Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Transcriptie

1 Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-05-f-4--o

2 Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t VW-05-f-4--o / lees verder

3 Hoek onder de top Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ). De punten (0, 0) en A (9, 0) liggen op de grafiek van f. Het punt T is het hoogste punt van deze grafiek. Zie. T f De coördinaten van T zijn,. 4 4 A 4p Bewijs dat de coördinaten van T inderdaad In is hoek TA aangegeven., zijn. 4 4 T f A 4p Bereken de grootte van hoek TA. Rond je antwoord af op een geheel aantal graden. VW-05-f-4--o / lees verder

4 Het uiteinde van een wip We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van het uiteinde van een wip. Lijnstuk PQ met midden M en lengte 4 draait om M. De hoogte van M is. Zie. We kijken naar het verloop van de hoogte h van P. p tijdstip t 0 is de hoogte van P gelijk aan 0. Van t 0 tot t beweegt P omhoog. In is het lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op t 0, t en op t. op 4 t = 0 P M Q P h t = M Q P h M t = Q De hoogte van P tijdens de omhooggaande beweging wordt beschreven door het volgende model: fase : h π π () t sin 0 t 6 voor 0 t voor t 5 fase : h () t sin π π t 5 5 π 6π π () sin fase : h t t t Hierin zijn h, h en voor 5 t h de hoogtes van P in de verschillende fasen. VW-05-f-4--o 4 / lees verder

5 In is de grafiek van de hoogte van P in de fasen, en getekend. h h h h 5 t De hoogte van P aan het eind van fase is h 5 ( ). Door t 5 in te vullen in de formule van h kan worden bewezen dat de hoogte van P aan het begin van fase gelijk is aan de hoogte van P aan het eind van fase. p Bewijs dat deze hoogtes gelijk zijn. De helling van de grafiek van cos p 4 Bewijs dat de helling van de grafiek van h aan het eind van fase hieraan gelijk is. Voor elke waarde van a, met 0 a, geldt: h( a) h( a) 4p 5 Bewijs deze gelijkheid. h aan het begin van fase is π π VW-05-f-4--o 5 / lees verder

6 Laagste punt De functie f is gegeven door f ( ). p de grafiek van f ligt rechts van de -as een punt P ( p, p ). De middelloodlijn van P snijdt de -as in een punt S. Zie de. P S Als P over de grafiek van f naar de oorsprong toe beweegt, dan nadert de -coördinaat van S tot een bepaalde waarde. 5p 6 Bereken eact deze waarde. VW-05-f-4--o 6 / lees verder

7 Gespiegelde punten Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ) ln. De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over een afstand a naar links te verschuiven, waarbij a. De grafiek van g snijdt de -as in punt P en de -as in punt Q. Er is een waarde van a waarvoor het beeld van P bij spiegeling in de lijn samenvalt met Q. Zie de. = Q P g f 8p 7 Bereken deze waarde van a. Rond je antwoord af op twee decimalen. VW-05-f-4--o 7 / lees verder

8 Ankerketting Een schip ligt op zee voor anker. Door stroming en wind trekt het schip aan de ankerketting. Hierdoor en door het eigen gewicht van de ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een kettinglijn. In de is deze situatie schematisch in een assenstelsel weergegeven. De -as valt samen met de horizontale zeebodem, waarop het anker ligt. De oorsprong van het assenstelsel is gekozen in het punt waar de ankerketting aan het anker is bevestigd. Aan het schip zit de ankerketting vast in punt A. We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct het water in gaat. Het punt A bevindt zich 96 meter rechts van de -as. A Een kettinglijn waarvan het laagste punt door gaat, kan worden beschouwd als een deel van de grafiek van de functie f gegeven door: a a f( ) e e, met a 0 a Voor de functie f geldt: a a f' ( ) e e 6p 8 Bewijs deze gelijkheid. Voor de ankerketting in de geldt a en Hierin zijn 40 en f ( ) in meters. Door golven en wind kan een schip flinke bewegingen maken. Bij een korte ankerketting kan dan het anker losraken. m dit te voorkomen geeft men bij het uitwerpen van een anker de ankerketting veel lengte. Hiervoor hanteert men in de scheepvaart de vuistregel dat de lengte van de ankerketting tussen anker en schip ten minste driemaal de waterdiepte moet zijn. 5p 9 nderzoek of de ankerketting in de aan deze vuistregel voldoet. VW-05-f-4--o 8 / lees verder

9 Een gebroken functie en zijn inverse 4 De functies f en g zijn gegeven door f( ) 4 en g ( ). 4 In de zijn de grafieken van f en g weergegeven. f f g g De functie g is de inverse van f. 4p 0 Bewijs dit. De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten (0, 0) en (, ). De grafieken sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in de grijs gemaakt. 6p Bereken eact de oppervlakte van dit vlakdeel. VW-05-f-4--o 9 / lees verder

10 Tussen twee bewegende punten ver de eenheidscirkel bewegen twee punten A en B. Beide punten bevinden zich op tijdstip t 0 in het punt (, 0). Ze bewegen met constante snelheid, waarbij de snelheid van A drie keer zo groot is als de snelheid van B. De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn respectievelijk: A() t cos() t B() t cost en A() t sin() t B() t sint Voor t k, met k geheel, vallen de punten A en B niet samen en zijn ze de eindpunten van de koorde AB. In de is de situatie getekend voor t 5 π. Lijnstuk A'B' is de loodrechte projectie van koorde AB op de -as. De lengte van A'B' verandert voortdurend tijdens de beweging. 4p Bereken de maimale lengte van A'B'. Rond je antwoord af op twee decimalen. A B Tijdens de beweging verandert ook de richtingscoëfficiënt van koorde AB. Deze richtingscoëfficiënt noemen we a. Voor elk tijdstip t, waarbij t k π met k geheel, geldt: cos( t) () a sin( t) - A' - B' Deze formule kan bewezen worden met behulp van de volgende goniometrische formules: () () p q p q p q p q sin p sin q sin cos (voor elke waarde van p en q) cos p cosq sin sin (voor elke waarde van p en q) 4p Bewijs formule () met behulp van formules () en (). Lijn l is de lijn met vergelijking. Er zijn vier waarden van t, met 0 t π, waarvoor koorde AB evenwijdig is met l. 5p 4 Bereken eact deze vier waarden. VW-05-f-4--o 0 / lees verder

11 Ingesloten cirkel Gegeven is de cirkel c met middelpunt (0, 0) en straal. Verder is gegeven het punt A ( a,0) met a. Er zijn twee lijnen door A die aan c raken. De raakpunten zijn B en C. De twee raaklijnen en cirkel c sluiten een cirkel d in. Cirkel d raakt de twee lijnen in D en E en cirkel c in (, 0). Cirkel d heeft middelpunt M. Zie de. c B d D M r A (a, 0) E C Driehoek AMD en driehoek AB zijn gelijkvormig. a Voor de straal r van cirkel d geldt: r a 5p 5 Bewijs dat r a a Er is een waarde van a waarvoor vierhoek CAB een vierkant is. In dat geval kan de straal van cirkel d geschreven worden als r p q waarbij p en q gehele getallen zijn. 5p 6 Bereken eact de waarden van p en q. einde VW-05-f-4--o / lees verder