Creatief aan de slag met GeoGebra

Transcriptie

1 6 Spiralen Creatief aan de slag met GeoGebra De bedoeling van deze opdracht is het verschil te onderzoeken tussen de spiraal van Archimedes en de logaritmische spiraal. Hierbij moet men gebruik maken van poolcoördinaten. 6.1 Krommen in poolcoördinaten De vergelijking van een kromme in poolcoördinaten (polaire kromme) is een vergelijking waarbij de modulus r (dit is de afstand van een punt van de kromme tot de oorsprong) wordt uitgedrukt in functie het argument θ (dit is de hoek die door de rechte door de oorsprong en het punt maakt met de x-as). Het verband tussen de cartesische coördinaten x en y van een punt P. en de poolcoördinaten r en θ wordt en bovendien geldt er dat: en Het is vooralsnog niet mogelijk om in GeoGebra rechtstreeks de vergelijking van een kromme met poolcoördinaten in te geven in het invoerveld. Men moet gebruik maken van het commando Kromme[ ] voor het weergeven van een kromme met parametervoorstelling. Voor het weergeven van krommen met poolcoördinaten is het aangewezen om het cartesiaans rooster te wijzigen en bij voorkeur te werken met de radiaal als hoekeenheid. Klik in de menubalk op Opties, Geavanceerd, Voorkeuren Tekenvenster, Pool en Voorkeuren Geavanceerd, Radialen. Ivan De Winne 1

2 Voorbeeld: De algemene vergelijking in poolcoördinaten van bijvoorbeeld een dubbel ei wordt ( ) Het tekenen van een kromme in poolcoördinaten gebeurt via een omweg van een kromme met parametervoorstelling. Typ in het invoerveld vooreerst f(x)=(cos(x))^2 en verberg deze grafiek. dubbelei.ggb of probeer ook eens de volgende voorbeelden! Kappa kromme Quadrifolium Trisectrix van Ceva Vlinder vlinder.ggb Ivan De Winne 2

3 6.2 De Spiraal van Archimedes De spiraal van Archimedes is een kromme die ontstaat door de constante beweging van ene punt op een rechte door de oorsprong, waarbij deze rechte zelf met een constante hoeksnelheid draait rond de oorsprong. De algemene vergelijking in poolcoördinaten van de spiraal van Archimedes wordt Voorbeeld 1: stel a=1 en b =0, de vergelijking wordt dan Met GeoGebra Typ in het invoerveld vooreerst f(x)=x en verberg deze grafiek. Voorbeeld 2: veralgemening met twee schuifknoppen voor a en ook b Stel t=10*pi voor meerdere omwentelingen. Maak eventueel ook een schuifknop n. f(x)=a*x+b Onderzoek de invloed van a en b op de grafiek van de kromme Voorbeeld 3: bijzonder geval Teken een halfrechte door de oorsprong en bepaal de snijpunten met de spiraal. Welke merkwaardige eigenschap stel jij vast? spiraalvanarchimedes.ggb Ivan De Winne 3

4 6.3 De logaritmische spiraal De algemene vergelijking in poolcoördinaten van de spiraal van Archimedes wordt Voorbeeld 1: stel a=1 en b =1, de vergelijking wordt dan Met GeoGebra Typ in het invoerveld vooreerst f(x)=e^x en verberg deze grafiek. Voorbeeld 2: veralgemening met twee schuifknoppen voor a en ook b Stel t=10*pi voor meerdere omwentelingen. Maak eventueel ook een schuifknop n. f(x)=a*e^(b*x) Onderzoek de invloed van a en b op de grafiek van de kromme. Een merkwaardige eigenschap. Teken een (halfrechte) vanuit de oorsprong. Bepaal het snijpunt met de spiraal en meet de hoek tussen deze kromme (raaklijn in punt) en de rechte. Wat stel jij vast? 6.4 Uitbreiding met f(x) = Kies nu zelf nog andere verbanden voor 6.5 Anekdote Eén van de eigenschappen van de logaritmische spiraal is het feit dat deze spiraal niet van vorm verandert indien de spiraal groter wordt. Jacob Bernouilli ( ) noemde deze spiraal de spira mirabilis of de wonderbaarlijke spiraal. Bernouilli liet op zijn grafsteen een spiraal graveren met de tekst Eadem mutata resurgo, hetgeen betekent Hoewel verandert, zal ik hetzelfde herrijzen. De steenhouwer beitelde per vergissing een spiraal van Archimedes. Ivan De Winne 4

5 Antwoorden: Spiraal van Archimedes: De spiraal van Archimedes heeft als eigenschap dat elke rechte door de oorsprong de spiraal snijdt in punten met onderling gelijke afstanden. In het bijzonder geval is deze afstand gelijk aan 1 De logaritmische spiraal komt ook voor in de vormen van schelpen in de natuur zoals de Nautilus schelp Bij een logaritmische spiraal is deze hoek constant! Ivan De Winne 5