1 Cartesische coördinaten

Transcriptie

1 Cartesische coördinaten Verkennen MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem wel eerst serieus!) Uitleg MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Uitleg Opgave Bekijk de Uitleg. Het hier gaat nog steeds over het schatgravers probleem. a) Beweeg in de applet punt E (de plaats van de oude eik die er niet meer is). Wat gebeurt er met de plaats van de schat? b) Ga naar de tweede pagina van de uitleg (pijltje onderaan de webpagina). Nu zijn er coördinaten ingevoerd. Leg uit waarom uit E = (, ) volgt dat P = (, ). (Tip: welke twee congruente driehoeken kun je maken? c) Leg ook uit waarom uit P = (, ) volgt dat Q = (4, ). d) En laat tenslotte zien, dat nu S = ( ; ). Opgave Neem nu voor de oude eik het punt E( 3, ). Laat zien dat je weer vindt S = ( ; ). Opgave 3 Kies vervolgens zelf een punt voor de oude eik. Laat zien, dat opnieuw geldt S = ( ; ). Opgave 4 Het schatgravers probleem gaat over afstand (de lengte van een lijnstuk) en over het midden van een lijnstuk. Kun je die gemakkelijk berekenen vanuit de coördinaten van de eindpunten van het lijnstuk? Ga uit van A( 4, 5) en B(36, 0). a) Bereken de lengte van lijnstuk AB. Laat zien hoe je de coördinaten van A en B daarbij gebruikt. b) Bereken de coördinaten van het midden M van lijnstuk AB. Laat ook nu zien hoe je daarbij de coördinaten van A en B gebruikt. STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008

2 Theorie en Voorbeelden MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Theorie Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover. Opgave 5 In Voorbeeld bereken je het midden en de lengte van AB met behulp van de formules in de Theorie. Vervolgens moet je nog aantonen dat M ook echt het midden van AB is en 890 ook echt de lengte van AB is. a) Laat zien waarom beide driehoeken ACB en DBM gelijkvormig zijn. b) Hoe volgt hier uit dat M het midden van AB is? c) Hoe groot zijn CB en AC? Bereken hiermee AB. Opgave 6 Neem nu A(a, a ) en B(b, b ). a) Laat zien dat de formule voor het midden van AB uit de Theorie klopt. b) Laat zien dat de formule voor de lengte van AB uit de Theorie klopt. Opgave 7 Neem een vast punt A en een variabel punt P dat over een rechte lijn l loopt. M is het midden van AP. Punt M lijkt over een rechte lijn te lopen evenwijdig aan l. Toon aan dat dit inderdaad het geval is, bekijk eventueel Voorbeeld. Opgave 8 Teken in een cartesisch assenstelsel Oxy de punten A( 3, 6), B(6, 0) en C(8, 8). a) Bereken de lengtes van AB, BC en AC. b) Hoe kun je met behulp hiervan bewijzen dat driehoek ABC rechthoekig is? c) D, E, en F zijn de middens van de zijden van driehoek ABC. Bereken de coördinaten van de hoekpunten van driehoek DEF. d) Bewijs dat ook driehoek DEF rechthoekig is. Practicum MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5 HAVO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten GeoGebra I Download nu het gratis programma GeoGebra. Hiermee zijn de applets waarmee je hebt gewerkt gemaakt. Je kunt met GeoGebra ook zelf vrij gemakkelijk constructies maken. Construeer het schatgravers probleem met behulp van de tweede pagina van het practicum. Je leert zo constructies in GeoGebra maken. STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008

3 Verwerken Opgave 9 Gegeven zijn de punten A(, 3) en B(06,33). a) Bereken AB en het midden M van AB. b) B is het midden van lijnstuk AC. Bereken de coördinaten van C. Opgave 0 De vierhoek ABCD met hoekpunten A(6, 0), B(0, 8), C(6, 0) en D(, ) is een rechthoek. a) Toon dit door berekening aan. b) Bepaal de coördinaten van het snijpunt S van de diagonalen van rechthoek ABCD. c) Bereken de oppervlakte van driehoek ABS. Opgave Rechthoek in vlieger Ga uit van de vlieger PQRS in de figuur hiernaast. De middens van de zijden van deze vlieger PQRS vormen een rechthoek (zoals trouwens voor elke vlieger het geval is). Dat kun je met behulp van analytische meetkunde aantonen. a) Doe eerst zelf eens een poging. De rest van de opgave kun je dan overslaan als dit lukt. Je kunt ook even nagaan of je het op dezelfde manier hebt gedaan. b) Bedenk eerst even wat een vlieger ook alweer precies is. c) Teken een cartesisch assenstelsel met O op het snijpunt van de diagonalen van de vlieger. De assen kies je precies langs de diagonalen, waarom kan dat eigenlijk? d) Nu zijn de hoekpunten P( 3, 0), Q(0, 4), R(3, 0) en S(0, ). Bereken de middens A, B, C en D van de zijden. e) Hoe toon je nu aan dat ABCD een rechthoek is? Opgave Schepen op zee Twee schepen op zee varen een onderling loodrechte koers. Die twee koersen kun je aangeven met lijnen die zich in S snijden. Het éne schip vaart met een snelheid van 0 km per uur en is nog 80 km van S verwijderd. Het andere schip vaart met 0 km per uur en is nog 60 km van S af. Hoe groot is hun kleinste onderlinge afstand? Opgave 3 Terug naar de schat Je ziet in de applet van het schatgravers probleem die je in het practicum hebt gemaakt dat het bewegen van punt E geen invloed heeft op de plaats van de schat, punt S. Neem nu voor de oude eik het punt E(a,b) en toon door berekening aan dat de schat het punt S niet verandert. STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 3

4 Testen Opgave 4 Gegeven zijn de punten P( 0, 35) en Q(0, ). a) Bereken de lengte van PQ in twee decimalen nauwkeurig. b) Bereken de afstand van het midden van PQ tot de oorsprong van assenstelsel. Opgave 5 Als je in een gelijkbenige driehoek ABC met twee benen AC en BC van 5 cm en AB = 6 cm het midden P van AC met B en het midden Q van BC met A verbindt, krijg je twee lijnstukken die elkaar snijden in punt S. Nu geldt AS : SQ = BS : BP = :. a) Toon dit aan met behulp van een goed gekozen cartesisch assenstelsel. b) Toon dit ook aan voor een gelijkbenige driehoek met benen AC en BC en met hoogte CD = h cm en AB = c cm. STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 4

5 Antwoorden d) S = (, ) a) AB = 65 b) M(6, ) 5a) Ze hebben gelijke hoeken b) D = (5,), BD = 40 5 = 4 en BC = 40 = 9 Dus is BC = BD. Omdat de driehoeken CBA en DBM gelijkvormig zijn is ook AB = MB. c) - 6a) - b) a) AB = 7, BC = 468 b) c) d) AC = 585 AB + BC = AC D (,3), E (,9), DE = 46 4, DF = 7 DF + EF = DE 9a) AB = 5789, b) C(3, 43) 0a) - b) S(6,5) c) 0 a) - b) - c) - d) A(, ), F(7,) EF = 9 4, M(47,78) B(, ), D(,) e) AB en CD horizontaal, BC en AD verticaal C (,),. a = (80 0 t) + (60 0 t) t = 4,4 en afstand = 7,89 km a) PQ = 8, 88 b) 5. - M( 60, ), OM = 6,09 STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 5

6 STICHTING MATH4ALL 9 SEP 008 6