Exploraties met GeoGebra

Transcriptie

1 9 Fractalen Exploraties met GeoGebra Een fractaal is een meetkundige figuur waarin een zelfde motief zich steeds op kleinere schaal herhaalt. Men spreekt in dat verband over de bloemkoolstructuur of de zelfgelijkvormigheid van een fractaal. Je hebt fractalen die geconstrueerd worden a.d.h.v. een iteratieproces, waarbij een zelfde constructie telkens weer, maar op een andere schaal, wordt toegepast: we noemen deze figuren meetkundige fractalen. Hexacoop Kromme van Moore Drakenkromme 9. De zeef van Sierpinski (Pools wiskundige 88-99) Beschouw een gelijkzijdige driehoek T 0 met zijde. Verdeel deze driehoek in 4 congruente driehoeken door de middens van de zijden van de eerste driehoek te verbinden. De centrale driehoek wordt weggenomen en er ontstaan kleinere driehoeken T Herneem deze procedure. Stap 0 = begin Stap Stap Stap Bereken na,,, k stappen k Sierpinski Aantal blauwe driehoeken Lengte zijde driehoek Totale omtrek driehoeken Totale oppervlakte driehoeken Ivan De Winne

2 9. Sierpinski met GeoGebra Teken (of construeer) een gelijkzijdige driehoek met zijde. Kleur deze driehoek blauw en ondoorschijnendheid 00%. Verberg de constructielijnen en het tweede snijpunt van de cirkels. Bepaal de middens van de zijden en verbindt deze middens met een driehoek. Kleur deze driehoek wit (ondoorschijnendheid 00%). Herhaal deze procedure een aantal keer voor de kleinere driehoeken. Uitgewerkt GeoGebra bestanden: Sierpinski.ggb, Sierpinski_in_kleur.ggb en Sierpinski_animatie.ggb Ivan De Winne

3 9. De kromme en het eiland van Helge von Koch (Zweeds wiskundige ) Een Koch-kromme kan als volgt gemaakt worden:.. Teken een lijnstuk. Verdeel dit lijnstuk in gelijke delen. Teken op het middelste deel van het lijnstuk de twee zijden van een gelijkzijdige driehoek. Een uitbreiding hiervan is de sneeuwvlok van Koch of het eiland van Koch waarbij men ditzelfde proces herhaald op de zijden van een gelijkzijdige driehoek.. Teken een gelijkzijdige driehoek (met als lengte van een zijde voor dit voorbeeld ).. Vervolgens wordt elke zijde van de (gelijkzijdige) driehoek in drieën verdeeld.. Op het middelste gedeelte van elke zijde wordt een nieuwe gelijkzijdige driehoek geconstrueerd, waarna het proces wordt herhaald. Op deze manier ontstaat een patroon dat steeds ingewikkelder wordt, terwijl elke nieuwe driehoek dezelfde vorm heeft als de oorspronkelijke. Deze herhaling van vormen, waarbij steeds het kleine detail de grote structuur weerspiegelt, is karakteristiek voor alle fractals. Noem de figuur die men bekomt na n keer deze constructie te herhalen A n. A 0 A A A Uitgewerkt GeoGebra bestanden A.ggb, A.ggb, A.ggb en eilandvankoch.ggb Ivan De Winne

4 a) Bereken van de gegeven driehoek A 0 achtereenvolgens; Aantal zijden Lengte één zijde Omtrek driehoek Oppervlakte driehoek Herhaal dit voor de figuur A Aantal zijden a Lengte één zijde L Omtrek figuur O Oppervlakte figuur S Herhaal dit voor de figuur A Aantal zijden a Lengte één zijde L Omtrek figuur O Oppervlakte figuur S en tenslotte voor A Aantal zijden a Lengte één zijde L Omtrek figuur O Oppervlakte figuur S b) Veralgemeen deze formule na n stappen. Aantal zijden na n stappen a n Lengte van één zijde na n stappen L n Omtrek figuur na n stappen O n Oppervlakte figuur na n stappen S n Ivan De Winne 4

5 c) Merkwaardige eigenschap: omtrek oneindig, oppervlakte eindig Indien men het aantal verdelingen n onbeperkt laat toenemen, dan zal jij (tot jouw grote verbazing!!) vaststellen dat de omtrek van dit eiland van Koch oneindig is, maar de oppervlakte van dit eiland van Koch toch eindig is. Maak gebruik van de eigenschappen van meetkundige rijen en sommaties ervan. 9.4 ICT-opdracht: maken van macro s en kromme en eiland van Koch met GeoGebra Jij kan zelf deze kromme van Koch en het eiland van Koch stap voor stap maken (met het nodige geduld). Om dit werk te vereenvoudigen werden twee GeoGebra macro s geschreven: Macro voor verdelen lijnstuk in delen GeoGebra bestand MACRO_lijnstuk in drie verdelen.ggb Het maken van deze macro steunt op de stelling van Thales. Macro voor het tekenen van de driehoek na verdeling lijnstuk GeoGebra bestand MACRO_Koch_eiland.ggb Ivan De Winne 5

6 9.5 Macro voor het verdelen van een lijnstuk in delen Voorbeeld : een lijnstuk in gelijke delen verdelen (VERSIE ) De volgende macro is een mooie illustratie van de stelling van Thales. Gegeven: een lijnstuk [AB]. Gevraagd: verdeel dit lijnstuk in gelijke delen en bewaar deze constructie als macro in Geogebra. Start Geogebra. Ook voor deze constructie maken wij geen gebruik van het rooster, de assen, het algebravenster of het invoerveld. Wij beperken ons opnieuw tot de tekengereedschappen van de werkbalk. Teken een lijnstuk [AB] Teken een rechte b die de rechte door A en B snijdt in het punt A. Deze rechte wordt bepaald door een tweede punt C. Duid op deze rechte b een punt D aan. Bepaal het spiegelbeeld van A t.o.v. D en noem dit punt E. Bepaal ook het spiegelbeeld van D t.o.v. E en noem dit punt F. Verbind F met B. Teken twee evenwijdigen door D en E met de rechte door F en B. Bepaal de snijpunten van deze evenwijdigen met het lijnstuk [AB]. Bewaar dit bestand als lijnstuk_verdelen_in_.ggb Ivan De Winne 6

7 Wij willen deze constructie nu ook bewaren als macro. Kies in de menubalk bij het onderdeel Macro s Nieuwe macro aanmaken. In het dialoogvenster moet je de begin- en eindobjecten van je macro te specificeren. Je kan de macro ook een naam geven en er een icoon aan koppelen, dat dan in de werkbalk Specificeer de Eindobjecten: selecteer het via het rolmenu of klik op de punten in de tekening. Specificeer de Beginobjecten: GeoGebra selecteert voor jou automatisch de beginobjecten (in dit geval: de punten A en B). Geef macro een naam en voer ook de opdrachtnaam in. De naam van de macro zal je zien verschijnen in de GeoGebra s werkbalk, de opdrachtnaam kan je in het invoerveld onderaan gebruiken. Probeer deze macro een aantal keren uit. Ivan De Winne 7

8 Het is nogal storend dat men gebruik moet maken van een derde punt!! Aanpassing voorbeeld : VERSIE In de vorige versie van de macro werd er gebruik gemaakt van Vrije objecten als Beginobjecten Wij maken een nieuw Geogebra-bestand waarbij het punt D afhankelijk is van de twee gegeven punten A en B die het lijnstuk bepalen. Dit kan o.a. door twee cirkels te tekenen met respectievelijk A en B als middelpunt en B en A als punt op de cirkel. Het afhankelijk derde punt is dan het punt D, één van de snijpunten van deze cirkels. Het maken van de macro verloopt vervolgens zoals in versie. Met deze macro als basis is het vrij eenvoudig om een macro voor de kromme van Koch te creëren (en gelijkaardige fractalen waarbij een lijnstuk in moet verdeeld worden) Ivan De Winne 8

9 9.6 Tapijt van Sierpinski Groot vierkant Elke zijde in verdelen 9 kleinere vierkanten Middelste uitknippen Herhalen! Bereken na,,, k stappen Aantal blauwe vierkanten 8 Lengte zijde van vierkant oppervlakte vierkanten k Tapijt 8. [ ] Ivan De Winne 9

10 9.7 Worst van Minkowski Stap : Een Minkowski-eiland ontstaat als volgt: een lijnstuk wordt eerst in vier gelijke lijnstukjes verdeeld. De middelste twee lijnstukjes laten we weg. Daarvoor in de plaats komen zes van die lijnstukjes op de manier die je hieronder ziet (het middelste verticale lijnstuk bestaat eigenlijk uit twee van die kleine lijnstukjes): Stap : In de volgende stap ondergaat elk van die acht lijnstukjes dezelfde bewerking: elk lijnstukje wordt verknipt tot weer acht (uiteraard nog) kleinere lijnstukjes. Je krijgt dan de figuur die je hieronder ziet. Als je niet met één lijnstuk begint, maar de bewerking toepast op bijvoorbeeld een vierkant dan bekomt men het eiland van Minkowski. Uitgewerkt GeoGebra bestand worstvanminkowski.ggb Ivan De Winne 0

11 9.8 Kromme van Lévy Stap : (rood) basislijnstuk Stap : Opdelen in lijnstukken onder een rechte hoek Stap : procedure hernemen op de kleinere lijnstukken. Uitgewerkt GeoGebra bestand Lévy.ggb Ivan De Winne

12 9.9 Drakenkromme Eén van de gekendste fractalen is de drakenkromme. Deze ontstaat door het lijnstuk opnieuw om te zetten in twee lijnstukken, waarbij de rechte hoeken in tegengestelde zin worden gevormd. Het enige verschil met de kromme van Lévy is de zin van de lijnstukken. Stap : (rood) basislijnstuk Stap : Opdelen in lijnstukken onder een rechte hoek (zoals Levy) Stap, 4 : procedure hernemen op de kleinere lijnstukken. Uitgewerkt GeoGebra bestand drakenkromme.ggb Ivan De Winne

13 9.0 Interessante links Oplossingen zeef van Sierpinski Bereken na,,, k stappen k Sierpinski Aantal blauwe driehoeken 9 7 k Lengte zijde driehoek Totale omtrek driehoeken 9 Totale oppervlakte driehoeken k 0 k+ k k 4 k+ 0 Ivan De Winne