en gaande door dit midden. Bepaal het snijpunt C met de loodlijn. (Pas de helft van de lengte van AB af op deze loodlijn. Dit geeft het punt C ) Teken het lijnstuk AC. Teken een cirkel met middelpunt C en straal BC (de helft van AB). Bepaal snijpunt D van deze cirkel met het lijnstuk AC. Teken tenslotte een cirkel met middelpunt A en gaande door dit snijpunt D. Bepaal het snijpunt S van deze cirkel met het lijnstuk AB. Dit punt S is het gevraagde punt. 2a gulden_snede.ggb 2b gulden_snede.ggb Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 4/19

5 3 Missie naar Mars In 1961 was de Rus Joeri Gagarin de eerste mens in de ruimte en op 21 juli 1969 zette de Amerikaan Neil Armstrong als eerste mens een stap op de maan. De Europese ruimtevaartorganisatie ESA werkt momenteel aan een opvolger van het ISS en is begonnen met het ontwikkelen van een programma, genaamd Aurora, met als doel het verkrijgen van de wetenschappelijke en technologische kennis voor een bemande reis naar Mars in 2033 en het verblijf van mensen op Mars mogelijk te maken. Wij gebruiken in deze onderzoeksopdracht GeoGebra om meer in het bijzonder de Hohmann transfer baan te simuleren. Hierbij gaat een ruimtetuig van een lage baan naar een hogere baan via een halve ellips. Zo n Hohmann transfer baan is technisch vrij eenvoudig te realiseren en kost een minimum aan energie en dit idee werd reeds in 1925 voorgesteld door Hohmann. Leerlingen moeten uiteraard vertrouwd zijn met het gebruiksmogelijkheden van GeoGebra en moeten bovendien enige wiskundige kennis i.v.m. coördinaten, cirkels, kegelsneden, periodiciteit, omlooptijden, goniometrische functies e.d.m. In deze onderzoeksopdracht beschouwen wij enkel de beschrijvende wiskundige aspecten van dit probleem en gaan niet verder in op de dynamische aspecten en de oplossingen die vanuit de fysica worden aangereikt en de praktische uitvoering vanuit de ingenieurswereld. De opdracht bestaat uit vier onderdelen: 1 Tekenen van de banen van aarde en Mars (in de veronderstelling dat deze banen cirkelvormig zijn). 2 Tekenen van Hohman Transfer baan (HOT transfer orbit) voor ruimtetuig bij beweging van aarde naar Mars. 3 Simulatie van het de beweging (traject) van het ruimtetuig op een ellipsvormige baan met de zon in één der brandpunten. 4 Synchronisatie van de bewegingen van aarde, Mars en het ruimtetuig. Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 5/19

6 3.1 Baan van de aarde en Mars rond de zon Start GeoGebra. Plaats de zon in de oorsprong door het tekenen van een punt. Typ daartoe in het invoerveld van GeoGebra Zon=(0,0) Pas de kleur aan, geel, puntgrootte 9 en Fixeer dit punt. Tekenen van de cirkelvormige baan van de aarde. Teken een cirkel met middelpunt de zon en straal 1 (1AE = afstand aarde zon). Teken ook de baan van Mars, de rode planeet. Teken een cirkel met middelpunt de zon en straal 1.52 (1,52 AE = afstand Mars tot de zon) Aarde op de cirkelvormige baan plaatsen, rekening houdende met omlooptijd P van 365 dagen. ( ) (x) heeft als periode 2π ( ) ( x) heeft als periode 1 ( ) ( x) heeft als periode P ( ) ( x) heeft als periode 365 Wij maken nu gebruik van de parametervoorstelling van een punt bewegend op een cirkel met oorsprong (0,0) en straal R. Op tijdstip t gegeven door (cos(t),sin(t)). Maak in GeoGebra een schuifknop t voor de tijd t (gemeten in dagen) t variërend van 0 tot 365. De positie van de aarde op tijdstip t (na t dagen) wordt dan: In het invoerveld ( ( t), ( t)) Ook Mars op de baan rond de zon plaatsen met omlooptijd van 687 dagen. In het invoerveld ( ( t), ( t)) 3_banen_van_aarde_mars.ggb Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 6/19

7 3.2 Tekenen van de Hohmann transfer baan. De baan van het ruimtetuig is ellipsvormige baan met zon in brandpunt,grote as 2a. Dit is de afstand tussen perihelium = aarde op tijdstip t=0 en aphelium = positie Mars bij aankomst ruimtetuig. Typ in het invoerveld perh=(1,0) en aph=(-1.52,0) GeoGebra beschikt over een knop voor het tekenen van een ellips indien de twee brandpunten gekend zijn en één punt van de ellips. In dit geval beschikken wij enkel over de punten in het perihelium en aphelium en één brandpunt (=Zon) Teken grote as 2a (lijnstuk dat perh en aph verbindt). Bepaal het midden O van dit lijnstuk en spiegel de Zon (brandpunt 1) t.o.v. deze oorsprong. Dit geeft het tweede brandpunt. Teken de ellips = HOT (Hohman transfer baan) met 3_tekenen_transferbaan.ggb Men kan tenslotte nog een simulatie van de beweging van het ruimtetuig maken en de bewegingen synchroniseren. Interessante links: en Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 7/19

8 4 Een toepassing op raaklijnen De eerste opdracht bestaat uit twee delen: het maken van een tekening met GeoGebra en een aantal berekeningen. GeoGebra kan dan achteraf ook als controlemiddel gebruikt worden. Gegeven is reële functie met als voorschrift: f ( x) x Controleer vooreerst of het punt S(9, 24) gelegen is op de grafiek van f. Teken de raaklijn in dit punt. Deze raaklijn t snijdt de y-as in het punt B. De grafiek van f snijdt de y-as in het punt C. Start GeoGebra, Activeer de Assen en ook het Rooster Teken nu de grafiek van f. Typ daartoe in het invoerveld het voorschrift van f. Teken ook het punt S. Geef de coördinaten van S in via het Invoerveld. Versleep het grafiekvenster en zorg ervoor dat de grafiek en het punt S duidelijk zichtbaar zijn door een aantal keer in te zoomen. Stel vervolgens de cartesische vergelijking op van de raaklijn t in het punt S aan de grafiek van f met de formule: y f(a) = f (a).(x a) Bereken daartoe vooreerst met behulp van de eerste afgeleide de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. f ( x) x Afgeleide functie Afgeleide van f in 9 Cartesische vergelijking van de raaklijn in S aan de grafiek van f. Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 8/19

9 Controleer jouw gevonden oplossing met GeoGebra en teken de gevraagde raaklijn met het commando Raaklijn[9,f] Bepaal vervolgens het snijpunt B van deze raaklijn t met de y-as. Teken dit punt B. Bereken ook het snijpunt C van de grafiek met de y-as en teken ook dit snijpunt C van de grafiek van f met de y-as. Teken ook de rechte a door S en C en stel de cartesische vergelijking op van deze rechte. Teken tenslotte de driehoek BSC en bereken de oppervlakte van deze driehoek. Berekening oppervlakte BSC 4_raaklijn_en_oppervlakte.ggb Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 9/19

10 5 Een algebraïsche eigenaardigheid! 5.1 Opgave 1 Inleidende opdracht Voorbeeld 1 a) Beschouw de grafieken van een derdegraadsfunctie f(x) = x³ - 5x² + 2x + 9 en een lineaire functie g(x) = -2x + 5. De rechte is zodanig gelegen dat er drie verschillende snijpunten zijn met de grafiek van f. b) Bepaal de x-coördinaten van de snijpunten van beide grafieken met een passende algebraïsche oplossingsmethode. Denk hierbij aan de methode van Horner. x³ - 5x² + 2x + 9 = -2x + 5 Controleer jouw resultaten met GeoGebra. Start GeoGebra en activeer (indien nodig) de assen en het rooster. Typ in het invoerveld het voorschrift van de veeltermfunctie Laat ook de rechte tekenen Om de grafieken duidelijker zichtbaar te maken, kun jij de verhouding van de eenheden op de x- as ten opzichte van de y-as aanpassen. Klik met de rechtermuisknop in het grafiekvenster en zet de verhouding x-as: y-as op 1:2 Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 10/19

11 De snijpunten van f en g kun jij berekenen met Het is mogelijk om de coördinaten van deze snijpunten af te lezen in het algebravenster. Beeld Algebravenster. c) Maak de som van de x-coördinaten (abscissen) van deze 3 snijpunten en vergelijk met de coëfficiënten van de gegeven functie f. x A + x B + x C = Voorbeeld 2 Beschouw de grafieken van een derdegraadsfunctie f(x) = x³ +4x² + 3x + 5 en g(x) = 2x + 7 Bereken opnieuw de x-coördinaten van de snijpunten van f en g volgens een algebraïsche oplossingsmethode (Horner) controleer daarna met GeoGebra. x A + x B + x C = Besluit: Formuleer jouw vermoeden. Welke merkwaardige eigenschap heb jij ontdekt? Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 11/19

12 5.2 Opgave 2 Uitgebreider onderzoek Het was mogelijk om, in beide hoger vermelde voorbeelden, de x-coördinaten van de gevraagde punten via algebraïsche weg (met de methode van Horner) te berekenen. De opgaven waren immers goed gekozen. Uiteraard is het niet steeds mogelijk om (met de methode van Horner) langs algebraïsche weg deze oplossingen manueel te berekenen. a) Onderzoek deze eigenschap ook voor de onderstaande voorbeelden. Schets daartoe beide grafieken met GeoGebra, bereken de x-coördinaten van de snijpunten, tel deze resultaten op en vergelijk met de coëfficiënten in de opgave. * f(x) = x³ - 7x² + 3x + 8 en g(x) = -3x + 4 x A + x B + x C = * f(x) = x³ -5.x² + 2x + 9 en g(x) = -2x + 6 x A + x B + x C = b) Kies nu zelf een aantal derdegraadsfuncties en een passende rechte. Zorg ervoor dat de coëfficiënt a van x³ gelijk is aan 1. Controleer of deze eigenschap ook geldig is in deze situaties. * f(x) =.. en g(x) = x A + x B + x C = * f(x) =.. en g(x) = x A + x B + x C = c) Besluit: formuleer de gevonden eigenschap! Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 12/19

13 5.3 Opgave 3 Algemeen bewijs De onderzochte voorbeelden zijn uiteraard GEEN bewijs voor de gevonden eigenschap! Geef een algemeen geldig bewijs! f(x) = a.x³ + b.x² + c.x +d g(x) = m.x + q h(x) = f(x) g(x) = a.x³ + b.x² + (c m).x + d q = 0 h(x) = a.(x x A ). (x x B ). (x x C ) na uitwerking h(x) = a.[x³ - (x A + x B + x C ).x² - (x A.x B + x B.x C + x A. x C ).x - x A.x B. x C ] Dus is b = -a.(x A + x B + x C ) Indien a = 1 dan is (x A + x B + x C ) = -b Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 13/19

14 6 Pantograaf Een pantograaf is een toestel, dat in het verleden gebruikt werd om tekeningen te kopiëren, te vergroten of te verkleinen. Dit toestel bestaat uit 4 scharnierende latten. Door de scharnierende delen te verschuiven kan de schaal van vergroting worden aangepast. Het toestel beweegt om een vast punt, waarbij men met een volgstift de contouren van de afbeelding volgt die met de schrijfstift getekend wordt. Door volgstift en schrijfstift om te wisselen verandert de vergroting in een verkleining van de afbeelding. De pantograaf is een uitvinding van Christoph Scheiner (1603) Publicatie: Pantographice (1631) Met GeoGebra is het mogelijk om een moderne versie van deze pantograaf te maken. Start GeoGebra en open een nieuw leeg werkblad. Maak drie schuifknoppen a, b en c met startwaarde 0, eindwaarde 10 en stapgrootte 0,1 Teken vervolgens het vast punt A van de pantograaf (Eigenschappen aanpassen Fixeer Punt) Teken van de pantograaf en een tweede vrij punt B (dit wordt de volgstift). Teken een cirkel met middelpunt A en straal a (de waarde van de eerste schuifknop) Teken een tweede cirkel met middelpunt B en straal b. Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 14/19

15 Wijzig de waarden van a en b zodanig dat de twee cirkels elkaar snijden en bepaal de snijpunten. Teken de lijnstukken AC en BC (de stralen) Teken een cirkel met middelpunt C en straal c. Versleep c zodanig dat de waarde van c groter is dan a en b. Teken de rechte r door A en C en bepaal het snijpunt E. Teken een rechte s door E en evenwijdig met het lijnstuk BC Teken een rechte door B evenwijdig met AC. Bepaal het snijpunt van deze rechten. Teken tenslotte de rechte door A en B en bepaal het snijpunt. Dit laatste punt wordt de schrijfstift via Eigenschappen, Spoor aan. Uitgewerkte GeoGebra bestanden: 6_GeoGebra_pantograaf_constructie.ggb en 6_ GeoGebra_pantograaf.ggb Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 15/19

16 7 Benadering van pi Er bestaan heel wat experimenten om pi te benaderen. Teken een vierkant en hierbinnen een kwartcirkel met als middelpunt een hoekpunt van het vierkant. Teken nu lukraak een aantal stippen binnen het vierkant. We spreken van een 'treffer' wanneer de stip in de kwartcirkel ligt. Het aantal treffers gedeeld door het totale aantal geplaatste stippen is bij benadering gelijk aan π/4. Maak een GeoGebra bestand om dit experiment te illustreren. Vierkant en kwartcirkel tekenen Open een nieuw GeoGebra werkblad, activeer assen, rooster, invoerveld. Teken vooreerst een vierkant met als hoekpunt de oorsprong en zijde 1. Teken het punt A(0,0) en B(1,1) Teken vervolgens een vierkant met Klik daartoe op de punten A en B en typ in het dialoogvenster 4. Teken een kwartcirkel met Om te vermijden dat bij alle volgende punten de naam wordt weergegeven: Opties, Labels, Uitgeschakeld. Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 16/19

17 Willekeurig punt binnen vierkant met gebruik van random() functie Wij maken hierbij gebruik van de functie random() die een willekeurig getal tussen 0 en 1 genereert. Typ in het invoerveld P=(random(),random()) Met de toets F9 of CTRL R wordt lukraak een nieuw punt getekend. Afhankelijk van de ligging van dit punt P willen wij dit punt in het blauw (binnen kwartcirkel) of het rood (erbuiten) tekenen. Als voorwaarde nemen wij de afstand van het punt P tot de oorsprong. Stel k=afstand[o,p] (de naam d werd reeds gebruikt voor één der zijden) Klik nu met de rechtermuisknop op het punt P en doe de volgende aanpassingen in het tabblad Geavanceerd. k 1 k>1 Uitgewerkte bestanden 7a benadering_pi.ggb 7b benadering_pi.ggb Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 17/19

18 Tekenen van een groot aantal lukraak geplaatste punten met gebruik van commando rij[] Verwijder in het vorige bestand het punt P Typ in het invoerveld L1=rij[(random(),random()),i,1,400] Er wordt een lijst L1 van 400 punten gegenereerd. Het is opnieuw de bedoeling om de punten gelegen binnen de kwartcirkel in het blauw en de punten daarbuiten in het rood te tekenen. Bijkomend probleem is het feit dat met het commando Rij onmiddellijk ALLE 400 punten worden getekend. Wij zullen deze 400 punten moeten sorteren in twee lijsten LB en LR met hierin de punten gelegen binnen de kwartcirkel of erbuiten. LR=rij[Als[afstand[Element[L1,i],A]>1,Element[L1,i]],i,1,300] LB=rij[Als[afstand[Element[L1,i],A] 1,Element[L1,i]],i,1,300] Verberg de eerste lijst L1 Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 18/19

19 Tellen van de punten binnen of buiten de kwartcirkel met het commandotelals[] Dit commando TelAls[voorwaarde,lijst] kan men toepassen op een lijst met getallen waarbij als resultaat het aantal getallen wordt gegeven dat aan de voorwaarde voldoet. Maak een schuifknop n waarbij 1 n 400 met stapgrootte 1 en pas de vorige rijen aan: L1=rij[(random(),random()),i,1,n] LR=rij[Als[afstand[Element[L1,i],A]>1,Element[L1,i]],i,1,n] LB=rij[Als[afstand[Element[L1,i],A] 1,Element[L1,i]],i,1,n] Maak een lijst L2 van n-getallen met daarin de afstanden tot A van de punten uit de lijst L1 L2=Rij[Afstand[Element[L1,i],A],i,1,n] Tel het aantal getallen uit de lijst L2 die 1 zijn K=TelAls[x 1,L2] Bereken tenslotte de verhouding van K t.o.v. n Uitgewerkt bestanden: 7c benaderingpi.ggb en 7d benadering_pi.ggb Ivan De Winne ivan.dewinne@telenet.be online nascholingen GeoGebra 19/19