Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen

Transcriptie

1 Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni ,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden alle zijden met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Je noemt dat getal de factor. Bij vergroten of verkleinen blijft de vorm van de figuur hetzelfde. De hoeken veranderen dus niet van grootte. Bij een vergroting of verkleining kun je een verhoudingstabel en een rekenpijl gebruiken. In de rekenpijl staat de factor waarmee je vermenigvuldigt. Deze rekenpijl kun je gebruiken om lengten te berekenen. Bij een vergroting is de factor groter dan 1. Bij een verkleining is de factor een getal tussen 0 en 1. Hoe bereken je lengten bij een vergroting of verkleining? 1. maak een tabel en zet de bekende afmetingen in de tabel. Zet lengten die bij elkaar horen onder elkaar in de tabel. 2. Bereken bij de tabel of met een rekenpijl de factor. 3. Bereken met behulp van de factor de gevraagde lengten. Een figuur en zijn vergroting of verkleining daarvan heten gelijkvormige figuren. Overeenkomstige zijden horen bij elkaar alleen dan vergroot of verkleint. Overeenkomstige hoeken horen bij elkaar alleen dan vergroot of verkleint. Hoe kun je nagaan of twee figuren gelijkvormig zijn? 1. Ga na of de overeenkomstige hoeken gelijk zijn. Zo niet, dan zijn de figuren zeker niet gelijkvormig. 2. Ga na of de overeenkomstige zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd zijn. Zo niet, dan zijn de figuren niet gelijkvormig. 3. Is aan beide voorwaarden wel voldaan, dan zijn de figuren gelijkvormig Twee figuren zijn gelijkvormig als aan twee voorwaarden word voldaan. Bij driehoeken is 1 voorwaarde al genoeg. Twee driehoeken zijn al gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, of als de zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd zijn. Pagina 1 van 7

2 Bij een vergroting met factor 3 worden de afmetingen van alle zijden 3 x zo groot. De omtrek wordt dan ook 3 x zo groot. Maar bij een vergroting met factor 3 wordt de oppervlakte 3 x 3 = 9 keer zo groot. Lineaire formules Hoe teken je een grafiek bij een formule 1. Maak een tabel bij de formule 2. Teken een assenstelsel en deel de assen goed in. Kijk in de tabel welke stapgrootte geschikt is voor de assen. 3. Teken met behulp van de getallen uit de tabel punten in je assenstelsel. 4. Teken een grafiek door die punten Bij formules kun je soms ook negatieve getallen invullen. Wanneer de toename steeds hetzelfde is, dan is de bijbehorende grafiek een rechte lijn. Zo n grafiek heet een lineaire grafiek. Een formule waarvan de grafiek een rechte lijn is, noem je een lineaire formule. Bij de lineaire formule kun je een tabel maken met in de bovenste rij opeenvolgende gehele getallen en in de onderste rij getallen met steeds dezelfde toename. Deze vaste toename noem je het hellingsgetal van de lineaire formule. Het getal waar de grafiek op de verticale as begint heet het startgetal. Bij een positief hellingsgetal in een lineaire formule komt er in de tabel steeds hetzelfde getal bij. De grafiek is een stijgende rechte lijn. Is het hellingsgetal negatief, dan gaat er in de tabel steeds hetzelfde getal af. De grafiek is dan een dalende rechte lijn. Is het hellingsgetal gelijk aan 0, dan is de grafiek een horizontale lijn. Hoe maak je een formule bij een lineaire grafiek die het verband geeft tussen A en B? 1. Schrijf de formule bij de lineaire grafiek in de vorm: A = startgetal + hellingsgetal x B 2. lees het startgetal op de verticale as af. 3. Bereken het hellingsgetal. 4. Vul het startgetal en het hellingsgetal in de formule in. Getallen Bij vermenigvuldigen en delen met je rekenen in de volgorde van links naar rechts. Maar je moet eerst vermenigvuldigen en delen voordat je gaat optellen en aftrekken. Vd gaat voor Oa Hoe is de volgorde waarin je berekeningen moet uitvoeren? Pagina 2 van 7

3 1. Reken eerst uit, wat tussen haakjes staat. 2. Ga van links naar rechts vermenigvuldigen en delen. 3. Ga van links naar rechts optellen en aftrekken. Bij het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf ontstaat een kwadraat. Zo is 49 het kwadraat van 7, want 7 x 7 = 49. In plaats van 7 x 7 kun je ook schrijven 7² Je spreekt dat uit als: 7 in het kwadraat. Op de meeste rekenmachines zit een toets x² waarmee je kwadraten direct kunt uitrekenen. Je noemt dit kwadrateren. Hoe bereken je een onbekende waarde in een formule met kwadraten? 1. schrijf de formule uit. 2. Vul de bekende waarde in de formule in. 3. bereken de onbekende waarde. Een vierkant met oppervlatkte 64 cm² heeft zijden van 8 cm, want het kwadraat van 8 is 64. Je zegt dan: de wortel uit 64 is 8. Op je rekenmachine kun je meestal wortels direct berekenen met een worteltoest. Het berekenen van wortels noem je worteltrekken. Soms levert worteltrekken een geheel getal op. Bij sommige niet. Je berekent die wortel met je rekenmachine en rondt daarna af. De wortel van een negatief getal bestaat niet. In plaats van 2 x 2 x 2 kun je 2³ schrijven. Bij 2³ heet de 2 het grondtal en 3 de exponent. Bij vermenigvuldigen van machten met gelijk grondtal kun je de exponenten bij elkaar optellen. 2³ + 2² = 2 (5) Een groot getal kun je schrijven als een vermingvuldiging van een tetal met een macht van 10. Als het voorste getal tussen de 1 en 10 ligt noem je deze vorm de standaardvorm. Grote getallen zoals passen niet op het vernster van je rekenmachine. Je ziet dan op het venster 3.2 (11) Dat betekend 3.2 x 10 (11) Je moet dan de komaa van 3.2 elf plaatsen naar rechts verschuiven, op de open plaatsen zet je nullen. De stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek heten de zijden die aan de rechte hoek liggende rechthoekzijden. De zijde die tegenover de rechte hoek ligt, is altijd de langste zijde. Driehoek ABC --» ABC Pagina 3 van 7

4 De zijde van een vierkant kun je vinden door terugrekenen met de rekenpijl hiernaast. Bij het terugrekenen moet je worteltrekken op de rekenmachine gebruik je daarvoor de toets: x Bij elke rechthoekige driehoek zijn de oppervlakten van de twee vierkanten op de rechthoekszijden samen even groot als de oppervlakte van het vierkant op de langste zijde. Noem je rechthoekzijden van de driehoek a en b en de langste zijde c, dan geldt dus: A² + B² = C² Dit wordt de stelling van Pythagoras genoemd. Pythagoras was een Griekse wijsgeer die leefde tussen 580 en 500 voor Christus. De stelling van Pythagoras kun je schematisch opschrijven. Als van een rechthoekige driehoek de rechthoekzijden weet. Dan kun je met dat schema de langste zijde berekenen. Langste zijde staat onderaan. Als je van een rechthoekige driehoek twee zijden weet, dan kun je met de stelling van Pythagoras berekenen hoe lang de andere zijd is. Als er geen tekening gegeven is, maak je altijd eerst een schets en zet je de maten erbij. Hoe kun je de stelling van Pythagoras toepassen? 1. Zoek een rechthoekige driehoek op, maar er een schets van en zet de maten erbij. 2. Maak bij de driehoek een schema en vul de bekende maten in. 3. Bereken de onbekende zijde. Als je een ruimtelijk figuur recht doorsnijdt, krijg je een plat snijvlak. Zo snijvlak noem je een doorsnede. Hoe bereken je de lengte van een lijnstuk in een ruimtelijk figuur? 1. Zoek een doorsnede waarin het lijnstuk ligt. 2. Schets die doorsnede en zet de letters en de bekende afmetingen erbij. 3. Bereken het gevraagde lijnstuk. Net als in een kubus en in een balk kun je in de piramide met de stelling van Pythagoras de lente van een lijnstuk berekenen. Je moet dan een doorsnede kiezen waar dat lijnstuk in ligt. Haakjes Bij het uitvoeren van berekeningen is een rekenmachine vaak gemakkelijk. Maar dikwijls kun je het antwoord ook vinden door handig te rekenen. Formules bestaan vaak uit meer stukjes met een plus of een min ertussen. Zulke stukjes heten termen. Een letter of woord waarvan je de waarde kunt veranderen heet veranderlijke of variabele. Bij een vermenigvuldiging zoals 3 x 8 heten 3 en 8 de factoren. In de formule l = 4a + 2a zijn 4a en 2a gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen kun je samennemen. Je krijgt dan l = 6a. In de formule v = 2p + 4q zijn 2p en 4q geen gelijksoortige termen. Deze formule kun je Pagina 4 van 7

5 daarom niet korter schrijven. De formule l = 3t -2t kun je korter schrijven als l = 1t maar kun je ook schrijven als l = t. Net zo schrijf je g = -1p meestal als: g = -p. Bij het zonder haakjes schrijven van formules waarin negatieve getallen voorkomen, is het niet altijd mogelijk een rechthoek te tekenen. Maar met behulp van een vermenigvuldigtabel kun je deze formules wel zonder haakjes schrijven. Hoe schrijf je een ingewikkelde formule korter? 1. Bedenk dat haakjes voorrang hebben. Schrijf de formule dus eerst zonder haakjes. Gebruik daarbij eventueel een vermenigvuldigtabel. 2. Neem in de formule die je dan krijgt de gelijksoortige termen samen. Ontbinden in factoren heet ook wel buiten haakjes halen. Hoe ontbind je in factoren? 1. Zoek de grootste factor waar je beide termen door kunt delen. 2. maak een vermenigvuldigtabel en vul de gevonden factor en de gegeven formule in. 3. Vul de ontbrekende factoren in. 4. schrijf de formule met haakjes. Kijk op kans Als er een baby geboren wordt, dan is de kans op een jongen even groot dan een meisje, Je kunt ook zeggen dan de kans op een jongen 50% is en de kans op een meisje 50 % is. Door goed te tellen zie je dat er in een kaartspel 52 kaarten zitten. Daar zijn 4 azen bij. Je kunt zeggen dat bij het trekken van één kaart de kans op een aas 4 op de 52 is. Bij het opgooien van een geldstuk zijn de kansen op kop en munt even groot. Als je 20 keer met een geldstuk gooit, krijg je lang niet altijd precies 10 keer kop en 10 keer munt. Je kunt voorspellen dat je ongeveer 10 keer kop krijgt en 10 keer munt zult krijgen. Het hangt van het toeval af of je iets vaker kop of juist iets vaker munt krijgt. Het komt bij het opgooien van een geldstuk wel eens voor dat je heel vaak achter elkaar kop krijgt. Veel mensen denken dat dan de kans om daarna munt te gooien steeds groter wordt. Dat is niet zo. Een geldstuk heeft geen geheugen. De kansen op kop en munt blijven 50%. Om alle mogelijke volgordes bij het gooien met twee geldstukken te laten zien, kun je een boomdiagram gebruiken. Pagina 5 van 7

6 Het is erg veel werk een volledig boomdiagram te tekenen dat past bij het gooien met twee dobbelstenen. In plaats daarvan kun je ook een klein stukje van het boomdiagram tekenen. Daaraan kun je zien dat het boomdiagram bij de eerste dobbelsteen met 6 takken begint. Aan elk van deze 6 takken zitten weer 6 nieuwe takken. Met twee dobbelstenen zijn dus in totaal 6 x 6 = 6 (2) = 36 volgordes mogelijk Bij veel telproblemen hoort een boomdiagram waarbij uit elk punt evenveel takken vertrekken. Elke keer moet een keuze gemaakt worden uit dezelfde mogelijkheid. Het aantal volgordes kun je dan met een macht berekenen. Je kunt op twee verschillende manieren ballen uit een vaas met blauwe en gele ballen pakken. 1. Je pakt een bal, schrijft op welke kleur hij heeft en doet de bal terug in de vaas. De kans op een blauwe bal biljft dan steeds hetzelfde. 2. Je pakt een bal schrijft op welke kleur hij heeft en legt hem apart. De kans op een blauwe bal en de kans op een gele bal veranderen dan. Als je uit de vaas hiernaast één blauwe bal pakt en die apart legt, wordt de kans dat de volgende bal blauw is 7 op de 19 en dat is ongeveer 37 % Oppervlakte en inhoud Van een parallellogram kun je een rechthoekige driehoek afknippen. Als je die driehoek verplaatst, kun je een rechthoek krijgen. Voor de oppervlakte van een parallellogram geldt: oppervlakte = basis x hoogte. Of korter oppervlakte = b x h Als je een parallellogram draait verandert de oppervlakte niet. Je kunt de basis zelf kiezen, de hoogte moet wel loodrecht op de basis staan. Je mag de hoogte ook buiten het parallellogram kiezen. Elke driehoek kun je zien als de helft van een parallellogram. Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: Oppervlakte = basis x hoogte : 2 Bij een driehoek mag je net als bij een parallellogram de basis en de hoogte zelf kiezen. De hoogte moet wel loodrecht op de basis staan. De omtrek van een cirkel hangt af van de lengte van de straal. Je kunt ook zeggen dat de omtrek van een cirkel afhangt van de lengte van de middellijn. Dat is een rechte lijn die een cirkel in twee gelijke stukken verdeeld. De lengte van de middellijn heet de diameter van de cirkel. De oppervlakte van een cirkel kun je berekenen met de volgende formule: Oppervlakte = straal x straal x π Het Latijnse woord voor straal is radius. Daarom wordt voor straal ook vaak de letter r gebruikt. Vandaar de formule: oppervlakte = πr(2) Pagina 6 van 7

7 Als je van een balk de oppervlakte van de bodem en de hoogte kent, kun je de inhoud berekenen. Voor de inhoud van een balk geld de formule: Inhoud is oppervlakte grondvlak x hoogte. In een prisma heeft de doorsnede op iedere hoogte dezelfde vorm als het grondvlak. Als een prisma op z n kant ligt, neem je het zijvlak als grondvlak. Voor de inhoud van een cilinder en voor de inhoud van een prisma geldt de formule: Inhoud = oppervlakte grondvlak x hoogte. Breuken en procenten In een verhoudingstabel zijn de kruisproducten altijd gelijk. Met behulp van een kruisproduct kun je ook ontbrekende getallen in een verhoudingstabel berekenen. Hoe verander je een breuk in een percentage? 1. schrijf de breuk als een decimaal getal. 2. rond het getal af op twee decimalen. 3. schrijf het percentage op. 4. Als je het percentage nauwkeuriger wilt berekenen rond dan op meer decimalen af. Hoe reken je van aantallen naar procenten? 1. Maak een verhoudingstabel met aantallen en procenten 2. Vul de aantallen in en zet 100% op de juiste plek. 3. Bereken, bijvoorbeeld met kruisproducten het ontbrekende percentage. Hoe reken je van procenten naar aantallen? 1. Maak een verhoudingstabel met procenten en aantallen. 2. Vul de percentages in en zet het gegeven aantal op de juiste plaats. 3. Bereken het ontbrekende aantal. Prijzen van goederen in de winkel zijn meestal inclusief 17,5% BTW de BTW is een belasting, die door de consument betaald wordt. De winkelier geeft dit geld door aan de belastingdienst. Let er op dan de consumentenprijs dus 117,5% is. Als je het percentage van een hoeveelheid moet berekenen, kun je vaak handiger rekenen met een factor. Bij 12% hoort de factor 0,12. Hoe bereken je procenten van procenten? 1. schrijf de procenten als factor. 2. vermenigvuldig de factoren met elkaar. Pagina 7 van 7