44 De stelling van Pythagoras

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "44 De stelling van Pythagoras"

Nina van den Velde
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt A tot AC = 4. Hoe groot wordt nu het groene vierkant? b) Verder is BC = 3. Hoe groot is het paarse vierkant? c) Hoe groot is het blauwe vierkant? d) Waarom is AB = 5? Opgave 2 In opgave 1 zijn alle drie de zijden van de rechthoekige driehoek gehele getallen. Meestal is dat niet het geval. Beweeg de punten A en B. a) Controleer dat steeds het blauwe vierkant even groot is als de andere twee vierkanten samen. b) Hoe bepaal je nu telkens de lengte van AB? c) Controleer telkens of de lengte van AB die de applet opgeeft bij benadering juist is. Bekijk bij Toepassen wat de 3,4,5-steek is en hoe die in de bouw wordt gebruikt. Bekijk ook de videoclip over het maken van een rechte hoek in de praktijk. Opgave 3 Er worden drie manieren getoond om een rechte hoek te maken. a) Welke drie manieren? b) Hoeveel graden is een rechte hoek? c) Laat zien, dat een 3,4,6-driehoek geen rechte hoek oplevert. Uitleg Pythagoras Uitleg Klik nu op het rode pijltje linksonder. Je komt op de tweede pagina van de uitleg. STICHTING MATH4ALL 29 APR

d) Waarom is AB = 5? Opgave 2 In opgave 1 zijn alle drie de zijden van de rechthoekige driehoek gehele getallen. Meestal is dat niet het geval. Beweeg de punten A en B.

2 Opgave 4 Bekijk driehoek ABC in de applet. a) Welke zijde is de hypothenusa? b) Welke twee zijden zijn de rechthoekszijden? Opgave 5 Neem in de applet AC = 2 en BC = 3. a) Reken het vierkant op de lange zijde AB zelf uit en vul het antwoord in. b) Hoe groot is AB? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. Opgave 6 Neem in de applet AC = 5 en BC = 3. a) Reken het vierkant op de lange zijde AB zelf uit en vul het antwoord in. b) Hoe groot is AB in twee decimalen nauwkeurig? Opgave 7 Neem in AC = 4 en BC = 3. a) Reken het vierkant op de lange zijde AB zelf uit en vul het antwoord in. b) Hoe groot is AB? Opgave 8 Van een rechthoekige driehoek PQR met Q = 90 is PQ = 12 cm en QR = 10 cm. Hoe lang is PR in mm nauwkeurig? Voorbeeld 1 Pythagoras Voorbeeld 1 Bekijk Voorbeeld 1. In de applet zie je hoe je de stelling van Pythagoras gebruikt om de lange zijde van een rechthoekige driehoek uit te rekenen. Opgave 9 In de applet is de hypothenusa steeds AB. Reken zelf een aantal voorbeelden na. De applet werkt in twee decimalen nauwkeurig, doe dat zelf ook. Opgave 10 Van een rechthoekige driehoek PQR is Q = 90, PQ = 18 en QR = 30. a) Schets deze driehoek. b) Schat eerst de lengte van PR. c) Bereken PR met behulp van de stelling van Pythagoras. d) Benader nu de lengte van PR in twee decimalen nauwkeurig. STICHTING MATH4ALL 29 APR

a) Reken het vierkant op de lange zijde AB zelf uit en vul het antwoord in. b) Hoe groot is AB in twee decimalen nauwkeurig? Opgave 7 Neem in AC = 4 en BC = 3.

3 Voorbeeld 2 Pythagoras Voorbeeld 2 Bekijk Voorbeeld 2. In het applet zie je hoe je de stelling van Pythagoras gebruikt om een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek uit te rekenen. Opgave 11 Reken zelf na dat de ladder tot 3,35 m hoogte komt. Opgave 12 Van een rechthoekige driehoek PQR is Q = 90, PQ = 16 en PR = 30. a) Schets deze driehoek. b) Schat eerst de lengte van QR. c) Bereken QR en benader de lengte van QR in twee decimalen nauwkeurig. Oefenen 1 Pythagoras Oefenen Met het applet bij Oefenen kun je het werken met de stelling van Pythagoras blijven oefenen. Opgave 13 Je kunt met de applet alleen rechthoekige driehoeken maken. Maak er één waarvan twee zijden een geheel getal zijn. Reken dan zelf de derde zijde uit in twee decimalen nauwkeurig. Herhaal dit tot je geen fouten meer maakt in de berekening. Voorbeeld 3 Pythagoras Voorbeeld 3 Bekijk Voorbeeld 3. Je ziet dat je de stelling van Pythagoras ook in een assenstelsel kunt gebruiken. Opgave 14 a) Teken zelf op roosterpapier lijnstuk AB met A(1,3) en B(7,1). b) Teken vervolgens een rechthoekige driehoek waarmee je de lengte van AB kunt uitrekenen. (De rechthoekszijden liggen op roosterlijnen.) c) Bereken nu de lengte van AB. Geef je antwoord als wortel. d) Controleer met de applet of je antwoord juist is. e) Teken nu ook punt C(5,5) en bereken AC en BC. STICHTING MATH4ALL 29 APR

c) Bereken QR en benader de lengte van QR in twee decimalen nauwkeurig. Oefenen 1 Pythagoras Oefenen Met het applet bij Oefenen kun je het werken met de stelling van Pythagoras blijven oefenen.

4 Opgave 15 Je kunt nu het berekenen van lijnstukken en de zijden van een driehoek oefenen met de applet door de punt A, B en C te verplaatsen. Doe dat tot je geen fouten meer maakt. Opgave 16 a) Maak nu ABC met A(0,3), B(10,1) en C(9,5). Waarom weet je zeker dat deze driehoek rechthoekig is? b) Maak vervolgens ABC met A(0,3), B(10,1) en C(8,6). Waarom weet je zeker dat deze driehoek niet rechthoekig is? Opgave 17 a) Teken op papier een driehoek met zijden van 4 cm, 5 cm en 6 cm. b) Waarom weet je zeker dat het geen rechthoekige driehoek is? Opgave 18 a) Teken een driehoek met zijden van 5 cm, 12 cm en 13 cm. b) Waarom weet je zeker dat het een rechthoekige driehoek is? Oefenen (2) Opgave 19 Welke van deze driehoeken zijn rechthoekig? Welke hoek is dan recht? a) Driehoek ABC met AB = 10, BC = 7,5 en AC = 12,5. b) Driehoek DEF met DE = 2, DF = 2 en EF = 3. c) Driehoek GHI met GH = 10, HI = 24 en GH = 26. d) Driehoek KLM met KL = 5, KM = 5 en LM = 20. Toepassen Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide berekening. Opgave 20 De 3,4,5-steek is een bekende manier om een rechte hoek te maken. Vroeger werd daarvoor een touw met twaalf knopen gebruikt. Je ziet hiernaast hoe er een rechte hoek mee werd gemaakt. a) De afstand tussen twee knopen is 20 cm. Hoe lang zijn dan de zijden van de rechthoekige driehoek die je ermee kunt maken? b) Laat zien dat in die rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras geldt. c) Maakt het wat uit hoe lang de afstanden tussen de knopen werd genomen? STICHTING MATH4ALL 29 APR

Waarom weet je zeker dat deze driehoek niet rechthoekig is? Opgave 17 a) Teken op papier een driehoek met zijden van 4 cm, 5 cm en 6 cm. b) Waarom weet je zeker dat het geen rechthoekige driehoek is?

5 Opgave 21 Een glazenwasser moet een raam op de tweede verdieping wassen. De ladder moet daarvoor op 8 m boven de begane grond tegen de muur komen. De voet van de ladder moet op 2 m van het huis af staan. a) Maak een schets van de situatie. b) Bereken hoe lang zijn ladder moet zijn. Opgave 22 Een computer heeft een 17 inch monitor. Dit betekent dat de diagonaal van het zuiver rechthoekige beeldscherm 17 inch is. De hoogte van het beeld is dan 10 inch. a) Maak een schets van de situatie. b) Bereken hoeveel inch de breedte van het beeldscherm is. c) 1 inch = 2,54 cm. Hoeveel cm zijn de lengte en de breedte van het computerscherm? Geef je antwoord in mm nauwkeurig. Opgave 23 Op een zuiver vierkante tafel met een zijde van 1,60 m wil iemand een zuiver rond tafelkleed leggen. Hoe groot moet de diameter van dit tafelkleed minstens zijn om de hele tafel te kunnen bedekken? Opgave 24 Je ziet hier een eenvoudig huis. Let op de rode dakpannen. Stel dat de bovenverdieping 6 m breed en 10 m lang is. (Die 10 m is de lengte van één dakgoot.) Stel verder dat de nok van het dak 3 m boven de vloer van de bovenverdieping zit. Van de gebruikte dakpannen zijn er ongeveer 17,5 nodig per m 2 dak. Hoeveel rode dakpannen zijn er voor dit huis ongeveer nodig? STICHTING MATH4ALL 29 APR

Dit betekent dat de diagonaal van het zuiver rechthoekige beeldscherm 17 inch is. De hoogte van het beeld is dan 10 inch. a) Maak een schets van de situatie.

6 Antwoorden 1 Werk met de applet. a) 16 eenheden. b) 9 eenheden. c) = 25 eenheden. d) Omdat 5 5 = Werk met de applet. a) Doen. b) Door wortel trekken. c) Doen. Oefen tot je goed snapt hoe dit werkt. 3 Bekijk eventueel het filmpje nog eens. a) Manier 1: een constructie; manier 2: haakse hoek gebruiken; manier 3: de 3,4,5-regel. b) 90 graden. c) = 25 en 6 2 = 36 en die zijn verschillend. 4 Bekijk de driehoek goed, de lange zijde is het langst. a) AB b) AC en BC 5 Vergelijk je antwoorden met de applet. a) AB 2 = = 13. b) AB = 13 3,61 6 Vergelijk je antwoorden met de applet. a) AB 2 = = 34. b) AB = 34 5,83 7 Vergelijk je antwoorden met de applet. a) AB 2 = = 25. b) AB = 25 = 5 8 PR = ,6 cm dus 156 mm. 9 Oefen tot je geen fouten meer maakt. 10 a) Een ruwe schets is genoeg. b) PR moet in ieder geval meer dan 30 zijn. c) PR = d) PR 34, Doen. 12 a) Ook nu is een ruwe schets genoeg. QR is de hypothenusa. b) QR moet in ieder geval kleiner dan 30 zijn. c) QR = , Doen. 14 Zelf de figuur tekenen is nodig om de juiste driehoeken aan te geven. Controleer alle antwoorden met de applet. 15 Doen. 16 Gebruik de applet. a) = 85, dus de stelling van Pythagoras klopt in deze driehoek. b) , dus in deze driehoek klopt de stelling van Pythagoras niet = Controleer steeds of de SvP geldt. a) Rechthoekig, B is rechte hoek. b) Niet rechthoekig. STICHTING MATH4ALL 29 APR

c) 3 2 + 4 2 = 25 en 6 2 = 36 en die zijn verschillend. 4 Bekijk de driehoek goed, de lange zijde is het langst. a) AB b) AC en BC 5 Vergelijk je antwoorden met de applet. a) AB 2 = 4 + 9 = 13.

7 c) Rechthoekig, H is rechte hoek. d) Niet rechthoekig. 20 a) 80, 60 en 100 cm. b) = c) Nee: (4a) 2 + (3a) 2 = (5a) De ladder moet 68 m lang zijn. 22 Het beeldscherm is 189 inch breed en dat is ongeveer 34,9 cm. Dit computerscherm heeft een lengte van 349 en een breedte van 254 mm ,3 cm. Het kleed moet een diameter van minstens 227 cm hebben. 24 Het dak bestaat uit twee rechthoeken van 10 m bij 18 m. De totale dakoppervlakte is daarom ongeveer 42,4 m 2. Daarvoor zijn 742 dakpannen nodig (naar beneden afronden kan vanwege de schoorsteen). (De maten van het dak zullen ongetwijfeld in werkelijkheid zo worden gekozen dat het met gehele dakpannen kan worden bedekt.) STICHTING MATH4ALL 29 APR

Het kleed moet een diameter van minstens 227 cm hebben. 24 Het dak bestaat uit twee rechthoeken van 10 m bij 18 m. De totale dakoppervlakte is daarom ongeveer 42,4 m 2.

Vergelijkbare documenten

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;