Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Transcriptie

1 Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij de kustlijn. Hij meet de hoek waaronder hij de hoogte van het gebouw ziet en vindt: 8 '. Op een stafkaart (figuur ), waarop het appartementsgebouw getekend staat leest hij ook enkele gegevens af: de afstand AB 478 m en de hoogte van de berg is 4 m. Bereken de hoogte van het gebouw tot op de decimeter nauwkeurig. We kunnen beide tekeningen samenvatten tot de hiernaast staande tekening. In TA' B' : TA' A' B' B' T,8 4 tan TA' B' TA' B' 6 4'" 478 In TAA' : AA' T 90 TA' B' 6 4'7" A' AT 80 AA' T 08 '" AA' TA' Sinusregel: sin sin A' AT,8.sin 8' AA' 80,4 sin 08'". Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x. Antw.: Het gebouw is ongeveer 80,m hoog. Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,, dus dan moet 0,9 y,8 y 0,9. Dus wordt de rij: R.R. met v, Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een meetkundige rij? x x MR x x x x x x, 6, 9 : Als x dan wordt de rij: Als x 4 dan wordt de rij: y,4,6,9 M.R. met q M.R. met q6 8, dus dan moet y y. 4 y,, 6, 6, dus dan moet 4 y y. 6 6

2 . De figuur hiernaast is een regelmatige twaalfhoek, met straal 4 cm. Alle hoekpunten zijn verbonden met het midden M. Vanuit een hoekpunt P laat men de loodlijn neer op de volgende straal, met voetpunt P. Zo gaat men door tot men volledig rond is. Bepaal de lengte van spiraal PP... P. Alle middelpuntshoeken M meten PP MP.sin0, en MP MP.cos0 P P MP.sin0, en MP MP.cos0 P P MP.sin 0, en MP4 MP.cos 0 4 De stukjes spiraal vormen dus een M.R. met q. De lengte is dan: l., 7 4. Van een eindige rekenkundige rij is het aantal termen gelijk aan driemaal het verschil van de rij, de negende term is gelijk aan vijfmaal de tweede term en de laatste term is 47. Bereken de som van de termen van deze rij. n v n v n v n * u9 u u 8v u v u v u 4 un 47 u n v 47 v 4 v v v 47 4 vkv *: v v 47 0 v v 4. De som is dus s want dan zou n. Zij gegeven de punten A,, B4, en, 9 a. Toon aan dat deze driehoek rechthoekig is. C. 9 6 mab. mac.. AB AC 4 6 b. Bereken de oppervlakte van deze driehoek AB. AC S ABC

3 6. Bewijs analytisch dat de middens van een willekeurige driehoek, samen met het voetpunt van een hoogtelijn altijd een gelijkbenig trapezium vormen. Kies het assenstelsel zoals op de figuur. Voor de coördinaten van AB, en C kiezen we dubbele waarden omdat we nadien de helft moeten nemen en we op die manier breuken kunnen vermijden. De coördinaten van K, L en M vind je met de formule voor het midden van een lijnstuk. m m 0 VM KL, dus KLMV is zeker al een trapezium. VM KL Ook geldt: VK a ML, dus is het trapezium gelijkbenig. 7. Bepaal de coördinaten van de punten die even ver liggen van A8, als van 6, afstand van het punt P, liggen. B en die op een De punten die even ver van A als van B liggen, zijn de punten van de middelloodlijn l van AB. De rico van AB is m AB vergelijking van de middelloodlijn is dan l y x deze rechte kunnen we dus voorstellen als Lr,7r, met r. (dus ml 7 ) en het midden van AB is M,. De 7 of eenvoudiger l y 7x. Een punt op PL r 7r 0r 0r 0r 0r 0 r 0 r De gevraagde punten zijn dus L, en 0, L.

4 8. Gegeven zijn 4 punten A, B, C en D. Construeer een punt X zodat AXB CXD 90. Laat duidelijk al je constructielijnen staan. Verklaar kort waarom je constructie juist is. Een omtrekshoek op en halve cirkel is altijd recht, dus moet je er gewoon voor zorgen dat X op de cirkels ligt waarvan AB en CD diameters zijn. 9. Twee cirkels c en c snijden elkaar in de punten A en B. Een rechte door B snijdt c in P en c in Q. Een andere rechte door B snijdt c in R en c in S. Bewijs dat PAR QAS. Enerzijds is PBR QBS (overstaande hoeken), anderzijds geldt ook dat PBR PAR en QBS QAS (omtrekshoeken op dezelfde boog), waaruit het gestelde volgt. 0. Gegeven is een driehoek ABC. De binnenbisscectrice van hoek BAC snijdt de zijde BC in punt D en de omgeschreven cirkel van de driehoek in punt E. Bewijs dat AD. AE AB. AC. We weten ook dat BEA BCA (omtrekshoeken op dezelfde boog), dus geldt dat BAE DAC (HH). Dus geldt: AB AD AE AC, waaruit na kruisproducten te nemen het gestelde onmiddellijk volgt.

5 . Een punt P ligt op afstand 8 van het middelpunt van een cirkel. Een rechte door P snijdt de cirkel in twee punten A en B zodat PA 6 en AB. Bereken de straal van deze cirkel. Op de figuur zie je dat je hierbij de stelling van de macht van een punt ten opzichte van een cirkel kan toepassen. Er geldt dus: PA. PB PC. PD, waarbij CD de diameter van de cirkel is zodat P CD. Hieruit volgt: r8 r r 6 r 4.. Beschouw de cirkel , en P,. c x x y y t a. Teken de cirkel c in het assenstelsel hiernaast. c x y M, r 7 b. Bepaal de vergelijking van de raaklijnen aan de cirkel c die door het punt P gaan. P ligt buiten de cirkel dus moet de afstand van de raaklijnen a en b tot het middelpunt gelijk zijn aan de straal. De vergelijking van een rechte door P is: t y mx of anders geschreven: t mx y m 0. d M, t 9m 6m m m. m m r m m 8m 6m 0 m 0 m 4 y 7 en t y x 4 4,

6 . Welke punten liggen even ver van de punten A, en B 4,7, en ook even ver van de rechten a y x en b y x. Hint: los het probleem eerst grafisch op! (zie figuur) (er geldt: a x y 0 en b x y 0 ). De punten die even ver liggen van A als van B liggen, liggen op hun middelloodlijn ml. De punten die even ver van a als van b liggen, liggen op de bissectrices van deze rechten. Het midden van AB heeft coördinaat de middelloodlijn is ml y x,. De rico is m AB mml. Dus de vergelijking van, of anders geschreven xy 0 (of nog: x y). Een punt ligt dus op deze rechte als en slechts als het een coördinaat heeft van de vorm P p, p Voor dit punt moet gelden dat d P, a d P, b p p p. Werken we dit uit dan krijgen we:. p p p 9 p p 9 p p 9 met oplossingen p en p. De oplossingen zijn dus P en, P, (ook te zien op de figuur).