Oefeningen analytische meetkunde
|
|
- Erik Meijer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om de rechte r y. Bepaal de vergelijking van dit spiegelbeeld. ) egelsneden (in basisvorm) De parabool. Van een parabool zijn een punt, de symmetrieas en de topraaklijn gegeven. Construeer het brandpunt en de richtlijn.. De raaklijnen t en A t B in twee verschillende punten A en B van een parabool snijden elkaar in S. Als M het midden is van AB, bewijs dan dat MS evenwijdig is met de as van de parabool. De ellips. A en A ' zijn de toppen op de grote as van de ellips. Neem een willekeurig punt P dat geen top is. De topraaklijn in A snijdt PA ' in R en de raaklijn aan P in S. Bewijs dat S het midden is van AR.. en willekeurige raaklijn aan een ellips met brandpunten F en F snijdt de topraaklijnen in de toppen van de grote as in P en Q. Bewijs dat PF QF en PF QF. Toon aan dat hieruit volgt dat de brandpunten op de cirkel liggen met als middellijn PQ. y. Gegeven is de ellips. Bewijs dat de oppervlakte van het vierkant omgeschreven aan waarvan a b de diagonalen symmetrieassen zijn van gelijk is aan a b. c) De hyperbool y. Punt P ligt op de hyperbool H met toppen T en T. Bewijs dat het product van de a b richtingscoëffiënten van PT en PT een constante is.. Op een hyperbool H neem je twee punten P en P die symmetrisch gelegen zijn ten opzichte van het middelpunt O van H. De raaklijnen in deze punten snijden de asymptoten s en s in een parallellogram dat dezelfde oppervlakte heeft als de assenrechthoek van H. Bewijs dit! Oefeningencursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen
2 ) Homogene coördinaten het projectieve vlak. Geef een stel homogene coördinaten van de punten met als koppel cartesische coördinaten: A, B, C, D,5 5,7. Geef het koppel cartesische coördinaten van de punten met als stel homogene coördinaten: A,, B,, C,,7 D8, 8,6. Geef een stel coördinaten van het punt P op oneindig van de volgende rechten: Met als vergelijking: a y by6 c5y7 d Met richtingscoëfficiënt m c) Die gaat door de punten P, en P,4 d) Die gaat door de punten P,, en P 6,, 4. Bewijs dat de volgende punten collineair zijn: P,,, P,, en P 7,, P, y,, P, y, en P, y y, 5. Geef de homogene vergelijking van de rechte PP : P,, en P,,4 P,, en P 4,, 6. Gegeven zijn de punten P,, en P,, Geef een stelsel parametervergelijkingen van PP met twee homogene parameters. Het punt, 9, 6,, P behoort tot PP. Vind de waarden van de bijhorende parameters in dat geval. c) Geef een stel homogene coördinaten van het punt op oneindig van PP. d) Geef een stel homogene coördinaten van het midden van PP. e) Vind een homogene vergelijking van PP. 7. Bepaal een stel homogene coördinaten van het snijpunt S van de rechten d en d : d 4yz en d yz d 4yz en d 68yz P en P,,4. Geef een stel homogene coördinaten van P zodat PP PP. 8. Gegeven zijn,, 9. Gegeven zijn de rechten d yz en d yz Geef de vergelijking van de rechtenbundel met d en d als basiseemplaren. Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die door het punt P,, gaat. c) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die door het oneigenlijke punt Q,, gaat. d) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die evenwijdig is met d y4z. e) Geef de vergelijking van de rechte uit deze bundel die evenwijdig is met de y-as.. Stel de vergelijking op van de rechtenbundel die door het punt gaat: de oorsprong O, het punt P, c) het punt P,, Oefeningencursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen
3 . Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel zijn gegeven de punten C5, en D, de reële getallen doorloopt. Bewijs dat de middelloodlijn van CD door een vast punt gaat., waarbij. Bepaal de homogene vergelijking van de kromme waarvan je de cartesische vergelijking krijgt. Bepaal, als ze bestaan, een stel homogene coördinaten van de punten op oneindig van. y a y r c) y y d) 4 9y 5 e) y y f) y. Gegeven is de kromme yky y7. Voor welke waarde van kr heeft twee samenvallende punten op oneindig? 5h 4. De rechte d 54y5z wordt ook gegeven door het stelsel parametervergelijkingen: y 5 5h. z 5h Gebruik deze parametervoorstelling om de snijpunten van d met de parabool Waarom vind je op deze manier niet het snijpunt Q,5,5? 4) Imaginaire punten en rechten. Toon aan dat de rechte r 4i 6i y48i geen imaginaire rechte is.. Zijn de volgende puntenparen toegevoegd imaginair? P, i i, i en P,, i i. Door het punt, P y 5z te vinden. P i i i en P i i,,,, A brengen we een imaginaire rechte a aan die b y snijdt. Is het snijpunt reëel of imaginair? 4. Bepaal het reële punt dat gelegen is op de imaginaire rechte met vergelijking: biiy6z c) a i y i c i 6 i yiz 5. Bewijs: als een reële rechte door een imaginair punt gaat, dan gaat ze ook door het toegevoegde punt. 6. Stel de vergelijking op van de reële rechte die door het punt P i, i, gaat. 7. Als twee imaginaire rechten elkaar in een reëel punt snijden, zijn de rechten dan noodzakelijk toegevoegd imaginair? Wat is de duale betekenis hiervan? 8. Hoeveel imaginaire punten liggen er op een reële rechte? Hoeveel reële punten liggen er op een imaginaire rechte? c) Hoeveel imaginaire rechten gaan er door een reëel punt? d) Hoeveel reële rechten gaan er door een imaginair punt? 9. Het midden van twee imaginaire punten, Bepaal het midden van P i, i Bepaal het midden van,, P y en Q y definiëren we ook als en Q5,7 i i P i en Q,, i, M ; y y. c) Bewijs dat het midden van een toegevoegd imaginair puntenpaar reëel is. d) Als het midden van een imaginair puntenpaar reëel is, zijn de punten dan noodzakelijk toegevoegd imaginair?. Bepaal de snijpunten van de rechte d met de parabool P: d y i en P y d iy en P y. Bewijs dat (in een georthonormeerd assenstelsel) elke cirkel door de isotrope punten gaat. Oefeningencursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen
4 5) Coördinatentransformaties. Bij een affiene coördinatentransformatie worden de coördinaten van de nieuwe basis gegeven door O ',,, en 8,,,,. Stel de matri M van deze coördinatentransformatie op. Bepaal een stel coördinaten t.o.v., y als t.o.v. ', y ' geldt dat 6,, c) Bepaal een stel coördinaten t.o.v. ', y ' als t.o.v., y geldt dat,, d) Bepaal de vergelijking van d t.o.v. ', y ' als t.o.v.,. en verschuiving van het assenstelsel, Bepaal een stel coördinaten t.o.v. ', y ' als t.o.v., Bepaal de vergelijking van t.o.v. ', y ' als t.o.v., P en, 4, P en Q,,. Q. y geldt dat d yz. y brengt de nieuwe oorsprong in het punt O',. y geldt dat P,4, en Q,,. y geldt dat y 68y6.. Men voert een draaiing uit van het assenstelsel met hoek Bgtan. Bepaal de vergelijking van t.o.v. dit nieuwe assenstelsel als t.o.v. het oude geldt dat 8yy y. 4. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel, y geldt dat y. Voer nu een draaiing uit van het assenstelsel over een hoek 4. Wat wordt dan de vergelijking van? Welke soort kromme is? 6) egelsneden. Bepaal de componenten van de ontaarde krommen waarvan je de vergelijking krijgt in cartesische coördinaten: y y 5 4 4y 4y y y y. De volgende krommen zijn ontaard in twee toegevoegd imaginaire rechten. Geef telkens hun vergelijking: y 4 yy y5. Bewijs dat een affiene kegelsnede die door de isotrope punten gaat een cirkel is. y 46y 4. Bepaal voor de volgende vergelijkingen van de tweede graad de matri C en de determinanten en : 4y z yz4y 7y6y 4 5. Je krijgt ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel de kwadratische vergelijking gegeven van enkele rechtenparen door de oorsprong. Bepaal de aard van dit rechtenpaar. Staan de componenten loodrecht op elkaar? c) Geef de vergelijkingen van de componenten. y y y4y yy 6. Van welk rechtenpaar is de volgende vergelijking de algemene vergelijking? a b" yy a' yy, met ab" a' 7. Stel de vergelijking op van de ontaarde kegelsnede waarvan de componenten d en d zijn gegeven: d y en d y d iy en 8. Stel de vergelijking op van de ontaarde kegelsnede waarvoor geldt: D,, is een dubbelpunt en P en,, P 5,, liggen op de kegelsnede D,, is een dubbelpunt en de componenten zijn evenwijdig met het rechtenpaar d i y. y 7. Oefeningencursus analytische meetkunde 4 Sven Mettepenningen
5 9. Bewijs dat de volgende kegelsneden ontaard zijn. Bepaal de aard van hun componenten. Bepaal de vergelijking van hun componenten. Bepaal hun dubbelpunt en hun punten op oneindig. c) d) y y y 8 4 y y y y y y yy y Bepaal de parameters en in de vergelijkingen van de kegelsneden opdat aan de voorwaarde wordt voldaan. y is ontaard en bevat precies één reëel eigenlijk punt. y y y 4 4 is ontaard in twee evenwijdige componenten. z yz zy is niet-affien. c). Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel wordt de vergelijking van een affiene kegelsnede gegeven. Bepaal de aard, stel een gereduceerde vergelijking op, en maak een schets van de bijhorende kromme. c) d) y y 5y6 y y y y y y y y y e) y4y. Bewijs dat deze vergelijking een imaginaire kegelsnede voorstelt: y z yzzy. Bespreek de aard van de kegelsneden in functie van de parameter : yy y yy y 4 y c) 7) Meetkundige plaatsen. Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt. Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het product van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk uit C.. Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot de zijden van een gelijkzijdige driehoek constant is.. Gegeven is een parallellogram ABCD en een veranderlijk punt P. De evenwijdige met BC door P snijdt AB in Q en de evenwijdige met AB door P snijdt BC in R. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat QR// AC. 4. en veranderlijke rechte d met vaste richting snijdt de assen van een georthonormeerd assenstelsel met oorsprong O in A en B. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van OAB. 5. Gegeven is een driehoek ABC en een veranderlijk punt P. Men trekt in P de loodlijn in A op PA, in B op PB en in C op PC. Bepaal de meetkundige plaats van P zodat deze drie loodlijnen concurrent zijn. 6. Gegeven zijn twee rechten en y, met y. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de cirkels die van een lijnstuk van lengte a en van y een lijnstuk van lengte b afsnijden. Oefeningencursus analytische meetkunde 5 Sven Mettepenningen
6 7. Door een vast punt A brengt men een veranderlijke rechte d aan en door een vast punt B brengt men een rechte e aan die loodrecht staat op d. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van d en e. 8. Ten opzichte van een georthonormeerd zijn gegeven A, en, B. Op de y-as neem je een veranderlijk punt C. Bepaal de meetkundige plaats van het hoogtepunt van de driehoek ABC. A a, en B a, gegeven, met a. Op de y -as. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AC en BD. 9. Ten opzichte van een assenstelsel zijn de vaste punten liggen de punten C en D zodat OCOD. Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel zijn gegeven de punten,4 A en B, veranderlijke loodlijn op AB snijdt de -as in C en de y -as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AC en BD.. De driehoek ABC is rechthoekig in het vaste hoekpunt C. De zijde AB is veranderlijk maar heeft een vaste. en richting. Buiten de driehoek construeert men de vierkanten CAD en CBFG. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AF en BD.. In een assenstelsel is een vast punt A 4, gegeven, waardoor men een veranderlijke rechte d aanbrengt die de y -as snijdt in B. De rechte die B verbindt met het midden van OA snijdt de -as in D. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van d en de evenwijdige met OA door D.. Uit een veranderlijk punt D van een parabool P met top O laat men een loodlijn neer op de as van P. Door het voetpunt trekt men de rechte a evenwijdig met OD en door D trekt men de rechte b evenwijdig met de as van de parabool. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van a en b. 4. Op de parabool P y p neem je twee veranderlijke punten D, y en, y waarvoor geldt dat y y. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van de raaklijnen in D en aan P. D 5. De normaal in een veranderlijk punt van een ellips snijdt de assen van deze ellips in de punten A en B. Bepaal de meetkundige plaats van het midden van AB. 6. Neem een veranderlijk punt D op een ellips met A een top op de hoofdas en als symmetriemiddelpunt O. Noem D ' de loodrechte projectie van D op de nevenas van. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van OD en AD '. 7. Neem een veranderlijk punt D op een ellips met A een top op de hoofdas. Noem D ' en D '' de spiegelbeelden van D om de assen van de ellips. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AD en D' D ''. (Je krijgt alternatieve vragen als je de ellips in de opgaven 5, 6 en 7 verandert naar een hyperbool H) 8. Op een ellips met lengten van de halve assen en 6 neem je een veranderlijk punt D. De normaal n in D DP snijdt de hoofdas van in. Bepaal de meetkundige plaats van punt P n waarvoor geldt dat P. (We zeggen ook wel dat de deelverhouding van P ten opzichte van het koppel punten D, gelijk is aan.) 9. Door een veranderlijk punt D van een ellips trekt men de loodlijn op de hoofdas die de grote hoofdcirkel C van de ellips snijdt in punt Q (met D aan dezelfde kant van de hoofdas). Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt P van de normaal in D aan en de normaal in Q aan C.. In een veranderlijk punt D van een gelijkzijdige hyperbool H trekt men de raaklijn t. Deze rechte snijdt de asymptoten van H in en '. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van D en D '.. en gelijkbenige driehoek ABC is ingeschreven in een vaste cirkel, met A en B C 75. De hoekpunten A, B en C zijn veranderlijk. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van de driehoek. D D Oefeningencursus analytische meetkunde 6 Sven Mettepenningen
7 . Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel neemt met de veranderlijke punten A op de -as en B op de y -as zodat AB L een constante lengte is. Bepaal de meetkundige plaats van de loodrechte projectie van de oorsprong O op AB. We noemen deze kromme de klavervierkromme. Oefeningencursus analytische meetkunde 7 Sven Mettepenningen
OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatie6) Kegelsneden. K, zodat de componenten zijn r y. K : 5 4 4, zodat de componenten zijn 1. K : , zodat de componenten zijn 2 2
6) egelsneden x xy y x y xy : 5 4 4, zodat de componenten zijn r x4y 0 en r xy 0 : 4y 4yx y y x 4y 4, zodat de componenten zijn r y 0 en E x 4y 4 x y x y x y x y :, zodat de componenten zijn C x y en C
Nadere informatieBewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR
Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatieUitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen.
Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6 1 Meetkundige plaatsen. 1 Punt F(0, 1) en de lijn l : y = -1 a. Voor de oorsprong O geldt: d( O, F) = d( O, l) = 1 ben c. c. Waarschijnlijk liggen de gevraagde
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatieDag van wiskunde. Zaterdag 17 november 2007. Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad
Dag van wiskunde Zaterdag 7 november 007 Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad Inhoudstafel pagina. Verticale samenhang leerinhouden. Zwaartepunt van een driehoek werken met formule?
Nadere informatie9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden
9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieVlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte
Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatieCursus analytische meetkunde
Cursus analytische meetkunde René Déscartes 3 mei 596 La Haye en Touraine (Frankrijk) februari 650 Stockholm (Zweden) Cursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen ) Herhaling a) Vectoren Definities
Nadere informatieHierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.
WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij
Nadere informatieRECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want
ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieOverzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.
Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieHoofdstuk 10 Kegelsneden uitwerkingen
Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Hoofdstuk 0 Kegelsneden uitwerkingen Kern Kegeldoorsneden a Loodrecht op de as. b Ellips: hoek tussen vlak en as groter dan de halve tophoek en niet door de top. Parabool:
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieBogen op kegelsneden in Cabri
Bogen op kegelsneden in Cabri DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel april 2008 Het tekenen van een ellipsboog Zomaar een vraag van een Cabri-gebruiker
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieVoorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -
Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieTwee kegelsneden en een driehoek
Twee kegelsneden en een driehoek Dick Klingens juni 2005 We gaan in hetgeen volgt steeds uit van twee kegelsneden S en S' en van een driehoek ABC die beschreven is in S (een ingeschreven driehoek van S)
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6
INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN
Nadere informatieDe vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieOpgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC.
Opgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC. Antwoord: de lengteverhouding vertaalt als: (x 3 x 1 ) + (x 4 x ) = (u 5 u 3 ) + (u 6 u 4 )
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieVlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde
Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde
Nadere informatieEllips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Nadere informatieBijkomende Oefeningen: Les 1
1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieHoofdstuk 1. Projectief vlak. 1.1 Het gecompleteerd affien vlak
Hoofdstuk 1 Projectief vlak 1.1 Het gecompleteerd affien vlak We kiezen in R, E O, + een coördinatenstelsel met assen X, Y en Z. Het punt E(1, 1, 1) bepaalt de ijken op X-as, Y -as en Z-as. We beschouwen
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieNeem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].
Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatieOver conflictlijnen. Gevolg
Over conflictlijnen Een synthetische behandeling [ Dick Klingens] Definitie. De afstand van een punt X tot een gegeven punt A is de lengte van het lijnstuk XA. In plaats van die lengte noemen we ook wel
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatieInvolutie: algebraïsch en meetkundig
Involutie: algebraïsch en meetkundig 1. Algebraïsche definitie Op een lijn m liggen de puntenparen (P, P'), (Q, Q'), die voldoen aan: PO P O = QO Q O = = k waarbij O een vast punt is op m en k een constante.
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatie12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieWat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Nadere informatiePROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET
PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder
Nadere informatieRuimtemeetkunde. (
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieOpgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje
Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieParagraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieStelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2
Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatiePienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7
Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatie